II

66 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES, ETC.

Nous avons vu (Prop. IV) que, dans le cas général, les pôles p el p'"' étaient des points multiples de Tordre mnp, . . de la courbe des a, elle-même du degré imnp...\ mais cet ordre peut varier quand il arrive que trois ou plusieurs pôles parmi lesquels se trouvent p et/?'% sont situés en ligne droite ; le raisonnement déjà employé ci-dessus, étant appliqué à chaque cas particulier, fera connaître la nature de ces points multiples, et je crois inutile d'en dire davantage.

Nous allons maintenant passer au cas où un ou plusieurs pôles se trouvent sur des courbes directrices; ce qui produit un abaissement du degré de la courbe des sommets libres a, comme Braikenridge Ta démontré analytiquement pour quelques cas particuliers relatifs aux triangles mobiles.

Note lyendant ^impression.

J'ai déjà prévenu, vers la Hn do la note de la page 52, que les propositions du précédent paragraphe, relatives aux polygones mobiles inscrits aux courbes géométriques planes, se trouvaient résumées dans le chapitre m, section IV, du Traité des Propriétés projectives. Je dois ajouter ici que le surplus des propositions, en grand nombre, qui devaient suivre la proposition VI [fig. 40 ci-dessus, a été omis, non parce que la démonstration, purement géométrique et élémentaire, en eût été sans intérêt pour beaucoup de lecteurs, mais parce que la rédaction à l'état de simple ébauche et composée de notes, de croquis épars, aurait exigé un remaniement et des additions qui eussent fait perdre à l'ensemble le cachet d'ancienneté que je prétends conserver au corps de cet ouvrage.

DEUXIÈME CVHIER.

MÉTHODE DEvS TRANSVERSALES APPLIQUÉE A LA RE- CHERCHE ET A LA DÉMONSTRATION DES PROPRIÉTÉS DES LIGNES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES {*),

DES ÉQUATIONS A DEI X TERMES ENTRE LES SE(;3IENTS DÉTERMINÉS PAR UNE COURBE GÉOMÉTRIQUE PLANE, SIR LES cAtÉS d'uN TRIANGLE ARBITRAIRE.

Afin de marcher du simple au composé, du particulier au f^énéral, selon Tordre logique des idées, qui offre aussi le plus de facililé pour Tétude ei de chance de réussite dans la recherche des vérités nouvelles, nous débutons ici par des considérations géométriques tout à fait élémentaires.

(* ) Lorsque, dans l'hiver do i8i5 à 181G, après la funeste catastrophe de Waterloo, profitant des tristes loisirs de la paix, j'essayai d'appliquer la théorie des transversales aux courbes géométriques décrites sur un plan, quelques savants bien connus avaient déjà mis en usage, mais transitoirement, les relations à deux termes de cette théorie pour démontrer diverses propositions isolées sur les lignes ou surfaces du second degré. Je me proposais dès lors d'ouvrir une voie beaucoup plus large et toute nouvelle d'investigations relatives à des courbes géométriques d'ordre quelconque, voie dans laquelle personne n'est entré si je ne me trompe, même depuis la présentation à l'Institut de mon Mémoire de i83o, sur VJruih'se des Transversales, En effet, ce n'est qu'incidemment dans une courte Note au bas de la p. 173 du t. XVII des Annales de Montpellier^ que Sturm indique comment le théorème de Carnet peut servir à démontrer la propriété de Fhexagramme de Pascal, relative aux coniques; le surplus de son intéressante étude, postérieure de dix ans à l'époque où ce Cahier a été écrit, est fondé sur de tout autres considérations géométriques ou analytiques; notamment sur la méthode des Multiplicateurs indéterminés de M. I^mé, que Sturm a eu, comme tant d'autres, le grand tort de ne pas citer, et dont j'ai dit quelques mots à la p. 4^9 du précédent \o-

Exposé préliminaire, relatif aux simples coniques, du procédé général d'élimination et de réduction des éléments géométriques divers d'une figure coupée par des transversales.

