SEPTIÈME ET DERNIER CAHIER

CORRESPONDANCE ET POLÉMIQUE RELATIVES AUX PRIN- . CIPES FONDAMENTAUX DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES; SOUVENIRS ET FRAGMENTS DIVERS (*).

BtrtMirat blc ero sam qoU noo IntoUIgor ilU». ( Ovio., Tristium, Mb. V, elegli X. )

ÉCHANGE DE LETTRES ENTRE L* AUTEUR ET MM. TERQUEM , SERVOIS ET BRIANCHON, SUR LES PRINCfPES DE LA PROJECTION CENTRALE, LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ, ETC.

i. — Ponce le t^ capitaine du génie à Metz y à M, O. Terquenh, ancien professeur de mathénwtiques et bibliothécaire au Musée d'artiilehe à Paris, (Metz, le ^3 novembre 1818.)

a Monsieur, il y a fort longtemps que je me suis proposé d'avoir l'honneur de vous écrire ; la bonté avec laquelle vous avez bien voulu accueillir mes recherches géométriques et m'encourager à les poursuivre.

(i) Je réunis dans co dernier Cahier, sinon le texte, du moins ud extrait •bréjrc ou analytique des feuilles manuscrites qui n'ont pu entrer dans le cadre resserre des divers chapitW>s de ce dcuxièroo volume, à cause de leur étendue, de leurs {lat<;s ou des disparates qu'elles y auraient amenés, et dont néanmoins la plupart ont été rapidement mentionnées dans les notes courantes qui raccompagnent, ainsi que dans le précédent volume. J'ai tenu toutefois, et pour cause comme on le verra, à publier in extenso le texte de quelques Articles do correspondance avec des savants bien connus, ainsi que le Rapport fait à l'Académie des Sciences sur le Mémoire inséré dans le V* Cahier, tout en regrettant que l'espace et lo temps m'aient manqué pour publier de même textuellement une partie de mes anciennes et préalables études sur les Porismes d'Euclidc, l'ouvrage de Pappus ainsi qu'un grand nombre d'autres anriens ou\Tages, très- peu ou mal connus â l'époque de 1833, et dont les citations multipliées, mais trop écourtées je le constate, qui accompagnent, aa point de vuo historique d'une consciencieuse équité, lo texte du Traité des Propriétés projectives t ont néanmoins suffi pour mettre sur la voie d'antres géomètres plus habiles ou moins empêchés que moi.

Toffrc obligoante mémo que vous dvez daigné me faire d'entrer à ce sujet on correspondance avec moi et de m'aider de vos lumières et de vos conseils, m*ont fait espérer que vou^ accueilleriez avec une égale indulgence les communications nouvelles que je pourrais avoir à vous adresser à diverses occasions. Cest dans cette persuasion que je prends la liberté de vous transmettre directement une exposition, ou plutôt un sommaire ab*régé, de la partie de mon travail qui concerne la métaphysique de la Géométrie; travail entrepris, en quelque sorte, d'après vos conseils et sous vos auspices, puisque , en daignant entrer dans les idées que j'eus l'honneur de vous communiquer lors de votre voyage à Metz (1817), vous voulûtes bien y attacher assez d'importance pour m'engager à les approfondir et à les faire paraître.

» Les recherches dont il s'agit devaient précéder la publication de mes recherches sur les sections co/iiqucs, etc.; mais, ainsi que j'ai déjà eu rhonneur do le mander à M. Servois, après avoir beaucoup écrit sur ce sujet, j'avais fini par l'abandonner entièrement, en en retenant toutefois ce qui était indispensable pour l'intelligence de la partie des applications.

» Comme j'ai déjà donné à notre savant conservateur du Musée d'artillerie quelques détails sur cette nouvelle rédaction de mon travail, je crois inutile de m'y arrêter de nouveau ; en conséquence, je no vous entretiendrai que de l'objet de mes premières recherches, sur lesquelles je pourrai bien revenir un jour, si Ton juge qu'elles en valent la peine, et qu'elles puissent intéresser les progrès de la Géométrie.

