II. 3i

4SI Vf CAHIER. ~ ARTiaES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Jo remarque d'abord que la corde dont il s'agit n'est autre chose qse la polaire du sommet mobile (a, p), et que, de plus, la courbe que parcourt ce sommet est déjà connue par ce qui précède ; d'où il suit que la question se trouve naturellement ramenée à celle-ci :

Le pâle (Pline section conique étant assujetti à parcourir une courbe donnée, quelle sera la courbe enveloppe de la polaire de r.e point, dans toutes SCS positions?

On trouve facilement, par la théorie des pôles, que, pour la courbe (i), la polaire qui répond à un point [ol, ^] a pour équation

(5) 'xPy'\-['kAaL-\-B)x'\'B% = o.

Dans celte équation, p est une fonction de a, en vertu de l'équation (4); or, d'après la théorie des enveloppes, quand une ligne varie en même temps qu'un certain paramètre^ qui entre dans son équation, on obtient une nouvelle relation appartenant au point correspondant de Tenveloppe, c'est-à-dire appartenant au point où cette ligne la touche, en diflérentiant l'équation, par rapport à ce paramètre comme variable, et regardant les coordonnées courantes comme constantes. DiiTérentiant donc l'équation (5) par rapport à a, et laissant x ti x constantes, il viendra cette

nouvelle équation

d9 a-i-j4-a^x4--fi = o,

qui servira, conjointement avec celle ci-dessus, à calculer les coordon-

nées j?, jr d'un point de l'enveloppe, quand a, ^ et -p seront consus.

dô On obtiendra la valeur de -p en diflérentiant l'équation (4) par rapport à a et p, ce qui donnera

d| __ a^«4-^ P [4^(P»4-a^)-f-4^g- ^] -> i J?» ûol" a^ ' ^X'f4^(6'4-a')4-4i?a-^*] — a^B'"

Substituant cette valeur dans Téquation trouvée ci-dessus, elle deviendra

I(2^a4-JÎ){X'^[4^(f'-|-a')-+-4i?a~^T-aJ5'|^ - a^Pj^/-»[4^(f^+a»)4-4^a~^]-a^»}x - ^Pj^»[4.^(p'+a*)-|-4^a-^*]-2^»j=:o.

Cette dernière équation et l'équation ( 5) devant, d'après ce qui précède, donner conjointement un point (x,y) de la courbe cherchée, quand on v mettra, pour a et p, des valeurs qui conviennent à l'équation ( 4 ), il s'ensuit que, en éliminant a et ^ entre ces trois équations, on obtiendra, en X et /, Téquation même de cette courbe.

rv. A ne consulter que le degré de chacune de ces équations, on voit

que l'équation finale poutrait s'élever jusqu'au Sa* degré ; et, en supposant que réquation linéaire (6) ne se comporte que comme une équation du i" degré, ce qui est assez probable, on voit que celte écjuation monterait encore au i6* degré. Il serait, à ce que je crois, long et pénible d'effectuer en toutes lettres cette élimination, à cause des facteurs étrangers qui, nous le verrons plus tard pour un cas particulier, compliquent nécessairement le résultat final auquel on doit parvenir. J'avoue que je n'ai pas eu le courage de l'entreprendre , quelle que fût d'ailleurs ma bonne volonté de le faire.

Ce|)endant, comme c'est une question fort intéressante en elle-même que celle de trouver, en général, quel est le degré de la courbe sur laquelle roule la polaire d'une section conique, quand le pôle parcourt une courbe de degré donné, et réciproquement, j'ai été entraîné à faire les recherches suivantes, qui. je l'espère, pourront dédommager en partie le lecteur de l'attention qu'il aura bien voulu accorder à Tébaucho infructueuse que je viens de lui offrir.

Tliéorie des fxihiires réciproquex,

V. Avant d'entrer en matière, j'exposerai, pour l'intelligence do ce qui va suivre, ce théorème général, qui résume en lui-mémo toute la théorie des pôles et polaires :

Si un certain fwint est situé sur une ligne droite tracée dans le plan (Pune section conir/uCy sa polaire passera par le pôle de cette < Imite,

Soit a le pôle d'une certaine droite, assujetti à parcourir une courbe quelconque tracée sur 1q plan do la section conique qui sert do directrice ou ^Intermédiaire ; si l'on suppose que ce pôle a se déplace infiniment peu de sa position primitive sur la courbe parcourue, c'est-à-dire sur celle qu'il est assujetti à décrire, il n'aura pas quitté la tangente au point correspondant de cette courbe; d'un autre côté, sa polaire, d'après le théorème qui précède, n'aura pas quitté non plus un certain point }\\e, qui est le pôle même de la tangente en question. Or, ce point est précisément celui où la polaire de a touche la courbe enveloppe, puisqu'il est, par hypothèse, le point d'intersection de deux tangentes consécutives do cette courbe; donc, de même que chaque point de la courbe parcourue par le point a peut être considéré comme le pôle d'une certaine tangente de l'enveloppe ; i^reillement, chaque point de cette dernière peut, à son tour, être considéré comme le pôle d'une certaine tangente à la courbe [)arcourue par le f)oint a.

