SIXIÈME CAHIER

ARTICLES DIVERS PARTIELLEMENT ENTRÉS DANS LA COM- POSITION DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES; EXTRAITS DES ANNALES DE MATHÉMATIQUES DE MONT- PELLIER (T. Vm à Xn, années 1817 à 1822) (*).

THÉORÈMES NOUVE^VUX SUR LES LIGNES DU SEC0N1> ORDRE. {Vtnr l. VIII (les Annales^ p. i, i*' février 1H17.)

On s*est, jusqu'à présent, beaucoup occupé des propriétés des sections coni<iues concernant, soit la direction, soit la longueur de certaines ligaes droites qui en dépendent ; mais on s'est peu appliqué, ce me semble, à rechercher les propriétés de ces courbes qui ne seraient relatives qu'à la relation des angles formés par ces mêmes droites. Cependant, on sait depuis longtemps (Newton et Maclaurin] que les sections coniques peuvent être engendrées d'une infinité de manières diflérentes, par le mouvement d'angles constants qui tournent autour de leurs sommets comme pcMes; doù il paraît naturel d'inférer qu'il doit exister des dépendances mutuelles, trèsremarquables, entre les angles do certains systèmes de droites liées entre elles d'une manière relative à la nature générale de ces courbes. Le cas du cercle, en particulier, présente un grand nombre de semblables propriétés, soit à l'égard des polygones qui lui sont inscrits, soit à Tégard de ceux qui lui sont circonscrits, soit, etc.: la plupart de ces propriétés sont même connues depuis la plus haute antiquité. Comment donc se fait-il qu'on ait jusqu'ici si peu songé à les généraliser, en cherchant à les étendre à une section conique quelconque? N*cn résulterait- il pas, en effet, un grand avantage pour la parfaite connaissance de ces dernières courbes, et n'obtiendrait-on pas de leur rapprochement des solutions élégantes et simples de problèmes difficiles, quand on les attaque par les voies ordinaires?

{*) Je n'ai point rapporté dans ce Cahier les notes du rédacteur des ^wio/ei, quelquefois étendues, et dont le manque d'intérêt ou d'à-propos aurait pu faire suspecter mes intcntiona icientillquet.

On doit regretter que M. Carnot, à qui la Géométrie est redevable de tant de perfectionnements heureux, n*ait pas donné plus d'extension et plus de développement à Tidée lumineuse qu'il expose au commencement de la Sect. IV de sa Géométrie de position^ touchant les figures dans lesquelles on peut déterminer les angles, sans l'intervention des quantités linéaires ou trigonométriques. On conçoit, en effet, que cette théorie ne doit pas se borner aux figures composées de lignes droites seules, et qu'elle doit s'étendre également à toutes celles dans lesquelles il entre des courbes dont la génération peut avoir lieu par le moyen des angles seulement; pourvu toutefois que le système de droites dont on examine les angles soit lié, d'une manière convenable, à la nature particulière de ces courbes. Un cercle, ()ar exemple, est dans le cas dont il s'agit ; car il peut être considéré comme le lieu du sommet d'un angle constant, dont les côtés tourneraient autour de deux point fixes : aussi sait-on que ce cercle jouit d'un grand nombre de propriétés relatives aux angles de certaines lignes droites, tracées d'une manière convenable sur son plan. Je répète à dessein le mot convenable; car si, par exemple, on considérait un triangle inscrit à ce cercle, il est évident que celte circonstance n'établirait point une nouvelle dépendance entre ses angl^, puisqu'un triangle quelconque est toujours inscriptible au cercle. Il n'en serait plus de même si l'oii considérait un quadrilatère ou, en général, un polygone<]uelconque inscrit à ce cercle ; car un quadrilatère, et à plus forte raison un polygone d'un plus grand nombre de côtés, n'est pas indistinctement, comme un triangle, susceptible d'être inscrit à cette courbe particulière.

Ces idées demanderaient à être développées et éclaircies plus que nous ne venons de le faire ; mais une pareille entreprise sortirait des bornes de cet Article ; et nous nous contenterons, pour le moment, de présenter, sans aucune réflexion et le plus rapidement qu'il nous sera possible, une suite de propriétés des sections coniques, relatives aux angles de certaines droites; propriétés qui pourront être envisagées comme l'extension d'autant de propriétés du même genre, correspondant à la circonférence du cercle.

Nous rappellerons d'abord la proposition suivante, dont la démonstration (p. 49 du V* volume des Annales) est due à l'illustre Maclaurin [Geometria orgnnica^ sect. III, p. loa) :

a Si l'un des côtés d'une équerre passe constamment par l'un des foyers^ » d'une section conique, et que son sommet parcoure la circonférence B décrite sur le premier axe comme diamètre, s'il s'agit de l'ellipse et » de rhyperbole, ou la tangente au sommet, s'il s'agit d'une parabole, » l'autre côté de l'équerre sera constamment tangent à la courbe. »

Soit PNN' ou [(L)<,/îg, i66, la circonférence décrite sur le premier axe, et F le foyer de la section conique dont il s'agit; T^, T/', //' étant trois tangentes quelconques à cette courbe, et FN, F^', F/i trois perpendiculaires abaissées respectivement du foyer F sur ces tangentes; lesprs

pieds N, N', /i, seront, d'après ce qui précède, sur la circonférence (C). Prolongeons les trois tangentes jusqu'à leurs rencontres respectives en

T, t^ t\ et les deux perpendiculaires FN, FN', jusqu'à leurs nouvelles intersections, en P, P', avec la circonférence (C). Traçons enfin «N, /iN', et F/, F/'.

Puisque les angles /i, N' du quadrilatère nY^'t' n sont droits, ce quadrilatère est inscriptible au cercle ; donc

anj; ?t'n = angFN'w = - arc.«NP'.

On prouverait pareillement que le quadrilatère ftVStn est au^i inscriptible au cercle ; doue

ang. F//1 = ang.FN// = -arc.//N'P.

De ces valeurs des angles F/Vr, F/// du triangle tVt'. on conclut

ang^F/'= icirNN'PP'N-iarcwNP' — iarc/îN'P= iarcPQP'.

Supposons donc que, les tangentes T^, T^' restant fixes, la tangente it* devienne mobile; les perpendiculaires FN, FN' ne varieront pas, ni conséquemment Tare PQP', compris entre elles; donc l'angle tFi* restera de la même grandeur, pour toutes les positions de la tangente mobile //'•

La démonstration est encore plus simple pour le cas de la parabole; mais alors l'angle constant i¥i' devient précisément le supplément de langle T des deux tangentes fixes. On peut donc énoncer généralement ce théorème :

i . L'angle sous ler/url on voit, de Pun des foyers (tune section conique^ la partie d'une tangente nubile interceptée entre deux tangentes fixes ^ est toujours constant .pour toutes les positions de cette première tangente.

Dttns le cas particulier (le la parabole^ cet angle constant est le suppU^ ment de Pangle formé par les deux tangentes fixes.

Parmi les conséquences nombreuses auxquelles ce théorème peut coaduire, nous nous contenterons de rapporter les suivantes, parce qu'elles offrent quelque chose do simple et de facile à saisir.

Supposons que, dans une de ses positions, la tangente mobile tt' vienne à se confondre avec Tune des deux tangentes fixes, avec TN par exemple ; les points /', / se confondront alors, Tun avec T et l'autre avec le point de contact de cette tangente et de la courbe ; pareille chose arriverait si la tangente mobile se confondait avec l'autre TN' des tangentes fixes. Donc

2. Si, de t*un des foyers if une section conique y on mène des droites tant au sommet de l'angle formé par deux tangentes quelconques à la courbe qu'aux points de contact des deux côtés de cet angle avec elle, la première de ces deux droites divisera en deux parties égales l'angle formé par les deux autres.

Ce théorème devant avoir lieu quelle que soit la. position des deux tangentes en question, il sera vrai encore dans le cas où un ou plusieurs des trois points ci-dessus seront situés à une distance infinie; ce qui conduit à plusieurs conséquences sur lesquelles il est inutile de s'arrêter.

Si l'on se donnait le foyer F d'une section conique et trois tangentes quelconques TN, TN', tt\ l'angle ^ F /'serait déterminé de grandeur, et par consé(]uent, en le faisant tourner autour du foyer donné F, la droite tf qui le sous-tend deviendrait mobile, et roulerait, d'après ce qui précède, sur la section conique elle-même, dont on aurait ainsi une infinité de tangentes. Le dernier des théorèmes donnerait ensuite, pour chacune des tangentes mobiles et des tangentes fixes, le point où cette tangente \'ient toucher la courbe.

