Théorème XII. — Une figure plane quelconque qui reri

ferme une certaine section conique et un point, peut, en gêné'

rai, être considérée comme la projection d'une autre, pour

laquelle la section conique est devenue un cercle, ayant pré^

cisément pour centre la projection de ce point.

Ce principe est un corollaire très-simple du Théor. XI.

44o V CAHIER, - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

En effet, soient (C) et P (Jig. i65) la section conique et le point que Ton considère; si Ton détermine la droite MN, polaire de P, elle sera évidemment telle, qu'en lui appliquant» ainsi qu'à la section conique (C), la question résolue dans ce qui précède, le cercle de projection aura précisément pour centre (89) la projection du point donné P.

On voit, d'après cela, que la projection sera possible toutes les fois que le point P se trouvera situé dans l'intérieur de la section conique, ce qui laisse d'ailleurs sa position entièrement arbitraire, et que, au contraire, la projection cessera d'être réelle ou deviendra purement idéale toutes les fois que ce point sera pris, d'une manière également arbitraire, au dehors de cette même courbe. Ainsi, le principe qui nous occupe est assujetti, en tout, aux mêmes conditions et au\ mêmes limitations que celui du n"^ 88; comme lui, il est applicable à toutes les sections coniques possibles, et, en particulier, à la circonférence de cercle.

92. Théorème XIII. — Une figure plane quelconque qui renferme deux sections coniques, peut, en général, être regardée comme la projection d*une autre, pour laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle.

Ce principe peut être regardé comme un corollaire immédiat et presque évident de ce qui a été dit aux n^ 13, 14 et 88 ; car, d'après le v? ih, deux sections coniques situées sur un même plan ont, en gérféral, des cordes idéales communes, et, d'après le n* 88, il parait évident que, si l'on met l'une de ces coniques en projection, de façon qu'elle devienne un cercle, et que l'une des cordes idéales en question passe à l'infini, l'autre de ces coniques deviendra nécessairement aussi une circonférence de cercle sur le plan de projection.

Quoique cette démonstration soit satisfaisante en elle-même, il nous parait cependant utile, pour l'objet ultérieur de ces recherches, de faire voir qu'il n'existe, en effet, sur le plan des deux courbes, que les seules cordes idéales communes qui puissent remplir les conditions de l'énoncé du principe. Pour cela, nous nous proposerons de résoudre d'une manière complète la question suivante :

Étant données deux sections coniques quelconques sur un

même plan, déterminer la suite des centres et des plans de projection tels, que ces sections coniques soient représentées sur ces derniers suivant deux circonférences de cercle ( * ).

Soient (G) et (C) les deux sections coniques données; nommons toujours S le centre auxiliaire de projection; il s'agit de déterminer ce centre de façon que les surfaces coniques projetantes, qui ont les courbes (C) et (C) pour bases, soient susceptibles d'être coupées chacune par un même plan, suivant une circonférence de cercle.

Imaginons, pour un moment, que la question soit résolue, si en effet elle peut l'être, et qu'on connaisse par conséquent la position du sommet S et celle du plan qui doit couper les deux cônes correspondants suivant des cercles; concevons, de plus, qu'on mène par ce sommet un plan parallèle au précédent, ce plan viendra couper celui des deux courbes (C) et (C) suivant une certaine ligne droite que j'appelle X, qui nous est inconnue, et dont nous nous proposons actuellement de déterminer la position.

D'après ce qui a été démontré au n®88, la droite inconnue X, qui se trouve nécessairement projetée à l'infini sur le plan des deux cercles, doit être telle que, si on la considère comme corde de la courbe (C), et que, par son centre, on lui

