Réponse à la précédente lettre, par M, Terqucm

( Paris, I '1 janvier 1 820. )

« Mon cher, nous nous étions flattés longtemjïs de l'espoir de vous posséder à Paris ; c'est ce qui m'avait engjigé à relarder la réponse à votre dernière lettre : votre présence aurait sans doute été très-favorabJe à l'exécution de vos projets typographiques. Comme, à ce qu'il parait, voire voyage est différé, il ne s'ensuit pas que vos projets doivent en souffrir; j'ai parlé à M. Bachelier, libraire, qui m'a donné les renseignements portés dans la Note ci-jointe. Nous sommes cx)nvenus de réunir en un volume les deux Mémoires, avec ce litre : Nouvelles propriétés des courbes^ précédées de considérathas sur le principe de la continuité ilans la Géométrie.

n Nous attendons vos observations sur le titre, que nous croyons propre à attirer des chalands; car c'est à c^la qu'il faut viser lorsqu'on s'adresse au public. C'est une maxime de libraire, qu'il n'est pas prudent de négliger. Si vous aviez encort» quelque chose de préparé, il serait bon de l'envoyer afin de faire paraître tout à la fois. Vos Mémoires seront imprimés tels que vous les avez rédigés, sauf quelques légèn^s corrections dont je me charge ainsi que de la révision des épreuves. Vous pouvez compter que M. Servois et moi ne négligerons rien en ce qui concerne les soins et la correction typographique. M. Servois a lu votre second Mémoire et il en paraît très-conlent. Des occupations multipliées ne m'ont ^ws encore permis de me livrer à celle lecture, qui doit être faite avec attention; mais je sanctionne de coniiame la décision servoisienne ; je ne doute jKis qu'elle ne soit portée en connaissaniv do cau.^\ J'ai lu avec plaisir vos observations en réponse aux nôtres sur NOlre pn'mier Mémoire. Nos rcMuarques suhsistc/it ; je crois toujours ipK» votn» Mémoire gagnerait non-seulement en intérêt, mais même en cîarlé, s'il était réduit à des dimensions moindres, au quart par exemple. Voilà un langage qu'on ne lient pas ordinairement aux auteurs, d'aciord; mais qu'on devrait toujours tenir aux amis dont on estime le caraclère. dont on admire le talent <'t dont on désire sincèrcMuent h? succès. Votre très-dévoué ami el compatriote. »

XAMEN CRITIQUE DES OPINIONS ET I)L JU(iEMENT ÉMIS PAR M. CAUCIIY DANS SON RAPPORT SUR LE MÉMOIRE INSÉRÉ AU V*" CAHIER.

Obsen'/i fions prt'/i/ftbiefs .

Le Rapport à l'Arndémic dt's Scicnoos (hî Paris, mciitiumiù ci -dessus, a été imprimé une première lois en s^'plenihre iSm), tlans les anciennes Jnnahs de IHat/iématiques^ avec des annotations du rédacteur qui nVtaient guère propres a relever les doctrines de VEsuti sur tes conif/ues de Total <ie riiscrédit où Tavait plongé le Rapporteur, qui jouissait alors de t<»ute rinlluence accordc'c à sa brillante renommée scientilitpie. Néanmoins les annotations de M. Gergonne, partant d'un esprit philosophique, bien que parfois a%entuceux, ne pouvaient être entièrement défavorables au principe de eontinuité ; el c'est ce que prouve le passage suivant de la note insérée à la p. 7^ du I. \1 des Jnnales : « Il

• faut employer le principe dtî M. Poncelel, ainsi que le tour de démonsiration ■ introduit par Monge, à peu près comme on employait le calcul différentiel » lorsqu'on n'en voyait pas bien encore la métaphysique, c'esl-à-dir»? uni<|ue-.