Il résulte de là que les deux courbes dont il s'agit jouissent de propriélés réciproques à l'égard de la section conique qui leur sert d'intermédiaire ou de directrice commune; c'est-à-dire que la courbe des points a peut être considérée à son tour, comme enveloppe commune des polaires des divers points de l'autre, et vice versa; on peut donc appeler l'une do

ces courbes la réciproque de Tautre; et, comme chacune d'elles peut être considérée comme le lieu des pôles des éléments de sa réciproque, on peut, pour plus de précision encore, l'appeler sa polaire réciproque. Cette dénomination permet d'exprimer ainsi, d une manière très-abrégée, les conséquences des remarques qui précèdent :

La polaire réciproque (Tune courbe donnée sur le plan d'une sectiom conique y est à la fois le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette première courbe, et l'enveloppe de r espace parcouru par les poiaires des points de cette même courbe.

En langage ordinaire, cette proposition s'exprimerait ainsi : Une courbe quelconque étant donnée sur le plan d^une section conique^ celle sur laquelle roule, dans son mouvement, la corde de contact de l* angle mobile et variable circonscrit à cette section conique dont ie sam" met parcourt constamment la courbe donnée, est aussi celle que depraH décrire le sommet d'un autre angle mobile et variable, circonscrit à la section conique, pour que l'enveloppe de r espace parcouru par sa corde de contact fût la première courbe elle-même,

VI. Supposons actuellement, afin de reconnaître quel est le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée, que Ton trace arbitrairement dans son plan une ligne droite quelconque ; cette droite la rencontrera, en général, comme Ton sait, en autant de points que son degré renfermera d'unités. Or, d'après ce qui précède, chacun de ces points est le pôle d'une certaine tangente à la courbe donnée ; et, par la théorie des pôles (V), cette tangente passe nécessairement par le pôle de la droite arbitraire; donc cette dernière rencontrera la polaire réciproque en autant de points que, par son pôle, on pourra mener de tangentes à la courbe donn<!e. La question se trouve ainsi ramenée à celle-ci :

VII.. Combien, (Pun point arbitrairement donné, sur le plan (Tune courbe quelconque, peut-on mener de tangentes à cette courbe?

Dans le cas où la courbe est transcendante, on sait qu>n général on peut lui mener, d'un point donné, une infinité de tangentes réelles ou imaginaires; donc, la polaire réciproque qui lui correspond sera suscep* tible d'être coupée en un pareil nombre de points réels ou imaginaires, par une droite arbitrairement tracée dans son plan (VI), et sera par conséquent transcendante elle-même comme la proposée; mais ce n'est pas là le cas qui nous intéresse. Passons donc à celui où la courbe proposée est purement algébrique.

Dans ce cas, en désignant par m le degré de la courbe dont il s'agit, le nombre des tangentes possibles, parlant d'un même point, sera fini; et, salivant Waring (*), il ne saurait surpasser le carré de m. Mais nous allons faire voir que le nombre effectif de ces tangentes est, en général

(*) MiscelUmea anafytica, p. loo.

et au plus //»(/« — i); ce qui diminue cîe m le nombre indiqué par ce géomètre.

Supposons, en effet, qu'on mette en perspective la courbe et le point donnés, de manière que ce point soit situé à une distance infinie; les tangentes, au lieu de concourir, deviendront alors parallèles; de plus, le degré de la courbe n'aura pas varié, non plus que le nombre des tangentes, puisque chacune des tangentes de la figure primitive se trouvera remplacée par sa perspective. Il suffira donc de démontrer le théorème énoncé pour le cas particulier où les tangentes doivent toutes être parallèles à une même droite donnée.

d Y Le coefficient difTérentiel du. premier ordre -p d'une courbe plane

quelconque étant Texpression même de la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec l'axe des x^ la tangente au point correspondant de celte courbe, il suffira, dans le cas actuel, d'écrire que cette expression est égale à une quantité donnée et constante (*); ce qui fournira une équation de condition, exprimant la relation qui doit exister entre les coordonnées des points de contact cherchés, et servira par conséquent, con-

