OA.OB = OA

Si pareille chose arrive pour le second cercle (G), les cordes communes subsisteront toujours, et Ton aura, pour déterminer celle à distance finie,

Oa' = ÔÂ'' ou 0A = 0Y;

Ce sera donc la perpendiculaire élevée au milieu de la distance ce des centres.

33. Si les deux circonférences, au lieu de se réduire à des points, devenaient concentriques en conservant des dimen* sions finies, la corde qui leur est en général commune à l'infini, deviendrait (26) une corde idéale de contact, et la même chose aurait lieu si l'on considérait un nombre quelconque de circonférences de cercle. Ainsi :

a Deux ou un plus grand nombre de circonférences de » cercle concentriques, et situées sur un même plan, ont une

)> corde idéale de contact commune à l'inûni, ou se touchent

)) en deux points imaginaires à TinOni. »

34. Enfin, si l'on suppose que les circonférences de cercle, toujours en nombre quelconque, au lieu d'être concentriques, aient une situation arbitraire sur le plan qui les renferme à la fois, leur système aura également une corde idéale commune è! l'infini (25); mais ce ne sera qu'une corde simple et non une corde de contact ; c'est-à-dire que :

« Le système d'un nombre quelconque de circonférences » de cercle, situées d'une manière arbitraire sur un plan, a > toujours une corde idéale à l'infini commune à la fois à tous » les cercles dont il s'agit. »

35. Des cercles placés arbitrairement sur un même plan ne sont donc pas tout à fait indépendants entre eux ; ils ont idéa* lement deux points imaginaires à l'infini en commun, et, sous ce rapport, ils doivent jouir de certaines propriétés appartenant à la fois à tout leur système.

L'examen que nous allons faire des propriétés des cordes communes aux circonférences de cercle pourra servir à confirmer, pour ce cas particulier, la justesse des définitions et des rapprochements que nous venons d'établir; en nous y arrêtant un instant, nous aurons principalement en vue les propriétés qui nous seront utiles pour l'examen des sections coniques en général, et nous ne dirons des autres, qui sont aujourd'hui pour la plupart généralement connues, que ce qui pourra paraître indispensable à l'intelligence des premières.

36. Soit mn [fig. i55) une corde idéale commune à deux circonférences de cercle (C) et (C); appelons M et N les deux points où la coupent à la fois les hyperboles supplémentaires qui lui correspondent ; d'un point quelconque P de cette corde menons arbitrairement une sécante PF dans le cercle (C), et une autre PF' dans le cercle (C ) : on aura (28), en tant que la corde m/i appartient au cercle (C) et n son hyperbole supplémentaire,

PE.PF = PÔV()M\

DES SECTIONS CONIQUES. SgS

cl, en tant quelle appartient à l'autre cercle (C),

PE' . PF' = PO -f- OM ; donc PE . PF = PF. PF,

quel que soit le point P qu'on ait choisi sur la corde mn.

Si l'on tratjait les tangentes Pï, PT' aux mêmes cercles, elles seraient évidemment égales ; ainsi :

« La corde idéale commune à deux circonférences de cercle » est le lieu des points du plan de ces cercles pour lesquels >> les tangentes correspondanics sont égales. »

Or cette propriété et celle qui précède, toutes deux propres à construire la corde dont il s'agit, appartieimeni aussi aux cordes réelles communes à deux circonférences de cercle ; donc les cordes idéales ne diffèrent en rien des cordes réelles: les unes et les autres répondent à la même question et se construisent de la même manière ; la seule distinction nécessaire, c'est que les unes appartiennent à deux points imaginaires, et les autres à deux points réels communs à ces mêmes cercles.