(*) Cette question inléressanle a été proposée, à peu près dans les mômes termes, aussi bien que la démonstration du principe qui en est la conséquence, à la page 128 du tome VII des Annales de Mathématiques, M. Brianchon s'est même servi, longtemps auparavant, de ce principe dans un Mémoire inséré au X* cahier du Journal de t École Polytechnique ^ mais sans en faire connaître d'ailleurs la démonstration. Je ne sache pas que, depuis rappel fait aux géomètres dans les Annales^ personne soit encore parvenu à une démonstration ou à une solution bien satisfaisante. L'ébauche purement algébrique qui en a été publiée dans le volume déjà cité des Annales est plutôt propre, en effet, à faire sentir la difficulté de la question qu*à la résoudre. Au reste, cette difficulté tient au fond même des choses, et dépend très-peu de la marche algébrique que l'on peut mettre en usage; car TAnalyse doit naturellement conduire, dans tous les cas, pour la courbe lieu des centres auxiliaires de projection , à une équation du 12* degré, décomposable en facteurs du 2* degré, représentant autant de circonférences de cercle, mais inséparables d'une manière purement rationnelle. ( Note de 1818. )

44a V CAfflER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES élève un plan perpendiculaire, ce plan passe par le somnnet S; même chose doit avoir lieu à l'égard de la droite X, consi^iérée comme corde de Taulre section conique (C). Or, d'un même point S on ne peut abaisser qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée; la droite X doit donc être telle, que son milieu, quand on la considère comme corde de la conrbe (C), et son milieu, quand on la considère comme corde de (C), se confondent en un seul et même point.

Il a été, en outre, démontré au même endroit, que la distance de ce point au sommet S doit être égale à la demi-corde interceptée par X, dans la section conique supplémentaire qui lui est conjuguée relativement à (C), et, par conséquent, aussi égalée la demi-corde qu'elle intercepte dans la supplémentaire correspondante de (C). Donc ces deux cordes doivent être égales entre elles et se confondre, puisque d'ailleurs elles ont même point milieu; ce qui ne peut avoir lieu évidemment, à moins (13) que la droite X ne soit une corde idéale commune à la fois aux sections coniques (C) et (C).

Maintenant, si Ton applique à la droite X, ainsi déterminée de position sur le plan des courbes (C) et (C), la solution obtenue au n° 88 cité, soit qu'on la combine avec la courbe ( C) ou avec la courbe (C), le centre ou la suite des centres S de projection ainsi trouvés, rempliront toutes les conditions du problème à l'égard des plans de projection correspondants; plans dont la direction est constamment parallèle à celle du plan qui renferme la droite connue X et le centre de projection considéré en particulier.

En rapprochant ces conséquences de celles du n"" 88» on en déduit la proposition suivante.

Tréorèhe XIV. — Tous les points de l'espace qui sont su^ ceptibles de projeter à la fois, suivant des cercles, deux sections coniques quelconques situées sur un même plan, sont distribués sur autant de circonférences de cercle déterminées qu*iljr a de cordes idéales communes aux deux courbes prthposées. Ces circonférences sont situées dans des plans respeoiivement perpendiculaires sur le milieu de chacune de ces cordes, elles ont précisément ces milieux pour centres, et pour diamètre respectif la partie interceptée par chaque oowde

idéale dans les sections coniques supplémentaires des propo^ sées, qui correspondent à cette même corde. Enfin, le plan de projection qui donne à chaque fois des sections circulaires, est parallèle à celui qui passe par la corde idéale et par le centre de projection considérée en particulier.

93. Nous aurions pu énoncer celle proposilion d'une manière moins reslreinle, en disanl qu'il y a aulanl de circonférences de cercle, lieux des centres auxiliaires de projeclion, qu'il exisle de cordes communes aux deux seciions coniques proposées; car la dernière condllion de l'énoncé délermine quelles soni celles de ces circonférences donl les diamèlres • étant imaginaires, sont, par là même, impossibles à construire (*). On voit, en effet, que ces circonférences appartiennent aux cordes réelles communes aux deux courbes, puisque ces cordes ne sauraient couper les sections supplémentaires correspondantes. Au reste, on peut remarquer que, malgré que ces circonférences soient devenues imaginaires, néanmoins leurs centres et les plans qui les contiennent sont toujours demeurés réels et constructibles (89).