Théorème fondamental. — Si les côtés d'un triangle abc ifig' 4*^)» rencontrent une section conique quelconque en

Fig 4^.

trois couples de points p et p\ q et q', r et r', on aura, entre les segments formés par la courbe, sur les côtés prolongés du triangle abc, la relation

ap . ap' . br. br' , cq . cq' = ar. ar' . bq . bq' . cp . cp'

que nous (écrirons simplement ainsi

[a) {ap){br){cq)=(ar){bq)(cp).

lume. Ceci n*ôle rien d'ailleurs au mérite de sa belle découverte relative aux intersections, par une transversale arbitraire, de trois sections coniques ayant en commun les mêmes quatre points; découverte qui est l'extension do celles dont les Anciens, Desargues, Pascal vers iG4o, et en dernier lieu Brianchon en 1817, s'étaient déjà occupés, pour le cas simple il est vrai, du quadrilatère inscrit à une section conique.

En effel, celle relalion est projeciive (*). Donc, si Ton prouve qu'elle est vraie pour le cas du cercle, elle aura lieu pour les coniques en général. Or, elle est évidenie par la propriélé connue des sécanles iniérieures ou extérieures au cercfe, dans lequel on a

ap.ap' ou (ap)={ar), {br) = {bq], {cq) = {cp);

car en mulliplianl ces équations membre à membre, on obtient la relalion {a) énoncée.

Il est visible d'ailleurs que si, au triangle transversal ci-dessus, on substitue un polygone quelconque, la proposition sera susceptible de s'étendre à ce cas général .

Premières conséquences. — Tracez les cordes pq et p'q' jusqu'à leurs rencontres en k et /r' avec le côté ab du triangle, qui est indépendant de ces cordes et peut être regardé comme une transversale quelconque ab, coupant les prolongements des côtés du quadrilatère inscrit pqq' p' en A', A', a, b et la courbe en r et r'; puisque les droites pqk et p' q' k* sont aussi transversales du triangle abc, on aura

cp.bq, ak = ap . cq . 6A , cp' . bq' . ak* = ap' . cq' .bh' ;

maison a, d'autre part, l'équation [a) ou

{ap)(br)(cq)z=:{ar)(bq){cp);

(*) Ceci suppose la démonstration des théorèmes ou principes fondamentaux des pages 6 et suivantes du Traité des Propriétés pmj'ertives, publié seulement en i8aa, démonstration dont je ne possède plus les notes originales, mais qui doit remonter au printemps de 181 4) où, à Saratoff, je m'occupais des conditions générales de projectivité des relations métriques et descriptives des Ggures. 11 me suffira ici de rappeler, d*après les n** 9 et suiv., que celte démonstration résulte d'une considération aussi simple qu'élémentaire, relative au triangle qui a pour base l'un quelconque des segments à projeter, et pour côtés adjacents les projetantes des deux extrémités de cette base. Toutefois, il se peut que je me fusse contenté, en 1814, de la preuve, à posteriori, résultant de ce que la relation fondamentale (a) conduit à des constructions linéaires elles-mêmes essentiellement projectives.

multipHant par ordre ces trois équations entre elles, il viendra, en supprimant les facteurs communs aux deux membres,

br.br^ . ak . ak' = ar.ar^ . bk . bk* , ou

(b) {br)[ak) = (ar)(bk).

En traçant (Jig, 4^) les diagonales p*q et pq\ nommant 0, O' leurs intersections avec ab et prenant leur système pour transversal du triangle abc, on obtiendrait de même la relation

{c) (br)(aO) = {ar)[biy),

analogue à la précédente ; puis, en multipliant en croix ces deux dernières équations, on en déduit sur-le-champ cette troisième non moins remarquable

{aO)[bk) = (bO){ak);

relation connue pour le quadrilatère simple à deux diagonales, mais qui s'étend, comme les précédentes, au cas où les couples de côtés opposés et des diagonales sont remplacés par des coniques quelconques passant par les sommets p, p\ q', q de ce quadrilatère simple (*).

