M. O. Terqiiem à M. Poncclct. (Paris, ii janvier

« Mon cher compatriote, l'instructive et profonde dissertation quo vous m'avez adressée sous le titre modeste d'une amicale épître, a été lon<»temps l'objet de nos méditations. MM, Servois et Brianchon l'ont lue, relue, débattue, discutée, controversée et approuvée, et ont ainsi appliqué le sceau de leur autorité aux résultais de mes propres réflexions; jo regrette do n'avoir pas votre lettre sous la main; mon intention est de répondre catégoriquement à tous les articles qui méritent d'être pris individuellement en considération. En me conformante vos intentions, j'ai remis la lettre à l'ami Brianchon, et depuis un mois mes réclamations voyagent journellement de Paris à Vincenncs, où demeure le savant professeur de la Garde. Il parait qu'il se dispose aussi à faire une répli(pio adaptée à la circonstance; mais, en attendant, il me prive du plaisir do pouvoir motiver mon adhésion à vos idées, qui paraissent devoir transporter les généralités algébriques dans les domaines juscpiici assez restreints de la Géométrie. Il est de l'essence de l'Arithmétique universelle, autrement dit de l'Algèbre, de traiter tous les éléments soumis à l'opération, comme des nombres abstraits et comme tels de faire subir à ces éléments

saTante, mais où, conformùmonl à IVsprit de l'Algôl)re et de la thciorû» de* nombres discrets, on nôgli(;e entièrement la notion de eontinuilé, et confond trop souvent les méthodes de démonstration ou d'exposition avec les niethode> d'invention, M. Servois s'est livré à une critiqmi spirituelle et railleuse, sinon toujours juste et éclairée, contre la U^mérité do l'auteur tle la Ttchnie algorithmique^ ce disciple de Kant, qui, tout en osant entreprendre la Réfutation tle la théorie des fonctions anahtiques de Lai]ran(;e, annonçait fastueusement .avoir résoin les équations do tous les dQjjrés, et trouvé dans l'infini la solution des plus grands problèmes, des plus grandes diflicultés de l'Annlvs*» algébrique. M. Servois était donc, mieux que personne, en état de décider si mes idée^ géométriques avaient une analogie, même lointaine, avec celles du philosophe et de la philosophie d^uitre-Rhin. {iVote tle i863.)

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les deux seules moditicaliuns premières que dos nombres puissent éprouver : l'augmentation et la diminution. La seule abstraction que rAlgcbrc se permet no porte que sur la nature des unités; aussi ses éléments sont essentiellement abstraits^ discontinus et finis : abstraits dans leur essence, discontinus dans leur coexistence, et fmis dans leurs limites. Mais c'est dans la science de l'étendue que la faculté A' abstraire développe toute sa puissance, qui va jusqu'à anéantir su^ces^ivement les trois dimensions primordiales des corps: elle fait abstraction de la substance [sub stare) et s'occupe essentiellement de l'enveloppe, pour ainsi dire de la sursUtnce. ou, en se servant de l'expression usitée, de la surface des corps. Par une seconde et une troisième abstraction, on arrive aux idées des lignes et des points. Les surfaces, les lignes sont ou limitées ou illimitées; dans ce dernier cas, elles appartiennent, il me semble, à la Géométrie exclusivement; mais dans le premier cas elles sont encore, par leur nature générique, soumises aux lois qui r^issent les êtres géométriques, mais numériquement {)arlant, comme quantités discontinues, elles font partie de l'apanage de l'Arithmétique. Les êtres géométriques limités établissent donc une sorte de liaison naturelle entre la Géométrie et l'Algèbre, et c'est toujours par eux, d'une manière tacite ou ostensible, directe ou indirecte, qu'on a introduit une de ces sciences dans l'autre. Je n'ai jamais pu me rendre nettement compte pourquoi l'Algèbre, si pauvre en abstraction, est si riche en généralités, tandis que tout le contraire s'observe dans la Géométrie. Les faces nouvelles sous lesquelles vous nous faites considérer ces sciences, |)araissent devoir jeter un grand jour sur cette question et enrichir chacune d'elles aux dépens du surabondant des deux. Un seul changement de signes suffit à l'Algèbre pour transporter les pro- |iriélés du cercle à l'hyperbole équilatère. Au moyen de votre ingénieux système interprétatif, la Géométrie trouvera dans son sein de quoi opérer de semblables et d'aussi heureuses métamorphoses. Dans une prochaine lettre, j'espère entrer dans de plus grands dét-ails et vous faire part de quelques difficultés du genre de celles dont M. Servois dit : « M. Poncelet » vous dira cela. » Notre pauvre conservateur souffre en ce moment d'une ophthaliiiie qui l'empêche de vous envoyer des éloges; il me charge provisoirement de prendre l'initiative et de vous engager à bientôt publier la suite de vos travaux; tels que je les ai vus, ils méritent déjà do voir le jour, et il est à craindre qu'en dilTérant plus longtt^mps, d'autres personnes ne trouvent moyen, d'après les données que vous avez déjà fait connaîtro, sinon de vous enlever, mais du moins de vous dis))utcr l'anlériorité de vos découvertes. Si vous avez l'intention de faire imprimer vos ouvrages à Paris, vous pouvez disposer entièrement de ma bonne volonté. Les relations <]ue j'ai d'oilice avec les libraires du pays me donnent peut-être des fa(?ilités à vous servir, ce (jui me serait très-agréable. J'attends là-dessus la manifestation do vos dispositions. Mais surtout ménagez votre santé. Quand on (»n fait mi si noble usage, elle devient le bien

