II. 3rx
498 Vr CÂlilliU. AUTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
olirra répnndro un j^rand jour sur la marche de l'Analyse, et» si je ne me trompe, ( onli ibiirra à en hAler d'une manière inattendue le proiçrè.s devenu si indispensabloment nécessaire.
XVIÏI. D'autre part, si l'on veut connaître jusqu'à la raison pour laquelle le facteur (c) se trouve tMre solution du |)roblème dont il s'agit, il faudra de toute nécessité remonter aux écpiations d'où Ton est parti pour faire réliminalion. On voit très-bien d'abord ce que signifient les éqtiations (.v) et (a) : l'une est colle de la courlie <lonnée que parcourt le pôle ou oumict mobile (a, f;), l'autre représente la Umgentc de la courbe cherchée, relative à une position particulière de ce pôle; il n'y a donc que r équation (b), qui a ser\i à rélimination avec les deux autres, dont l*interprétiition puisse souiïrir quelque difficulté.
En la mettant sous celte nouvelle forme
//r-f-c'AM-^'^ /^p-f-ra-h^
et remarquant qtio ses deux membres sont respectivement les expressions des tançjentes tabulaires des angles que forment, avec l'axe des j:, les tangentes en (.r, 7), (a, p) aux courbes (.v') et (s), mais prises avec des signes contraires, on en conclura, comme on Ta déjà fait ci-dessus à l'égard de l'équation (e), que celte équalicm, on y regardant x vt^r comme les coordonnées courantes, et a, p comme constantes, représente un diamètre do la courbe (v), dont le conjugué fait avec l'axe des x un angle précisément égal à celui que forme, avec ce môme axe, la tangente en (a, f>) de la courbe (.v) ; c'est donc l'intersection de ce diamètre avec la "tangente (a) à la courbe réciproque cherchée qui donne le point decoiit>ctde cette tangente avec cette même courbe. Or, quand le point (a, ^) vient passer à l'infini sans quitter la courbe (.ç), le diamètre et la tmgonle dont il s'agit se confondent évidemment dans toute leur étendue (XVll), et ne donnent aucun point déterminé d'intersection appartenant à la courbe cherchée, ou plutôt doimcnt à la fois pour points d'intersection tous ceux du diamètre même dont il s'agit. Donc, Téquation finale devant donner simultanément les points \\\\\ appartiennent au système des équations (a) et (b), elle doit donner aussi tous ceux de ce même diamètre, et renfermer par conséquent l'équation do ce diamètre en facteur.
XIX. L'interprétation que nous venons de donner du facteur (c), pour le cas particulier de rexem[)lo qui précède, nous fait voir que, si la même courbe donnée (a), au lieu d'être une section conique, était en général du degré /;/, le nombre des points situés à l'infini sur cette courbe éUml alors en général /;/, il y aurait un même nombre de diamètres de la courbe (.v') qui appartiendraient à la solution analytique du problènK;; réquation finale se trouverait, par là, affectée d'un facteur étranger du de-
^ré ///, qui la multiplierait inévitabloment sans qu'il fut possible de l'en délivrer à priori par aucun procédé d'élimination , à moins de changer la forme mémo des équations primitives, c'est-à-dire la mise en (H]ualion, ou de le supprimer d'une manière implicite dans le résultat final. Ainsi, notiimmenl, dans le cas particulier qui nous occn[>e, si, après avoir substitué h^ valeurs trouvées pour a, p dans l'éqnalion (.v), au lieu de réduire de suite, comme nous l'avons fait, tout au mémo dénominateur, on eût réuni séparément les numérateur» des tînmes .lyant D* pour dénominateur commun, et qui sont les seuls où .r et j paraissent entrer au delà do la seconde puissance, on eiHtrou\éque/) entre aussi comme facteur dans ce numérateur, et alors, en le supprimant, on serait nécessairement retombé sur l'équation (s"), à laquelle nous sommes déjà parvenus. Mais on voit qu'en opérant ainsi on aurait réellement et à posteriori supprimé \m facteur de l'équation finale. Il n'y aur.iit de dilférenco entre celte manière diî procéder et celle d'abord employée, (pi'en ce qu'on aurait supprimé ce même fadeur d'une manière im[)licile, et sans s'en être rendu aucun compte préalable, comme nous l'aNons fait dans l'autre des deux cas dont il s'agit.
Si, présentement, on fait attention qu'il peut très-bien arriver que le fadeur supprimé, par l'efl'et des opérations intermédiaires, représente précisément la véritable solution du problème, on devra comprendre (juo, s'il est des manières de procéder qui abrép:ent le calcul i\o l'élimination, il en est aussi qui peuvent par là conduire à des espèces d'absurdités, en faisant manquer le but réel qu'on se propose d'atteindre.