(*) En proposant, dans des notes annexées à cet alinéa, do simplifier davan* tage encore la démonstration en prenant pour axe des x la droite ù laquelle les tun{jentes doivent être parallèles, ce qui dispense de considérer le dénomi> nateur de Tcxpression al^jébrique du coefficient diflerentiel, le Rédacteur des j4nnaïcs me paraissait avoir parfaitement saisi IVsprit et la rigueur géométrique de ce mode abréviatif de démonstration. Comment donc se fait-il qu'après s'y être associé, en 1817, pour établir la vérité du théorème ci-dessus relatif aux m{m — 1) tangentes à une courbe plane du degré m, issues d'un point donné, M. Gergonne ait complètement oublié ou méconnu ce théorème en i8j6, et qu'il ait fallu mes avertissements réitérés et ceux de Bobillier, qui en reportait faussement d'ailleurs le mérite à M. Vallès, pour que l'auteur d'une fictive dualité revint de ses absurdes prétentions à l'encontre d'une théorie assez largement ébauchée dans le présent Article des Annales pour que les conséquences en devinssent d'une évidence palpable aux esprits non imbus de billev(»8ées métaphysiques? On le concevra facilement si l'on réfléchit que le théorème en question faisait crouler un vaste échafaudage philosophique, enté sur un principe tiré lui-même d'une incomplète analogie, et dont l'erreur, le manque de généralité obligaieut l'inventeur à substituer au mot degré celui àfïclassr, en cela averti, guidé par mes propres critiques et les observations (^ue coiUenait déjà le n" VIII du texte ci-dessus. Mais cette tardive rectification do-mots n'a point modifié les prcti'ntions de M. Gergonne et de ses admirateurs intéressés, qui se gardèrent bien do reconnaître ostensiblemeni; mes droits, évidents pour tout géomètre nourri des doctrines de l'École de Monge, à la priorité de Tinrention du principe de réciprocité polaire, du moins quant aux propriétés descriptit>es ou de situation des figures, les seules dont M. Gergonne et ses adeptes se fussent occupés. Je n'avars alors, il est vrai', rien publié de bien, explicite sur la dualité des rclatkons métriques projecti%-es, {J\ote de 186.^.)

m \V CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

jointement avec celle de la courbe donnée, à déterminer tous ces pointa de contact. Or, lexpression du coefficient différentiel d'une courbe du de°;ré m est une fonction dont le numérateur et le dénominateur ne sont évidemment que du degré /if — i ; donc Téquation de condition dont il s'agit sera elle-même du degré w — i, et l'élimination de a: ou de j', entre elle et la proposée, du de^i^ré //?, conduira à une équation finale qui s'élèvera-, tout au plus, au degré /7i(/7i — i), comme cela résulte des théories connues. Donc, fmaloment, on ne saurait mener à une courbe de degré m plus de m(ni — i) tangentes par un point quelconque de son plan.

Dans la démonstration qui précède, nous n'avons fait usage des considérations de la perspective que iK)ur abréger ; il ne serait pas difficile de démontrer le principe établi^ d'une manière directe et tout à fait algébrique; mais cela nous aurait entraîné dans quelques calculs que, bien qu^ils soient fort simples, nous avons préféré épargner au lecteur.

VIII. L'équation de condition dont il a été question ci-dessus, étant en général du degré m — i entre les coordonnées jc et r des points de contact, représente évidemment une courbe f/e ce degré qui coupe aux mcmva points la courbe proposer. Si, par exem[)le, celle-ci est une conique, on aura m—\ = \\ d'où il suit que les points de contact, au nombre de deux seulement, se trouveront sur une certaine droite, qui sera évidemment la polaire du point de départ des tangentes. Si la courbe donnée était du troisième degré, lo nombre des points de contact serait .*■/>, et la courbe qui couperait la proposée en ces points serait une section conique. Ces deux courbes, la proposée et celle qui la coupe suivant les points de contact des tangentes issues d'un même point, jouissent en général de propriétés nombreuses ot remarquables; mais ce serait sortir du sujet qui nous occupe que de les fairo connaître ici (*).

IX. Nous venons de voir que, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique du degré //?, on ne peut mener plus de

{*) Ceci 8C rapporte aux théories (rêométrico-aiialytiqiios qui terminent le III* Cahier de ce volume (p. i49ctsuiv.), rèdifrc dans l'hiver de i8i3 à 1816. • Oift mêmes théories ont été reprises et développées avec succès, en 18*^7, par Kobillier, esprit intelligent et bingulièrement actif, déjà cilé dans le premier volume do ces ulpplivations, et qui, après avoir épousé les idées de M. Ger- (▼onne, voulut bien cnfiu reconnnitrc sa propre injustice à mon égard, dans une correspondance et des relations particulières dalaut de i8'j8 à 18:29; époque fkù il se lia d'une amitié sincère av(;c moi par rinterniédiniro île M. Rardin, prolf^SMHir h rKcole ré^rîmentaire d'artillerie, de Met/, et l>ien au lait de mes anciens travaux de Gé(miétrie. OrUiinemeiit, la réciprocité polaire et d'autres grands priucijK's de Géométrie, découverts dès avant i8.>'| et dont on a déduit, sans prononcer mon nom, tant de théorèmes et de corollaires évidents-, naift

IN (//} — ]) tangentes à cette courbe; donc(YI) la polaire réciproque d*une courbe donnée, de degré //?, ne pourra être rencontrée, à son tour, en plus de m ( //< — i ) points, par une droite quelconque, tracée arbitrai* renient sur son plan ; et tel sera par conséquent, en général, le degré de cette même courbe.