Au lieu de se donner une position do la tangente mobile tt'^ on peut ne se donner que l'angle constant t?t'\ et alors, en faisant mouvoir cet angle autour de son sommet F, sans en changer la grandeur, les conséquences seront encore les mêmes. Donc

3. Si^ sur le plan d'un angle fixe donné, on fait tourner autour d^un point arbitraire et fixe^ pris pour sommet, lui angle quelconque inxfO' riable de grandeur, et qi^on trace ensuite, pour chacune de ses positions, les deux droites qui sous-tcndent à la fois l'angle fixe et r angle mobile, chacune des deux séries formées par ces droites enveloppera, en particulier, une seule et même section conique, ayant précisément pour foyer le sommet fixe de V angle mobile, et les deux côtés de l'angle fixe pour tangentes. En outre, si l'on abaisse du foyer des perpendiculaires, tant sur les deux côtés de l'angle fixe que sur toutes les autres tangentes appartenant à une même série, les pieds de ces perpendieulaires semnt sur une même circonférence de cercle ayant le premier axe de ia combe pour diamètre.

Dans lo cas particulier où Tangle mobile est égal à Tangle fixe ou en est le supplément, Tune des deux courbes devient une parabole, et le cercle qui ui correspond dégénère en une tangente au sommet de cette parabole.

Dnq droites quelconques étant tracées sur un même plan, la section conique qui les touche toutes à la fois est, comme Ton sait, déterminée et unique, et Ton en peut aisément trouver les foyers avec la règle et le compas. Donc, si Ton considère deux de ces cinq tangentes comme représentant les doux tangentes fixes dont il a été question ci-dessus, et les trois autres, terminées à celles-là, comme représentant la tangente mobile dans trois de ses situations, on aura résolu, avecia règle et le compas, cette question assez difficile quand .on prétend Taltaquer d*une manière directe.

4. Trouver le point duquel on verrait sous le mvme angle les parties (le trois droites données sur un même plan , interceptées entre deux autres lignes droites aussi données sur ce plan.

Ce problème est analogue à celui que M. Carnot a résolu, dans sa Géométrie de position (p. 38i, art. Say), et l'on voit que sa solution donnerait aussi celle de cet autre problème fort intéressant : Trouver directement les foyers d^une section conique inscrite à un pentagone donné,

, Jus(]u*ici nous n'avons encore considéré que ce qui se passe à l'égard do Tun des foyers d'une section conique; mais il est évident que les mêmes propriétés ont lieu relativement à l'autre foyer ; car les raisonnements cidessus demeurent les mômes dans les deux cas. Nous n'avons donc plus, pour le moment, qu'à nous occuper des propriétés qui peuvent appartenir simultanément au système de ces deux foyers.

Soient F, F' [fig, 167) les deux foyers dont il s'agit, (C) la circonférence du cercle décrit sur le premier axe comme diamètre, enûn 17^, TN' deux

tangentes quelconques à la conique; d'après ce qui a été démontré plus haut, l'angle sous lequel on verrait du foyer la partie d'une troisième tangente arbitraire comprise entre les deux autres, aurait pour mesure la

46o VI* CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

moitié de Tare PQP', intercepté sur la circonférence (C) par les prolongements FP, FF' des perpendiculaires FN, FN' abaissées du foyer F sur les deux tangentes TN, TO'. Par la même raison, Tangle sous lequel on verrait, de l'autre foyer F', cette môme partie de la troisième tangente, aurait pour mesure la moitié de Farc QPQ', intercepté sur la circonférence (C) par les prolongements F'Q, F'Q' des perpendiculaires F'M', PM abaissées du foyer F' sur les deux tangentes TN', TN. Appelant donc F le premier de ces angles^ F' le second, on aura

F = i arcPQP', F' = i arc QPQ' = i arcPQ' -f- - arc PQ.

^ * Ja jL JL

Or, à cause des parallèles, symétriquement placées par rapport au centre

du cercle, on a

arcPQ = arcMN' et arcPQ'= arcMN; donc.

F' = i arc MN -f i arcMN' = i arcNMN' ;

mais on a aussi

F-f-F' = i arcPQP'4- - arcNMN'; a 2

ang. NFN' = i arc PQP' -f- - arcNMN' ; a a

donc F-f-F'= ang.NFN' ou F4-F'= aoo' — T,

puisque, dans le quadrilatère TNFN', les deux angles opposés N, N' sont droits.

Nous avons supposé, dans ce raisonnement, que les deux foyers F, F étaient intérieurs au cercle, et c'est ce qui arrive pour l'ellipse. S'ils loi étaient extérieurs, ainsi qu'il arrive pour Thyperbole, on trouverait que ce n'est plus la somme, mais la différence des angles F, F' qui est épie au supplément de l'angle T.

En appelant donc, pour abréger, angles vecteurs d'une même droite les angles sous lesquels cette droite est vue des deux foyers d'une sectioo conique, on aura ce théorème , dont l'analogie avec un antre théorème très-connu est digne de remarque :

5. Lorsqu'une tangente à une section conique se termine à dewx autres tangentes a la même courbe, la somme des angles vecteurs tic cette première tangente, ilans ^ellipse, et leur différence dans Vhyperboley est constante et égale au supplément de V angle des deux tangentes fixes ( *).

'C*^) L'angle dont il s'agit ici est celui qui comprend les deux foyers entre ses côtés dans Tellipse, ou qui n'en comprend aucun dans l'hyperbole.

Note additionnelle de i863. — L'énoncé général de la Propos. V, mise i

Quand la section conique devient une parabole, on a /^ = o, et ()ar coitôéquent F=- 200° — T, ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit plus haut. Pareillement, quand elle devient un cercle, on a F'^F, et par conséquent a/''= 200" — T, comme on peut le vérifier à priori. Le cas où T serait nul ou égal ù 100 degrés offrirait aussi des circonstances remarquables ; mais nous ne nous y arrêterons pas.

Revenons à la propriété qui fait le sujet principal de cet article, et examinons en particulier les conséquences qui en résultent ))our le cas où la section conique est une parabole.

Soient (Jîg, 168) F le foyer ; TM, TN deux tangentes quelconques données, et tnn une troisième tangente mobile de la parabole dont il s'agit.

\ J)^>.,Vx

D'après ce qui a été dit plus haut, \ angle vecteur mV n est toujours constant et égal au supplément de Tangle MTN des deux premières tangentes; donc ce môme angle sera égal à l'angle /iiT«, et par conséquent, si l'on trace FT, le quadrilatère FTw/i sera inscriptible au corcle. De là suit ce théorème :

6. Un triangle étant circonscrit à iine parabole , si on lui circonscrit ^ à son tour, une circonférence fie cercle^ elle passera nécessairement par le foyer même de la courbe.

Donc, si l'on se donnait à volonté une quatrième tangente //iV à la parabole, on obtiendrait immédiatement son foyer en circonscrivant des circonférences de cercle à deux quelcon(iues des quatre triangles formés par les rencontres mutuelles de cette nouvelle tangente avec les trois au-

profit par divers {réométreii posU'ricureinent à 1K17, me paraît entiêrcincnt neuf et original; mais on (.Hïiit voir, par les citations des \\^* 467 et 4n9 du Traité des Propriétés proj'ectives des figures , que les corollaires relatifs au cas de la parabole et des triangles circonscrits, appartiennent en partie au célèbre Céoniètre allemand Lambert. {Voir aussi TArt. Correspondattcc du VIK Cah. )

46a W CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

très. Lo point d'intersection de ces quatre circonférences, qui n'appartient à aucune des tangentes données, est évidemment un point unique par où elles passant toutes à la fois ; car une même par&bole ne sannrit aroir deux foyers à une distance finie.

Nous venons déjà de voir que l'angle m F/? est égal à l'angle ntT/r, qoi est' opposé à mn dans le triangle mTn ; mais il est visible que ce même angle pourrait n'ôtre qu'égal à son supplément, suivant la position de ee dernier; donc

7. Un triangle quelconque étant circonscrit à une parabole , C angle sous lequel on voit^ du fojrer fie la courbe, chacun des trois côtés de ce triangle est le supplément de l'angle opposé du même triangle ou lui est égal, suivant que le foyer se trouve ou ne se trouve pas compris entre les côtés de cet angle, indéfiniment prolongés.