37. Puisque le produit des segments PE, PF est égal à celui des segments PE', PF', les quatre points E, F, E', F' appartiennent à une même circonférence de cercle : la réciproque est également vraie; donc:

a Si l'on décrit une circonférence de cercle quelconque qui » coupe celles fC) et (C ) en quatre points E, F, E', F'; qu'on » trace ensuite les cordes EF et E'F', elles iront concourir » sur la corde commune mn ; cette corde sera donc, dans w tous les cas, très-facile à obtenir, qu'elle soit réelle ou D idéale. »

Quand les sécantes PF et PF' deviendront tangentes en T et T aux cercles donnés, ce qui peut avoir lieu de quatre manières différentes, la circonférence EFF'E' deviendra ellemême tangente en T et T' à ces cercles, et, réciproquement :

« Si une circonférence de cercle touche d'une manière » quelconque deux cercles (C) et (C), les tangentes aux deux i> points de contact iront concourir, dans tous les cas pos- D sibles, sur la corde mn qui leur est commune. »

Ces propositions demeurent toutes applicables au cas où

3^4 V« CAfflER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES Tune des circonférences données devient infiniment petite ou se réduit à un point, car la corde commune, quoique idéale, subsiste toujours (31); il en est de même du cas où les deux circonférences données se réduisent à la fois à un point. Mais nous reviendrons plus tard sur ces circonstances particulières; retournons au cas général.

38. Quand deux circonférences de cercle, situées sur un même plan , se rencontrent en deux points réels, et ont par conséquent une corde réelle commune, on peut en construire une infinité d'autres passant par ces points et ayant la même corde qu'elles. Pour déterminer une quelconque de ces circonférences, il faudra l'assujettir à une condition nouvelle, par exemple à celle de passer par un point donné ou de toucher une droite également donnée sur son plan ; or les propriétés qui précèdent serviront à tracer cette circonférence, sans qu'il soit besoin de recourir aux points de l'intersection commune des cercles donnés, et seulement en employant la corde qui passe par ces points, de sorte que la construction demeurera applicable même au cas où cette corde serait idéale. Donc, quand deux circonférences de cercle ont une corde idéale commune, et se coupent par conséquent en deux points imaginaires situés sur cette corde, on peut aussi construire une infinité de nouvelles circonférences toutes réelles, ayant la même corde en commun avec les premières, et qui passent ainsi idéalement par ces deux points imaginaires.

La même chose aurait lieu évidemment à l'égard des deux points réels ou imaginaires, situés à la rencontre d'une droite quelconque et d'un cercle.

39. Les deux séries de cercles qui nous occupent, étant déterminées et construites de la même manière par rapport à la corde réelle ou idéale qui leur est commune, doivent nécessairement jouir des mêmes propriétés.

Ainsi, que d'un point de la corde commune à l'une ou l'autre série, on mène des tangentes aux divers cercles de cette série, toutes ces tangentes seront égales (36), et les points de contact seront par conséquent rangés sur une seule circonférence de cercle, ayant son centre sur la corde commune au point même d'où sont issues les tangentes; &e plus, ce cercteet tous

ses semblables y coupant à angles droits tous ceux de la série qu'on examine , auront eux-mêmes évidemment une corde idéale commune (36), qui est la ligne des centres de cette série ; mais cette corde sera nécessairement idéale quand l'autre sera réelle, et vice versa.

Le cas où la corde commune à une série de cercles est Idéale offre une circonstance particulière qui mérite d'être remarquée en passant : c'est que, parmi rinfinité de cercles dont elle se compose, il en est toujours deux qui ont des dimensions infiniment petites, ou qui sont réduits à des points placés symétriquement sur la ligne des centres à l'égard de la corde commune. Ces points sont précisément ceux où passent à la fois toutes les circonférences de cercle de la série /-éciproque rencontrant à angles droits celles de la première; ainsi Ils sont faciles à construire. En les appelant cercles ou points limites de la série à laquelle ils appartiennent, on pourra énoncer ce théorème :

Théorème I. — Si, d'un point quelconque de la corde réelle ou idéale commune à une série de circonférences de cercle situées sur un même plan, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, la suite de tous les points de contact déterminera une nouvelle circonférence de cercle passant par les points limites du système quand ces points subsistent, et, si l'on considère de plus le système de toutes les circonférences pareilles, coupant orthogonalement les premières, elles auront réciproquement la ligne des centres primitifs pour corde réelle ou idéale commune à tout leur système,