Prenons pour exemple particulitT le problème qui fait le sujet de cet article. Nous avons vu (I) que le sommet mobile de Tangle constant, perpétuellement circonscrit à une section conique donnée, parcourait, dans toutes ses positions, une courbe du quatrième degré; donc, dans co cas, le degré de \'A courbe envelo()pe de Tespace parcouru par la corde de contact ne saurait être au plus que /i(i — i) = i%: ce degré pourra d'ailleurs être moindre, attendu que la courbe parcourue par le sommet de langle n'est pas la plus générale de son de;;ré ; mais, vu la complication des éliminations à effectuer (IV), c'est déjà quelque chose que d'avoir prouvé que la courbe enveloppe ne saurait être d'un degré plus élevé encore.

Quoique la réciproque d'une courbe donnée soit en général du degré //t(m — I ), quand le degré de celle-ci est /», on ne i>eut cependant lui mener, d'un point pris arbitrairement sur son plan, que m langonles au plus; bien qu'il semble (VII) que le nombre des tangentes possibles, pour une courbe de ce degré, soit //i (/// — i ) [#/i{/w — i ) — i ]. Mais c'est que cette courbe n'est pas générale, c'est-à-dire qu'elle est d'une espèce particulière parmi toutes celles du même degré, et qu'une courbe du degré m n'a pas toujours et liécessairement m ( //i — i ) tangentes possibles concourant en un même point, pris à volonté sur son plan. La parabole cubique, par exemple, n'a au plus que trois tangont(^, soit ridelles, soit imaginaires, passant par un |)oint arbitraire, quoiqu'une courbe du troisième degré puisse en général en avoir six, comme nous l'avons vu cidessus. On peut s'assurer toutefois que, même dans ce cas particulier, la courbe de contact est encore une section conique, comme dans le aie général ; mais sa nature et sa situation sont liées à colles de la |)urabole cubique de manière à no confier celle-ci qu'en trois points au plus.

(!trun{;(*rs au but gonerul qut* je chorchai» à attoiiidro; rortainoinrnl ros pritiri|>os ftont devenus aujourd'hui Totijct d'une inlinite de dëinoii»trati(»iis ({éoiuetriqucB ou algéltriques, élé(;:intes et lacil(>»; niaÎH, envisagés comrn<> jtoint de dc'|turt d'autant de doetrim^A philosophiques et de duplication des vérités connui*s, ils ont acquis une universalité d'application et une port(*e que l'on nierait en vain, et qui 4>t>t entièrement comparable à celle de la doctrine des proj(*ctions centrales ou de rhoniolo(;ic, dont Jacobi et quelques esprits d'élite ont luit c'omprendré l'inlluence, même pour le» pro{;iva ultérieurs de l'AnahHe al(;ebrique (!«*ei me dispensa» de revenir sur leur extrême importance, et repond a bien des déni- {rn*mentK, d'injustes dédains, ou a des insinuations obliques, qui, pour répofpie actuelle, ont été Torijine de tant de confusion, de méprises el d'oublis plus t»u moins volontaires. (.Vo/e de iK(i/|.

488 VI" CAIflER. — ARTiaES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

X. La dépendance intime entre une courbe donnée et sa polaire réciproque est extrêmement remarquable, comme on a pu le voir par tout ce qui précède ; nous ajouterons de plus, pour compléter ce rapprochement, que : i° les points d'inflexion de Tune correspondent aux points de rcbrousscment do l'autre, et réciproquement; a° les points situés à rinfini sur Tune correspondent aux points de contact de l'autre avec les tangentes partant du cenire de la section conique directrice; 3** ces points de contact sont précisément les pôles des asymptotes de la première, et ces mômes tangentes les polaires des points situés à Tinfîni où ces asymptotes la touchent; 4** quand la proposée a une ou plusieurs branches /wrab()/ifjuesy c'est-à-dire une ou plusieurs branches dont les asymptotes sont entièrement à l'inGni, la réciproque a un même nombre do branches passant par le centre do la section conique directrice ; 5** celte réciproque est ouverte ou fermée, suivant que de ce cenire on peut ou ne peut pas mener des tangentes à la courbe dont il s'agit; et le nombre de ses branches infinies est précisément égal au nombre de ces tangentes possibles; 6*^ les points multiples do la courbe donnée sont les pdles des tangentes communes à la fois à plusieurs branches de la réciproque, et précisément à un nombre de branches marqué par Tordre de roulliplicité des points dont il s'agit. Les points de contact de ces sortes do tangentes sont des points singuliers très- remarquables dans les court>es, ei général; et Ton voit qu'ici ces points de contact sont les pôles des tangentes aux points multiples de la courbe primitive ; 7" etc.