En adoptant cette généralité dans les expressions, généralité qui ne saurait induire en erreur d'après ce qui précède, et faisant en outre attention que, quand on projette deux sections coniques suivant des circonférences de cercle, la corde commune correspondante passe entièrement à l'infmi sur le plan de ces cercles, on pourrait énoncer ainsi brièvement le principe de projection qui fait le sujet du n** 92 :

Deux sections coniques situées sur un même plan, et qui ont une corde commune quelconque, peuvent, en générai, être regardées comme la projection de deux circonférences de

(*) On pourrait rendre cet énoncé plus concis encore el plus conforme à Tesprit de l'Analyse, au moyen de la remarque que contient la note du n*" 88; car, selon cette remarque, le carré du diamètre du cercle, qui appartient aux centres auxiliaires, devrait être égal au carr(^ de la corde commune que Ton considère, pris avec un signe contraire. Toutes ces circonstances sont fidèlement retracées par TAnalyso des coordonnées, qui donne, dans tous les cas, six circonférences de cercle correspondant aux six cordes communes aux deux gections coniques dont il s'agit (1818).

444 V- CAHIER. - BSSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES cercle, pour lesquelles la corde commune est tout entière passée à V infini sur leur plan*

94. Notre objet, en cherchant ainsi à étendre le sens et Té* nonce des divers principes qui se présentent, est, nous le répétons encore, de généraliser les conceptions de la simple Géométrie et de les rapprocher de celles de l'Analyse algébrique. Nous justifierons plus tard cette extension d'une manière entièrement satisfaisante, en démontrant rigoureusement l'identité de nature qui règne entre les cordes réelles et idéales; car, si nous prouvons qu'elles répondent aux mêmes questions, qu'elles se déterminent et se construisent de la même manière, il paraîtra évident qu'il n'y a aucune distinction à faire entre elles, et qu'on peut appliquer aux unes ce qu'on a dit des autres, pourvu qu'on ne prononce pas sur la réalité des lignes et des points qui en dépendent.

Nous reviendrons, à la fin de ce paragraphe, d'une manière générale sur ces diverses remarques.

95. Théorème XV. — Une figure plane, qui renferme un nombre quelconque de sections coniques, ayant une corde commune, peut, en général, être regardée comme la projec^ lion d'une autre, pour laquelle la corde commune est pcusée à l'infini et les sections coniques sont devenues autant de circonférences de cercle d'ailleurs quelconques.

Ce principe est une conséquence évidente des propositions qui précèdent; car si la corde dont il s'agit ne rencontre aucune des sections coniques qui lui correspondent, ce qui ne particularise nullement l'état du système, elle sera nécessairement telle, qu'en cherchant à la mettre en projection sur un nouveau plan, de façon qu'elle y passe entièrement à l'infini et que Tune des sections coniques proposées y devienne un cercle, toutes les autres sections coniques se changeront pareillement en des circonférences de cercle (88).

Quoique les circonférences de cercle de la projection proviennent de sections coniques qui ont une corde idéale commune, il ne faut pas croire qu'elles aient, pour cela, entre elles une position particulière; car on peut démontrer réciproquement qu'un système de cercles quelconques, situés à volonté sur un plan, a toujours pour projection un système composé

DES SECTIONS œNIQUES. 445

d'un môme nombre de sections coniques ayant une corde idéale commune.

En effet, ces sections coniques peuvent être considérées, à leur tour, comme ayant pour projection les cercles dont elles proviennent; or, nous avons démontré en toute rigueur (92) que deux et, par suite, un nombre quelconque de sections coniques situées sur un même plan, ne pouvaient être projetées suivant des circonférences de cercle qu'autant que la droite X, qui, sur le plan des sections coniques, est la projection de celle à Tinflui du plan des cercles, ne soit une corde idéale commune au système de ces sections coniques.

La remarque que nous venons de faire est parfaitement conforme aux notions posées d'une manière directe dans le second paragraphe; nous y avons, en effet, prouvé que deux ou un plus grand nombre de circonférences de cercle quelconques pouvaient toujours être regardées comme ayant une corde idéale commune à l'infini.

En combinant cette remarque avec celles du n*»88, concernant l'identité des lignes droites situées à l'infini sur un plan, on en conclut naturellement ce corollaire généra] :

Quand on projette deux ou un plus grand nombre de sections coniques situées sur un même plan, et ayant une corde idéale commune ^ de façon quelles deviennent toutes des circonférences de cercle ^ la corde dont il s'agit , passant à r infini sur le nouveau plan, devient nécessairement une corde idéale ou imaginaire commune à la fois à toutes les circonférences qui lui correspondent.