• ment comme instrument de découverte; mais ce n'en seront pas moins di's » instruments très- précieux, car le plus souvient, en mathématiques, dé<'ouvrir » est tout; ce ne sont pas d'ordinaire h^s démonstrations qui embarrassent A beaucoup. »

Plus lard il-iwt vrai, en iK-.»^, M. Gergonne, moins indulg(>nt, s'exprime ainsi dans une note de la p. 13') du t. \MI1 dej» .annales:

« Je persiste à pens<?r que >l. Poncelel a gravement compromis ses dot'lrines M en mêlant au c/assif/ue que tout le monde admet, le nnnantitjue <|U(S pour » mo part, je suis fort loin de repousser, mais sur b'quel enlin on discute encore^ » el que MM. les Commissaires de l'Acailemie eux-mêmes, au jugement desquels » M. Poncelel déclare attacher iMsiucoup de prix, ont traite a^^cz .sévi-rcnient. »

M. Gergonne confond ici, comme s'il ertt ignoré les usages acad««mi<iucs pourtant bien connus, le texte du Rapport de M. Cauchy avec les conclusions \n\orâbles à mon Mémoire de iH>o, conclusions débatlut's, arrèlres etsign»'H»s par MM. Arago et Poisson, puis approuvées par rAcademie. .l'ai <lf)nc pu témoigner une n'spectueuse déférence pour le jugement d«?s (Commissaires, sans néanmoins adopter les o'pini<»ns personnelles du Rapporteur, contre les<[uelles je %iens aujourd'hui protester, quoi(pie tardivement, comme je l'ai déjà fait dans une discussion relative aux pertes de forces rives pendant le choc et au tlu'orème «le Carnot. Dans celte discussion M. (!auch>, coutumier du fait, revendi<iuant des droits de priorité mal ac<piis (t. \LIV des ('ompte.\ rendus, année iS.'>7) et à bout d'arguments, n'a pas craint, en présence d'un nombreux audil<»ire, de me tiixer d'ingratitude, parce qut» je lui avais reproché son peu de sympathie pour les tluu>ries géométriques en géïK'ral, et les mienn<>s en particulier, à peu pi'è> comme l'avait fait 3o ans auparavant, l<* rédacteur des anciennes .hina/c.s de Mut/ir/nntif/ueSf dans une circonstance analogue et en t<M'iu«*s non moins pe nibles pour l'amour-propre où le persillage tenait lieu dt> ju>tice el de raison. Or, je ne ]Miis consentir à rester indériniment sous le c<»up d«'s publique^ cl

554 Vil- ET DERNIKR CAHIER. ~ CORRESPOxNDANCE,

absurdes récriminations que coutenait la de)*niért* lecture de M. Cauchy, dont je n'avais point jusqu'ici voulu rappeler le souvenir, et que l' Académie des Sciences, ù mon grand regret, à mon préjudice peut-être, n'a pas permis qu'on imprimât dans ses Comptes rentiiu; car il m'eût été facile alors d'en rétorquer les singuliers arguments et les illusions venant d*uuc fausse interprétation puisée dans la lettre d'envoi et dans quelques passages pleins de déférence, du Traité des Propriétés projectives dont, en i8ia, j'avais adressé un exemplaire au savant Rapporteur du Mémoire do i8*>o.

Quant à la ditïtussion sur les pertes de forces vives, on peut consulter le volume cité des Comptes rendus dont j'ai fait tirer à part, en i8.'>7, la partie qui concerne cette discussion et que le lecteur trouvera à la librairie même de ce Recueil, afin de montrer que, dès l'époque précitée, je ne craignais pas de dire publiquement et de son vivant rentière vérité à, mon ancien Rapporteur. En réimprimant pour la seconde fois, en tète du Traité des Propriétés projet tiveSf le Rapport do M. Cauchy, j'avais r(>spoir que les nombreuses applications qui y étaient faites du principe de continuité et de la doctrine des projections, pourraient ramener l'opinion des savants et celle du Rapporteur lui-même, à de plus justes appréciations sur la portée et l'exactitude mathématique des théories par lesquelles je mettais les amateurs de Géométrie pure en état, sinon de crfer^ de suppléer le véritable génie ffinventiony du moins de trouver, démontrer ou généralistir sans calcul ni contention nouvelle de l'esprit, une multitude de propositions et corollaires, tout cji passant du Uni à riufiiii, du réel à l'imaginaire, ou rt'îciproquement.