» Tout le monde convient, en général, de la su|)ériorilé de l'Analyse algébrique sur la Géométrie, nommée si improprement synthèse; mais personne, si je ne me trompe, n'a recherché en quoi, précisément, consiste cette supériorité. A la vérité, de grands géomètres ont dit que la puissance de l'Analyse tient à la faculté qu'elle a de faire usage des êtres de raison^ do réduire le raisonnement à un pur mécanisme qui soulage la mémoire et laltention; mais ces explications générales, quoique trèsexactes, sont loin do satisfaire, d'une manière complète, lesprit et le jugement. On veut savoir quelle est véritablement cette puissance, à quel principe elle doit son origine et sa certitude; car, si elle tient à la faculté qu'a l'Analyse algébrique do se servir des êtres de raison (Carnot) , on peut demander encore d'où lui vient cette faculté, et si on ne la lui accorde pas d'une manière gratuite. Enfm , on se demande pourquoi la Géométrie ordinaire est si restreinte dans ses conceptions, et s'il ne serait pas possible, jusqu'à un certain point, de la faire jouir des mômes avantages que l'Analyse algébrique. Tel était l'objet des recherches et des rétlexions que j'avais essayé de mettre par écrit l'année dernière, mais dont je ne me propose d'offrir ici qu'une esquisse très-sommaire , et par suite tres-imparfaite.

» Depuis longtemps j'avais cru entrevoir quo la puissance de l'AnaU'se

53i VJ!*^ ET DEHNIEU CAIllER. ~ CORRESPONDANCE,

tenait à l'admission tacite et presque involontaire d'un principe trèsétendu , dont on récusait l'emploi général en Géométrie synthétique, principe qai est précisément celui de la curuinuité des lois mathématiques (le la gramleur figurée, dont j'ai déjà eu l'honneur de vous entretenir. Il 8'agiftsait d'établir la chose d'une manière irrécusable, à cause de son importance, et voici comment j'ai cru pouvoir y parvenir.

» Je commence par examiner la marche do la Géométrie ordinaire dans la solution des problèmes ou dans la démonstration des théorèmes, et j'en conclus cette différence essentielle entre lu Géométrie et l'Analyse, que les conceptions dç l'une se bornent à l'état particulier du système ou de la figure que Ton envisage, tandis que colles de l'autre s'étendent, comroe on sait, immédiat(-ment à tous les états possibles de ce système. Je prouve par cet examen et par des exemples, que la Géométrie ordinaire ne possède en elle-même aucun moyen de généraliser; qu'elle doit nécessairement en emprunter le principe à toute autre doctrine ; que déjà, à la vérité, elle parait douée, çà et là, d'une certaine extension dans les écrits modernes, mais que celte extension Jui vient précisément de Thabitude assez généralement acquise depuis Monge, d'y appliquer le calcul algébrique, habitude qui a fait admettre comme un axiome incontestable dans certains cas, les conséquences générales qui découlent de ces principes. Cela est si vrai, que les Cavalier!, les Roberval, les Descartes, les Desarguos, les Pascal, etc., qui firent usage les premiers, en Géométrie pure, de là notion métaphysique de l'infini, furent précédés de longtemps par la découverte du calcul algébrique.