de tou8 ceux qui s'intéressent aux progrès de la raison, il est de votre devoir de la leur conserver. — J'ai l'honneur d'ôtre votre très-dévoué compatriote.

» Signé : 0. Tebquem.

» P, S. Connaissez-vous l'ouvrage latin de Lambert, sur les cx)mète9? il renferme une foule do propriétés des coniques extrêmement ingénieuses, et dont quelques-unes sont consigni^s dans votre lettre à M. Gergonne, imprimée dans les Annales, »

3. — M, O, Terq/tem h M, Poncrlct, (Sans date, probablement en

septembre 1819.)

« Mon cher, nous avons reçu avec beaucoup de plaisir des nouvelles de votre santé, sur le rétiiblissemcnt de laquelle nous avions besoin d'être rassurés. Le Mémoire intéressant que vous avez bien voulu nous con6er nous a été d'autant plus agréable qu'il est un document précieux à l'appui de votre amitié pour nous; n'allez pas nous accuser de répondre à votre afTectueuso épître par des formes diplomatiques; par nous j'entends parler de MM. Servois, Brianchon et de votre serviteur. DilFérents travaux nous ont empochés de nous livrer de suite à la lecture suivie et attentive de votre production; M. Brianchon l'a lue le premier et seul; ensuite M. Servois et moi l'avons lue ensemble. Ces messieurs m'ont chargé d'être l'interprète de leurs sentiments. Je vais tâcher de m'acquitter le moins mal que je pourrai de cette importante mission.

» Opinion de M. Brianchon :

» 11 me l'a fait connaître par lettre. Il me dit qu'il n'a trouvé rien à reprendre dans votre écrit, quelques expressions exceptées ; (pi'on devrait de suite procéder à Timpression^ afin de hàier l'apparition du second Mémoire que vous annoncez dans le premier. La doctrine est neuve, piquante et d'une vérité incontestable.

» Opinion de MM. Servois et Terqucm :

» Nous avons analysé et discuté soigneusement avec toute l'attention dont nous sommes capables; il règne, en général, une grande clarté dans l'exposition des principes, et vous faites très-bien ressortir l'emploi tacite que font les géomètres de quantités imaginaires, ou du moins dont ils ne connaissent pas d'avance les conditions et conséquemment la possibilité apod^ctique de l'existence; emploi qui a lieu mémo dans les démonstrations les plus rigoureuses, lorsqu'on suppose qu'on mène certaines lignes et qu'on suppose certaines grandeurs sans s'inquiéti^r de la possibilité réelle de mener ces lignes et de fixer ces grandeurs. Les algébristes se distinguent en cela des géomètres, qu'ils se servent des imaginaires tacitement et ouvertement. Ainsi, lorsqu'ils disent que la somme des racines d'une équation est égale au deuxième terme pris négativement, cette