Mou attente ayant été en majeure partie déçue, et M. Cauchy, dans un iosigniiiunt et tardif Rapport de février i8i8, sur la théorie des polaires réciproques^ ayant, à propos du princi])<; de continuité, persisté dans ses opinions autiphilosophiques, dont la reproduction ne pouvait pas ajouter au torique m'occasionnaient quatre années d'un silence pour moi bien Hkchc^ux; je pris la courageuse mais très-pénible résolution d'ajourner jusqu'à l'époque de ma retraite, le soin de publier l'ensenible de mes travaux antérieurs à 1823; et c'est pourquoi je reimprime aujourd'hui pour la troisième et dernière fois, le Rapport dont il s'agit, avec des obser\ations critiques qui, prématurées et dangereuses, pcut-ètr<î, lors <le la |)ublication du Traité des Propriétés prnjectives^ mettront, jt» l'espère, en plus parfaite évidence <jue dans les précédents Cahiers, le caractère qui distingue l'esprit du calcul algébrique de celui de la Géométrie pure.

Au surplus, pour expliquer la circonspection et l'extrême réserve de ma conduite scientiOque au début de ma carrière, il faudrait encore évoquer les tristes souvenirs de l'état d'abaissement et d'intimidation où nous avaient yXottgés, aux époques antérieures à i83(}, des passions réactionnaires, morales ou politiques, qui ont exercé plus d'influence qu'on ne le suppose sur l'avenir des sciences. Mais c'est ce dont je me garderai bien par respect pour I3 dignité des questions dont nous devons nous occuper exclusivement ici; car la Géométrie n'a rien à voir dans les humiliations imposées à quelques-uns de ses anciens représentants, intimes ou illustres. Qu'il me suffise de déclarer que, depuis répoque d'avril i8'io où je \cnais, non sans appréhension, présenter mon premier Mémoire au jugement de W-é endémie royale des Sciences, j'ai d'autant plus apprécié la promptitude d'un Rapport, dont il est vrai, la faveur m*a été reprochée en t8.')7, que je me trouvais infiniment mieux traité qu'Abel de

POLÉMiyUE ET FRACiMEiNre DIVERS. 555

Christiania Yictime du silence et de l'oubli; déni de justice qui prouve que, même duos le sanctuaire de l'Acadcinie des Sciences, il est indispensable d'avoir des amis et des protecteurs influents.

Rapport h V Académie royale des Sciences , sur un Mémoire relatif aux propriétés projectives des sections coniques (Séance du ^ juin i8'io).

L*Académic nous ci chargés, MM. Arago, Poisson et moi, do lui rendre compte d'un Mémoire de M. Poiicelet sur les propriéU'^s projectives des seclions coniques. L'auleur appelle ainsi les propriétés relatives aux cordes communes, aux points de concours des lan<;enles communes, et beaucoup d'autres si»mblal)les qui, étant indéjKMidanles des dimensions attribuées aux courbes que Ton considère et de leurs [wiramèlres, subsistent lorsqu^on projette ces courbes sur de nouveaux plans, ii Taide de droites qui concourent vers un même point, c'est-à-dire, en d'autres termes. lorsi]u'on met c<*s courbes en |x»rspeclive; ce qui a éi^alement lieu jvour le cas où, le point de concours s'éloijxnant à Tintini, les projections deviennent orthogonales. Nous allons d*a1>or(l indicjuer les moyens que l'auteur emploie fK)ur établir les propriétés dont il s'agit.

Lorsque plusieurs courlns, qui composent une s<»ule cla>se ou famille, |K)Ssèilent en commun diverses propriétés, une des méthodes les plus expéditivt^ pour la démonstration de ces mêmes propriétés consiste à les établir d'abonl pour les courlxs les plus simples de la classe dont il est question, et à les étendre ensuite aux autres courbes de la mémeclass<', par la comparaison de cell(^s-ci avec les preinit res. Otte méthode peut môme servir à la rwherche des propriétés dune courbe donniV. Veut-on connaître, par exemple, celle d'im(> ellipse? ou commencera par supposer les deux axes égaux; ce q\H réduira cette ellipse à un<» circonférence de cA»rcle. On remarquera «jue la surface du cercle est égaler au carré du rayon multiplié par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre; que deux ra\ous qui se coupent à angles droits sont parallèles aux tti^gentes menées par leurs extrémités; {\\ïv ces mémc^ rayons comprennent entre eux une surface constante; que» la somme de leurs carrés est égale à la sonune des carrés de leurs projections sur un diamètre (pielcon(ju<»: (pic* les tangentes des angles aigus qu'ils forment avec un même diamètre, étant inullipriiVs l'une par l'autre, donnent l'unité pour produit ; enlin, (pie la peri^Midiculaire élevée sur un diamètn^ (st moyenne proport ionnelh» (»ntre les deux segments adjacents. Si maintenant on considère une ellipse dont les deux axes soient inégaux, on décrira sur le grand axe de cette elli psi», pris |Mmr diamètre, une circonférence de cercle, dont l'ordonnée, compttM^ i)erpendiculairernent au grand axe, aura un rapport constant a\ec celle de l'ellipse. Cela pos(^, si l'on appelle diamètres conjugués de l'ellipse ceux dont les projections sur le grand axe coïncident av(»c les projection? de deux