» Cette discussion me porte naturellement à faire voir que la doctrine de la corrélation des figures, doctrine qui étend si considérablement le domaine de la Géométrie synthétique , n'est elle-même fondée que sur l'admission tacite du principe d'extension qu'on vient de définir et d'eiaminer. Je termine ce sujet en faisant observer que le principe de continuité n'a pas été reçu en Géométrie dans toute la généralité qui lui est pro[)rc, mais seulement dans certaines circonstances favorables où il ne pouvait contrarier les idées ordinairement admises, puisque, sans cela, od se serait nécessairement jeté dans les considérations métaphysiques des imaginaires, qui ont toujours été repoussées jusqu'ici du sanctuaire étroit de ta Géométrie : sur quoi j'observe que, si l'on veut être rigoureux et logique comme le furent les Anciens, il faut entièrement bannir de la Géométrie le principe, l'axiome dont il s'agit, ou l'admettre dans toute sa généralité, sans s'inquiéter des conséquences singulières et paradoxales qui peuvent en résulter dans les applications, de même qu'on l'a fait en Analyse algébrique , où ces difficultés subsistent et n'ont pourtant point arrêté sa marche ni ses progrès. Pourquoi, on effet, en celte occasion comme dans tant d'autres, n'userait-on pas do ce principe de d'Alembert devenu presque vulgaire à force d'être répété : Allez en avant et la foi lious viendrfi.

A Passant ensuite à Texamen do la marche mi^me suivie par l'Analyse al^i^brique dans la résolution des questions, je fais voir que, quoique le principe de continuité s'y présente d'une manière naturelle et presque à rinsu du calculateur, il n'en est pas moins entièrement gratuit, comme en Géométrie synthétique, puisqu'il revient en déiinitive à admettre que les opérations élémentaires de rAlgùl>re s'étendent immédiatement à tous les états, même imaginaires, des lettres que ces opérations concernent. Or on sait combien cette exteniûon volontaire est jusqu'ici ptni démontrée, et qu'elle n'a de certitude que celle que lui a imprimée l'expérience do deux siècles de découvertes et de travaux mathématiques.

On aurait tort de croire que cette puissance extensive de l'Algèbre lui appartienne d'une manière exclusive, et qu'elle ne puisse dériver d'aucune autre forme de raisonnement ; car, pour y parvenir par le discours ordinaire, il sufiit de donner aux quantités que l'on considère des dénominations vagues et abstraites, qui fassent perdre de vue Tordre particulier de leur grandeur; c'est-à-dire qu'à la place du raisonnement explicite ordinaire, qu'on appelle souvent aynthèsc^ il suflit d'admettre le raisonnement implicite sur des grandeurs indéterminées. 11 est visible, en elfel, (|ue les résultats ne conservant plus aucune trace de la grandeur absolue et particulière des <}uantilés, on sera entraîné à en étendre la signification à tous les états ou valeurs [)ossibles de ces ([uan li tés ; et c'est ce qui arrive nécessairement, môme en Géométrie rationnelle , à l'égard des lignes inconnues d'un problème. Aussi les anciens ne se tintent-ils pas plus à leui* Analyse géométrique que les algébristes des premiers siècles ne se fiaient eux-mêmes aux résultats du calcul algébrique , les uns et les autres se croyant obligés de refaire la démonstration de ces résultats dans un ordre inverse et purement synthétique.

» L'axiome jusqu'ici examiné n'est au fond, quand on le considère sous un certain point de vue, que le principe do permanence ou continuité iniléfinie des lois, mathématitptes des grandeurs r>ariables pur succession insensible, continuité qui pour certains états d'un même système ne subsiste souvent que d'une manière purement abstraite et idéale. Celte loi de continuité, sur laquelle repose implicitement l'Algèbre pure, e^t de iiouve-au invoquée, ouvertement ou non , dans les principes des diverse»» théories particulières qui la composent, telles entre autres que la théorie des équations et celle du calcul iniinitésimal, etc., et c'est ce qui laisse encore de nos jours quelques scrupules dans l'esprit de certains géomètres. On la suppose de même dans les applications de l'Algèbre à la Géométrie, à la Mécanique, etc.; car lorsqu'elle a lieu dans les relations particulières à ces sciences, cela ne peut résulter que des conventions ou de la nature propre des choses, et non du fait même des opérations et de ralgorithme de l'Algèbre pure, dont U»s lois symboliques ou numériciues sont absiraites et indépendantes de la forme et des allections réelles «le la grandeur.