96. Au surplus, les conséquences dont il s'agit étant indépendantes de l'espèce particulière des sections coniques que l'on envisage (90), demeurent immédiatement applicables au cas 011 ces sections coniques sont, en tout ou en partie, des circonférences de cercle ayant une corde idéale commune à distance donnée et finie; et comme, dans le cas particulier où les sections coniques sont toutes des circonférences de cercle, il y a nécessairement réciprocité entre la figure primitive et sa projection , on voit que :

Deux ou un plus grand nombre de cercles, tous situés sur

un même plan et ayant une corde idéale commune à distance finie, outre celle qui leur appartient en général à l'infini, étant mis en projection sur un nouveau plan non parallèle cui premier, de façon quils s'échangent tous en de nouveaux cercles, il se fera un pareil échange entre les deux sy^stèmes de cordes idéales communes qui leur appartiennent respec^ tivement, c'est-à-dire que la corde à distance finie de l'une des séries de cercles sera la projection de celle à l'infini de Vautre série, et réciproquement,

97. Ce corollaire très-simple des principes qui précèdent peut servir à justifier, à priori et d'une manière générale, la correspondance et l'identité de nature qui régnent entre les deut espècçs de cordes idéales pouvant, en général aussi, être communes au système de deux ou plusieurs circonférences de cercle tracées sur un même plan. On peut d'ailleurs observer que la môme réciprocité et la même correspondance régnent entre les deux centres de similitude, qui appartiennent à la fois au système de deux cercles quelconques, c'est-à-dire que le centre de similitude directe devient en projection le centre de similitude opposée, et vice versa.

98.' Théorème XVI. — Une ligne plane quelconque, qui renferme deux sections coniques ay^ant entre elles un double contact, peut, en général, être regardée comme la projection d*une autre, pour laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle concentriques.

En effet, puisque les deux sections coniques que Ton considère ont un double contact, elles ont nécessairement une corde de contact commune qui , en général et pour une série de positions indéterminées des deux courbes, est purement idéale (22), et ne rencontre ni l'une ni l'autre de ces courbes. En outre, d'après la nature particulière du système, le pôle de celte corde est le même pour les deux sections coniques proposées (20). Donc, si l'on vient à mettre la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que l'une des sections coniques devienne une circonférence de cercle et que la corde en question passe à l'infini, l'autre de ces sections coniques deviendra également une circonférence de cercle (88) ayant

même centre que la première ; car la projection du centre de chaque cercle sur le plan de la figure donnée est précisément (89) le pôle de la corde de contact par rapport à la section conique correspondante, et, par hypothèse, ce pôle est le même dans les deux courbes.

Le principe qui nous occupe peut servir à justifier, d'une manière générale, ce que nous avons dit (art. 33) sur les circonférences de cercle concentriques ; car on peut démontrer sans peine que deux circonférences concentriques, situées sur un môme plan, mais d'ailleurs quelconques, ont réciproquement pour projection, sur un nouveau plan arbitraire, deux sections coniques ayant un double contact idéal.

On voit aussi que la corde de contact, commune à l'infini à deux circonférences de cercle concentriques, n'est autre chose que la projection de celle qui appartient aux sections coniques correspondantes, et réciproquement; donc

1° Quand on met deux sections coniques, ayant un double contact, en projection de façon qu elles deviennent des cii^ conférences de cercles concentriques, leur corde de contact a pour projection, de son côté, la corde idéale de contact cornmune à' l'infini aux deux cercles,

a° Quand on projette deux cercles concentriques sur un nouveau plan quelconque, les deux sections coniques qui en résultent ont pour corde idéale de contact la projection de celle à l'infini sur le plan des deux cercles.

