SO : OA :: O'D' : C'A, SO : OB :: O'F : O'B

ou, en multipliant par ordre,

et enfin

SO :OA.OB::0'iM' :0'A.O'B::B': A»,

A et B étant les demi-diamètres conjugués à la direction de la sécante idéale MN (9).

Telle est la relation qui doit exister entre les lignes de la figure, pour que les sections que Ton considère soient des circonférences de cercle; or, cette relation apprend que la distance SO doit être égale (9, 12) à la demi-corde interceptée par MN dans la section conique supplémentaire de la proposée, qui correspond à la direction de celte droite; donc cette distance est constante, et, par conséquent (*) :

a 3° Le centre S de projection doit se trouver sur une cir- » conférence de cercle décrite du point 0 pour centre, avec » l'ordonnée de la section supplémentaire dont nous venons » de parler pour rayon. »

(*) La marche que nous venons de suivre pour établir cette proposition est entièrement rigoureuse et ne souffre aucune restriction; car on peut toujours supposer (ju'on ait choisi la corde M'N', de façon à rencontrer la section conique; mais on peut y arriver d'une manière beaucoup plus directe et plus simple, en invoquant le principe de continuité. En effet, CM' étant une ordonnée commune à la fois au cercle de la section circulaire et à la coniqne (C), on doit avoir, quelle que soit cette section,

CM' ou 0'D^0E^•0'A.0'B::B^:A^

A et B étant les demi-diamètres conjugués à la direction de MN. Or, pour

436 y* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

Comme il n'y a aucune autre condition à remplir, on peut conclure qu'il existe une infinité de positions du centre auxiliaire S, qui satisfont aux données de la question proposée; mais, pour cela, il faut que la droite donnée MN, sans cesser d'avoir une situation générale et indéterminée à l'égard de la courbe, soit pourtant de l'espèce de celles que nous avons nommées cordes idéales, c'esl-à-dire qu'elle ne doit pas rencontrer cette courbe; autrement, en effet, le rayon SO et, par suite, la circonférence qui renferme le centre de projection deviendraient entièrement imaginaires.

Ainsi, la proposition énoncée en tète de cet article est vraie pour une série de positions générales et indéterminées de la droite que l'on considère, et elle cesse de l'être pour une autre série de positions semblables de la même droite, ou, si l'on veut, elle devient purement idéale pour les positions qui correspondent à cette série. C'est dans ce sens seulement que nous avons prétendu dire, dans l'énoncé, que le principe avait lieu en général, à peu près comme on pourrait dire que, «k d'un » point donné sur le plan d'un cercle, on peut, en général, » mener deux tangentes à ce cercle ». Cette manière de s'exprimer étant universellement admise dans l'Analyse des coordonnées, nous ne croyons pas qu'on puisse la récuser en Géométrie, ni, par conséquent, avoir des doutes sur le sens que nous lui attribuerons dans ces recherches.

La construction du problème que nous venons de résoudre dérive immédiatement de tout ce qui précède, et ne peut offrir aucune espèce de difTicultés; au lieu de la rapporter ici, nous résumerons en peu de mots les conséquences ci-dessus qui la déterminent, en les énonçant sous la forme d'un théorème, comme il suit.

Théorèmb X. — i' ne section conique et une ligne droite étant

la section circulaire infiniment petite SMN, qui passe par le sommet

S, (VD'.O'E' devient SÔ* , et O'A.O'B se change, de son côté, en OA.OB, en sorte que la relation trouvée prend cette nouvelle forme

sô': OA.OB ::B':A%

comme il s'agissait de le démontrer. (Noie tle 1818.)

DES SECTIONS œNIQUES. 437

données à volonté sur un plan, la suite de tous les centres de pix)jection susceptibles de projeter la figure sur un nouveau plan^ de façon que la droite passe à r infini sur ce plcui et que la section conique y devienne en même temps une circonférence de cercle, est distribuée sur une autre circonférence de cercle, unique et dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de la droite donnée, considérée comme corde de la section conique correspondante, qui a précisément ce point milieu pour centre, et pour diamètre réel la corde interceptée par cette droite dans la section conique conjuguée à sa direction et supplémentaire de la proposée {*)• Quant à la direction du nouveau plan de projection, elle est parallèle à celle du plan qui renferme à chaque instant la dtvite donnée et le centre auxi^ liaire de projection.

89. La question qui vient de nous occuper donne lieu à quelques observations intéressantes qu'il ne sera pas hors de propos de faire connaître.

Nous ferons d*abord remarquer que le centre et le plan du cercle qui contient tous les sommets des surfaces coniques projetantes, ne cessent jamais d'avoir une existence réelle» quoique cette circonférence puisse d'ailleurs devenir imaginaire. La raison en est qu'il règne une très-grande analogie entre la question que nous avons résolue (fig. i65) pour la section conique (C) et celle où l'on se proposerait la même question pour la section supplémentaire correspondante à la droite donnée MN; car tout ce qui a été dit de l'une peut s'appliquer immédiatement à l'autre, de sorte que le centre et le plan du cercle qui renferme les sommets auxiliaires S, appartiennent à la fois et indistinctement à toutes les deux; seulement, cette circonférence elle-même devient imaginaire pour l'une quand elle est réelle pour l'autre, et vice versa. D'ailleurs on peut facilement s'assurer que le même centre et le même

[*) Algébriquement, cela revient à dire que le carré de ce diamètre est égal au carré de la corde interceptée dans la section conique donnée par la droite correspondante, mais pris avec un signe contraire ; de sorte que ce diamètre est réel ou imaginaire selon que Tinverse a lieu pour la corde correspondante. ( Note de 1818.)

438 V CAHTEK. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

plan de projedion donnent simultanément une circonférence de cercle pour Tune des sections coniques, et une hyperbole

équilatèrc pour l'autre; car la relation O'M' =0'D'.0'E', d'où nous sommes partis dans le cas du cercle, peut aussi appartenir à l'hyperbole équilatère, dont O'M' est l'ordonnée et D'E' le diamètre principal, pourvu que le point 0' soit sui>posé dans le prolongement et non* sur la direction même de ce diamètre.

Ce qui vient d'être observé pour le centre et le plan du cercle qui renferme le sommet auxiliaire S, a également lieu pour le point P, projection unique, sur le plan de la base (C), de tous les centres I des sections circulaires M'N'D'E'; c'està-dire que ce point ne cesse pas d'être réel quoique le sommet S devienne tout à fait impossible. En effet, d'après l'observation précédente, il doit appartenir à la fois à la section conique proposée et à celle qui lui est supplémentaire par rapport à la direction de MN; en sorte qu'il est tantôt la projection des centres des sections circulaires, et tantôt la projection des centres des hyperboles équilatères correspondantes à la section conique proposée. Mais on peut, en outre, démontrer que le point P est entièrement invariable sur le plan de celte section conique, en faisant voir qu'il est le pôle de la corde ou sécante idéale MN.

D'abord il est visible que tous les centres I des sections circulaires D'E', sont placés sur une droite unique passant par S et située entièrement dans le plan diamétral correspondant SAB, en sorte que le point P, qui est un de ces points, se trouve situé sur le diamètre AB, conjugué à la direction de la droite indéfinie MN.

Secondement, si, au lieu de considérer, comme dans l'article précédent, une section circulaire quelconque M'N'D'E', on s'occupe en particulier de celle TT'DE qui correspond à P, on obtiendra, par la comparaison des triangles APD et AOS, BPE et BOS, respectivement semblables, à cause des parallèles DE et 50,

OA:SG::PA:PD, OB:SO::pb:PE = pD;

d'où