9 Le principe do la continuilé, considéré sous le rapport de la Géométrie, consiste, comme on a pu le voir par ce qui précède, en ce que^ si l'on conçoit qi^une figure donnée vienne à changer (le situation par un mouvement progressif et continu des parties dont elle se compose , sans cependant violer la liaison et la dépendance primitivement établies entre elles ^ les relations ou propriétés métriques qui concernaient la Jtgttre dans la situation première demeurent applicables, dans leur forme générale, à toutes les figures, dérivées^ sans autre changement que celui des dénominations simples plus et moins qui peuvent s* intervertir entre elles dans ces relations. Quant aux relations purement graphiques on descriptives qui concernent la figure primitive, elles demeurent applicables à toutes les figures dérivées sans autres modifications que celles survenues flans la situation respective des lignes,

9 Je m arrête quelque temps à examiner le sens dans lequel on doit entendre ce principe et les notions métaphysiques qui découlent de son admission en Géométrie , notions généralement reçues dans TAnalyse des coordonnées. Je donne ainsi successivement la définition des expressions tigurées qui s'y emploient et la signification attribuée aux expressions négatives et imaginaires offerte par le calcul.

» C'est en partant de l'observation facile qu'en Géométrie les êtres de raison ne peuvent provenir que de la volonté qu'on a d'étendre la loi de continuité aux cas mêmes où la conjonction des lignes est impossible physiquement, que je parviens à établir les caractères propres et distinctifs qui leur appartiennent respectivement. Je déduis du même examen diverses notions métaphysiques qui me paraissent importantes et nouvelles; telle est entre autres la suivante : Tous les points h Pinfini de Pespace doivent être regardés^ sous le point de vue de la continuité, comme distribués sur un plan à V infini, indéterminé de situation,

» Après avoir ainsi examiné, en lui-même et dans ses conséquences. If principe de continuité en Géométrie, je reviens aux réflexions générales sur l'application do l'Algèbre à cette scioncç particulière.

1) Je fais voir combien il est essentiel de séparer l'Algèbre pure de ce qui concerne ses applications à des théories ou à des recherches particulières. Je démontre, en effets que, quand bien même la loi de continuité serait admise et constatée d'une manière rigoureuse pour les relations abstraites de l'Algèbre, il ne s'ensuivrait nullement qu'on puisse directement en appliquer les conséquences aux conceptions propres à la Géométrie. Car lapplication do l'Algèbre elle-même aux relations qui concernent les figures suppose déjà que ces relations, quelles qu'elles soient^ demeurent invariables de forme, et soient assujetties à la loialgébrique des signes pour toutes les situations que peuvent prendre les figures correspondantes. S'il en était autrement, en effet, comment ])Ourrait-on affinner que les résultats qui en dérivent algébriquement demeurent eux-mêmes applicables dans leur forme explicite à toutes les situations de ces figures.

Cela paraîtra surtout évident à l'égard du changement des signes de position. Or, comment pourra-t-on avoir égard à la variation de ces signes dans les résultats, si Ton n'en a étudié à l'avance la loi pour la figure et les relations primitives d'où les figures dérivées proviennent? Ainsi la loi des signes et la loi de continuité, dans les résultats obtenus algébriquement pour CCS diverses figures, ne peuvent découler virtuellement et d'une manière, absolue, que des lois inhérentes aux formes ou objets figurés de la Géométrie; c'est donc par l'observation directe et attentive de ce qui se passe dans les relations premières, celles d'où toutes les autres dérivent , qu'il faudra les établir d'abord d'une manière certaine et rigoureuse.

D On doit sentir ici quelle est la cause du vague qui règne dans presque toutes les théories qu'on a données sur les signes considérés dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie : on a voulu démontrer ces théories à priori, et sans remonter aux propriétés ou faits primitifs auxquels elle doit sa naissance et son infaillibilité. Aussi les auteurs de ces théories ontils été obligés d'admettre tacitement ce qu'il s'agissait précisément de démontrer. C'est ainsi que M. Gaudin, dans son E.wsm sur la théorie fies signes (*), entre en matière en posant ce principe : Ce qui existe dans le calcul doit aussi exister en Géométrie, par la seule raison que la calcul est applicable à tous les objets que cette science considère. Indépendamment du vague et de l'obscurité qui régnent dans cet énoncé, il est trèscertain que le principe est entièrement gratuit et non démontré. Cela seul suffit, ce me semble, pour faire voir ({uo la théorie de M. Gaudin |)èche par la base, et ne saurait expliquer clairement les faits qu'elle entreprend d'examiner.