Dans les procédés {généraux de l'élimination, les réductions partielles dont il vient d'être (piestion ne peuvent plus avoir lieu d'une manière immédiate, et alors il arrive que les équations finales renferment d'une manière implicite les fadeurs sins^uliers qui les compliquent inévitablement. On attribue à l'opération elle-même d'avoir introduit c(':^ fadeurs soi-disant étrangers, tandis que, comme on vient de le faire voir, ce n'est, au contraire, (|ue |)ar l'elTet d'opérations particulières que c(»s fadeurs peuvent disparaître fortuitement du résultat final, dont ils font nécessairement pîirtie sous le ra[)port purement analyli(pie. Si l'on s'altaclmit à bien étudierles étpiations de départ, on pourrait peut-être parvenir à conivaitro à l'avance le degré et la forme même de ces facteurs, et alors rien ne serait plus facile que de les supprimer après coup, s'ils ne répondaient pas immédiatement à l'énoncé verbal de la question proposée.
X\. Il résulte clairement de tout ce cpii précèle, que le résidlatdo l'élimination entre les équations ( î, 5, G) de l'art. 11! doit renfermer, conformément à ce qui a été annoncé (IV), un facteur étranj;er qui complijpie nécessairement son exï)ression, et cpi'il est impossible de su[)primer à jiriori. c'est-à-dire autrement (juc dans léqualion finale elle-même; que ce facteur est du quatrième degré, et représente, le système de fpiatre drQile3
5oo \1« (L\HIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
particulières; qu*enfîn on peut obtenir à ravanco Texpression de ce facteur en agissant conformément à ce qui a élé dit (XVI, XVII, X\1II), c'est-à-dire en recherchant les diamètres de ta section conique ( *') qui ont pour pôles les points situés à l'infini sur la courbe donnée (i), et multipliant leurs équations entre elles.
Si, au lieu de considérer des lignes planes comme dans ce qui précède, on considérait des surfaces courbes abitrairement situées dans Tespace, la surface directrice (.v') étant toujours du second ordre, on trouverait (Note de l'art. XVI) que le facteur étranger représente une seule et unique surface conique, ayant son sommet au centre même de la surface (.v') qui sert de directrice, et dont les génératrices rectilignes seraient respectivement parallèles à celles de la surface dévehpptiltle asymptotiquv de la proposée. Mais c'est assez s'arrêter sur les conséquences de l'analyse qui précède.
Note additionnelle aux n^* XV et XT'I, relatit»e à la détermination des mrmptotes, au lieu des point* à l'infini de l'espace, etc, (i863).
Avant de nous occiip(>r <lc ce dernier objet, remarquons que les numéros dont il K'n(;it donnant analytiqucmcnt l'inclinaison des asymptotes d'une courbe plane, m\ a, par cela même, un moyen d'en déterminer la position absolue, en recourant aux considérations relatives aux polaires de contact, rapidement ébauchées dans l'art. IV du 11® Cahier (p. ij? à i6i). Par exemple, pour les simples coniques, il suffit de mener parallèlement aux directions obtenues, autant do lignes droites passant par lo centre de la courbe, pôle de la droite à l'inlini du plan et que détermine immédiatement, pour la conique (i), le système des équations linéaires
Quant aux courbes planes et aux surfaces {[éométriques d'ordre quelconque, on comprend que la solution relative à la détermination des droite?» ou développables asymptotes ne saurait dépendre d'éléments aussi simples, cl qu'il serait nécessaire de recourir aux considérations géométriques de l'art. IV cité où la transversale rectilignc et le plan qui, h. l'infini, contiennent les points de contact des tan(»cntes asymptotiques, seraient pris pour directrice des pôles on points Ai*, convergence p^ de» faisceaux de tangentes à la courbe ou surface considén'K*. Mais il ne saurait en être question dans cette Note additionnelle^ et je prt^fère insister sur quelques points des indications rapides des n*** XV à XX du texte ci-dessus imprimé en 1817, qui, à cette époque, n'ont pas suffi pour attirer l'attention, peut-être à cause do l'usage que j'y faisais de l'Analyse infinitésimale, aujourd'hui encore bannie de nos collèges et très- imparfaitement suppléée par la doctrine des dérivées, malgré le vœu formel des plus éminents professeurs, qui apprécient les avantages inhérents îi l'admission de la continuité et de l'infini. En réalité, depuis un certain temps, renseignement public en France est livré à une sorte d'anarchie provenant du mélange de» méthodes, du décousu des programmes et de l'arbitraire, de l'esprit d'indépendance des professeurs, des examinateurs et même des coUeurs dont la délicate profession était fort peu connue de nos ancêtres.