40. En général, oh voit que les cordes idéales des cercles ^se comportent absolument comme les cordes réelles, et ne peuvent être distinguées dans les recherches. On doit donc facilement concevoir que tout ce qu'on a pu jusqu'ici découvrir des unes s'applique immédiatement aux autres; ainsi, par exemple, sachant que trois cercles qui s'entrecoupent d\ine manière réelle sont toujours tels, que les cordes qui leur sont deux à deux communes vont concourir en un même point, on pourra énoncer cette proposition d'une manière beaucoup plus générale» ainsi qu'il suit :

T&tORÈttE II. — Quelle que soit la situation respective de

396 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES trois cercles sur un même plan, les trois cordes réelles ou idéales, qui leur sont deux à deux communes, vont toujours concourir en un seul et même point (*).

Ce point jouit de propriétés nombreuses et remarquables. C'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a été nommé centre radical des trois cercles par M. Gaultier de Tours, qui a pareillement désigné par l'expression d*axe radical de deux cercles, ce que nous avons jusqu'ici appelé leur corde réelle ou idéale commune. Au reste, toutes ces propriétés, aussi bien que celles qui précèdent, étant généralement connues des géomètres (**), nous n'insisterons pas davantage.

bl. La série des cercles que nous venons d'examiner, qui ont, outre leur corde idéale à l'inflni, une autre corde réelle ou idéale commune à une distance donnée, jouit d'un grand nombre de propriétés remarquables qu'il serait intéressant d'étudier d'une manière complète pour l'objet subséquent de ces recherches ; mais nous nous bornerons, pour le moment, à exposer quelques-unes de celles qui se rattachent plus particulièrement au sujet qui nous occupe, et qui deviennent par là susceptibles d'être démontrées d'une manière assez Simple sans le secours de considérations étrangères.

D'un point A {Jig, i56), pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles (C), (C),... ayant une corde mn, réelle ou idéale, commune à distance finie, soient menées deux tangentes AT et AT' à chaque cercle dont elle se compose ; soit joint le point A au centre C de ce cercle par une droite AC ; soii enfin tracée la corde de contact ou polaire TT' correspondante à A : je dis, en premier lieu, que la suite de tous les points B' de l'intersection mutuelle de ces deux droites sen/ sur la circonférence d'un cercle passant par le point A, et ren-

(*) Ce théorème reçoit sa démonstration directe de l'art. 36.

( '•^ ) XVI* Cahier du- Journal de l'École Polytechnique, On supprime ici une note historique qui se trouve textuellement rapportée dans le Traité des Propriétés projectipes de 1822, et par laquelle je revendique sinon mes droits de priorité, du moins Tancienneté des recherches relatives aux systèmes de cercles, qui se trouvent consignées dans le I*^ Cahier du précédent volume des applications d'Jnafyse et de Géométrie (i96Z).

contranl orthogonalem<>ni' tous ceux de la série proposée,

circonférence dont le ccntri: P est nécessaircmenl (36) sur

la corde mn commune à tous les cercles de celte série.

En efTet, soit iracé Je rayon CT perpendiculaire h la ten-

gente AT, on aura, dans \f triangln r4;cian(;le ACT, en tant que le point B' appartient ù la corde TT,

(t' = CB'.CA;

soit trace aussi le cercle ( P), passant par le point A et coupant le cercle (0) orthogonalemcnt au point Q (39), les rayons CQ et PQ f|ui lui correspondent seront réciproquement langenls à ce cercle; donc on aura aussi, en tant que le point B' est supposé sur la droite CA et sur la circonférence (P),

cq*=ct' = ca.cb',

relation qui, étant la même que la précédente, apprend que le point B', intersection de TT et de AC, appartient, en effet, à la circonférence fi\e (P), orthogonale aux cercles de la suite (C) (39), comme il s'agissait de le prouver.