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somme est réelle, mais elle comprend tacitement les racines imaginaires de cette équation. Lorsque ensuite ils opèrent sur des quantités de la forme adz b \/ — i, qu'ils les élèvent à des puissances et les soumettent à toutes les modîBca tiens arithmétiques, ils travaillent d'une manière patente sur des objets d'idéale existence. C'est à enrichir la Géométrie de cette dernière sorte de travaux, à doter la science de l'étendue des ressources qu'offre la science des quantités numériques, que tendent tous vos travaux ; nous croyons, avec vous, que la réussite de cette entreprise amènerait de grandes simplifications et d'importantes découvertes; votre troisième Section en offre d'intéressants exemples. Toutefois, il reste encore quelques points obscurs, ou qui nous paraissent tels; comme nous jugeons toujours les idées d'autrui en les comparant aux nôtres, nous croyons vous donner les moyens de Caire disparaître les difficultés qui nous arrêtent, en vous faisant connaître notre manière de considérer les relations mutuelles de similitude et de dissemblances que nous trouvons entre l'Algèbre et la Géométrie. Dans cette dernière, comme vous l'avez fort bien remarqué, il existe deux sortes de propriétés : les ones, métriques^ supposent la préexistence d'une ou de plusieurs unités connues et déterminées ou déterminables; les autres, descriptives^ sont indépendantes de toutes unités; mais nous croyons remarquer aussi deux sortes de propriétés distinctes en Algèbre, savoir : les propriétés métriques et les propriétés opératoires ou algorithmiques; les premières ne dépendent que de la grandeur soumise aux opérations, tandis que les secondes dépendent de la nature de l'opération, selon qu'elle exige des extractions de racines, des élévations de puissance, des différentiations, des intégrales, Tusage des logarithmes, etc. De là doivent résulter deux sortes d'impossibilités : les unes métriques, les autres algorithmiques, et que malheureusement nous savons distinguer en très-peu de cas. Ainsi, nous savons que la possibilité de y/a tient à la propriété métrique de a> ou <o, et ainsi des autres imaginaires; mais on a longtemps discuté pour savoir si log — a était dans le possible ou non, quoique cela ne tienne qu'à une propriété métrique. Mais lorsque les conditions de l'existence sont réglées sur la nature de l'opération, c'est alors que les ténèbres nous enveloppent de tous c6tés : sait-on ce que signifient les faclorielles, les différentielles, les logarithmes, les intégrales à exposants fractionnés ; ne sont-ce peut-être que des quantités essentiellement imaginaires, indépendamment de toute propriété métrique? Du moins, avant de prononcer, il est permis de douter; mais ce doute nous semble porter atteinte à votre théorie. En effet vous faites voir, en prenant pour exemple les intersections de deux lignes, que l'une restant fixe pendant que l'autre tourne autour d'un de ses points comme centre de rotation, plusieurs points d'intersection s'évanouissent par suite du mouvement ; des grandeurs réelles deviennent imaginaires, et vous dites que ces imaginaires répondent exactement aux imaginaires algébriques. Nous vous demanderons d'abord à quelle espèce d'imaginaires : algébriques, métriques

ou algorithmiques? vous vous décidez pour les métriques, et vous avez raison dans le cas particulier qui vous occupe. En efiet, les intersections sont déterminées par des abscisses ou ordonnées toujours racines d'une même équation ; les coefficients de cette équation peuvent se construire dans tous les cas géométriquement, parce qu'ils ont une existence réelle indépendante de leurs racines et conséquemment des points d'intersection possibles et non; mais qu'il s'agisse d'une courbe plane et d'une droite située dans son plan; supposons que la droite s'élève tant soit peu hors du plan, voilà toutes les intersections qui deviennent impossibles à la fois, et alors à quelle impossibilité algébrique correspond cette impossibilité géométrique? nous n'en savons rien, et nous recevrons avec beaucoup d'empressement vos éclaircissements sur ce passage brusque do l'être au non-ôlre. Nous ne connaissons rien de semblable en Analyse; les imaginaires radicales passent insensiblement du possible à l'impossible en traversant le néant et les imaginaires opératoires? Ici commencent les mystères : c'est au ministre à nous initier; vous avez entr'ouvert la porte du tem- • ple, peut-être qu'elle cédera à vos efforts; le passe est d'un heureux augure pour l'avenir. Nous es|)érons beaucoup de votre second Mémoire, et voici ce que nous vous conseillons relativement au premier.

» La première et la seconde Section renferment des idées qui, se rapprochant beaucoup de celles de Carnot, sont aujourd'hui assez répandues parmi les géomètres |)Our qu'on puisse se dispenser d'entrer dans (h grands développements; ainsi nous croyons que ces deux parties, considérablement réduites et convenablement présentées, pourraient se réduire à quelques pages qui» ajoutées à la troisième partie, seraient une bonne et excellente introduction au Mémoire (jue vous annoncez. Nous pensons que vous devez achever ce Mémoire et ditférer jusque-là la publication de celui-ci. Les idées abstraites, de nos jours, n'obtiennent accès que lorsqu'on les fait suivre immédiatement de fertiles et d'utiles appliciUions; les vôtres sont de ce nombre, nous en avons des preuves multipliées. Nous désirons, par ceci, vous donner à notre tour une prouve de la sincérité de nos intentions et de l'intérêt (jne nous prenons à vos découvertes et à la réputation qu'elles sont destinées à fonder.

» Signé : 0. Terquem, — F.-O. Servois. »