II

» commune à toutes les courbes du système, mais qui est » réelle pour le système des hyperboles et idéale pour celai » des ellipses.

26. Quand deux hyperboles semblables et semblablement placées sur un même plan sont en outre concentriques, elles ont évidemment mômes asymptotes ou mômes tangentes aux deux points qui leur sont communs à Tinfîni; ainsi elles se touchent en deux points réels, et par conséquent elles ont une corde réelle de contact; mais celte corde est située entièrement à l'infini. Or il suit de là et du raisonnement qui précède, que deux ellipses qui sont concentriques, semblables et semblablement situées sur un même plan , ont également une corde de contact commune à TinOni, mais qui est idéale; et, comme la même chose subsiste nécessairement pour un nombre quelconque d* ellipses ou d'hyperboles, on peut énoncer ce nouveau principe :

(c Le système d'un nombre quelconque d'hyperboles ou » d'ellipses, toutes concentriques, semblables et semblable- » ment placées sur un même plan , a une corde de contact à » l'infini commune à toutes les courbes du système, mais qui » est réelle pour le système des hyperboles et idéale pour )> celui des ellipses. >

Les propositions réciproques résultent évidemment des principes mêmes qui viennent d'ôtre posés ; ainsi , par exemple :

a Si deux ou plusieurs sections coniques, situées sur un » même plan, ont une corde commune réelle ou idéale située » à l'infini, elles sont nécessairement semblables et semblaô blement placées sur ce plan. »

27. Nous remarquerons, avant de terminer ce sujet, que l'indétermination qui a lieu pour la corde commune à finuni, quand on considère des sections coniques semblables et semblablement placées sur un plan, subsiste également quand ces se(îtions coniques deviennent concentriques. En général, quand une ligne droite se transporte d'un mouvement continu, mais d'ailleurs quelconque, jusqu'à une distance inûnie, sans quitter le plan de la figure à laquelle elle appartient, elle devient nécessairement indéterminée de situation sur ce plan

à l'égard des autres objets de la figure. Cela résulte immédiatement de ce que, par suite de Tadmission de la continuité dans les lois géométriques, « tous les points à l'infini d'un » plan doivent être considérés idéalement comme distribués » sur une ligne droite unique, située à Tinfini sur ce plan, » mais d'ailleurs indéterminée de situation à l'égard des autres » objets de la figure. »

Les considérations qui viennent de nous occuper peuvent servir, dès à présent, à justifier cette notion purement métaphysique; nous la verrons se reproduire sous plusieurs formes, dans diverses circonstances particulières, et nous aurons même occasion de la justifier d'une manière générale et d'en donner une explication satisfaisante au moyen des considérations propres à la perspective. Au reste, cette même notion pourrait se justifier directement au moyen des principes reçus en Analyse; mais nous croyons la chose pour le moins peu utile, si ce n'est superflue (*); car là, comme en Géométrie, les notions abstraites et purement figurées ont pour principe unique la volonté qu'on a d'étendre la conception d'une figure, actuellement géométrique et possible, à tous les étals que peut prendre cette figure, même à ceux où certains objets perdent leur, existence absolue.

Après avoir posé, dans ce premier paragraphe, les notions générales qui concernent les cordes réelles ou idéales des sections coniques, nous croyons devoir, avant de passer aux principes de projection qui forment la base principale de ces recherches, nous arrêter quelque temps à l'examen des diverses propriétés dont ces cordes jouissent dans le cas simple de la circonférence du cercle. Par là nous acquerrons des idées nouvelles et précises sur la nature de ces lignes; nous éclairerons l'objet des définitions qui précèdent, et nous pourrons ensuite poursuivre, sans beaucoup de peine, l'examen des sections coniques en général.

(*) Foir dans le FV* Cahier, art. 3 do ce volume, une note récente annexée au Mémoire sur la théorie des polaires réciproques, extraite des Annales de Mathématiques de Montpellier (t. Vlll, janvier 1818).

§ II. — Des cobdu rt bScintes idCales comsidërëis vxus

LE CAS PAETICL'LIEK DE LA CllCONFtMKCE DE CBKCLE.

28. La conique supplémentaire d'une circonférence de cercle est évidemment une hyperbole équilalère (9) ayant même centre el même diamètre qu'elle. Comme pour les autres sections coniques, le nombre de ces hyperboles supplémentaires est inTini ; mais il n'y en a qu'une seule qui corresponde à une droite donnée sur le plan du cercle : c'est celle dont le diamètre de contact est perpendiculaire à cette droite.

Soient mn et ABT, ou (C), Jig. i55, la droite cl la circonférence de cercle en question; supposons que celte droite

soit corde ou sécante idéale du cercle, et qu'ainsi elle ne le pénètre pas; abaissons-lui du centre C, le diamètre perpendiculaire AB; décrivons sur ce diamètre une hyperbole équilalère : elle rencontrera la corde idéale aux points M el N, ei sera, d'après ce qui précède, la supplémentaire correspondante du cercle (C); le point O, où le diamèire AB rencontre la corde mn, sera le centre idéal de celle corde; de plus, on aura aussi , d'après la propriété connue de l'hyperbole équilalère,

om.on=ôm'=oa.ob.

D'un point quelconque P de la corde mn, menons une tan gente PT au cercle (C ), traçons le rayon de contact CT et la droite CP, on aura

pt'==cp'— ct'==pô'4-ôc*— âc'===p5Voa.ob,

et, par conséquent,

PT =P0 -hOA.OB = PO -f-MO .

Telle est la propriété qui lie la corde idéale MN au cerle (C) et à son hyperbole supplémentaire; elle est, comme on peut s'en assurer, parfaitement analogue à celle qui aurait lieu pour le cercle (C) lui-même, considéré seul, si la corde mn était réelle; car, en répétant le raisonnement qui précède, on aurait alors