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELUER. Soi
Quant il l'objet dont il s'agit, il me s<»mble inutile do se livrer à de profondes mêditationa et à de longs calculs pour apercevoir que les n*" XV «t WI et les notes qui les accompagmMit contiennent iinplicitoniont In justilication analytique des principes, d'ap|>arenc«} métaphysique, démontrés {;êométrîqucment dans le V* (luhior de ce volume et dans le Traité da Propriétrs pro' j'evtives des Jigtires.CiiT, d'après les considcralions analytiques de ces numéros, les droites qui, partant d'un point donne quelconque (soit l'origine même des coordonné<>s), vont aux difl'érents points à l'intini d'une courl>e ou d'une surface continue, forment un faisceau convergent dont les diverses tangentes tabulaires d'inclinaison par rapport aux axes ou aux plans coordonnés, sont soumis à des conditions algébriques annlogucni ù celles de l'équation
déduite de l'équation (5) do la couHm) considenni dans le cas particulier du texte, par un mode d'op(>rer qui, en remplaçant à son tour dans l'équation
ainsi transformée k par ^9 redonne la premièro partie,
de la proposêo (i); c'est-à-dire précisément celle qui so composo do la somnM des termc^s de plus haute puissance en oc et /3, et qu'on ci\t obtenue do suite, en observant que les points à coordonnées variables a et ,1, dont on s'oocupe, étant situés à l'infini, les termes de puissances ou de produits infériourt des mêmes variables sont comme nuls et doivent disparaître par rapport à ceux de puissances supérieures, selon un principe généralement admis parmi les géomètres algcbristcs qui n'ont pas absolument horreur de la notion abstraite de l'infini.
Ow considérations, étant applicables, mot pour mot, aux courbes et aux sur^ faces algébriques do tous les degrés, il devient permis d'en tirer di>s conséquences générales et rigoureuses, sans être obligé do recourir à des artifices de calcul, et do renoncer ii la méthode classique des coordonnées de Descartes.
Remarquons d'abord que l'équation (/*) ou son analogue dans le cas général d'une courbe plane do degré //i, donnant, par sa résolution au moins implicite, les m valeurs n'>elles ou imaginaires de l'inclinaison A du faisceau dea parallèle» aux asymptotes issues de l'origine des coordonnées, cela prouve que le nombre des points h l'infini sur la courbe est le même que celui du degré m de c<;tte courbe, et suppose évidemment que les points à l'infini de sou plan sont sur une certaine droite indétermintie de situation dans ce plan, ainsi qu'où l'a démontré géométriquement dans le V Cahier de ce volume.
Donc aussi, l'équation (^), ou son analogue dans le cas général, est l'équation même du faisceau convergent des parallèles aux asymptotes, c'est-à-dire le produit des équations linéaires des diverses droites de ce faisceau, ayant ici chacune la forme yS — Ak = o.
Supposant, comme exemple très-particulier, que l'équation (s) soit celle d'un cercle de position quelconque, on aura ti = c, h = o; ce qui réduit les équations (f) et (g) aux deux suivantes :
^•-*-i = 0, )9'-*-flc' = o; d'où A==fc^— I, ,4 = =fc«^— i,
Soa ¥!• CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
et par là fuit connaître olfrébriquorncnt Icit points oi\ le cercle est rencontré par la droite à l'infini de son plan. De plus, comme on parvient à des résultats entièrement identiques pour d*autres circonférences de œrele quelconques situées sur le même plan, il en résulte la Térification algébrique à poi(teriori du n" XXXIV de Tenoncé du précédent Cahier [p. 393); énoncé qui, d'après ce qui précède et un autre théorème d'Analyse bien facile à démontrer, s*étend éridemment à des systèmes de coniques ou de courbes algébriques d'ordre quelconque, semblabits et semblablemrnt placées sur un plan.
Quant au cas de IViipace, la méthode a1{;ébrique et ses principale» conséquences restent les mèm<*s, à cola près que les équations comportent alors trois coordonnées indépendantes >r, i', r, ou a, /3, y, et que ces équations sont doubles ou triples pour chacune dos parallèles aux asyniptot4>s et des lignes courbes proposées ou doniiéos. Ainsi, par exemple, pour lixer les idées, dans le C41S tiès-parliculier encore d'une surface du second degré, où l'équation (f) «erait remplacée par la suivante:
Aa' -*- B;3' H- C/ + Dec/S H- E ay -H F/9 •/ -h Ga . . . = o,
et l'équation unique do la parnllèle aux nappes inCnies ou asymptotiques, par les deux équalions
les équations (f) et (^'), ci-dossus, seraient elles-mêmes changées en celles-ci :
Af* -4-KA» -+- C -+- Di Ah- El -^-FA -f- Gi .. . = o,
Aa"-«-B/3«-+-C/-|-Dayî-i-Eay-+-Fy3yr=o,
dont la dernière représente un cAne h double nappe indéfinie, réelle on imaginaire, parallèle à la dcveloppable conique et asymptote de la surface proposée (MoNcc). Ce c6ne ayant ici pour sommet l'origine des axes coordonnés, et pour section (réelle ou imaginaire) par un plan quelconque parallèle è celui des c(/3, une courbe semblable et semblablement placée par rapport à la section correspondante do la surface proposée, il est clair que ces deux sections vont se superposer rigoureusement à l'infini sur le cône, c'est-à-dire pour la Taleur y =igo . Or, ceci ayant lieu pour des surfaces algébriques jd'ordre et en nombre quelconque, démontre à posteriori que tous Us points à t infini de l'espace peuvent et doivent^ aussi au point de Tue analytique, être supposés sur un plan, etc.