Si Ton considère le triangle \kk^ au lieu de abc, et qu'on regarde/)/?' et qq' comme des transversales, la relation analogue à (6) et (c) deviendra

{d) {kr)k'a.k'b = (k'r)ka.kb.

Celle-ci, combinée avec (6), donne les suivantes :

(kr) ( br) ak' ={k'r) {ar) bk\ {kr) {ar) bk'^ = {h'r) {br) 7k';

(*) On reconnaît dans (b), (c), (r/), trois des relations nommées involuttons de six points d'après Desargues, complétées au nombre de sept par Brianchon, et dont j'ai rappelé le nom original et véritable dans le Traité ries Propriétés projectiles. Mais on remarquera que, à Fépoque de i8i6 où j'écrivais, le Mémoire de Brianchon sur les lignes du a* ordre n'avait point encore paru, et que déjà j'avais étendu ce genre de relations métriques aux lignes géométriques d'ordre quelconque, comme on lo verra (railleurs ri-aprèî«.

d'où Ton déduirait, par voie de multiplication ou de division, beaucoup d'autres qui ont^ je le répète, leurs analogues quand on remplace le système des diagonales, ou ceux des couples de côtés opposés du quadrilatère, par de nouvelles sections coniques transversales de la première.

Mais je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet.

Hexagramme de Pascal, — D'après le théorème fondamental, nous avons {fig. 4^)

(ap){br) (cq) = (ar) (bq) {cp);

or, les transversales /?9/r, /l'Or, L^V, donnent, pour le triangle quelconque abc,

(pq) cp.bq.ak = ap.cq. bh',

(p'r) cp' .ar,bO = ap' ,br.cO^

(q'r') bq' ,ar^,cL = cq'.br\aL.

Multipliant ces quatre équations membre à membre et sup-

Fig. 43*

primant los facteurs égaux («/?)( fer) (r^) et {ar)(hq)(cp), il

viendra la relation très-simple,

alf.b0.cL=^ b/i\c0.aL.

Donc les trois points k, O, L, situés en nombre impair sur les prolongements des côtés du triangle transversal abc, sont en ligne droite; or, ce sont là précisément les trois points de concours respectifs des côtés opposés de Vhexsigone pqq' r' rp' p; ce qui constitue le théorème de Pascal.

Remarque générale. — Si l'on remplace la section conique par le système de deux droites, la démonstration est la même mot pour mot.

Le théorème d'où nous sommes partis, et qui, d'après Carnot, peut s'étendre à toutes les courbes géométriques décrites sur un plan, caractérise très-bien, comme on le voit, la section conique en particulier, puisqu'on retombe, sans effort, sur le théorème de Pascal relatif à Vhexagorue inscrit, le plus général que l'on connaisse sur ces courbes. On va voir que la relation métrique elle-même suffit pour décrire une section conique par points, quand on en a cinq de donnés à priori.

Tracé des coniques par points, — Soit abc [fig* 44 ) "^ triangle transversal quelconque 'd'une section conique; on a, d'après l'équation fondamentale (a),

(e) {ap){br) cq' .cQ = {ar),bq' ,bi),{cp),

ou, ce qui revient au même,

ap . ap' bq' .bQ.cp, cp'

ar. ar' cq' ,cQ,br, br'

Supposons que les cinq points p, p\ /•, r^ et Q étant don-

nés, on trace /?//, rr' et qu'autour du point Q on fasse tourner

Qq' ou bcy on connaîtra pour chaque position de cette droite, les valeurs de cp.cp'y br.br'y 6Q et cQ, et la relation ci-dessus donnera bq' par une équation du premier degré, puisque cq' == bq' — bc\ par conséquent le point de la conique, situé sur la direction de 6c, qui pivote autour de Q comme pôle, sera lui-même donné par une construction linéaire.