Puisque le quadrilatère FnmT est inscriptible à un cercle, quelle que soit la tangente mobile mn, l'angle FT m sera toujours supplément de son opposé F/i///, et égal, par conséquent, à l'angle F/7/; mais l'angle FT/i? est invariable, puisque, par hypothèse, TM et TN sont fixes ; donc

8. Si l'un des côtés d'un angle invariable passe constamment jwr le foyer (Cunc parabole , et que son sommet parcoure une tangente quelconque à la courbe, l'autre côté de Vangle mobile sera aussi constmument tangent à la courlfc.

On peut aussi énoncer ce théorème ainsi qu'il suit :

9. «Si du foyer d'une parabole on abaisse, sous un même angle donné, fies obliques sur toutes les tangentes n cette courbe, les pieds de ces obliqiœs se trouveront appartenir à une seule ligne droite, tangente elle-même à la parabole.

Ces théorèmes ont leurs analogues, pour le cas d'une section conique quelconque. Alors les pieds des obliques appartiennent à une même circonférence de cercle touchant la courbe en deux points.

On peut déduire de ce qui précède, plusieurs conséquences faciles et trè&-remarquables.

10. Toutes les paraboles inscrites à un même triangle quelconque, ont leurs foyers sur la circonféreruie d'un même cercle, circonscrit à ce triangle.

Chaque point de la circonférence dont il s'agit peut, d'après cela, être considéré comme lo foyer d'une parabole inscrite au triangle auquel cette circonférence est inscrite. Donc

il. Si, d'un point quelconque de la circonférence d'un cercle circonscrit à un triangle donné, on abaisse, sous un même angle arbitraire^ des obliques sur les directions des trois côtés de ee triangle, leurs pieds seront situés sur une seule et même ligne droite.

Ce dernier théorème est une extension de celui de R. Sirason, rappelé à la p. 25 1 du t. rv des AnmUes^ par M. Servois, qui remploie à résoudre d'une manière trè&^légante un problème de Gréométrie pratique concernant les alignements sur le terrain.

Ce qui précède suffirait sans doute, pour établir la vérité de ce que nous avons avancé au commencement de cet Article, touchant l'avantage qu'il y aurait à considérer, d'une manière plus spéciale qu'on ne la fait jusqu'ici, les propriétés des sections coniques qui n'ont rapport qu'aux angles seuls de certains systèmes de lignes droites dépendantes de ces courbes; mais, par l'effet de la négligence des géomètres sur ce point, la matière est si riche, que nous ne pouvons nous refuser, malgré l'étendue de cet Article, à présenter encore quelques recherches du même genre, particulières à la parabole, et remarquables surtout par leur analogie avec certaines propriétés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle.

Soient (Jig, 169) / le foyer d'une parabole mnopq; bo^ bn deux tangentes quelconques à cette parabole, la touchant aux points respectifs o, //.

Qu'on trace les rayons vecteurs fo^ fn correspondant à ces derniers points, et la droite fb^ joignant le foyer au point de concours des deux tangentes; d'après les Théor. II et V, les angles///?, bjo sont égaux entre eux et au supplément de l'angle nbo, d'où il suit que leur somme nfo est double de ce supplément, et que, dans le quadrilatère nbof^ on a

/= 400''— %b\ comme on a d'ailleurs

o-^/l-+-A-h/=4oo^

il s'ensuit qu'on doit avoir aussi

Supposons présentement que (^d„, soit un ]K>lygone circonscrit à bi parabole, et dont tous les angles soient égaux entre eux ; en menant des rayons vecteurs tant aux sommets «, ^, c, ^,... qu'aux points de contact w, /7, o. Pi<i'''' il résultera de ce qui précède :

12. 1° Que le rayon vecteur dirigé vers cfiacun (les. sommets, fÙPisera en parties égales l'angle de ceux qui se termineront aux deujc points de contact entre lesquels ce sommet se trouée compris;

a® Que le rayon vecteur dirigé vers chacun des points de contact, divi^ sera aussi en parties égales l'angle jormé par ceux qui se tennineroni aux sommets entre lesquels ce jxnnt de contact se trouve compris;

3° Que^ par conséquent^ tous les angles formés autour du forer parles rayons vecteurs consécutifs sont égaux entre eux; d'où il sidt que chacun de ces angles doit être égal à quatre angles droits divisés par leur nombre, lorsque le polygone est formé.

Rappelons-nous présentement cette proposition, démontrée par le marquis de rHôpital(*) :

« La suite des sommets mobiles d'un angle de grandeur donnée et cou- B stante, circonscrit à une parabole, forme une seule et même section 0 conique, dont un des foyers se confond précisément avec celui de la » parabole. »

Et cette autre, démontrée par M. Brianchon (X' Cahier du Journal de l* École Polytechnique y p. i4) :

a Si le sommet d*un angle mobile et variable est assujetti à parcourir » une première section conique, et que ses côtés soient assujettis à en . » toucher une seconde, la corde de contact avec celle-ci en enveloppera » une troisième. »

En remarquant, de plus, que, dans le cas actuel, cette troisième section conique a un foyer commun avec la première, on pourra encore conclure :

4** Que le polygone circonscrit a notre parabole est lui-même inscn'ptible à une autre section conique qui a un foyer commun avec elle, et qui est évidemment une hyperbole;

5** Qu'enfin si l*on Joint les joints de contact consécutif s par clés cordes tle manière à former un polygone inscrit, ce polygone sera luir-méme circonscnptible à une nouvelle section conique, qui sera éviflcmment une ellipse dont le foyer coïncidera également avec celui de la première.

ADDrriON au précédent Article, extraite d'une lettre culressée de> Metz, au Rédacteur des Annales, en date d'octobre 1817.

J'ai avancé, dans les énoncés des deux dernières propositions de cet Article, que les coniques qui correspondent aux polygones inscrits et circonscrits à la parabole donnée avaient (>our un do leurs foyers le foyer même de cette parabole. Comme je n en ai point apporté de démonstn-

(*) Traité ana(rtit/tte des sections coniques, liv. VIII.

tion, il me semble qu'il vaudrait mieux supprimer, dans renoncé, ce qui est relatif aux foyers, et terminer Tarticle par ce qui suit :

Nous avons déduit ces deux dernières propositions de théorèmes déjà connus, afin d'être plus courts; mais nous aurions pu en donner une démonstration géométrique direcle et très-simple, fondée sur des considérations particulières d'un autre genre que celles qui pri cèdent. Nous regrettons de ne pouvoir la rapporter ici.

En suivant toujours la marche géométrique, on démontrerait pareillement que :

6" Les sections co/ih/tfcs, corres/jomiftftf aux /mlygancs inscrits et circonscrits à la parabole donnée, ont Pane rt P autre jx)ur foyer commun le foyer nu^me de cette partdtole.

7° .9/ Pon joint, par des lif^nes droites^ chacun des sommets du polygtme circonscrit avec te foyer commun ci~dcssus, ces droites renfermeront précisément les points de contact des côtés correspondants du polyfrone inscrit, avec la section conique rpœ ce polygone enveloppe.

Ces dernières propositions complètent entièrement ce que nous avions à dire touchant l'analogie qui existe entre les propriétés do certains polygones inscrits et circonscrits au cercle et à la parabole.

Au reste, on pourrait étendre beaucoup les recherches qui précèdent. Nous nous bornerons à citer seulement quelques-unes des propositions auxquelles nous sommes parvenus, en faveur de la liaison intime qu elles ont avec celles qui font le sujet de cet Article.

13. Si, autour (Pun point pris sur le périmètrt* (Pune section cnniquv, on fait mouvoir un angle constant, de grandeur arbitrai tv, dont le sommet est en ce point, et qu'on trace ensuite successivement toutes les cordes de la courbe qui sous-tendent cet angle, le système de ces cordes enveloppera une seule et même section conique, laquelle se réduira à un point, quand Tangle générateur sera droit (*).

Quand Tangle générateur est variable suivant certaines lois, on trouve que la corde mobile peut tourner autour de pôles distincts, dans plusieurs cas très- remarquables. Nous renverrons, pour quelques-uns d'entre eux, au Mémoire de M. Frégier (Annales, t. VI, p. 3vi2).

14. «Sï, autour (P un point pris à volonté dans le plan (P une section conique, on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en ce point, et qu'on trtwe ensuite successivement toutes les cordes de la section co* nique qui sous-tendent cet angle, le sy'stème de ces cordes enveloppera une seule et même section conique, qui se réduira à un point quand le jyôlr fixe sera pris sur le périmètre même de la section donnée.