» M. Carnot aurait jeté un grand jour sur ces matières, si, en s'appuyant, non tacitement, mais explicitement, sur le principe de la continuité, pour en déduire la règle véritable des signes de corrélation, il eût toujours eu soin, dans les applications particulières, de séparer ce qui tient aux notions fondamentales et géométriques de ce qui est dû proprement a l'Analyse algébrique. Il no nous appartiendrait guère de revenir sur ce qu'a dit ce célèbre géomètre, si la théorie qu'il expose avait paru satisfaire tous les esprits, et si les conséquences qu'elle entraîne et les objections qu'elle fait naître ne tendaient à détruire, jusqu'à un certain point, la confiance que l'on doit avoir dans la certitude et dans la généralité de l'Analyse algébrique. D'ailleurs, l'objet des recherclies qui nous occupent est d'introduire en Géométrie, dans toutes ses conséquences, le principe de continuité dont l'admission exige absolument qu'on ait égard à la variation dos signes; et, quoiqu'on puisse admettre, à priori, la rè;zlc indiquée par M. Carnot. relativement aux quantités directes et inverses, règle en

< * "> Imprime k Nanl<»s, chc/. Forcst, fin-s la RourM»; 1816.

536 Vil* ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

ello-môme trèg-^xactc. il importe toutefois de la présenter sous un jour plus simple, plus conforme à la manière ordinaire de voir, el qui puisse faire éviter toutes les diflicul tés dont elle est hérissée dans les applications particulières.

9 Le but que je me propose dans ce qui va suivre est donc d*examiner, sous ce point de vue spécial, et le principe de continuité et la loi des changements de siîîne, puis d'en tirer des conséquences exactes pour l'application de l'Algèbre à la Géométrie en général.

» J'admets on' principe, avec M. Carnot, que toute propriété ou équation déduite algébriquement d'une ou de plusieurs relations données, demeure invariable de fornu\ et par conséquent applicable à tous les états tles quantités qui y entrent ^ quand les premières^ celles (foù elles proviennent y jouissent elles-mêmes de ce caractère dans lequel réside véritablement le principe de continuité admis en AIc;èbre pure. Quoique co principe n'2iit point jusqu'ici été rigoureusement démontré, je l'adopte toutefois sans discussion parce qu'il est parfaitement clair, exact en lui-même el reçu au moins implicitement par la généralité des géomètres, si on le considère indépendamment de ses applications.

» J'examine, pour les fiiçures élémentaires et fondamentales de la Géométrie, l'influence de la position sur les signes des quantités qui entrent dans les relations correspondantes ; j'en déduis cette règle si connue : qno, dans les divers chanf^ements de situation que peuvent éprotii*er in figures, ou les parties qui les composent , il y a permanence de signes en même temps qiw permanence de situation et de sens à l'égard tle rori' gi ne d'où se mesure chaque grandeur respective, et qu'il y a au contraire variation de signe avec variation de sens à l'égard de cette même origine. Au moyen du principe cité, j'étends d'abord cette règle des signes aux relations métriques qui ])euvenl se déduire algébriquement des premières; puis, par un raisonnement fort simple et souvent employé, je rétends de nouveau à toutes les relations géométriques possibles des figures, en observant que les plus compliquées d'entre elles se décomposent toujours en quelques-imes des figures élémentaires d'abord examinées, en même temps que les relations qui leur appartiennent dérivent de la combinaison algébrique de celles de ces dernières.