On déterminera plus facilement le point générateur g', si Ton construit la position correspondante de la sécante indéfinie pq'\ il suffira, en effet, de trouver pour chacune des positions de Qç', celle du point tel que /f, oxxpq' rencontre la direction rr' du côté fixe ba du triangle abc; or, ce triangle, coupé par la transversale rectilignep^'/r, donne

cp . bq' . ak = ap . cq' . bk ;

multipliant cette équation par celle ci-dessus (e), il viendra simplement

ap\cQ.{br),ak = (ar).cp' .bQ.bk^

d'où Ton tirera ak et bk, puisque bk = ak'\-bk.

Cette équation ne change pas de forme quand la droite Qq' vient à passer par /i ; on a alors

ap'.pQ.(br)»ak = {ar),pp' .bQ.bk ;

ce qui permet de construire, de déterminer la position de la tangente au point p.

Cette même équation peut se simplifier davantage encore en considérant la direction indéfinie de rQO comme transversale du triangle abc, ce qui donne

bQ.ar.cO = cQ.br, aO,

équation qui, multipliée par la précédente, devient

ap' . 6r' . f O . ak = pp' . ar^ . « O . bk,

et qu'on pourrait simplifier à son tour.

Cas particulier de tangence, — Quand l'un des côtés du triangle transversal abc, ac par exemple (Jig. 45), est tangent à la conique, l'équation («) devient

l^,\br)(i'Q)={ar){h())':^,\

74 n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Par conséquent, si Ton connaît les quatre points Q, r, r', Q' et la position de la tangente ac, on trouvera par l'équation cidessus la position du point de contact p ; cette équation du 2* degré, indique qu'il y a deux coniques qui remplissent la

Fig. 45.

condition. Le point de contact p une fois obtenu, on pourra trouver autant de points Q' de la courbe que Ton voudra, en faisant varier QQ' autour de Q ; on déterminera très-facilement ensuite et à priori la tangente en Tun quelconque de ces points, Q', par exemple.

Pour cela, il sufOt de tracer la transversale Q'r, et de supposer que la droite rr' tourne autour de r' jusqu'à se confondre avec r'Q'. On aura en effet, par le procédé ci-dessus, /r étant le point où la tangente en Q' roncontre ac, et A celui où r'Q' rencontre la même droite,

Â^'.QV.cQ./rc = ëp!Ar'.Q'Q./fA;

et, comme kc = kk — Ac, on obtiendra la valeur de /rA par une équation du i" degré seulement.

Cas particuliers où des sommets du triangle transversal sont sur la tonique. — Premièrement, si le sommet c du triangle abc [Jig, 46) se trouve seul sur la conique, les points c, /?, Q' se confondent tous trois en Q', pQ' devient tangent à la courbe en ce même point, et alors on a, en remplaçant les notations de la^g. 44 pa»* celles de la Jig. 46.

ttp' ,Q(y.(hr) aK = (ar).p'{y .bQ,bK.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. yS

En second lieu, qu'on prolonge rQ jusqu'en O, sur aQ\

Fig. 46.

Qr transversale par rapport au triangle abc donne incontinent,

bQ.ar,OQ'=QQ\rb.Oa;

multipliant parla précédente équation, on obtient

ap\br\aK.OQ' = ar' .p' Q' .bK.Oa;

et si, en outre, Qrdevient tangent à la conique en Q {Jig, 47),

Fig. 47.

le sommet b s'y confondra aussi, de sorte qu'on aura relation à remarquer en passant.

Considérons enfln la droite p' r' de \9ifig> 47» comme trans« versale du triangle aQQ'» qui coupe QQ' en L» on aura

et, en multipliant avec l'équation précédente,

aK.QL.OQ' = aO.QK.Q'L;

par conséquent, si p' r' devient à son tour tangent en P à la conique [Jig, 48), c'est-à-dire quand le sommet a du triangle

transversal primitif s'y confond avec p' et r', on a la nouvelle

relation

PK.OL.OQ'=PO.QK.Q'L,

qui prouve que les trois points K, 0, L sont en Hgne droite (théorème connu).