(* ) Cette dernièro romarqiu* a déjà été faite par M. Frégier qui l'a démontrée par l'Analyiie (Annales, t. VI, p. '«Si".

4(i6 Vr CAHIER. ~ ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Cette proposition s'étend évidemment au cas où la âectioa conique donnée serait remplacée par un cercle; mais alors ce cas particulier est accompagné de quelques circonstances remarquables :

15. Z« couriw sur laquelle mule ta corde mobile a précisément pour foyers le fjôle fixe et le centre du cercle donné.

Si, pour chaque jwsition de la corde mobile^ on mène^ à ses deux extré' mités, des tangentes au cercle donné, le point de concours de ces tan^ gentes ne cessera pas de rester sur une autre circonférence de cercle^ non concentrique à la première.

i6. Si un quaflrilatère est, en même temps, inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les cordes qui joindront les points de conitict des <^és op/Msés se couperont à angle droit, et précisément eut point ^intersection des deux diagonales, Quatul on viendra ensuite à déformer ce quadrilatère, il ne cessera pas de rester inscrit et circonscrit aux deux cercles dont il s'agit; et le point où se coupent à la fois les deux fiiogomaies et les cordes qui réunissent les points de contact opposés demeure invariable de position.

Ainsi que je l'ai déjà dit plus haut, je ne rapporte l'énoncé de ces propositions qu'en faveur de leur analogie avec quelques-unes des premières.

RÉFLEXIONS SUR L'uSAGB DB l' ANALYSE ALGEBRIQUE BN GBOMÉTRIB, KT

SOLUTIONS DE IHVERS PROBLÈMES DÉnBNDANT DE LA GéOMÉTRIB DB LA

RÀGLE (*).

(T. VIII des Annales, i^^ novembro 1817.)

Monsieur, vous ne trouverez pas indiscrète, sans doute, la liberté que je prends de vous adresser quelques réclamations touchant la comparai-

(*) Cet Art. H est le texte d'une lettre en date du iR octobre 1817, anoenëe à celle qui cpntenait I'addition au précédent Article (t. VIII des Annales, p. i4i). Je ferai en outre obserrer qu'à Tépoquc dont il s'agit, j'avais en main le texte des premiers Cahiers de ce second volume rédige pendant l'hiver de i8i4 ^ 181S. Toutefois, j'appréhende fort que le présent Article de Philosophie mathétnm" tique et peut-être quelques-uns des suivants, venus d'un jeune officier désireaz de se préparer à l'avance un nom pour la publication du Traité des Propriétét projectiles, n'aient indisposé, malgré ses formelles intentions, le savant rédao teur des Annales de Montpellier contre leur auteur qui, probablement à set ycui, n'avait point encore acquis le droit de combattre, quoique avec circonspeetion et courtoisie, les idées philosophiques d'un ancien profeaaeur, déjà justement estimé pour ses services scientifiques.

son que vous établissez (Annales^ t. Vil, p. 289 et 3a5) entre les résultats de la Géométrie pure et ceux de la Géométrie analytique. L^impartialité dont vous faites profession m'est un garant assuré que tout ce qui peut tendre à éclairer la partie philosophique des sciences exactes doit, indépendamment de vos opinions personnelles et de votre manière particulière d'envisager les choses, trouver un libre accès dans votre journal, principalement destiné, à ce qu'il parait, à recueillir les discussions qui peuvent s'élever entre les géomètres sur l'estime relative que l'on doit accorder aux diverses méthodes propres à agrandir le domaine de la science.

J'admire, avec tous les amateurs de la belle Analyse, la manière élégante avec laquelle vous savez la faire ployer^ sans efforts^ aux questions les plus difficiles de la Géométrie; et j'avoue (jue je ne trouve rien de plus ingénieux que la marche à la fois nouvelle, simple et rapide que vous proposez pour parvenir à leur solution graphique définitive. Je pense que les exemples que vous avez offerts sont bien propres à faire connaître toute la fécondité de l'Analyse, et à la venger, en quelque sorte, des reproches qu'on ne se croit que trop souvent en droit de lui faire; mais je ne saurais cependant admettre sans restriction ceux que vous adressez, à votre tour, aux résultats auxquels conduit l'usage exclusif des considérations géométriques.

Si je ne me suis pas trompé sur le sens des réflexions qui précèdent ou qui terminent les Articles rappelés ci-dessus, l'Analyse, ou plutôt la Méthode dp Descartes^ employée d'une manière convenable, aurait l'avantage de conduire^ pour la solution des problèmes do Géométrie, à des constructions bien supérieures, pour l'élégance et la simplicité, à celles que fournit la Géométrie pure. En supposant que, par ce mot de Géomé* trie pure, vous vouliez entendre seulement celle des Anciens, c est-à-dire celle qu'ont cultivée les Euclide, les Apollonius, les Yiète, les Fermât, les Viviani, les Halley, etc., j'avouerai volontiers que, malgré l'estime qu'elle mérite à plusieurs égards, je suis parfaitement daccord avec vous. J'ajouterai même que je ne pense pas qu'avec le secours seul de cette Géométrie, on puisse jamais parvenir à quelque chose de bien général. Or, on ne saurait douter que la généralité des solutions ne soit, le plus souvent, la source de leur élégance et de leur simplicité.

Mais si, par Géométrie pure, vous voulez entendre, en particulier, celle où Ton s'interdit simplement l'usage de la méthode des coordonnées, ou même de toute espèce de calcul qui permettrait de perdre momentanément de vue la figure dont on s'occupe ; si par là vous voulez désigner cette Géométrie, cultivée par les modernes, dans laquelle, au moyen des notions d'infiniment grands et d'infiniment petits, on parvient à découvrir les relations qui existent entre les diverses parties d'une figure supposée variable; si vous voulez parler enfin de cette Géométrie qui consiste à chercher, dans les propriétés de l'étendue à trois dimensions, la solution des problèmes de la Géométrie plane, pour repasser ensuite de celle-ci à

ce qui concerne la Géométrie de l'espace ; je déclare franchement que je ne saurais admettre avec vous, Monsieur, que cette Géométrie ne poisie donner, à la fois, des solutions aussi simples et aussi élégantes que celles qu'on déduit du Calcul. J'avoue même et j'incline fortement à penser que y traitée à son tour d'une manière convenable , moins restreinfe qu'on ne l'a fait jusqu'ici, elle peut fournir, parla voie d'intuition qui lai est propre et pour certaines classes de problèmes, des solutions qui l'emportent sur celles qu'on déduit de la Géométrie analytique, oiéme dans l'état de perfection où elle est aiyourd'hui parvenue.

Je ne répéterai pas, en faveur de la Géométrie pure, ce qu'en ont déjà dit les plus grands géomètres ; j'essayerai seulement, dans ce qui va suivre, de donner des exemples particuliers, propres à confirmer et à justifier l'opinion que je me suis formée sur ce point. Il ne suffirait pas, en effet, dans cette matière, de rapporter des témoignages plus ou moins consa* crés, ni même de simples raisonnements, quelque solides qu'ils purent d'ailleurs paraître ; mais il faut, en quelque sorte, des preuves de faits, des preuves expérimentales, qui puissent entrer en parallèle, pour l'élégance des résultats, avec celles que vous avez vous-même oiïertes en laveur de la méthode des coordonnées.

Je ne prétends pas, au surplus, que la Géométrie rationnelle ait toujours l'avantage sur l'Analyse, ni qu'on doive constamment la préférer à cette dernière dans les recherches purement géométriques. Je pense, ao contraire, avec M. Du pin (Développements de Géométrie, V* partie, p. !i38), que chacune de ces deux sciences a des moyens qui lui sont propres, et qu'on ne pourrait, sans un grand préjudice pour l'avancement de la science, cultiver l'une ou l'autre d'une manière exclusive. J'ajouterai même qu'il me parait qu'on ne saurait trop s'efforcer de les élever, pour ainsi dire, de front ou à la même hauteur, en employant les principes généraux de l'Analyse à donner aux résultats de la GréoméCrie toute l'extension qui leur manque d'ordinaire, et qui appartient essentieltement à ceux de la première ; tout en se servant réciproquement dans celle-ci des considérations de la Géométrie, soit pour simplifier l'état de la question en la ramenant à des circonstances particulières plus facilement accessibles, soit pour faire le choix d'inconnues le plus convenable, soit enfin pour interpréter et i)Our développer les conséquences géométriques des résultats de ses calculs.