556 Vil* ET DERNIER CAHIER. - œRRESI>C)NDANCE ,

diamèlres du (^rcle qui se co!i|)ont à angles droits, on conclura immédiatement des remarques faites à l'égard du cercle que la surface de Tellipse est égale au produit des deux demi -axes par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre; que, dans la mèrae .courbe, les tangentes menées aux extrémités de deux diamèlr(»s conjugués, sont piirallèles à ces diamètres; que deux demi-diamètres conjugués comprennent entre eux une surface constante; que les sommes di^ carrés de leurs projections sur le grand axe et sur le petit axe sont respeclivement égales aux carrés des demi-axes, et que, par suite, la somme des carrés des deux demi -diamètres équivaut à la somme dos carrés des deux demiaxes; enfin, que le rapport de ces deux derniers carrés mesure à la fois le produit des tangentes des angles aigus formés avec le grand axe par deux diamètres conjugués et le rapport du carré d'une ordonnée aux segments corresi)ondants de ce môme grand axe. Au reste, pour obtenir le cercle auxiliaire dont nous venons d'indiquer l'usage, il suffit de chercher dans l'espace un cercle dont l'ellipse donnée soit la projection orthogonale, et de rabattre ensuite le plan de ce cercle sur celui de l'ellipse, après avoir fait tourner le premier autour du diamètre parallèle au second. Plus généralement, on [)eut considérer une ellipse, une hy|)erbole ou une parabole comme la perspective ou projection centrale d'un cercle quelconque, et déduire, des propriétés de ce cercle, celles de la projection. Tel est, en effet, le moyen employé par M. Poncelet pour déterminer les propriétés projectives des sections coniques. 11 appelle centre fie projection le point où se trouve placé dans la perspective l'œil du spectateur. Ce point est le sommet d une surface conique du second degré qui a pour base la courbe pro[)Osée. Il est bon .de rappeler, à co sujet, que. si l'on coupe une surface conique quelconque par deux plans pardllèles, les deux sections seront toujours semblables entre elles. 11 y a plus, si. d'un centre do projection pris à volonté dans l'espace, on mène des rayons vecteurs aux différents points d'un système composé de p(.ints, de lignes ou de surfaces quelconques, et que l'on fasse croître ou décroître à la fois tous les rayons vecteurs dans un rapport doruié, on obtiendra un second système de points, lignes ou surfaces, semblable au premier et semblablement plac><3, en sorte que les droites et les plans mené^ dans les deux systèmes, par des points correspondants, seront toujours parallèles. Le centre commun, vers lequel convergent tous les rayons vecteurs, est ce qu'on peut appeler le centre de similitude des deux systèmes. Pour deux cercles, tracés sur un même plan, ce centre de similitude ne peut être que le point de concours des langenl(»s communes, extérieures ou intérieures. M. Poncelet expose ses diverses propriétés, dont un grand nombre déri- \ent immédiatement de la définition même que nous venons d'en donner. Outre la considération des projections centrales, M. Poncelet emploie encore, dans son Mémoire, ce qu'il appelle le princijie dr ia continuité. L'admission de ce principe en Oéométrie consiste à supfwser que. dans le

POLKMiyUli 1:T FIUCiMKNTS DIVERS. 55;

cas où une tigiiro fom|K)î>6e iruii système de lignw droites ou eourlK's ronserve constamment certaines propriétt's, tandis (|ue ks dimensions absolues ou relatives de sc»s (iiverses parties \arient d'une manière quelconque, entre certaines limites, ces mêmes propriétés 8ul)sislent nécessairement lorsqu'on fait sortir les dimensions dont il s'agit des limites