» La règle des signes ainsi posée en général, j'examine cornaient on peut l'appliquer aux systèmes corrélatifs, dans lesquels certaines grandeurs figurées cessent de subsister d'une manière physique ou graphique. Je fais voir que cela consiste à regarder les lettres ou expressions qui les représentent comme inconnues à la fois de grandeur el de signe pour tout l'intervalle où elles restent imaginaires, en ayant égard cependant à la règle des signes pour les autres quantités du système qui sont demeurées réelles. Les relations correspondantes à ces étals du système sont j)un^ment idéales dans les propriétés géométriques qu'elles expriment, mais elles n'en sont pas moins exactes et rigoureuses, en ce sens qu elles ma-

nifestent Tétat véritable du système par leur incompatibilité et [uir la nature des expressions qu'elles donnent pour les valeurs des quantités reganlées comme inconnues. Je termine ce sujet en examinant et expliquant les difiicultés faites contre la rè^le ordinaire dos si|2;ni^s; telle c^t entre autres celle que présente la Si'*cante d'un arc plus grand que ^00°, qui se confond exactement avec la sécante corres|K)ndanle d'un arc moindre que loo'*, et qui pourtant est, comme on lésait, affectée d'un signe contraire à c«lui que port4) cette dernière.

n Cette objection, d'abord mise en avant par M. Carnet dans la 6V0métric de position^ puis reproduite à la (in de son Mémoire sur la Théorie (les tmmversn/es, comme un exemple [)ropre à détruire l'opinion ordinairement reçue en Géométrie sur la nature des (pianlités négatives, a de nouveau été examinée par M. Gaudin (art. 35 et 49) de l'ouvrage déjà cité; l'auteur cherche à détruire cotte objection en aflirmant qu'on s'exprime d'une manière abrégée lorsqu'on dit que h scainie d^u/t anplus gnind que «200** est m'f^titive; inais l'explication de M. Oirnot, fondée sur la théorie des quantités directes et inverses et celle môme de M. Gaudin ne sont nullement satisfaisantes et ne détruisent aucunement l'objection; nous faisons voir, en effet, que la diiliculté lient simplement à ce que, dans le mouvement de rotation d'une droite qui porte certaines distances variables et constantes, on confond aisément entre eux les deux sens opposés [dexter et sinister) que ces dislances peuvent prendre à l'égard de leur origine commune.

» Apr^ avoir ainsi examiné la véritable règle des signes, ou plutôt le sens véritable que l'on doit attacher à la règle ordimii rement reçue en Géométrie analytique, je jiasse à l'application de l'Algèbre à la résolution des problèmes qu'on peut se proposer sur les figures. J(^ démontre rigoureusement, par des raisonnements et par des exemples, que, quand le problème a été bien mis en équation, c'est-à-dire quand le système des équations primitives n'exprime ni plus ni moins que Pénoncé verbal luimôme, et en est [)ar consé(}uent la trdduction exacte et fidèle, qu(» les racines algébriques obtenues satisfont toutes à la fois aux conditions du problème; les racines positives indiquant des grandeurs qui ont précisément le sens qu'on leur avait attribué primitivement, h*s racines négatives représentant forcément toujours des solutions qui ont un sens 0()posé ou inverse ( pourvu qu'on donne au mot ,*r/M l'acception qui lui est pr()[)re d'après la loi posée pour lés signes), enlin les racines imaginaires indi- (|uant des solutions impossibles pour le cas actuel et qui |>euvent de- \enir réelles en changeant, non le sens, la nature du problème énoncé, comme le veut M. Carnet, mais la grandeur absolue de quelques-unes de s(^s données. Je fais voir (|ue toutes les diilicultés particulières que l'on peut rencontrer viennent toujours de ce que le problème a été mal mis enp équation, ou de ce (|ue l'on a confondu le s\stème cherché avec un autre système qui en dilTère soit géométriquement, soit annlytiquement.