J'ai tout lieu de croire, Monsieur, que vous souscrirez volontiers à ces dernières réflexions, et que vous les trouverez tout à fait conformes à vos propres idées sur la Géométrie pure et sur la Géométrie analytique. Je crois du moins en avoir pour preuve un grand nombre d'articles que vous avez fournis à votre recueil périodique, et notamment le dernier des articles déjà cités, où vous faites usage de considérations géométriques préliminaires pour simplifier la question, en remarquant qu'une construction qui peut s'effectuer avec la règle seule, pour l'une qaekonqua

des sections coniques, est par là même indistinctement applicable à toutes les autres lignes de cette espèce.

Après cette espèce d'explication qui m'a paru indis(>ensable pour bien faire connaître mes idées et l'intention qui m'anime, je passe aux exemples que j'ai promis d'offrir en faveur de la Géométrie pure. Je me bornerai simplement à indiquer les constructions, sans entrer dans aucim détail sur les raisonnements qui y ont conduit et peuvent servir à les justiBer; me réservant de faire connaître, dans une autre occasion, les principes théoriques sur lesquels ces constructions reposent; principes dont le développement excéderait nécessairement les bornes d'une simple lettre.

Le premier des exemples qui suivent paraîtra d'autant plus convenable que c'est précisément, Monsieur, le problème général dont vous avez traité le cas le plus simple à la p. 325 de votre Vil' volume. Il convient, au surplus , de prévenir qu'il y a près de quatre ans que j'en ai découvert les solutions ci-après. J'élais alors prisonnier de guerre en Russie; et, dès mon retour en France, je m'empressai d'en donner communication à MM. Français et Servois, auteurs de plusieurs Mémoires très-remarquables, insérés dans les Annales.

1^ A une section conique tlqnnée et tracée sur un jAan, inscrire un po» Ijrgone fie m sommets, dont les côtés , prolongés s'il le faut, /Hissent respectivement par tin même nombre de points donnés, placés arbitrairement sur ce pltm, en ne faisant usage que fie la règle.

a" A une section conique donnée, et tracée sur un plan, circonscrire un polygone de m côtés, dont les sommets s'appuient respectivement sur un même nombre de droites données, tracées arbitrairement sur ce pUm^ en faisant usage de la règle seidement.

Je réunis les énoncés de ces deux problèmes, car, encore bien qu^ls soient d'une nature différente, rien n'est plus facile, comme l'on sait, que de passer, au moyen de la théorie des pôles, de la solution de l'un quelconque à la solution de l'autre, sans employer autre chose, pour y parvenir, que le tracé de simples lignes droites. Aussi no m'occupera i-je principalement et presque exclusivement, dans ce qui va suivre, que de ce qui concerne, en particulier, le premier de ces problèmes où il s'agit d'inscrire à une section conique donnée un polygone dont les côtés passent respectivement par des points aussi donnés.

Ce problème, énoncé ainsi d'une manière générale, se compose essentiellement de deux parties distinctes : l'une appartenant à la Géométrie de situation, et l'autre dépendant simplement de la Géométrie ordinaire. Rien n'indique, en effet, dans l'énoncé, quel est l'ordre ou la succession des côtés du polygone inconnu, relativement à la disposition des points

donnés par lesquels ils doivent passer respectivement. Or, il est évidonl que chacun des arrangements possibles et différents de ces côtés donneia lieu à un problème particulier, tout à fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à I4 géométrie ordinaire. La prenûère question à résoudre, celle qui appartient tout à fait à la Géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est Iv nomhn: et Fespèce des polygones^ réeUement différents quant à la succession des câtés^ qu*U est possible de former^ en assujettissant ces mêmes côtés à passer par um nombre m de points donnés»

Or, il est aisé de voir que le nombre de ces polygones est

et, quant à la manière de les former, on appellera /i, ^, c, r/,. .. X- les points .où doivent passer les divers côtés du polygone, et Ton supposera que ces mômes lettres appartiennent aussi aux côtés correspoodante; puis on placera arbitrairement toutes ces lettres, celles a, 6, r, pîar exemple, sur le périmètre d'un premier cercle; le jiOBibre des arrange^ ments divers de ces trois lettres ne saurait évidemment surpasser un, paice qu'on les peut lire indifféremment de droite à gauche ou de gauche A droite. Pour passer de ce premier cas à celui où il y aurait quatre lettres a, b, c, d^ il faudrait intercaler la lettre </ succ^asivémeiit entre deux des trois premières, ce qui ne donnera évidemment que trois arrangemeDts possibles et réellement différents, qu'il faudra écrire sépartoent sur tieis nouvelles circonférences, afin de ne point les confondre entre eux. Oa trouvera pareillement Icsarrangemenis qui correspondent à une cinquièiiis lettre ^, introduite parmi les autres, et Tintercalant, sur ebacune des circonférences dont il vient d'être question, entre deux lettres conaécii» tives des arrangements de quatre lettres qu'elles représentent séparéHieBt; on obtient ainsi quatre arrangements possibles de cinq lettres, pour cha^ cune de ces circonférences; d'où il suit que le nombre total de ces divers arrangements est de 3.4 = 1 a. Pour les distinguer les uns des autres, on pourra les écrire, à leur tour, sur autant do circonférences particulières. En continuant ainsi, de proche en proche, on par\'ieQdra enfin à obtenir tous les arrangements possibles et différents qui correspondent aux m points donnés; et Ton voit bien que leur nombre sera, en général, 3.4*5. . . (//{— i), ainsi que nous l'avions annoncé.

Rien n'est plus facile que de concevoir l'usage qu'on pourra faire de cette espèce de tableau artificiel. Supposons, par exemple, que l'on considère en particulier un arrangement fidcb..,f; en se reportant k la figure du problème, cela signifiera qu'en faisant passer par a le premier cM du polygone à construire, le second deN ra passer par </, le troisièine parc, le quatrième par 6, et ainsi de suite, et enfin le dernier par/.

C'est donc ce polygone particulier, différent de tous les autran qnaot

à Tarrangement des côtés rotatifs aux points donnée, qu^il s'agira de construire, par la géométrie ordinaire, do telle sorte qu'il soit inscrit à la section conique donnée. Le problème général qui nous occupe, ainsi p«nticularisé, pourra donc s'énoncer de la manière suivante :

Problème spécialisé. — yi une section conique donnée et décrite xur un plan, inscrire un polygone de m sommets dont les côtés ^ prolongés s'il le fmity passent respectivement, et dans un ordre assigné, par autant de points situés arbitrairement sur ce pUm, en ne faisant usage que de la règle ?

Je donnerai de ce problème deux solutions, l'une et l'autre entièrement géométriques et assez remarquables, ce me semble, par leur simplicité et leur généralité. Dans la première, je commencerai par examiner les cas ])arliculicrs du triangle et du quadrilatère, et j'indiquerai ensuite les constructions à effectuer pour ramener la solution du cas général à celle de ces derniers (*).

On peut remarquer, au surplus, que la question, dans tous les cas, se réduit évidemment à assigner l'un des sommets du polygone demandé, attendu que, ce sommet une fois déterminé, la solution s'achève, avec la règle seulement, do la manière la plus simple. Nous supposerons constamment, dans tout ce qui va suivre, que les points donnés, pris dans l'ordre de succession qu'on aura choisi à volonté, sont />, //, />",... y^^"*', et que le sommet cherché, que nous appellerons dernier sommet, est celui de l'angle dont les côtés passent respectivement par les deux points extrêmes p ety"'\

Observons enfin qu'une corde do ligne courbe, supposée double et contenant deux points quelcoiupies donnés sur son plan, peut être considérée comme une sorte de polygone à deux côtés seulement el dont les côtés passent respectivement par ces deux jKjints.

Première solution : graduelle. — i** Pour deux points donnés p, p\ Joignez ces deux points par une droite, dont chacune des intersections avec la courbe pourra être prise pour le sommet cherché.