D'autre part, comme les équations des surfaces algébriques semblables et semblabloment placées ne diffèrent entre elles, & un facteur constant près, que par U^ coeflicicnts des termes de degrés inférieurs; cela justifie encore que do telles surfaces ont un même plan de section commune, réell« ou imaginaire, à l'inilni, etc., etc.
Lorsque, il y a près d'un demi-siècle, je m'occupai de ces démonstrations, plut<H analytiques que géométriques, je considérais, ainsi qu'on apu s'en apercevoir, comme chose évidente, d'après les procédés des n*** XV et XVI et le» théories bien connues de l'Algèbre, que le nombre des points à l'infini d'une courbe plane étant précisément égal à celui qui en marque le degré, ces points devaient être supposés appartenir à une droite à l'infini, indéterminée de direction dans le plan ou l'espace. Pour s'en conyaincre plus directement encore, soit
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIEH. 5o'J
/*(«, »9) = o IVqiialioii de lacoiiihc el ,3 = Aa, comme au ii" XVI, collp d'umî droilo allant d<* l'ori(jiii(» dt*s (toordoiinoos à l'un <|iu*U'<>iiquo dos points à Tin fini de cotte roiirlio; huil oniin ,3 = A a -f- H IV'qiiation d'tino IninsvcMsalo arhi trairo, il paraît cMÎdonl que los oqnations
provenant do la sulistilution dos doux \a1ours ci-dossns do ..3, soronl idonliqiio si Ton y suppose sinniltanomont h ot a inlinis, aiuM que
it
Aa-hK = /'a on A — A=. — i
ogalito susceptible d'être satislaito, quelles quo soient les valeurs attribuée»
rindéterminoc — dovonuo -» quand la transversale ,3= A a -h H passif tout eu-
tière à l'infini; A étant une eonstanl<>, donnée entièrement arbitmire, et A uno autre constante déterminée par le calcul, comme on Ta montré dans ce qui précède.
Or, ce (renre de raisonnement qu*on pourrait dével(q)per duvantajre d'après l'expose'' des pa{;<'h précédentes, étant considéi>é comme admissible en Analyse alQébii(|ne ot s'élondant an cas des surlaces, prouvt», a^ec uno rigueur désormais •incontestable, la vérité du piincipe dont il s'a<;it, déduit des notions de la continuité (>t de l'infini considéré dans ses divers ordi'es liiérarchiipies ou subordonni's de (;randeur et de potitobso variables. Ces notions métaphysiques, mis(?s en parfaite éviderict! dans les mulliples et curieux phénomènes do la (^'ométrie desci ipti\e, ont éclairci déjà bien dos obscurités, des mystèrt^ de l'Analyse algébiique, et contiibueront, par la suib^, à en eclaircir bien davantage encore; notamment en et! qui concerne l'abaissement du de(p'(; <les équations des courbe» et surfaces par la disparition de c<>rtains termes, do certains coenîcients ou f)aramètres, d'où résulte soit revanouissoment même de certaines branches, soit leur transport à l'infini, en vertu desquels elles se chan{;ent en autant de points isolés t>u en autant de li{i[nes droites tantôt distinctes, UintOt confondues entre elles.
1.0 principe de Géométrie relatif aux limites idéales de rosj>aco, qui, en raison de ce qu'une portion déterminée et finie d'une surface sphérique do rayon infini doit a1[rebriquoment ou figurativoment ètro hUppos('>e plane,' ne contredit nullement rapophthegme des Anciens, menlionnû dan% la note de la p. i46, où je regrotte de n'a\oir pu mettre à profit le contenu d'une dissertation liistori(|ue approfondie qu'a bien voulu me communiquer M. de Lomenie, savant professeur de littérature au Collège de France et à l'Éccde Polytechnique. Qu'il me suffise de joindre aux noms déjà cites dans cette note, ceux de Ttinrf de Locres chez les Anciens, et, chez les modernes, de Rabelais cpii avait probablemont répelé cet apophthegmc plutôt au pi>int de vue de la théologie qu'à celui des mathématiques. Toutefois la conception première d'une telle maxime me heml)lcrait bien plutôt d<»voir être attribuée à Platon^ ce genéralisateur du cône et des eonît|ues, dont l'Kcole est c<*lèbie par c<*8 mots : I\'ul ii' entre ici s'il n'est géomèfre, e| auquel on doit probablement aussi l'épithète iVéternel géomètre^ appliquée ù Dieu, l'esprit générateur et organisateur de touti'S choses, cause, force ou principe, dont nous étudions ici-bas les lois et les effets divers.
5o4 VI- CAIUER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
RBCIIERCIIES 8Un LA PÉTERMINATION d'UNB HYPERBOLB BQL'ILATÈBB , AU
MOYEN DE QUATRE CONDITIONS DONNÉES; PAR MM. BrIANCIIOM ET PON-
CELET.
(T. XI ilcrs JimaUt, i**" janvier i8ji.)
