II. • (i

Si II' CAHIER. - MÉTHODE DES THx\NSVERSALES

Si, à lour tour, on irailait les six points ainsi obtenus, de la même manière et comme on Ta fait notannnent p. 71, on trouverait trois derniers points ([ui appartiendraient à une même ligne droite.

En général, les points P, P', Q, {)\ R, \V étant sur une ligne continue, il existe entre eux une dépendance telle que, tous moins un seul étant donnés, le dernier peut se déterminer avec la règle; ce qui suppose évidemment une dépendance analogue entre les 3w premiers points />, /?', p'\. . .. Concevons, en particulier, que le point r'" reste inconnu, tous les autres étant donnés, le point P sera ausî-i inconnu puisqu'il se trouve sur r"'^'", mais les cinq autres P', Q, Q', R, R' étant donnés immédiatement, P pourra (p. 71) se déterminer par leur moyen avec la règle seule, puisqu'il est sur la même conique; donc aussi le*point r'" sera constructible avec la règle; seule.

Remarque, — Dans le cas où le degré de la courbe décrite serait une puissance quelconque de 2, on trouverait par des opérations successives qui s'effectueraient avec la règle seule, sur les côtés du triangle, de nouveaux points appartenant ci des courbes d'un degré successivement sous-double, et l'on parviendrait définitivement à assigner trois derniers points qui devraient être en ligne droite. Si donc l'un des 3/?i premier-i points appartenant aux trois côtés du triangle abe était inconnu, il pourrait se déterminer par la connaissance des autres; car il est visible que les constructions précédentes, étant appliquées aux points connus, donneront deux derniers points aussi connus de position, lesquels en détermineront à leur tour un troisième, d'où dépendra, par des constructions absolument inverses, le point cherché de la courbe. On conçoit au reste, que, dès qu'à un point primitif, il ne correspond qu'un seul côté inconnu du premier polygone, il n'y aura aussi, dans chacune des constructions successives, qu'un seul point

le tome VIII du Journal de Crellc^ consistent en ce que les points d'intersection mutuelle doivent (Hre on nombre pair ou zéro sur les proloiipements des côtés du triangle ; la relation à dtux Utuics entre les segments ne comportant explicitement aucun signe algébrique.

qui reste inconnu; donc, quand la série des trois derniers points viendra à être déterminée, toutes les autres séries de points le seront simultanément.

D'ailleurs ces constructions faciles, quoique multiples, étant absolument indépendantes des sommets a. A, c du triangle,

Fif;. 53.

elles ne cesseront pas d'être exécutables, r'est-à-dire qu'elles ne deviendront pas illusoires, quand abc s'évanouira; donc, par la loi de continuité, elles devront encore déterminer le dernier point demandé. Cette observation s'applique aussi à la recherché de la tangente en un point donné.

Cas des courbes de degré impair, — Passons maintenant aux lignes géométriques d'un degré quelconque impair, et, comme ri-dessus, supposons-les, pour plus de facilité, du troisième degré. Ce que nous dirons de celles-ci s'étendra facilement à toutes les courbes d'un degré donné impair (*).

(*) M. Mannheim me fait observer, avec raison, que l'on peut toujours ramener ce dernier cas au précédent par l'addition d'une droite quelconque transversale du triangle abc\ c« que j'ai fait en d'autres occasions,

Dans ce cas il se trouve trois points pp' p'\ (iq'q^y ir'r^sur chacun des côtés du triangle; joignez alternativement deux points y!>"et q" pris sur les côtés a& et 6c, puis deux points q' et r" pris sur les côtés bc et ac, et ainsi de suite, il ne vous restera plus à la fin qu'un seul point r, quelle que soit la courbe : en prenant successivement ces droites pour des transversales du triangle abc^ il viendra comme ci-dessus,

transversale p"q"K' bprcq\aW = ap\bq\cW.

» r" ç' P' ar" .cq'.bV' = cr" bq' .a V\

)) p' Q' /' bp' . ar' . t Q' = ap' .cr^.b Q',

M pq^ bp,cq.aï{=zap.bq.cï{^

d'ailleurs, on a par défmition,

{ap) {bq) (cr)=(bp) (cq) {ar);

multipliant et réduisant, on obtient

cr.flR'.6F.cQ'.aR = rtr.cR.cR'.aF.6Q'.

Par le point restant r, soit menée à volonté une transversale rQP dans le triangle abc, elle donnera

ar.cQ.6P = cr. 6 Q.aP;

multipliant à son tour la précédente équation par celle-ci, il vient

«R.rtR'.6P.6F.cQ.cQ'=cR.cR'.aP.aP'.fr0.6Q'.

Les six points P, Q, P', Q', R, R' sont donc sur une même section conique, ou en général sur une courbe. du degré

- (m + i), /w étant impair.

