Bp — aqr] D -\-fD^ = o

Observant que cette équation est décomposable en deux facteurs dont l'un est Z), égalant séparément à zéro chacun de ces facteurs, et remettant pour ^et D les quantités qu'elles représentent, on aura enfin, pour les équations de solution du problème,

^'^ ^ I a(Ae— cr/);?r-|-(6'- (ic)r^—i(dc — bf)pr=o,

(c ) c/?' — 2 bpt] 4- oq^ = o.

La première de ces équations représente évidemment, en général, une section conique; car les quantités /?, 7, r, qui n'y entrent qu'au second degré, sont linéaires en x et r. Quant à la seconde, on peut s'assurer sans beaucoup de peine , qu'elle représente le système de deux droites. Si l'on y suppose, en effet, 7 = — w/?, elle prendra la forme

(d) fl/w'4-2^//i4-^ = o,

et donnera par conséquent pour m deux valeurs toutes connues en /z, b^c\ en les substituant donc dans 7 = — ntp^ qui remplace la proposée (c), et y mettant ensuite pour /> et 7 leurs valeurs en x et j« on aura

(e) b'y^c'x'Jrc*=—m[a'y-\rb'x-hd'),

équation qui, en y attribuant à m les valeurs constantes ci-dessus, rc-

4gG VI* CAHIER. ~ ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

présentera évidemment le système de deux lignes droites, comme on l'avait annoncé.

D'autre part, si l'on fait attention que la ligne cherchée ne saurait être une droite que dans des circonstances tout à fait particulières, puis* qu'elle doit être en général Tenveloppe de l'espace parcouru par une autre ligne droite, on en conclura que Téquation (s") représente seule la véritable courbe satisfaisant pleinement aux condition du problème. Donc cette courbe est une seule et même section conique, conformément à ce qui a déjà été démontré (XU) d*une manière purement géométrique.

XVI. Nous pourrions ici passer en revue, au moyen de TAnalyse, les diverses conséquences auxquelles nous sommes déjà parvenus (XII), relativement à la dépendance qui existe entre les trois courbes (*), (a'), (.<*) ; mais cela serait d'un trop faible intérêt, et il vaut beaucoup mieux, pour Tobjet que nous avons en vue , nous occuper do l'interprétation géomé* trique des facteurs étrangers auxquels la précédente analyse nous a conduits d'une manière presque inévitable.

Nous venons déjà de voir, par ce qui précède, que l'équation (c), mise sous la foroie (e), représente, en y attribuant à m les valeurs constantes déduites de Téquation (d), le système de deux lignes droites particulières, et, en apparence, tout à fait étrangères à l'objet réel du problème; on peut s'assurer, en outre, d'une manière trop facile pour qu'il soit convenable de s'y arrêter, que cette équation représente précisément un diamètre de la courbe (/), dont le conjugué fait avec l'axe des ^ un an^le qui a m pour tangente tabulaire, ou, si Ton veut encore, qu'elle représente un diamètre de celte courbe dont les tangentes extrêmes sont parallèles à une droite d'inclinaison donnée par ///. Il ne reste donc maintenant, pour obtenir l'interprétation complète de l'équation (c) ou plutôt (e), qu'à rechercher la signification de //i, et pour cela il faut recourir à l'équation (d), d'où elle tire sa valeur.

On aperçoit d'abord, à la simple inspection de cette équation (d), que m ne dépend absolument que des constantes /?, ^, r, qui appartiennent en propre à la courbe {s). Je dis, de plus, que cette équation ne représente autre chose que les valeurs des tangentes tabulaires des angles formés avec l'axe des x, par les asymptotes de (v).

Afin de trouver les tangentes dont il s'agit, sup[)Osons, en effet, par l'origine des coordonnées, une droite parallèle à l'une quelconque de ces asymptotes et concourant par conséquent à l'infini avec elle : celte droite renfermera le point de contiictde cette asymptote avec la courbe [x] ; donc les coordonnées a et S correspondant à ce point, bien qu^elles soicvt infinies, n'en conservent pas moins entre elles un rapport fini et donné, lequel est précisément égal à la tangente tabulaire de l'angle que forme avec Taxe de$ .r, la droite et l'asymptote dont il s'agit. Si donc, dans V^

quation (s) do la courbe, on remplaco le rapport ' par une constante inconnue /', ou, ce qui revient au même, si Ton y substitue Ax pour 3^ puis qu'on y suppose ensuite a infini après avoir préparé cx>nvenablement l'équation, on en obtiendra une autre qui donnera précisément les diverses valeurs des tangentes tabulaires cherché(^ (*). En opérant ainsi sur Téqualion (^), on obtient

équation qui est absolument de môme forme que celle (d), et qui donne par conséquent pour / les mêmes valeurs que celle-ci pour ///; donc, en eflet, comme il s'agissait de le prouver, la quantité /// de Téquation (e) n*est autre chose que la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec Taxe des ^, Tasymplotc corres()ondantc do la courbe (.v) (**).

XVn. Maintenant, si Ton fait attention que le pôle d'un diamètre d'une section conique est situé à l'inOni sur une droite parallèle au conjugué de ce diamètre, on pourra conclure de tout ce qui précède, que l'équation de condition (c) n'est autre chose que celle du système de deux diamètres de la courbe (.v'), ayant précisément pour pôles les points de la courbe (v), situés à l'inlini, et que, par conséquent, ces points étant singuliers par rapport à (s), Téqualion (c) n'est au fond qu'une solution pariicuUèrc^ purement algébrique, du problème proposé.

On aurait tort toutefois de rejeter sans un examen préalable, les facteurs qui correspondent à ces sortes do solutions étrangères; car : 1** ils ne sont pas insignifiants, comme nous venons de le faire voir; i"* ils ne sont pas toujours inutiles, comme nous pourrions aussi en montrer plusieurs exemples; 3° enfin, ces facteurs sont liés d'une manière intime aux équations d'où Ton est parti, et en sont de véritables solutions, quoiqu'elles ne paraissent pas l'être de l'énoncé verbal lui-même.

La théorie do ces sortes do facteurs, quand elle sera perfectionnée,

(*) II n'est pas inutile de faire observer que, en suivant la mi^ine marche pour le cas général d'une courbe quelconque, on parviendrait, avoc autant de facilité, à trouver les diverses valeurs des tan);<'ntcs tabu laines des angles formés par les asymptotes sur Taxe des or. On voit, de plus, que le nombre de ces asymptotes serait, en général, égal à celui qui marque le degré de cette même courbe. Dans le cas où l'équation obtenue aurait des racines égales, les groupes de ces racines correspondraient évidemment aux divers systèmes d'asymptotes parallèles, etc., etc.

En transportant les mêmes considérations dans l'espace, on obtiendrait sans peine l'équation de la surface conique parallèle la surface dé%'eloppabh asymptotique d'une surface donnée.

Ces remarques nous seront utiles pour ce qui va suivre. {Note de 1817.)

(**) roir la Note additionnelle à ce III* Article, p. Tioo.