Théorème 1. — Dans tout triang/c inscrit à une h^-perboU*. éqnilatère, le /MÎnt (le concours des trois hauteurs est situé sur la courbe.
Démonstration, — On sait que, pour tout hexagone A BCDEF (/tg. 170) inscrit à une section conique, les trois points de concours H, I, K des côtés opposés sont en ligne droite. Si donc, la courbe ayant des branches infinies, on suppcso que l'hexagone ait deux de ses sommets, comme E, F, situés à rinfini, le point I, concours des deux côtés £F, BC, so trouvera à rinfini ; ce qui revient à dire que BC et HK seront parallèles.
Maintenant, lu courbe étant une hyperbole, il est clair que les deux côtés DE| FA, adjacents à £F qui est à Tinfini, seront respectivement
parallèles aux deux asymptotes, et, partant, seront rectangulaires» pour le cas de Thypcrbole équilatèro, qui est celui dont il s*agit ici.
Les deux derniers sommets £, F de Thcxagone inscrit à cette courbe étant ainsi portés à Tinûni, les quatre autres resteront arbitraires. Soient
Fîç. 171.
donc pris à volonté les trois premiers A, B, C {fif^, 171 ), et soîl marqué
EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELUER. 5o5
le quatrième D toi que les deux côtéd AB, CD, respectivement opposés à DE, FA, soient rectangulaires entre eux. Il résulte de ceci que AU est perpendiculaire sur DK. D*ailleurs AK est perpendiculaire sur DH, {)arla propriété des asymptotes; donc le point A est le croisement des trois hauteurs du triangle DllK; donc AD est perpendiculaire sur IIK, et conséquemment aussi sur BG, parallèle à IIK. Mais, par construction, CD est perpendiculaire sur AB; donc lu point D est le croisement des trois hauteurs du triangle ABC. Or, le triangle ABC a été inscrit à volonté à la courbe; donc généralement a dans tout triangle ABC« inscrit à une » hyperbole équilatêre, le point de croisement D des trois hauteurs est » un point de la courbe » ; ce qiûii fullait tir montrer.
Si Tun A des angles du triangle inscrit varie de grandeur, en tendant vers Tangle droit, le point D se déplacera sur la courbe on s'approchant continuellement du sommet A ; ce qui revient à dire que la sécante AD, perpendiculaire sur BC, tendra sans cesse à toucher la courbe en A, et qu'enfin elle sera tangente quand Tanglc A sera droit. Donc :
TiiéoRÈME II. — Dans tmit triangle rectangle inscrit à une h>pvrimle équilatèrcy la perpendiculaire abaissée iUi sommet de Pan^te droit sur rhypoténuse est tanf^ente à la courbe.
Il suit de là que, si l'angle droit oscille sur son sommet, riiypoténuse se déplacera parallèlement à elle-môme et à la normale menée à ce sommet; ce qui est un cas particulier du beau théorème démontré par M. Frégier dans le présent recueil (Jnnales^ t. VI, p. 2*29 et 3*2 1, t. Vil, p. 9.5).
Au moyen de ce qui précède, si on connaissait deux points A, B (J!^. 172) de la courbe, et la tangente AP en Tun A de ces points, on pourrait en
Fig. 172.
construire un troisième C en celte manière: du point B abaissez une perpendiculaire BC sur la tangente donnée, elle ira couper au point cherché C la perpendiculaire AC à AB.
On sait donc résoudre ces trois problèmes :
Décrire une ItyjHrrbole équHatère dont on a trois jwints et la tangente en Pan iPeux.
Décrire une hyperbole cquilatére dont on a deux jxtints et les tangentes en ces points,
Dt'crire une hyperbole équilatêre dont on a deux points, la tangente en Pun de ces points et une autre tangente quelconque.
5o6 Vf CiVHlER. - AUTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
En eifet, par la construction qui vient (l\^lm indiquée, on obtiendra an nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on ajuru recours aux solutions connues do ces questions (*) :
Décrire une section conifjite dont on a quatre points et la tangente en Pitn (Peux.
Décrire une section conique dont on a trois points et les tangentes en deux de ces points.
Tkfcrirc une section conique dont on a trois jwints, une tangente quet^ conque et la tangente en Pun de ces points.
Il résulte encore du Théorème I que, lorsqu'on connaît trois points A, B, C [Jîg. 171) d'une hyperbole équilalère, on en a un quatrième D, qui est le cioisoment des trois hauteurs du triangle ABC; en sorte quon sait aussi résoudre ces deux problèmes :
Décrire une hyperbole équdatère dont on a quatre points.
Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et une tangente.
Car, au moyen de la construction indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions (**) :
Décrire une section conique dont on a cinq points.
Décrire une section conique dont on a quatre points et une tttngente.
TiiÉORK^iiE II! . — Si deux points ^ situés sur le plan (Vune hyfjerbfïle équilatère y sont les milieux ou les pâles respectifs de deux cordes ou de deux droites quelconques également situées sur ce plan ; et que, jmr chacun (Peux, on mène une parallèle h la corde ou h la polaire qui conTSpond à Poutre, le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se coupent les parallèles passera aussi par le centre de la courbe.