Toutes ces consé(juences découlent naturellement des n** V el VI qui précèdent, et il me parait inutilo de m'y arrêter davantage. Je terminerai ce que je me proposais de dire sur les polaires réciproques, en faisant connaître, au moyen d'un exemple particulier, assez remarquable, le parti qu'on en peut tirer pour la recherche ou la démonstration géométrique de certiûncs affections des lignes courbes, en général. Voici cet exemple :

Xî. Df'tijc courbes géométriques , Pune du degré m, et V autre du degré n, étant tracées sur un mcnic plan^ le nombre des tangentes (jui leur sont communes est en général et au plus mn (m — i)(n— i)(*).

(*) Qui no voit lu^tenrKMit, dans cette simple et orî(rinaIe application, la manifestation d'un principe, non de «/fm/iVt' universelle, va{riie et indéfinie, mais de réciprocité polaire, rigoureuse, giuiérule et embrassant l'ensemble des propriétés descriptives ou de situation^ c'est-à-dire indépendantes de toutes grandeurs absolues et déterminées, en un mot caractérisées par l'épithète de projectitTs; les seules, je le réjxHe, envisagées par M. Gergonno et ses fervents disciples? Qui ne voit encore que cette doctrine s'étend tout aussi bien aa cas de Tcspaor qu'à celui du plan, puisque Monge« proclanMi devant un savant auditoirPr immortel par l'immortel i.agrange, a non-seulement défini géomctriquemenl

Pour le prouver, iraçons dans le plan de ces deux courbes une section conique quelconque, et regardons-la comme la directrice commune aux polaires réciproques qui correspondent aux deux premières ; ces polaires seront(IX), en général, Tunedudegré/n (/w— i), et l'autre du degré /i (/i —1 ) ;

le pian polaire d*iin point, Vaxe polaire conjuré ou réciproque d'une droite quelconque par rapport à une surface du second degré, mais qu'il a également établi, cotte fois par des équations algébriques, les théorèmes n>latifs, soit au cône du degré m {m— i), circonscrit à une surface donnw de degré /n, soit à sa courbe de contact située sur une surface polaire de degré m — 1 seulement; théorèmes d'une généralité admirable, dont quelques esprits étroits, d'ailleurs fort peu doués du sens analytique, ont vainement couti^sté la rigueur de démonstration? {Jnntiles de Montpellier^ t. XV, i8j4 à i8aj, p. i33.)

De telles objections, si peu fondées au ]>oint de vue de la philosophie des sciences, et quelques autres inspirées par la lecture du Rapport de M« Cauchy sur la Théorie des propriétés projectives (i»oir VI* et Vil* Cahiers}, n'ont-elles pas ser^i de moyen d'excitation et d'encouragement ù la pédantesquc mais tardive manifestation (t. WI et Wil des j4nnalesj rH'jG et 1H27) du principe métaphysique de dualité? Or ce principe, en dehors de la théorie géométrique des pôles et polaires réciproques, ou des autres procédés de démonstration algébriques imaginés depuis iS'Jy, c'est-à-dire longtemps après mes démonstrations propres, ce principe constituait-il, je le demuude encore, autre chose qu'une simple induction, tirée du rapprochement d'un petit nombre de théorèmes particuliers parmi lesquels on distinguait ceux de Brianchon, dont l'énoncé remarquable était restreint aux figures hexagonales entièrement déta« chées de la directrice des pôles et polab'es? l/expo8<'', en double colonne, des applications de cette dualité dans les endroits cités des annales, manquait donc totalement de rigueur pour les courbes et les surfaces de degré quelconque ; aussi, dans sou «tat d'abstraction métaphysique, avait-il réellement l>esoin d'être rectifié, traduit et justifié par les procinles connus <Ie l'Analyse ou de la Géométrie.

Mais, si cette dualité douUmse et ses énoncés à double colonne réclumaieiit une telle contre-cîpreuve, il n'en était nullement ainsi de la réciprocité polaire, fondée à priori sur l'intuition et le raisonnement géométriques; d'autant plus que la loi des signes de position et le principe de continuité sur lesquels la méthode de Descartes repose inévitablement, constituent de véritables pétitions de principe di's qu'on prétend bannir la notion de l'inflni, et ont eux-mêmes, comme le témoignent une foule d'i'rcrits modernes, besoin d'ètn> justifiés, on tout au moins discutés d'une manière logique et sérieuse. C'est ce que j'ai tenté dans les lll* et IV* Cahiers de ce volume, d'une date antérieure à celle de 1817, où j'adressai le présent Article aux y4nnales de Mathématiques,

D*aprt»s cela, n'est-il pas évident que la prétendue découverte et les démonstrations analytiques diverses du principe? de dualité données depuis 18*^7, n'ont rien pu ajouter de bien essentiel aux doctrines dont il s'agit ici, et qui se trouvent suflisamment développées dans mes publications de i8.>'.> et i8'>'|, peutètiv déjà trop souvent citées, mais que des discussions où la vérité n'a p<»int toujours été r(*spectée, ont rendu indisj»cnsables après tant d'années de silence oblige, de ma part?