2** Pour trois points donnés /?, /?', p". Inscrivez à volonté, à la section conique, une portion de polygone de trois côtés, dont le premier //^ passe par p^ le second bc passe par/^', et le troisième rd jrar //. Tracez la polaire de Tun queUîonqne des deux points extrêmes 77, /?•, de/?' par exemple ;

{*) Les persouiiCB qui n'ont pas entre les mains le Traite des Propriétés projectives pourront recourir au I*' Cahier de ce second volume des Applications y pour le tracé des figures et les démonstrations géométriques, et au t. V^ (Cah. UT à VI) pour les démonstrations analytiques et les discussions indispensables. Quant h ce qui concerne les propositions relatives aux courbes géométriques en général, le» lecteurs trouTeront dans le !!« Cahier du présent volsme des moyem de confietion trés-snfliianto.

47^ W CAHIER. - ARTiaES DIVERS DE GËOIIËTRIE

et menez par les deux autres y^, p\ une droite qui viendra couper cette polaire en q. Menez, par q et r, une sécante coupant de nouveau la courbe en r. Menez enfin rd, coupant la polaire en P', et ra coupant l'autre droite pp*q en P. Alors traçant PP', chacune des intersectioiis de cette droite avec la courbe pourra être prise pour le sonunet cherché.

3** Pour tjuatre ]X)ints tlonnés /;, p\ /;", /;'*. Inscrivez à volonté, à la section conique, une portion de polygone de quatre côtés, dont le pre* mter côté ah passe par /?, . le second hc par p\ le troisième ctl par p*\ et le quatrième de par /7"\ Menez par les deux premiers points /», p\ et par les deux derniers //', y?'", deux droites indéfinies se coupant en 7. Menez, par 7 et c, une sécante coupant de nouveau la courbe en r. Menez enfin m, re, coupant respectivement les droites indéfinies qpp\ qp'p'^ en P, P'. Alors traçant PP', chacune des rencontres de cette dernière droite avec la courbe pourra être prise pour le sommet cherché.

4^ Pour des points donnés^ au nombre de plus de quatre. Inscrivez, à volonté, à la section conique, une portion de polygone d'autant de côtés qu*il y a de points donnés et dont les côtés passent respectivement par ces points. Soient traités quatre côtés consécutifs quelcx>nque8 de cette portion de polygone comme il a été dit de la portion de polygone elle-même, dans le cas prêchent. On obtiendra ainsi deux points P, P'. En les substituant à ceux par lesquels passaient les quatre côtés consécutifs, on se trouvera avoir en tout deux points de moins qu*auparavant. En continuant ainsi à diminuer de deux unités le nombre des points donnés, tant qu'ils se trouveront au nombre de plus de troi^, on arrivera enfin à n*avoir phis que deux ou trois points, que Ton traitera comme il a été dit au premier ou au second cas.

Deuxième solution : directe. — Le nombre fies points donnés étant quelconque. — Inscrivez à volonté et successivement, à la section conique, trois portions de polygones d'autant de côtés qu'il y a de points donnés et dont les côtés passent respectivement par ces points. Soient a, a\ a* les premières extrémités de ces portions de polygones, et /-, 4', X-* les dernières, respectivement. Soient considérés ces six points comme les sommets d'un hexagone inscrit à la section conique, ayant pour sommets opposés aei A'j a' et X-', a* et X-*; les trois points de concours de ses côtés opposés seront, comme l'on sait, sur la même droite, et cette droite coupera la section conique en deux points dont chacun pourra être pris pour le sommet cherché.

Quelque incontestable que soit la supériorité do cette seconde solution sous le rapport de la généralité et de la symétrie, je crois cependant devoir Caire observer que, lorsque les points donn^ sont peu nombreux, la première semble lui être préférablcsous le rapport de la sim|>licité, car elle exige le tracé d'un moindre nombre de lignes.

Toutes ces constructions ayant une partie arbitraire, on peut profiter de

ce qu^elles présentent d'indéterminé pour les rendre plus simples. Par exemple, on peut faire passer l'un des côtés extrêmes de la portion de polygone par les deux premiers ou les deux derniers des points donnés. Ce côté comptera alors pour deux, et l'extrémité de la portion de polygone pourra être indistinctement supposée à l'une ou à l'autre de ses extrémités. En appliquant cette remarque au cas du triangle dans la première solution, on aura deux manières de déterminer le point P' sur la polaire /?'. On pourra donc se dispenser de construire cette polaire, et la recherche du sommet inconnu se réduira ainsi au tracé de neuf lignes droites seulement.

On voit, par ce qui précède, que, pour un ordre de succession quelconque des points donnés, le problème peut avoir deux solutions au plusl Puis donc que nous avons trouvé d'ailleurs que ces différents ordres étaient au nombre de 3.4-5. . . ( z;? — i), il s'ensuit que le nombre des solutions sera au plus de i .1 . 3 . . . ( w — 1).

Quoique nous ayons annoncé que nous n'insisterions pas sur le second des deux problèmes généraux que nous nous sommes proposés, à raison de l'extrême facilité avec laquelle il se ramène au premier, nous ne pouvons cependant nous refuser au plaisir de faire connaître une construction directe de ce problème, tout à fait remarquable par sa parfaite analogie avec celle donnée en dernier lieu pour l'autre. La voici :

Circonscrivez successivement et à volonté à la section conique, trois portions de polygones d'autant de sommets qu'il y a de droites données, et dont les sommets soient respectivement sur ces droites. Soient /i, a, cl* les premiers côtés de ces portions de polygone, et A-, k\ k" les derniers respectivement. Soient considérées ces six droites comme les côtés d'un hexagone circonscrit à la courbe, ayant pour ses côtés opposés a et X-, a' et /-', a" et A", les trois diagonales joignant les sommets opposés de cet hexagone se couperont, comme l'on sait, en un même point, et la polaire de ce point déterminera, par son intersection avec la courbe, deux nouveaux points dont chacun pourra être pris pour le point de contact de cette court)e avec le polygone cherché.

Parmi le grand nombre de cas particuliers que peuvent offrir nos deux problèmes relativement à la situation des points ou des droites donnés, il en est deux qui sont trop remarquables, soit par les circonstances qu'ils présentent, soit par la simplicité de la solution qui leur est relative, pour que nous puissions nous permettre de les passer sous silence ; ce sont les deux suivants :

\** Â une section conique donnée y inscrire un polygone donné de toitt de sommets qiûon voudra^ dont les côtés passent par un même nombre de points donnés f situés sur une même ligne droite , en faisant usage de la règle seule?

a° A une section conique donnée^ circonscrire un polygone de tant de côtés qu^on vouilroy dont les sommets s'appuient sur un égal nombre de

droites données j concourant en un même points en faisant au^si usagr de la rrgie seulement ?

Solution du pbbmier de ces moBLÊMES. — Inscrivez, à Tolooté, à la courbe proposée, une portion de polygone dont les côtés passeat respectivement par les points donnes. Le nombre de ces points pourra être pair ou impair.

Le nombre des points donnés étant pair, &i le polygone ne se referme pas de lui-mémo, le problème ne pourra pas être résolu ; et si, au contraire, il se referme de lui-même . tout eutre se refermera également , et, conséquemment, le problème sera susceptible d'un nombre indéfini de solutions.

Le nombre des points donnés étant impair, la corde qui joindra les deux extrémités de la portion de polygone ira couper la droite unique qui contient les points donnés en un point dont la polaire, par son intersec^ tion avec la courbe, déterminera deux points dont chacun pourra être pris pour le dernier sommet du polygone demandé.

Solution du sbcoiid problème. — Circonscrivez, à volonté, à la courbe, mie portion de polygone dont les sommets s'appuient respectivement sur les droites données. Le nombre de ces droites pourra, selon les cm, être pair ou impair. %

Le nombre dos droites données étant pair, si les deux côtés extrêmes de la portion de polygone ne se confondent pas en un seul, le problême ne pourra être résolu ; et si, au contraire, ils coïncident de manière à ibrmcr un polygone fermé, ce polygone et tous les autres qu'on poum construire sous les mêmes conditions que celui-là, résoudront le prcri^lème, qui ainsi aura nne inanité de solutions.

Le nombre des droites données étant impair, la. droite qui joindra le point de concours des cêtés extrêmes de la portion de polygone avec la point de concours des droites données coupera la section conique en deux points, dont chacun pourra être pris pour le point de contact de cette courbe avec le dernier côté du polygone cherché.

Toutes les constructions précédemment indiquées sont {Hrindpalement déduites de deux théorèmes généraux dont nous nous bornerons, pour le présent, à faire connaître renoncé.

Théorisme I. — Un /x)lrgonc quelconque étant inscrit à une seetiom conique, si l'on vient à le faire varier tie toutes les manières poêsibèes, de façon cependant quUl ne cesse pas ePétre inscrit à la courbe, et qme tons ses côtés, un seul excepté, passent constatnment par des pôles fixes; le côté libre restera, dans son mouvement, pareillement tangent à autre section conique touchant la première en deux points.