99. Si la corde de contact de deux sections coniques était par elle-même à l'infini, ces sections coniques seraient nécessairement (26) concentriques, semblables et sembiablemem situées. Or il n'est pas difficile de voir que, malgré cela, elles pourraient encore être projetées suivant des circonférences de cercle, et la chose aurait également lieu pour le cas particulier où ces sections coniques seraient déjà des circonférences de cercle. Ainsi le théorème qui vient de nous occuper s'applique à ces diverses circonstances, et ne souffre d'autres restrictions que celles qui tiennent à la réalité géométrique des points de contact. De même que ceux qui précèdent, il est vrai pour une série de positions indéterminées du système, et il cesse de l'être pour une autre série de posi-

lions semblables de ce système. Enfîn, ce principe s*étend évidemment à un nombre quelconque de sections coniques et de circonférences de cercle ayant un double contact ; on peut donc énoncer ce principe général :

Théorème XVII. — Une figure plane ^ qui renferme un nombre quelconque de sections coniques ^ ayant un double contact commun^ peut, en général^ être regardée comme la projection d'une autre dans laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle, toutes concentriques entre elles, et ayant une corde de contact commune à l' infini, projection de la première,

100. Les principes de projection que nous avons fait connaître jusqu'à présent donnent lieu à beaucoup d'autres, également propres à étendre les conceptions géométriques et à interpréter certaines notions abstraites de l'inllnl ; mais il serait aussi long qu'inutile de les rapporter dans ce paragraphe, à cause de l'extrême facilité avec laquelle ils peuvent se déduire des premiers. Nous nous bornerons, en conséquence, à en citer quelques-uns pour servir d'exemples.

Quand on met une section conique en projection sur un nouveau plan, de façon qu'une de ses tangentes passe à l'inAni sur ce plan, elle devient nécessairement une parabole; cela résulte immédiatement de la définition de la parabole, en tant qu'on la considère comme section du cône.

Réciproquement, si l'on met une parabole en projection sur un nouveau plan quelconque , elle se changera en une conique ayant pour une de ses tangentes la projection de la droite à l'infini sur son plan.

Cela posé, considérons le système de deux sections coniques quelconques situées sur un même plan : elles auront, en général, des tangentes communes; donc, si l'on met la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que l'une de ces tangentes passe à l'infini, les sections coniques deviendront, d'après ce qui précède, des paraboles ayant une tangente commune à l'infini sur ce plan. Donc :

Deux sections coniques quelconques, tracées sur un même plan, peuvent, en général, être regardées comme la projection de deux paraboles ayant une tangente commune à l* infini,*

DES SECTIONS œNIQUES. 449

et réciproquement deux paraboles quelconques ont pour projection, sur un plan arbitraire, deux coniques ayant pour tangente commune la projection de celle à l'infini des paraboles.

101. Deux sections coniques quelconques, siluées sur un même plan, se coupent, en général, en quatre points : il existe donc aussi, en général, un quadrilatère à la fois inscrit ù ces courbes. Cela posé, si Ton circonscrit à ce quadrilatère une troisième section conique, qui ne rencontre nulle part la droite ' joignant ses deux points de concours des côtés opposés, et qu'on mette la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que cette dernière conique devienne un cercle et que la droite passe à Tinfini (88), le quadrilatère de la projection inscrit à ce cercle aura ses rôles opposes parallèles : ce sera donc un rectangle, à la fois inscrit aux coniques projections des proposées, lesquelles, devenues concentriques, auront même direction d'axes principaux.

Deux sections coniques tracées sur un même plan peuvent, en général, être regardées comme la projection de deux autres^ qui, étant concentriques, ont même direction d'axes.

Il n'est pas indispensable que l'on prenne, comme dans ce qui précède, une troisième section conique auxiliaire : on peut choisir l'une des deux proposées; mais alors sa projection devient un cercle. Ainsi, on peut énoncer ce théorème, ((ui nous sera particulièrement utile :

Théorème XVIII. — Deux sections coniques tracées sur un même plan peuvent, en général, être mises en projection de façon que l'une quelconque d'entre elles devienne une circonférence de cercle concentrique à la section conique, d'ailleurs quelconque, qui répond à l'autre (*).

(*) On arriverait plus directoment aux mêmes conséquences en faisant allention qu'on peut mettre les deux sections coniques en projection sur un nouveau plan, de façon que Tune d'elles devienne une circonférence de cercle, ayant pour centre la projection du point d'intersection do deux des cordes communes qui appartiennent à leur système (91); car il est visible que ce centre serait commun à la fois au cercle et à l autre courbe, puisqu'il diviserait en parties égales deux cordes qui leur appartiennent simultanément. (jVotc de 1818.)