490 Vl« CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOUâTME

donc CCS courbes se couperont, en général, en m/i (/it — i) (it — i ] peints. Or, chacun de ces points, en tant qu'il appartient à lune des réciproque», est (V) le pôle d'une certaine ^ngente à celle des courbes données qui lui correspond, et en tant qu'il appartient à l'autre de ces mêmes réd* proques, il est aussi le pôle d'une certaine tangente à la seconde des courbes données; donc, un même pôle ne pouvant avoir qu'une seule et unique droite polaire, ce point d'intersection des deux réciproques sera précisément le pôle d'une tangente commune aux deux courbes proposées. De plus, il est visible qu'à son tour toute tangente commune à ces courbes est nécessairement la polaire d'un certain point commun aux deux réciproques ; d'où il suit que le nombre de ces tangentes communes sera précisément égal à celui des points d'intersection des deux récipcDqoes, c'est-à-dire w/i(/w — i)(/i — i), comme on s'était proposé de le démontrer.

Quant aux courbes polaires elles-mêmes, bien qu^elles soient d'un degré plus élevé que leurs correspondantes, elles ne sauraient évidemment avoir plus de mn tangentes communes, puisque leurs réciproques primitives, étant respectivement des degrés m et /?, ne sauraient se couper en plus de mn points.

Nous pourrions transporter les généralités qui précèdent dans Tespare, mais il sera plus convenable de descendre de ces mêmes généralités au cas particulier où la courbe donnée est une section conique, comme la directrice; parce qu'il se rattache au second des problèmes qui ont été l'occasion sinon lobjet principal de cet article. Nous terminerons par rechercher, d'une manière générale, Téquation de la polaire réciproque, [>our ce cas particulier, tant parce que cet objet n'a point encore été rempli d'une manière purement algébrique, que pour faire connaître la cause de la complication des équations du problème général qui nous a occupés dans le n° UI.

XII. Nous avons vu ci-dessus (VI) que le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée est, en général, égal au nombre des tangentes que l'on peut mener d un point quelconque à celte dernière ; or, dans le cas actuel d'une section conique, le nombre de ces tangentes est visiblement fleux; et il n'Cdt pas besoin, pour cela, de recourir à l'art. VII; donc la polaire réciproque d'une section conique donnée est elle-même une autre conique ; ce qu'on peut aussi ( V ) énoncer en cette manière :

Si le pâte (l'une section conir/ue se mciU .sans cesser d'appartenir à une nuire section conir/ue, sa polaire ne cessera pas non plus fie toucher une troisième conit/ue, différente des deux premières,

El réciproquement,

.SV la polaire (Tune section conitpie se meut y sans cesser (Vêtre tan^ gente h une autre section coni(pt€y son fjéle ne tpiittcra pas non plus une troisième conirpie, différente des deux premières.

Ces dciix théorèmes rentrent pour le fond, comme nous Tavons assez, fait voir, dans une proposition unique, qui ne diffiTe pas de cctio citée à la p. 4<>4 de ce volume. Le raisonnement qui précède en fournit une démonstration nouvelle, purement géométrique^ et qui me paraît aussi directe que simple ; elle s'étendrait avec facilité au cas où les sections coniques seraient remplacées par des surfaces du second ordre, situées arbitrairement dans Tespace, ce qui donnerait lieu au beau théorème démontré pour la première fois par M. Brianchon, à la p. 3o8 du Xiir Cahier du Journal rie C Ecole Polytechnique.

XnL Daprès ce qui a été dit ci-dessus (X), la polaire réciproque d'une section conique donnée sera ouverte ou fermée, selon que, du centre de la section conique directrice on pourra ou on ne pourra pas mener des tangentes à la section conique donnée. 11 suit de là que cette polaire sera une ellipse^ une parabole ou une hyperbole^ suivant que le centre de la directrice sera situé au dedans, sur ou bien en dehors de la section conique donnée. En remarquant en outre, d*après le môme article, que les points de contact dont il vient d*être question sont précisément les pôles des asymptotes de la polaire réciproque de cette même section conique, on en pourra conclure que la corde de contact qui joint ces deux points est, dans tous les cas possibles, la polaire même du centre de la réciproque à la courbe proposée.

De plus, si l'on fait attention (V) que deux sections coniques étant réciproques, les points de Tune sont les |>ôles des tangcnt*»s de l'autre, par rapport à la conique directrice, on en conclura aussi que ceux où l'une d'elles coupe cette dernière conique indiquent précisément sur cette courbe, les points de contact des tangentes qui lui sont communes avec l'autre.