Dams le cas partienlier oà tous les pôles fixes seront situés smr

même ligne droite et en nombre impair, ie côte libre tournera constamment autour iVun point fixe situé sur cette droite^

Théobëme II. — Un fx>lygonc quelconque étant circonscrit à une section conique j si Von vient à le faire varier de toutes les manières fwssiblesy de sorte cependant qu'il ne cesse pas (Petre circonscrit h la courbe y et que tous ses sommets^ un seul excepté, s'appuient constamment sur des droites fixes ; le sommet libre décrira, dans son mouvement, une autre section conique toucliant la première en deux points.

Dans le cas particulier où toutes les directrices, concourant en un même point, sont en nombre impair^ le sommet libre décrit une ligne droite qui concourt <mssi en ce jx>int.

Je passe à l'autre exemple que j'ai promis, au commencement de c^jtte lettre, en faveur de la Géométrie pure.

Problème. — Une section conique étant tracée sur un plan, et deux points étant donnés arbitrairement .s ur ce plan, le premier sur le j)érimètre de In courbe et le second quelconque ; déterminer autant de points qu^on voudra (Vunv autre section conique qtu, passant parles deux jyoints donnés, ait, au premier de ces points, un contact du troisième ordre at'ec la première, en faisant usage de la règle seulement.

Solution. — Soit P le (wint donné sur le périmètre de la courbe, et soit A l'autre point quelconque.

Soit menée en P, à la section conique donnée^ une tangente indéfinie. Soit menée aussi la sécante PA, coupant de nouveau la courbe en Q. Par un autre point quelconque R de cette courbo et par le point Q , tracez une sécante rencontrant en S la tan;j:enle en P. Menez enfin PR et SA, ces deux droites concourront en un point M, qui appartiendra à la courbe cherchée. En variant donc la position du point R sur la courbe donnée, on obtiendra tant de i>oints M qu'on voudra de la courbe inconnue.

Si le point A était infiniment éloigné, auquel cas l'osculatrice demandée devrait être une parabole ou une hyperbole, fa même construction subsisterait encore, mais alors elle ne pourrait plus s'exécuter avec la règle seulement.

Si, à la place du point A, on se donnait une tangente à rosculatrice demandée, hi construction, un peu différente dans sa première partie, ne perdrait rien d'ailleurs de sa simplicité. Il ne serait pas difficile, an surpins, de déduire de la précédente construction toute la Uiéorie des 08culations des sections coniques entre elles , mai^ ce n'est point ici le lieu.

Je crois. Monsieur, ces exemples suffisants pour l'objet que j'avais en vue. Mais, pour fixer Tattenlion d'une manière plus particulière encore, je crois devoir faire obsen^er que les problèmes qui viennent d'être résolus ne sont peut-être pas les plus difficiles de ceux que je suis parvenu à traiter jpar la Géométrie sans le secours du calcul algébrique. Entre les divers

476 VI* CAHIER. - ARTiaES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

exemples que j*eD pourrais citer, je me bornerai aux deux suivants <|uî, à raison de Tintérêt qu'ils présentent, semblent se recomoiander d'une manière plus spéciale.

i" Deu^ sections coniques étunt tracées sur un même plan, eonstrttire un polygone de tant de côtés qiCon voudra^ qui soit à la fois inscrit à l'une d'elles et cirronscnt h l'autre y en ne faisant usage que fie la règle?

a" En un point donné d'une courbe géométrique quelconque tracée sur un plan, mener une tangente à cette courbe, en ne faisant usage pareillement que d'une simple règle ?

J'ai peine à me persuader que la Géométrie analytique puisse i>arvenir à des constructions générales à la fois plus symétriques et plus élégantes que celles qui précèdent, à raison du grand nombre des données qui doivent simultanément concourir à la détermination des inconnues. Toutefois, Monsieur, après les exemples que vous avez offerts aux articles d^ cités des Annules^ il est peut-être prudent de ne rien préjuger sur ce point. C'est la faute que j'avais moi-même commise avant de connaître vos solutions, et cela prouve de nouveau qu'on ne doit jamais se hàler d'imputer à l'Analyse des imperfections qui souvent sont uniquement le fait de ceux qui ne savent point en faire un usage convenable (*).

SOLUTIONS DE PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE (** ), SUIVIES d'uNE THÊOIIIB DES POLAIRES RÉCIPROQUES ET DE RÉFLEXIONS SUR L'ÉLIMINATION.

(t. VIII des Annalei, ■«r janvier 1818.)

Quel est le lieu du sommet d'ujt angle mobile^ de grandeur invariMe^ perpétuellement ciramscrit à une section conique ? Quelle est la courbe

(*) Je supprime ici les réflexions que l'article précédent de philosophie m suggérées à M. Gergonne, et dans lesquelles, pour établir la supériorité des méthodcs algébriques sur celles de la Géométrie pure, il rappelait ses élégantes solutions des problèmes relatifs aux cercles et aux sphères tangents à d'antres donnés à volonté sur un plan ou dans l'espace. Mais , outre que ces solutions avaient été précédées par d'autres purement géométriques qui, sauf le manque do généralité , n'étaient point dénuées d'un certain mérite , le savant rêdacteur des Annales aurait dû ne pas oublier que le succès de ses méthodes trigonométriques est principalement dû à l'heureux mélange qu'il a su faire des considérations géométriques avec celles de l'Analyse algébrique. Moi-mèaie, je dots le reconnaître, j'ai eu le tort grave de ne pas déclarer que j'avais mis en usage la méthode des coordonnées de Descartes, pour établir les bases premières des théories et solutions géométriques énumérées dans le précédent Article, comme on peut s'en assurer à la lecture du t. 1*' de ces jipplietuions,

{**) Ces deux problèmes avaient été proposés à la p. 36 du mènM volasM des Annales^ Cahier d'août 1817; j'ai saisi la circonstance toute natarelle de

enveloppe de Li corr/e de contact, variable de f^randeur, de cet angle mobile ?

Ce problème, comme on le voit par Ténoncé, se partage en deux autres très-distincts> et quMi convient de traiter séparément :^ commencerai par le premier, qui parait le plus facile, c'est-à-dire par celui où il 8*agit de trouver le lieu du sommet de Tangle mobile et invariable de grandeur, constamment circonscrit à une section conique.

I. Supposons, afin d'embrasser tous les cas, que la courbe donnée soit rapportée à Tun de ses sommets comme origine ; les axes des x et des y se confondant, l'un avec l'axe principal, l'autre avec la tangente à son extrémité. L'équation sera, comme on sait, de cette forme :

Appelons a, p les coordonnées variables du sommet de l'angle constant circonscrit à la courbe; désignons par ///, m' les tangentes tabulaires des angles que forment, avec Taxe des ^r, les deux côtés de cet angle, et soit enfm /- la tangente tabulaire de t'anglo donné que doivent faire ces deux côtés l'un avec l'autre, nous aurons, d'après l'énoncé du problème, cette première équatiou de condition :

( 2 ) > = A-, ou m — /fi — A- ( I H- nw/ ).

^ ' I -h mm ^ '

Parmi les divers moyens de faire trouver ///, ///' en fonction des coordonnées a, ^, il n'en est point de plus simple que celui employé par M.Lefrançois, à la p. io5 de son Essai de Gêomvtric analytique. Nous le rappellerons ici en peu de mots, en l'appliquant au cas qui nous occupe.

Qu'on imagine une droite quelconque passant par le [)oint (a, p), et ayant par conséquent une équation de. cette forme :

elle rencontrera, en général, la section conique en deux points, dont on obtiendra les abscisses en combinant son équation ( 3) avec l'équation (i)

leur solution, pour obtenir plus aisément du rédacteur la rare faveur de faire imprimer un extrait des recherches, qui m'avaient dès lors occupé, sur la théorie des polaires réciproques, et dont, plus tard, M. Gergonne et d'autres ont su habilement tirer un si avantafreux profit, sans jamais avouer ni vouloir reconnaître l'emprunt fait aux méthodes et aux idées du présent Mémoire; procédé scientiflquc peu honorable sans doute quand il est calculé, volontain», mais qui, en revanche, permet, au dernier survenu, de passer de sou vivant pour un esprit original et inventif, tout en accordant d'ailleurs une scrupuleuse justice aux médiocrités du jour et des temps passés.