Remarque. — On voit, par cette discussion, qu'on pourrait prendre le point Q ou P à volonté; d'après cela, il semble qu'il n'y ait aucune liaison nécessaire entre les points P', R',

en la conduisant toutefois par l'une des intersections à considérer; mais cette addition constituerait une complication et un changement de méthode que j'ai voulu éviter dans ces premières tentatives de générahsatiun.

APPUgUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. 85

R, (y et r qui sont les derniers points obtenus; mais il est visible que le point r est déterminé avec la condition que, si par ce point on mène à volonté une droite rQP, les six points P,P', Q,Q', R, H' soient toujours sur une section conique. Or, celte seule condition suffit pour déterminer la position de r : (»n effet, qu'on prenne Q à volonté, on trouvera ensuite, avec la règle seule, le sixième point P qui, avec les cinq autres Q, P', Q', R, R', doit être sur une même conique; traçant enfin PQ, le point r où cette droite coupera le côté ac, sera le point demandé, etc. D'après ce qui précède, ce point restera le même, quel que soit le point Q qu'on ait choisi.

Pour compléter la solution du problème, on construira, à l'aide des 6 points dont on vient de parler et par la règle seule, 3 nouveaux points qui seront situés en ligne droite. Par conséquent l'un de ces points se déterminera au moyen de 2 autres : en remontant ensuite aux 6 points précédents, on obtiendra celui de ces points qui se trouve seul inconnu ; ce dernier enfin fera connaître celui qu'on cherche parmi les c) points, /?,... Çy ' ' r, dont 8 sont donnés à priori.

Si la courbe était du 7' degré, on aurait 21 points d'inierseclion sur les côtés du triangle a6c, 7 sur chacun d'eux; en laissant à part l'un de ces 21 points, on en conclurait d'abm>d, comme ci-dessus, 10 autres; si, par le point restant, on mène enfin une droite arbitraire qui coupe les deux côtés du triangle abc distincts de ce point, en de nouveaux points, on aura en tout 12 points qui devront appartenir à une courbe du 4* degré; l'un des 21 premiers points étant donc inconnu, il y en existe un parmi les 12 nouveaux qui le sera aussi, et il n'y eu aura qu'un seul. En traitant ces 12 nouveaux points appartenant à une courbe du 4* degré comme nous l'avons fait cidessus, on en trouvera 6 autres, situés sur une conique, puis en remontant, on arrivera au point censé inconnu.

On saura donc déterminer le dernier point d'intersection d'une courbe du degré m avec un système de trois droites données de position, quand on connaîtra les 3m— i autres intersections appartenant à ces droites.

Tracé des tangentes. — De ce qui précède et en se rappelant ce qui a été dit primitivement sur la manière de mener une

langenie en un point quelconque d'une courbe géométrique donnée, on en conclura facilement le moyen de tracer cette tangente avec la règle seule. Il suffira, pour cela, de décrire un triangle dont un des sommets soit en ce point, et dont chaque côté coupe du reste la courbe en autant de points qu'il y a d'unités dans son degré; de remarquer qu'alors il y a deux points sur les côtés adjacents à ce sommet, qui se sont confondus en un seul avec lui, en sorte que la droite qui les joint esl une tangente à la courbe. Le point où cette tangente rencontre le côté opposé du triangle sera déterminé parles mêmes opérations que ci-dessus, et il n'y aura rien à changer ni aux constructions, ni aux raisonnements.

Si le point auquel on veut mener une tangente était à Tinfini, auquel cas les côtés adjacents du triangle deviendraient parallèles entre eux, la construction serait encore applicable; car étant indépendante des sommets du triangle, elle donnerait ainsi la position même de l'asymptote correspondante de la courbe; mais on voit qu'il faudrait en connaître nécessairement la direction.

Remarque spéciale, — Une courbe géométrique plane étant du*dogré m, si l'on en connaît à priori un point multiple de l'ordre m — i, on pourra la décrire par points avec la règle seule, tracer ses tangentes, etc. (*).

Détermination et tracé des coniques oscuiatrices en un point

donné d'une courbe géométrique,

Problèub 1. — Lne courbe géométrique étant décrite sur un plan, déterminer pour un point quelconque de son péri-mètre, la conique osculatrice du second ordre en ce point, as^ sujettie à satisfaire, en outre, à d* autres conditions.

Considérons un triangle quelconque abc, situé sur le plan de la courbe pqp'--* {Jig» 54), comme transversal par rapport à

(*) Pair {'Analyse des transversales, citée dans la précédente note (l'* partie, § IV, n* 198 et suivants); celte analyse contient le développement de ces premières idées.

APPLIQUÉE AUX COURBKS GÉUMÉTRIQUKS. 87

celle courbe que nous supposerons, pour plus de simplicité, du 3' degré seulemenl; on a, comme on sali,

{ap) (hq) (6T) = (ar) (cq) (bp).

Menons par les trois points p\ p" et q'' une section conique quelconque : elle rencontrera les côtés du triangle abc prolon-

FifT. ^.