Deux sections coniques étant données, rien ne sera plus facile, comme on le voit, que de déterminer les quatre tangentes qui leur sont communes. 11 sullira, en effet, de regarder l'une d'elles comme la directrice par rapport à l'autre, puis de chercher sur celte directrice les points où la coupe Ja réciproque de la première, et ces points seront ceux où elle est touchée [wr les tangentes en question. On pourra d'ailleurs tracer la polaire réciproque dont il s'agit, soit en en recherchcml le centre et les asymptotes, s'il y a lieu, au moyen de ce qui a été dit ci-<lessus, soit en en déterminant cinq points, à vohmté, avec la rè;;le seule, puis en traçant ensuite, au moyen de \ hexagone tnystùjuc de Pascal, la section conique qui passe par ces cinq points.

lie fier tons sur Tvli mi nation, à projTos des problèmes tlv la p, jjG.

XIV. Nous avons fait connaîlrc (H ) les cas pour lesipiels la courbe parcourue par le sommet d'un angle mobile, mais constant, perpétuellement

49a VI* CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

circonscrit à une section conique donnée, se réduisait eUe-mème à ud« autre section conique. Il résulte de ce qui précède que^ dans les mêmes cas, la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact de rangle mobile èo réduira aussi à une conique.

Examinons, en particulier, le cas où la section conique donnée est une parabole ; nous avons vu qu'alors le lieu de tous les sômnnets est une hyperbole, dont Taxe principal se confond, pour la direction, avec celai de cette parabole, et qui a un de ses foyers et la polaire focale correspondante confondus avec ceux de cette même courbe.

Puisque la courbe pai courue dans le cas actuel n'a aucune de ses tangentes passant par le centre de la parabole qui lui sert de directrice, c'est-à-dire n'a aucune tangente parallèle à l'axe de cette parabole, on en conclut de suite (XIII) que la polaire réciproque correspondante est entièrement fermée, et no saurait, par conséquent, être qu'une fUipse, Je dis de plus, que cette ellipse a un de ses foyers et la polaire focale correspondante en commun avec les deux premières.

En effet, si Ton se rappelle que, dans uno section coniqne quelconque, la droite qui passe par l'un des foyers et celle qui joint le pôle de cette droite aveclemème foyer, sont perpendiculaires entre elles, quel que soit d'ailleurs celui des systèmes de ces droites qu'on ait choisi en particulier, on pourra en conclure, pour le cas actuel, que, si d'un point pris, i volonté, sur la polaire focale commune à la parabole et à l'hyperbole proposées,. on mène à ces courbes quatre tangentes, deux pour chacune, les quatre points de contact seront situés, à la fois, sur une seule et même ligne droite, passant par le foyer correspondant, laquelle sera évidemment la polaire de ce môme point. Cela posé, appelons T le point de la polaire focale d'où partent les tangentes (*); P, P' les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c'est-à-dire à l'hyperbole; D, D* ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c'est-à-dire à la parabole ; F le foyer commun à ces mêmes courbes ; enfin, E, E' les ^K)ints où la droite PP' rencontre la courbe enveloppe, c'est-à-dire l'ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point E defenveloppe est le pôle de la tangente TP à l'hyperbole^ et ()ar conséquent, que le point P de rontact est, à son tour, le pôle de la tangente en E à l'enveloppe; or, le point P d'une droite PP' a nécessairement pour polaire (V) une droite passant par le pôle T de la première ; donc la tangente au point E de l'enveloppe passe par ce même point T; et, comme pareille chose peut se démontrer à l'égard de son cx)rrespoudant E', il s'ensuit que, par rapport à la section conique enveloppe, considérée en eHemême et indépendamment des deux autres, le point F est précisément le [)ôle de la droiie qui sert de polaire focale commune à celles-ci.

(*) Le lecteur est prié de suppléer la figure*

Maintenant, si l'on se reporto à l'observation d'où Ton est parti dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que, relativement à la section conique enveloppe, le point F est tel, que la droite EE' qui passe par ce point, et celle TF qui joint le pôle de celle dernière au môme point, sont perpendiculaires Tune à l'autre^ quelle que soit d'ailleurs la droite EE' qu'on ait choii^ie en particulier; or, il n'existe, comme Ton sait, sur le plan d'une section conique donnée, d'autres points que les foyers mûmes de cette courbe qui jouissent d'une semblable propriété (*). Donc le point F est en effet le foyer do l'ellipse enveloppe ; et par conséquent, cette ellipse a ce môme foyer et la polaire focale qui lui correspond, en commun, avec les deux autres sections coniques.

La première de ces deux conséquences a été avancée d'une manière gratuite, à la p. 4^4 de ce volume; et nous avons été bien aise d'en donner en passant la démonstration, sans faire usage d'autres principes que ceux déjà exposés dans le présent Article, et Sîms môme sortir du sujet principal qu'on s'y propose. Au reste, on pourrait démontrer, on suivant à peu près la marche qui précède, qu'en général la section conique réciproque d'une autre ne saurait avoir même foyer avec elle et avec celle qui leur sert de directrice commune, à moins que ces dernières n'aient, à la fois, môme polaire et môme foyer, comme ci -dessus.