538 VII' ET DERNIER CAHIER. - œRRESPONDANCE ,

Toutes les racines trouvées satisfaisant en effet algébriquement aux équations de départ, et ne satisfaisant qu*à ces seules équations, elles indiquent des solutions rigoureuses du système propre à ces équations, et il ne saurait s'en trouver parmi elles aucune qui soit ou absurde ou insignifiante, et provenant purement des transformations algébriques, comme le prétend encore notre illustre géomètre.

9 Je donne ici plutôt les conséquences que l'analyse de la dernière partie de mon travail, parce que dans une matière aussi épineuse et où les difficultés tiennent à des notions vicieuses généralement reçues, et souvent aussi à des amphibologies de mots et d^expressions, on ne saurait se faire comprendre , d'une manière parfaite , que par des raisonnements souvent répétés et appuyés de la discussion exacte d*un grand nombre d'exemples difficiles.

» Au reste, Monsieur, l'objet véritable de cette lettre, ainsi que j ai eu déjà rhonneur de vous l'annoncer lors de votre visite à Metz, était moins de vous offrir une analyse raisonnée de mon travail qu'une esquisse rapide, propre ù vous faire connaître seulement le but exact que je m'étais proposé d'atteindre dans mes recherches , afm que vous puissiez juger à lavancc, non du mérite, mais du degré d'intérêt qu'elles pourraient offrir aux géomètres qui aiment comme vous à s'occuper de la partie méiaphy* sique des sciences.

» C'est sous ce rapport seulement que j'ose recommander cette longue lettre ù votre attention et à votre indulgence , ainsi qu'à celles de nos respectables amis MM. Servois et Brianchon. Si vous daignez me transmettre, d'une façon ou d'une autre, votre avis et le leur sur la nature de l'accueil qu'on [K)urrait faire aux idées principales qu'elle renferme, vous fixerez l'incertitude et le doute qui m'empêchent jusqu'à ce jour de rien faire paraître; car, il faut bien que je le dise, voulant baser toutes mes recherches sur l'admission du principe de continuité en Géométrie et de toutes les conséquences métaphysiques quil entraîne, j'appréhende, en leur donnant lo jour, de contrarier les idées ordinairement reçues, et de ne point obtenir l'assentiment des hommes éclairés que je veux précisément prendre pour juges. L'exemple de Wronski m'effraye et m'intimide à plus d'un titre, sans cependant me faire croire que mon travail ait rien de commun avec les rêveries de la [>h\\oso\)hie d^outre-lUiin (*), Il y a, il est

(i) M.Sorvois, mou ancien innftrc et honorable ami, dont plusieurs fois déjà j'ai ou rocciiHÎon de citer les écrits (jéométriquob dans css Applications ^eX dont le nom Ro trouve souvent rappelé dans le Traité des Propriétés projectii'es da /igurt's, est l'auteur de divers Mémoires (iHoo à 1810) sur les principes du calcul des variations, du calcul différentiel, des fonctions Jistribtttii*rs et vontmutfUiveSy etc., approuvés par l'Institut en iSr», dont les idées et le» tht^oric*» Kont en partie reproduites dans des écrits imprimés à Nim«s en \9^\\ et 'les Jnniilcs dv Mathématiques, Dans ces divers articles, pleins d*une érudition

vrai, beaucoup d^autres difficullés qui m'arrèlent encore dans la rédaction de mon travail, ce sont le défaut de santé, le manque de temps et mon incapacité naturelle pour écrire; mais elles ne sont qu'accessoires à la première, et avec de la persévérance on en vient tant bien que mal à bout. Lors de votre voyage à Metz, en 1817, vous me donnâtes l'idée. Monsieur, de présenter mes recherches à Tlnstitut; Brianchon m'a réitéré depuis lo même conseil. Je désirerais savoir si la lecture de cette lettre vous aura laissés Tun et Tautre dans les mêmes sentiments; je souhaiterais beaucoup aussi que M. Servois daignât joindre son avis particulier aux vôtres, je lui en garderais une profonde reconnaissance. »