478 Vr CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

de cette courbe. En exprimant ensuite que les deux racines de Téqnation à laquelle on sera (lancnu sont égales , on obtiendra une éqiiatioB de condition, qui indiquera évidemment que la droite en question est devenue tangente à la courbe; et cette équation étant en a, ^, /it et des constantes, donnera précisément, pour Texpression algébrique de m, les valeurs cherchées w, m'.

Éliminant donc j entre les équations (i, 3), puis écrivant que les (]cux racines de la résultante en x sont égales, il viendra, toutes réductions faites, .

En désignant donc par ///, m' les deux racines de cette équation, on aura

retranchant la seconde de ces équations du carré de la première, il viendra, en extrayant la racine,

, BJ^''^Aa}^B<x

Aotr-^-BoL

on aura en outre

substituant à lear tour ces valeurs dans Téquation (a) et carrant, il >ient

Diaprés les conditions du problème, k est une quantité constante et donnée. L*équatipn qui précède fournira donc le système des valeurs de s et p qui répondent aux sommets des angles égaux circonscrits à la section conique, et sera par conséquent Téquation même de la courbe cherchée (*).

(*") Je supprime ici une longue note du rédacteur des Annales dans laqneDc il^prouTO, sur rcxemplc de l'oUipso, que l'équation (/|) est en cl lo-mâmc indécomposable en facteurs du 2" degré. Par contre, je ferai observer que la courbe à deui branches distinctes, reprt^sentée par cette équation et symétrique antour du centre de la proposée, mériterait une étude spéciale qui se rattache à la théorie des signes do position et des constantes mobiles dont nous nous sommes occupés dans la dernière partie du III* Cahier. Qu'il me suffise de dire que cette courbe, d'une construction géométrique facile et rapide, jouit de cette singulière propriété d'être coupée par chacune des tangentes à l'ellipse directrice, en quatre points réels et distincts, susceptibles d'être déterminés par des opérations graphiques qui ne dépendent que du second degré, e'esl-à-dire de la règle et du compas. (Cette note et les trois précédentes datent de t863.)

II. Cette courbe est, comme on le voit, du quatritoie degré, et il est aisé de s'assurer, par un simple déplacement de l'origine sur Taxe des .r, qu'elle est concentrique avec la proiK)sée ; mais c'est à quoi nous ne nous arrêterons pas, non plus qu'à discuter son cours et ses propriétés. Nous nous bornerons à parcourir, d'une manière succincte, les cas particuliers déjà connus où son équation s'abaisse au second degré, et représente par conséquent une section conique ( * ) :

I* Si Tangle mobile circonscrit est nul ou égal à deux droits, ce qui arrive lorsque ses deux côtés se confondent, la constante /- est nulle aussi, et l'équation ci-dessus devient

c'estrà-dire l'équation même de la section conique, ce qui d'ailleurs est évident à priori (**).

2*^ Si la courbe donnée est une circonférence de cercle , A sera égal à l'unité, et l'équation (4) deviendra, en développant et ordonnant par rapportàp--+-a»4-i?a,

d'où l'on tire

équation qui représente le système de deux circonférences concentriques avec la proposée, comme cela était facile à prévoir.

3° Si l'angle invariable est droit, h sera inûni, et l'équation (4) deviendra

c'est l'équation d'une circonférence de cercle, concentrique à la section conique donnée. En supposant que A soit nulle dans cette équation, auquel cas l'équation (i) de la section conique donnée devient j^-|- J5j: = o, et représente une parabole, elle se réduit à cette forme encore plus simple,

4a — B = o; c^est évidemment l'équation de la directrice même de cette parabole.

(*) Voir un Mémoire do Lahirc, dans le volume de V Académie royale des Sciences, de Paris, pour 1704. {Note de 1817.)

{**) Dans le cas où k est nul, on satisfait encore à l'équation (4) on posaat

4^(/3«-»- a«)H- 4 /?a - Jî*=: 00 ;

c'est l'équation d'une circonférence concentrique avec la section eonique, ayant un rayon infini. C'est qu'alors les deux côtés de Tan^ invariable circonscrit sont parallèles. . {Note de M. Gergontie.)

48o VI' CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GË(»IËTRIE

4" Si, enân, sans rien statuer sur la valeur de X-, on suppose, comme daqs le cas précédent, que la courbe donnée soit une parabole, et que, par conséquent, A soit égal à zéro, Téquation générale (4) deviendra, en l'ordonnant,

fl'— X'af'H i— î- — ia s- = o;

équation d! Mue hyperbole (*) dont le grand axe se confond, pour la direction, avec celai de la parabole donnée, et qui, de plus, a Tun de ses foyers en commun avec cette parabole, comme cela a été énoncé à la p. 1 3 du présent volume dos Annales (t. VIII).

Pour prouver cette assertion, proposons-nous de rechercher les foyers de r hyperbole dont il s'agit.

On sait qu'un des caractères du foyer d'une section conique, quand elle est rapportée à son grand axe comme axe des abscisses, est que sa dislance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationneUe et entière de l'abscisse correspondante. Nommant donc /la distance inconnue de ce foyer à l'origine, on aura, en faisant attention à Féquation ci-dessus de l'hyperbole, pour la distance de ce point à un point quelconque (a, ^) de cette même courbe.

Cette expression ne peut être rationnelle, à moins que la quantité sous le radical ne soit un carré parfait; /doit donc être telle, qu'on ait

(*) Si, comme le prouve M. Gergonne, la courbe que représente l'équation i[\) est réellement du \* de^'s on peut se demander ce qu'est devenue la seconde branche de cette courbe, distincte de Thyperbole. Or, k n^entrant qu'au carré dans les équations de l'une et l'autre courbes et représentant la tangente tabulaire d'un angle constant, il est évident qu'au point de vue géométrique, cet angle peut recevoir, dans le tracé de la courbe lieu du sommet mobile, toatcs les ouvertures qui correspondent en général ii une même valeur, positî%-e oo négative de k; tel est un angle aigu donné et son supplément, etc. Dés lors, il y a lieu de considérer deux angles circonscrits et distincts comme le suppose la première des notes ci-dessus, et par conséquent, pour chaque tangente de la parabole directrice, quatre sommets d'angles circonscrits dont deux sur l'hyperbole et deux à l'infini, appartenant à une branche conjuguée à l'hvperbole, doublement rectiligne, elle-même à l'infini; ce qui prouve que tous les mystères de la Géométrie analytique ne sont point jusqu'ici entièreiiient éclaircis. (AWc </r i8C3,)

ou, en développant et ordonnant,

d'où Ton lire pour /ces deux valeurs

dont la première est évidemment l'abscisse du foyer de la parabole donnée. Donc, en effet, ce foyer est aussi un de ceux do l'hyperbole qui nous occupe.

Pour compléter le rapprochement entre ces deux courbes, nous allons faire voir qu'elles ont une directrice commune, correspondant précisément au foyer ci-dessus.

La directrice d*une section conique, répondant à l'un de ses foyers, n'est autre chose, comme on le sait (Brianciion), que la polaire même de ce foyer ; ce caractère la distinguant de toute autre droite tracée sur le plan de cette courbe, il paraît convenable de la désigner par l'expression de polaire focale y qui en rappelle la nature d'une manière plus complète et plut absolue que le mot commun et générique de directrice^ et c'est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre. Afin de déterminer cette polaire dans le cas actuel de l'hyperbole trouvée, soient x\ y' les coordonnées d'un point quelconque, considéré comme pôle; 1 équation de la polaire qui lui correspond sera évidemment (*)

Si Ton substitue pour y* et x' les valeurs o et — 7-1 qui appartiennent,

comme nous l'avons vu ci-dessus, au foyer de l'hyperbole commun à la parabole donnée, cette égalité deviendra

4x — -fi = o;

équation qui appartient précisément à la polaire focale de la parabole dont il s'agit ; comme on s'était proposé de le démontrer.

III. Passons maintenant à la solution de la seconde partie du problème proposé, celle où il s'agit de trouver la nature de la courbe enveloppe de la corde de Tangle mobile et constant, circonscrit dans toutes les posi<^ tiens de cet angle.

(*) Ici, comme dans tout ce qui va suivre, je suppose que l'on ait une connaissance parfaite de la Théorie anaiytiqHc des pôles, exposée par M. Gergonne, à la page 293 du t. III de ce Recueil. {Note de 1817.)