XV. Proposons-nous maintenant, pour terminer d'une manière conforme à ce qui a été annoncé, de démontrer d'une manière purement algébrique le théorème du n" XII, aûn de faire connaître, par un exemple particulier, en quoi consiste la difficulté que nous avons rencontrée (III, IV) au sujet du degré do l'équation fînale.

Appelons, comme nous l'avons déjà fait dans ces mômes articles, a, p les coordonnées courantes de la section coniipie doimée dont on veut trouver la i)olaire réciproque, afin de les distinguer de celles de la section conique qui sert de directrice, désignées à l'ordinaire par .r,r.

(*) Celte propriété du foyer offre une parfaite analofrit; avec une propriété bien connue du centre du cercle, et me paraîtrait, pour cette raison, devoir Mrc 8ubHtitu«>e aux cIcGnitionH peu naturelles d'où partent len auteurs de Géométrie analjtiqur pour parvenir à la détermination do ce point remarquable des sections coniques. Elle présente d'ailleurs Tavanutije de permettre d'aborder la question d'une manière {;<^nérale, purement aljjéhrique, et de Taire parvenir ainsi, dans tmis les cas possibles, à la détermination directe de ce foyer. En suivant cette marche, on trouve qu'il existe quatre points semblables, remplissant enraiement les conditions demandées, situes deux à deux sur les axes de la courbe; mais il arrive que l'un de ces deux coiq>Ies, qui correspondent respectivement k ces axes, étant réel, l'autre de ces deux couples est par là même ima(jinaire, et par conséquent inconstructible; conséquence remarquable, et bien différente de celle à laquelle on parvient par les voies ordinaires. ( Sote de 1817.}

Puisque Tune et l'autre de ces deux courbes sont du second degré, nous pourrons représenter, en général, Téquation de la première par

et celle de la seconde par

D'après les conditions du problème, la réciproque de la courbe donnée (s) doit être telle, que chacune de ses tangentes ait précisément pour pôle un point (a, 6) do cette 'dernière; mais on trouve facilement que l'équation de la polaire d'un point (x, P), par rapport à la section conique directrice (s'), est

telle est donc aussi celle d*une tangente à la courbe cherchée.

En la diflérenliant par rapport à a et ^ seuls (*), et laissant x et r constants selon la théorie des enve]opi)es (III), la nouvelle équation

U fit

ainsi obtenue, appartiendra, avec la première (a), au point où la droite que celle ci représente touche la courbé cherchée. Substituant ensuite la

dô valeur de -pi tirée de Téquation (5), il viendra

(b) (bp^coL-^e) (a'j'-^b'x-^d')'-(fiP-i-b7.)^d)(b'x-hc'jc-hr'\=o.

Le système des équations (a), (b) représentant un point quelconque de Tenveloppe ou réciproque, quand on attribue à a et ^ des valeurs qui conviennent à réquation (.v), il est visible qu'on obtiendra Téquation même xie cette courbe, en éliminant a et ^ entre ces trois équations. En faisant, pour rendre cette élimination plus facile,

/2>+ b'x 4- d' = /?, by-h c'x H- r = ^, e'x H- //>-{-/' = r.

(* ) On pourrait, dans le cas actuel, so pâmer aisément du secours du calcul différentiel, en faisant attention que le point de contact cherché est précisé* ment(V) le pôle d'une tangente correspondante de la courbe donnée; mais noos avons préféré nous rapprocher de la marche suivie au n^ III, afin de rendfe immédiatement applicables au cas général de cet article les obserrations que nous aurons à faire, dans le cas particulier qui nous occupe.

(iVqrtf de 1817.)

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLTlill. 495

celles (a) el (b) deviendront respectÎTement, en les ordonnant,

/?p -h 7a -h r = 0, (^/? — /77) ô 4- (r/> — 67) a-f- tf/? — r/<7 = o.

On lire de là

p[dq-^hr ^ ep)^ aqr g 7(^74- hr — cp)-^r{rp— o^bq) ~ rp^ — - 2Ùpq 4- ^7' J r ~ cp^—7. bpq -f- «7' '

ce qui donne, en posant de nouveau, pour abréger,

dq -\-hr—cp=^B^ rp^ — 2 bpq -+- aq^ = jD,

, pB — aqr o qB-\^r(cp—'xbq\ a = +<^-^, p=-^^ ^ '-'

Substituant ces expressions à la place de a et ^ dans l'équation {s\ chassant les dénominateurs, développant en particulier les termes non affectés de Z), les ordonnant par rapport à B^ observant enfin que l'expression cp^ — ibpq -\- aq^ peutôtre remplacée par />, il viendra

B*.D—'xbrB,D'iracr^D'\-id[r[ibq — cp) — Bq^D