PT =P0 — OA.OB==PO — OM

Au lieu de mener au cercle, dans le cas qui précède, la tangente TP, traçons la sécante arbitraire PF, on aura

Pt'=PE.PF;

donc, pour tous les points de la sécante idéale m/», on a

PE.PF = PO -f-0A.0B=PO +0M .

29. Pour que deux circonférences de cercle, tracées sur un même plan, aient une corde idéale commune, il faut, d'après la définition (13), qu'en premier lieu le diamètre conjugué à la direction de cette corde, par rapport à l'un des deux cercles, et celui qui est conjugué à la même corde, par rapport à l'autre, se rencontrent au point milieu ou centre de la corde idéale : or, dans le cercle, le diamètre conjugué à la direction d'une droite est perpendiculaire à cette droite; donc la direction des diamètres dont il s'agit doit être la même pour l'un et l'autre cercle, et se confondre, par conséquent, avec celle de la droite indéfinie qui joint leurs centres; ainsi la corde idéale commune à deux cercles, si elle existe, doit être perpendiculaire à la ligne des centres, comme cela a lieu pour les

390 V CAfflER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

cordes réelles. En second lieu, les hyperboles supplémeivtaires à chaque cercle, décrites sur les diamètres respectifs appartenant à la droite des centres, doivent avoir une corde réelle commune perpendiculaire à cette droite. Ces conditions sont nécessaires et suffisent pour déterminer complètement toutes les cordes idéales communes aux cercles proposés.

Puisque les hyperboles qui donnent les cordes dont il s'agît sont équilatères, leurs asymptotes sont nécessairement parallèles ; donc les branches correspondantes concourent respectivement à l'infini, et ont deux points, ou une corde, en commun à Tinfini (7); et, comme cette circonstance a lieu indépendamment de la situation respective des deux cercles donnés, on peut dire d'une manière figurée que :

a Peux circonférences de cercle, situées d'une manière j) quelconque sur un même plan, ont toujours une corde » idéale commune placée à l'infini sur ce plan. »

30. Cette conséquence aurait pu se déduire immédiatement du principe de l'article 2i4., dont elle n'est qu'un cas trèsparticulier; car deux circonférences de cercle quelconques, situées sur un môme plan, sont évidemment deux courbes semblables et semblablement situées sur ce plan.

31. Les deux hyperboles supplémentaires décrites sur les dianvètres respectifs de la ligne des centres ayant, d'après ce qui précède, déjà deux points en commun à l'infini, ne pourront évidemment se couper de nouveau en plus de deux points réels : (C) et (C), Jig. i55, étant les deux circonférences de cercle, soient M et N les points dont il s'agit; traçons la corde correspondante mn; on aura nécessairement (28)