Avant de quitter ce sujet, je donnerai deux exemples de l'application du ihéorème fondamental (p. 68) aux propriétés des systèmes do coniques, qu'il serait facile d'étendre aux courbes de degré pair en général.

Théorème. — Si l'on fait varier une conique quelconque^ en l* assujettissant à passer toujours {Jig. 49) P^^ quatre points fixes P', Q', R, R', la corde PQ, déterminée par ses nouvelles rencontres avec les droites également fixes Wba^ Q'Qftc, pivotera sans cesse autour d'un dernier point invariable K, de la direction R'R.

Ce théorème est une conséquence évidente de ce qui précède; mais on peut le démontrer directement. Ainsi, qu'on

prolonge la corde P'Q' jusqu'à sa rencontre K' avec RR', il en résultera un quadrilatère inscrit PQ Q'P' coupé par la trans-

Fig. 49..

versale K'R'R«c, et, d'après ce qui a été tout d'abord démontré, on a la relation

aK.aK'.cK.cK'=cK.cW aW.aK'.

Or, dans cette équation tout est constant, excepté aK et cK; de plus cK = aK'hac, et comme ac est aussi constant, on en conclut que aK conserve la même valeur pour toutes les coniques qui passent par P', Q', R', R.

La proposition analogue a lieu pour le cas d'une courbe géométrique quelconque de degré pair.

Pboblème. — Trois points fy q, q' {Jig. 5o), communs à deux coniques, étant donnés, trouver le quatrième (p' ), en supposant connues les intersections r', R, R' de ces coniques^ par une transversale arbitraire bcr'.

La direction de cbr', celle de qq* et de pp' formeront, par leurs rencontres mutuelles, un triangle abc qui, étant considéré comme transversal par rapport aux deux courbes, donnera respectivement

[ap){cr)[bq) = (aq)[br){cp), [aq)[bT^){cp) = [ap){c\{)[bq);

multipliant ces équations par ordre, on obtient la relation très-simple, déjà remarquée ci-dessus (p. 70),

(cr){bK)={br){cK):

on trouvera. le point c, seul inconnu sur frr', avec une simple règle, en formant à volonté un quadrilatère dont les côtés

Fig. 5o.

opposés s'appuient respectivement sur les couples de points r et r', R et R'; tandis que l'une de ses diagonales passe par le sommet 6, l'autre ira déterminer c sur 6r', ce qui fera connattre p' sur la direction de cp.

.application de la méthode aux courbes géométriques d'ordre quelconque y coupées par trois droites arbitraires; construction de Vune des intersections par les autres successivement réduites à trois points en ligne droite.

Procédé général d! élimination des segments, applicable aux cas de tangence (p. 73 à 76). — Soient une courbe géométrique plane de degré quelconque m {Jig. 5i); a6c un triangle dont les côtés rencontrent les diverses branches de celte courbe en 3m points : on aura, d'après le théorème général de Carnot,

(ap) [br)(cq) = {ar)(bq){cp).

Au moyen do celle équation, 3/w— 1 points de la courbe.

Pt p'y p"j- y qy q\ ^'S • • • > T, t', t", . . . , éunil connus, on déterminera linéairement le dernier, r** par exemple. A cel

pffel, soil tracée la droite indéfinie /*''</" qui rencontre le prolongement du côté ac du triangle abc on /r; on la considérant comme transversale de ce même triangle, on aura

ar".hq".v]x = hr".c(i",ah\

Multipliant la précédente équation par celle-ci, il viendra

[ap). bi\ br' . cq . cq' . ck = ai\ ai' ,bq.bq' .( cp ) . ah.

Cette équation ne renfermant plus &^" ni ftr", sert à déterminer la position de k linéairement, comme on le verra ci-après.