Démonstration. — Soient, en premier lieu, CE, CF (J/g. 173 ) les direc-
tions indéfinies des deux cordes en question, ï, K leurs milieux rcspec-
( * ) Mémoire sur les lignes du second ordre, etc., par C.-J. Briancfatm, Paris, 181 7.
(**) Môme ouTrage.
EXTRAITS DES ANNALES DR MONTPELLIER. 5o7
tifs, 0 le contre de rhypvrlK»Ie i^quilaière cl EF Tuno de ses asymptotes, rencontrant en E, F, les deux cordes Cl, ('K prolonp:éos; les droites OK, 1)1 seront les diamètres de la courbe, conjugués à la direction de ces cordes.
Cela posé, puisque Tangle des asymptotes est droit et que le point K est le milieu de la partie interceptée par ces asymptotes sur la direction de CF, la distance KO^ KF et par conséquent Tangle KFO = KOP. Par la même raison, l'angle lEO — IDE ; mais, à cause du triangle CEF, l'angle C est supplément do la" somme dos angles E, F, et par conséquent supplément de celle des angles KOF, lOE ; donc il est égal à l'angle lOK, Tormé de l'autre côté de IK par les diamètres IK, 10. D'ailleurs, on prouverait de la même manière que, si le point 0 était suj^posé du coté du sommet de l'angle C, l'angle lOK, formé par ces mêmes diamètres, serait égal au supplément de l'angle C; donc il e>t sur la circonférence du cercle qui passe par les points K, 1 ot par relui L où se coupent les parallèles KL, IL menées par chacun d'eux à la corde qui passe par Tautre : c'est à-diro que,
1° a Si par chacun dos points milieux de deux cordes quelconques d'une » hyperbole écpjilatère, on mène une parallèle à la corde qui correspond » à l'autre, le cercle qui passera par ces doux points et par celui où se » cou[)onl les parallèles pa.-sora au^si par le contre d(».la courbe. »
Eu second lieu, soient PG, PII {Jif^. 174) deux droites quelconques, situées sur lo plan d'uno hyperbole équilalero; R, Q leurs pôles respec-
Fig. 17.'!.
tifs, par rapport à cotte courbe. Concevons, par le point y, la parallèle QC à la pilaire PII de ce point ; la corde correspondante sera évidemment partagée on doux |)arlios égjilos on y;car, d'après la théirio généralemont connue dos polos, « lo diamètre d'une seotion conique qui renferme » les milieux de toutes les cordes [»aral!olos à une monio dr(>i(e, située û sur le plan de la courbe, paSbO aussi par le pôle de cotte droite. »
Par la même raison, si, par le point R, pôle de la droite PCi, on mène la piirallèle CR à cette droite, rencontrant la première au point C, la corde qui lui correspoml, dans l'hyperbole équilatère, sera divisée en deux partics égales on R; ainsi, k»s points R, Q seront les milieux des droites ou cordes inr!étmies RC, QC, qui passent respectivement (lar ces points el sont parallèles aux deux droites PG, PH.
5o8 VI' CAHIER. - ARTiaKS DIVERS DE GÉOMÉTRIE
Il suit de là et de ce qui précède quej
:t° <c La circonférence qui passe par deux points quelconques R, Q, situés » sur le plan d'une hyperbole équilatère, et par le point L où se t!ou- 0 ]>eut les parallèles menées par chacun d'eux h la polaire PG ou PH de » Tautre, passe aussi par le centre de la courbe. »
Il est d'ailleurs évident que les mc^uies choses auraient encore lieu si, à la place de Tune des deux droites et de son p(Me, on substituait une corde et son point milieu ; co qui complèlo la démonstration du théorème énoncé.
S'il arrivait^ dans le cas où Ton considère deux droites PG, PH et leurs pôles R, Q, que chacun de ces derniers fût situé sur la droite qui cor> respond à l'autre; c'est-à-dire, si le point Q se trouvait sur PG et le point R sur PH, les parallèles RL, QL se confondraient évidemment avec ces droites; donc la circonférence qui renferme le centre de Thyiierl)ole équi'.atère correspondante passerait alors par le point P où se rencontrent CCS mêmes droiles; mais, d'après la théorie des pôles, ce point a évidemment pour polaire la droite qui passe par les points Q, R; de sorte que ces trois points sont tels, que chacun d'eux est le ])ôle de la droite qui contient les deux autres; on peut donc énoncer la pro|>osition suivante :
TiiÉORÈHB rV. — Ijorsque trois points situés sur le plan tPnne hyperlïole équUntère sont tel s y que. chacun (Ceux est le pôle de la droite qui contient 1rs deux autres, le cercle qui passe par ers trois poirtts passe aussi par le centre de la courbe.