Si l'on fait attention que le point B' n'est autre chose que le point milieu de la corde de contact TT, on pourra énoncer ainsi ce thorème :

TatoikHs III, — Si, d'un point pris à volonté sur le plan

398 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTÏVES d'une série de cercles ayant une carde réelle ou idéale comrmune, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, tous les points milieux des cordes de contact correspondantes seront distribués sur une nouvelle circonférence de cercle coupant orthogonalement les premières,

42. En second lieu, puisque tous les points B' appartiennent à la circonférence de cercle invariable ( P), les cordes de contact ou polaires TT', qui correspondent au même point A et à chaque cercle (C) de la suite proposée, iront toutes concourir au point invariable A' de la circonférence ( P), situé à Tcxtrémité du diamètre AP qui passe par A; proposition qu'on peut énoncer ainsi :

Théorème IV. — Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles ayant une cof'de réelle ou idéale commune, on mène deux tangentes à chaque cercle dont elle se compose, toutes les cordes de contact ou polaires correspondantes iront concourir en un point unique.

43. Les points A et A' jouissent évidemment de propriétés réciproques à Tégard des cercles de la suite, puisque, si Ton appliquait au point A' le raisonnement fait sur le point A, on trouverait que le point de concours correspondant est encore sur le cercle (P), à Textrémité du diamètre invariable A'PA; ainsi ces deux points sont réciproquement les concours des polaires qui leur correspondent.

Quand le point A est pris sur la corde commune mn, son réciproque À! s'y trouve nécessairement aussi, car la direction du diamètre AP se confond alors avec celle de cette corde; ainsi encore :

Théorème V. — Tous les points de la corde commune à une suite de cercles tracés sur un même plan, sont tels, que les polaires correspondantes vont concourir réciproquement en des points appartenant à cette même corde.

44. Cette proposition peut, au reste, être considérée comme un corollaire très-simple de ce qui a été dit à l'article 37; on voit, en outre, qu'elle s'applique aussi à la corde idéale qui est commune à Finfini à un système de cercles quelconques

DES SECTIONS CONIQUES. Sgg

situés sur un plan, car les polaires d'un point de cette corde deviennent évidemment alors parallèles entre elles et concourent réciproquement à Tintini , ce qui peut servir à justifier le principe de l'article 34.

Le cercle (P), qui passe parle point A, et qui rencontre orthogonalement tous les cercles de la série proposée, est évidemment unique pour un même point donné A ; mais il est variable en même temps que ce point. D'après l'observation faite à l'arlicle 39, la suite de tous les cercles semblables doit avoir la droite (]C' pour corde réelle ou idéale commune, selon que celle mn du système proposé est, au contraire, idéale ou réelle, et ils doivent tous passer, dans le premier de ces deux cas, par les points K et L, qui représentent les cercles infiniment petits limites de tous ceux de ce système. Or, de cette remarque, on peut déduire une proposition qui nous sera particulièrement utile par la suite.

Soient K et L [fig. 157) les deux points par où doivent passer toutes les circonférences orthogonales ; mn la droite

qui renferme leurs centres et qui sert de corde idéale commune à la suite examinée ; soit enfin ED une droite, donnée arbitrairement sur son plan, qu'on suppose devoir être parcourue par le point A ; je dis que tous les réciproques à ce point seront situés sur une section conique passant par les points K et L.

4oo V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Concevons, en effet, une circonférence quelconque ( P) passant par K et L; elle ira rencontrer la droite donnée aux deux points A et B, et, si Ton trace les diamètres APA' et BPB', leurs nouvelles extrémités A' et B' appartiendront évidemment (bS) à la courbe des réciproques de ED. Or la corde A' B', qui passe par ces extrémités et coupe KL en S, est parallèle à la droite donnée ED dans toutes les positions qu'elle peut prendre en rendant variable le cercle (P); de plus, on a pour toutes ces positions