Supposez maintenant que la ligne droite cq'' vienne à tourner autour du sommet c jusqu'à passer par r"; dans ce cas les points b et 5" se confondront avec r'\ et la relation ci-dessus ne changeant point de forme, donnera encore la position du point k; mais la droite 5"/" devient évidemment tangente à la courbe; donc ce procédé donnera la tangente en un point quelconque d'une ligne géométrique tracée dans un plan.

Cas des courbes de degré pair. — Pour éviter que la figure no soit trop confuse, je suppose qu'une courbe du 4" degré soit décrite sur un plan ; ce que nous allons dire de celte courbe particulière s'appliquera à toutes colles de degré pair.

8o W CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Soit tracé quelque pari, sur le plan de la courbe non représentée (Jig. 52), un triangle transversal abc dont le côté cb passe par l'un des points donnés r"^ de la courbe, auquel on veut mener une tangente, etc.; supposez d'ailleurs que chacun des

Fiç. 52.

côtés de ce triangle rencontre la courbe en autant de points qu'il est marqué par son degré : le côté cb, par exemple, aux quatre points r, r', r", r*', le côté ab en p, p', p" y /?*, enfin le côté ac aux quatre points g, q\ q", q'\ On pourra joindre ces points deux à deux, par plusieurs manières différentes, de façon à former autant de polygones distincts, chacun de douze côtés et tels notamment que le dodécagone, de forme toute particulière,

q^r"'r"p"pqq'rr'p'p"q''q"' ou i 2 3 4 5 6 7 8 9 lo 1 1 12 i,

inscrit dans la courbe, et dont tous les côtés de rang pair 2.3i 4^» etc., se confondent en direclion avec ceux du triangle abcy comme le montre la Jig. 5^ ci-dessus.

APPLIQUÉE AUX COURBES (JÉOMfiTRTQUES. Si

Cela posé, on a l'équation

{ap){br){cq) = {aq){hp) [cr];

le côlc 1 .2, ou ^'"r'", non confondu avec un côlé du triangle, et qui joint deux points q'" et v'" situés l'un sur ac et 1 autre sur hcy rencontrera le 3* côte ab de ce triangle en un point P. Pareillement, le côté 3-4 ou r" p'^ coupera le côté ac en Q, et en considérant de même tous les côtés de rang impair jusqu'au dernier 11.12 on p^q'^, qui coupe cb en R', on obtiendra six nouveaux points, P et P', Q et Q', R et R', situés deux à deux sur les côtés prolongés du triangle abc ; ces six points correspondent respectivement aux six côtés de rang impair du polygone en question, lesquels pris successivement pour transversales du triangle ahc^ donnent :

transversale (pq^), aq.hp,c\{ = cq.ap.b R,

{p"q"W), aq'\bp\cW = cq\ap'\b\{\

(r^'P'), aq' cr.bV — cq' .bi\aV\

( r'" q^V], aq'" . cv'" . ft P = vq" . bi'" . a P,

(/QV). cr\bp'.aQ' = br'.ap'.cQ\

{p"'Qr''}, ci\bir.aq = ht^\ap'\cQ,

Multipliant ces équations entre elles dans Tordre où elles se présentent, il viendra, toutes réductions faites,

cR.cR'.frP.éP'.rtQ.aQ' = 6R.&R'.aP.rtP'.cQ.rQ'.

Donc (p. 70) les points P, P', Q, Q', R, R', obtenus par la règle seule, sont situés sur une même courbe du 2» degré; c'est-à-dire, en général, sur une courbe d'un degré moitié ou sous-double de celui de la courbe primitive, puisque les raisonnements précédents sont applicables à une courbe quelconque d'un degré pair, dont les intersections avec les côtés du triangle transversal, satisfont aux conditions géométriques du principe de continuité (*).

(*) fo/>, dans les premières partiei^ du Cahier ci-après, ce qui concerne les équations à deux termes, dont les conséquences relatives au triangle transversal des courbes géométriques, particulièrement développées aux n** 148, i49i i^ de y Analyse des Transversales \i\ih\\é9^ dans