Quatre tangentes AR, RC, CD, DA (fig. 176) à une même section conique forment, par leurs intersections mutuelles, un quadrilatère complet
TARCSD, dont les trois diagonales AC, RD, St sont, comme Ton sait, telles que u chacune d'elles est la polaire de l'intersection des deux autres; » de sorte que, si la courbe est une hyperbole équilatère, la circonférence qui [ aFsera par les trois points P, Q, R, intersection des diagonales, passera aussi, d'après ce qui précède, par le centre de la courbe; d'où résulte ce nouveau théorème :
Théorème V. — Si fon mène qimtrc tangentes quclconqnes h une hy^ perbole équitutèrCy le centre de la courbe sera situé sur la circonférence qui passe par les trois points (F intersection des diagonales du quadrila^ tèrc complet formé par ces tangentes ;
Ou, co qui revient au môme :
Tj's centres de toutes les hyperboles t'quilntrnw tangentes à quatre droites quelconques, tracées sur un plan, sont situés sur la circonférence (Pan cercle uAique qui passe par les trois pointsS (Pintersection des diagonales du quadrilatère complet formé par ces dnntes.
D'un autre côté, il résulte d'un Uiéorème découvert j>ar Newton [Princiffes mathématiques, etc., liv. I, Lem. XXV, Corol. III) que
V Dans tout quadrilalèro circonscrit à une conique ((uelconque, les » trois points milieux des diagonales sont sur une droite unique qui passe » par lo centre de In courbe ; »
Ou, co qui revient encore au même :
» Les centres de toutes les sections coniques tangentes à quatre droites n quelconques, tracées sur un même plan, ^ont situés sur la droite unique » qui passe par les trois points milieux des diagonales du quadrilatère n complet formé par ces droites. »
Donc, dans le cas de Thyperbolo équilatère, le centre de la courbe se trouve à la fois sur la droite unique dont il s'agit et sur la circonférence du cercle qui passe ])ar les trois points P, Q, R, où se croisent les diagonales; en sorte qu'on peut aussi résoudre ce nouveau problème :
Décrire une hyperbole équilatc*rc ehnt on n quatre tangentes.
En effet, ayant déterminé, au moyen de ce qui précède, le centre de la courbe (et il y en a évidemment deux, en général, qui résolvent la question], on le joindra par une droite avec l'un quelconque P ilc^ points d'intersection des diagonales, laquelle ira rencontrer la diagonale opposée BD, polaire de P, en un point X qui, d'après la théorie des pôles, sera nécessairement le milieu de la corde correspondante, et par conséquent aussi le milieu do la |)artie interceptée par les asymptotes sur cette diagonale; portimt donc, à partir du point X, deux distances égales à OX sur la direction de la droite indéfmie BDX, leurs extrémités ap[)arliendront aux deux asymptotes de la courbe, qui ainsi sera parfaitement déterminée de grandeur et de situation; car le point qui divisera en deux parties égales la distance interceptée parles asymptotes sur Tun^ quelconque des quatre tangentes données sera le point de contact de celte tangente.
Supposons maintenant que ABCD soit un quadrilatère inscrit à une sec* lion conique quelconque; les points do concours S, T de ses côtés opposés et le |)oint d'intersection Q de ses deux diagonales simples seront encore, d'après la théorie des pôles, trois points tels, que « chacun d'enlre eux sera le pôle de la droite qui passe par les deux autres «; donc,
5io VI' CAHIER. - AUTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
si la courbe est unf) hyperbole équilatère, son ceDtre se tiouvera situé, d'après le Tti^rèmo IV démonlré ci-dessus, sur la circonférence du cercle qui passe par les trois points Q, S, T, et par conséquent :
Théorème VI. — Dans tout tiuadrUntère simple^ inscrit h une fi)'prrz bnlc é(/uil(itère (juclconfiuc , le ccirlc passant fjar les deux jtnints tic amcours (les côtes opposés et par le point (Cintersection des diagonales jhissc aussi par le centre de la courbe.
II suit de là que, quand quafre points A, B, C, D sont donnés sur un plan, on connaît aussi la circonférence qui passe par le contre de rhyperbolo équilatère passant par ces quatre points {*); «railleurs le Théorème III indique d'autres circonférence»? qui renferment également ce centre; donc il est entièrement déterminé de position sur le plan des quatre points donnés, et il en est par conséquent de mémo des asymptotes d0 la courbe; car, si Ton prend le milieu R de Tune quelconque CD des distances qui st^parcnt deux à deux les points donnés, puis qu'on porte, à partir do K, sur la direction infinie de CD, deux longueurs é<;:ales à la distance de ce même point au centre de la courl>e, leurs extrémités appartiendront aux asymptotes de cette courbe. Voilà dimc une nouvelle solution, très-directe et très-simple, du problème déjà résolu plus haut, dans lequel il s'apiil de décrire une /lyperbole et/uilatèrc passant par (piatre points donnés sur un plan.
On peut tirer du Théorème III d^autres conséquences remarquables.
Que A, B, C (fif;. 17G) soient trois |)oints quelconques, appartenant à une hyperbole équilatère; si Ton divise les côtés CA, CBdu triangle ABC,
formé par ces points, en deux parties éj^ales, aux nouveaux points I, K,
(*) On peut remarquer qiio, à quatre points donnés sur an plan, C4>im- 4>ondcnt toujours trois quadrilatèros simples ditlerents, mais qui tous rmlooncnt U>s mêmes points Q, S, T; en sorte que la circonfcienco en question est unique.
EXTRAITS DES AxNNALES DE MONTPELLIER. 5n
et quo, par cou derniers, on -mène les parallèles IL, KL aux côtés Cfi, CA, elles viendront se couper en un point L qui, d'après le théorème ciJé, appartiendra au cercle qui, passant par I, K, passe en outre par le centre de rhyperbolo équilalère ; mais le jwint L se confond évidemment avec le milieu du troisième côté AB du triangle ABC; donc
Théorème VII. — Danx tout triangle inscrit à une hyperbole cquilatère^ le cercle qui pcL\se par les tnùs jipints milieux des côtés pusse aussi par le centre de la courbe;
Ou, ce qui revient au mémo :
Ij\s ecntres de toutes les hyperboles étjuilatrres circonscrites à un wéme triangle quelconque, sont sur la circonférence tVun cercle qui ren* ferme les trois points milieu.r des cotés de ce trian^^le.
On peut conclure de là et de ce qui précède quo, cpiand un quadrilatère quelconque ABCD (J/g. 175) est inscrit à une hyperbole équilalère, le centre de la courbe doit so trouver, ù la fois, sur les circonférences de huit rorcles différents.
En effet, si Ton trace les diagonales AC, BD de ce quadrilatère, on obtiendra quatre triangles inscrits à la courbe, dont les points milieux G, II, 1, K, L, M, qui sont aussi ceux des diagonales et des côtés du quadrilatère, détermineront un égal nombre de circonférences, passant par le centre do cette courbe; d'ailleurs, ce centre devra aussi ï=e trouver sur la circonférence qui renferme les trois points Q, S, T, où se coupent les diagonales et les côtés op[)osés du quadrilatère (Théor. VI); et il en sera <le nuMiie encore de chacune des trois circonférences (pu, passant par les points milieux do deux côtés opposés ou des deux diagonales de ce cpiadrilatère, renfermerait aussi le iK)int où se coupent les deux parallèles menées par chacun d'eux (Thcor. III) nu côté ou à la diagonale qui renferme Taulre.
Le point où se coupent les huit circonférences dont il vient d'être question est nécessairement uniiiue; car, s'il él;iit possible quil y en eût un second, toutes les circonférences devraient y passer à la fois, comme |>ar le premier; or, toutes ces circonférences, excepté celle qui renferme les points Q, S, T, et pourvu cpi'on no combine pas entre elles celles qui passent par les milieux i]v» deux côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère, sont évidemment telles q»ie, prises deux à deux, elles ont pour intersection commune l'un des joints milieux do ces côtés et de ces diagonales; d^mc il faudrait que tous ces [ïoints milieux fussent confondus en un seul, ce qui est absurde; donc enfin le centre de l'hyperï)o\o équilalère qui passe par quatre points donnés sur un plan est unique.
Si l'on fait attention à la manière particulière dont se trouvo déterminé le point dont il s'agit, relalivoment aux côtés et diagonales du quadrilatère ABCD, il sera permis d'en déduire cette conséquence générale :
5tA VI- CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE
Théorème VIII. — Quatre points étant pris à volonté sur tm plany il existe un autre jioint, et un seul point, tel, qu'en le joignant par des droites avec les milieux des six distances qui séparent les quatre pre^ micrs deux à deux, Panglc formé par deux quelconques de ces droites est égal à celui des deux distances qui leur correspondent, ou en est le supplément. Ce point unique est, en outrt*, le centre de P hyperbole équi' latère passant /mr les quatre points dont il s'agit.
Ce théorème souffre pourtant une e^fception qu'il est*néccs9ain> do signaler : c'est lorsque l'un D (/îg, 176) des quatre points que Ton considère, est le croisement des hauteurs du triangio ABC formé par les trois autres; car alors (Théor. I) il y a uno infmité d'hyperboles équilatères passant par les quatre points A, B, C, D; et par conséquent la position du centre de la courbe ne saurait être unique ; elle est nécessairement indéterminée. Or, il résulte de là que les huit circonférences de cercle dont il vient d'être question, et qui renferment simultanément le centre, doivent se confondre en un seul et mùme cercle; ce qui donne lieu à la proposition suivante appartenant à la Géométrie élémentaire :
Théorème IX. ~- Le cercle qui passe par les pieds des pcrpcndicu- Inires abaissées des sommets d'un triangle quelconque sur les côtés respectivemeut opposés, passe aussi par les milieux de ces trois câtés^ ainsi (pie par les milieux des distances qui séparent les sommets flu ixnnt de croisement des jyerpcndiculaires.
Démonstration. — Soient P, Q, R [Jtg, 176) les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés, et soient K, I, L les points milieux de ces côtés.
Los triangles rectangles CBQ et ABR étant semblables, on aura