• entre lesquelles on les supposait d'abord renfermées; et que, si quelques |»arties de la ligure disparaissent dans la S(»conde hypothèsi*, cdles qui restent jouissent encore, les unes A l'égard des autres, des propriétés qu'elles avaient dans la figure primitive. Ce principe it^eat^ h pmpremcnt parier f qiC une forte induction , à Faitic de laquelle an étend des théorèmes établis jfPabonl à la faveur de certaines rvstrictinnSy au.v cas où ces mêmes restrictions n existent plus. Etant appliqué au.r courbes du second de^fx\ il a conduit Fauteur à des résultats exacts. Néanmoins, nous pensons quil ne saurait être admis généralement et appliqué indistinctement à toutes sortes de questions en Géométrie, ni même en Analyse. En lui accortlant tmp de confiance, on pourrait tomber queltjuefois dans des erreurs manifestes. On sait^ par exe/n/de, que, dans la détermination tics intégrales' définies, et par suite, dans Cévaluation des longueurs, des surfaces et des 2H)lumes, on rencontre un grand nombre de formules qui ne S'ont Ivraies qu\futant que les valeurs des quantités qu elles renferment restent comprises entre certaines limites.

Au reste, nous disli nouerons soii:neusem(^nt les considérations d(» M. Poncelet sur la continuité de celles qui ont pour objet les propriétés des lignes auxquelles il donner le nom (\v. cordes idéales des st»clions coni(|ues. Comme ces propriétés nous paraissent mériter d'être remanjuées, et qu'elles fourniss<Mit à l'auteur un troisième moy(Mî de résoudre les (|uestions relatives aux courbes du second d(»gré, nous allons donner à ce su-

• jet quel([ues développements.

Si, après avoir mené, par le centre d'une hyperbole, un diamètre a.-/ qui rencontre les deux branches, on fait pass(»r, par les points d(» rencontn» des tangentes à rhyperi)ole et par le centre, ime parallèle à ces tangentes; puisque l'on cherche à déterminiT, par TAnalyst^ les coordonnées {\{}s points où c(»tte parallèle rencontre la courbe et les distances respectives de (^es points au centre, on troji\era. pcmr Tune et l'aulre «listances, en faisant abstraction du signe, une e\pn»ssion imaginaire de la forme B y/— i : et par consécpienl. pour la distance entre les deux |>oints, une autre expressicm de la forme 'xB\-— i. Le coeflicientde v'— •• dans cette dernière, ou la longueur 'iB, (pii est une (inantité réelle, peut g(^ construire géométriquement; et, comme la considération de celh» lon- ' gucur ptnit être utile dans la recherche des propriétés de l'hyperbole, on hu' a donné un nom, en disant que o./i représente le diamètre conjugué au diamètre -xA. On sait qu'étant donné le diamètre 9. 7^, avec sa directi(m, on peut facilement en (hnluire le diamètre 'j..i\ en coupant les asymptotes par \ine siHanle parallèle à la (iirecli(Mi donnée, la ligne m<'néedu

' centre au milieu de la sécante indiquera la direction du diamètre 2^; et te rapportée cette dernière ligne à la moitié de la sécante sera précisément égal au rapport -jr •

Supposons maintenant que Ton cherche, par TAnalyso, les points d'intersection, non plus d'un diamètre, mais d'une droite quelconque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux points, ou, en d'autres termes, la corde qui les unit ; lorsque la droite ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l'Analyse deviendra imaginaire, et

sera de la forme 1 C ^— 1 ; tandis que le point milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. 11 devi(»nt alors utile de substituer à la corde imaginaire, qui n'existe pas, une corde fictive a T, comptée sur la droite proposée, et dont le milieu coïncide avec le |)oint dont nous venons de parier.

C'est à cette corde fictive qu'on pourrait appliquer la dénomination de corde idéale, par laquelle M. Ponc^let désigne tantôt la droite indéfinie que l'on considère, et tantôt la corde imaginaire interceptée par la courbe, puisqu'il appelle centre de la corde idéale le point réel que l'Aiialyse indique comme étant le milieu de la corde imaginaire. Le sens dans lequel l'auteur emploie le mot idéale se trouverait ainsi modifié do telle manière que les longueur^ idéales resteraient des longueurs réelles et constructibles en Géométrie. Ainsi, par exemple, dans une hyperbole, dont le grand axe rencontre la courbe, la longueur idéale du diamètre, perpendiculaire au grand axe, .^rait le pelit axe lui-même. Si, en adoptant cette manière de s'exprimer, on construit, pour une section conique quelconque, toutes les cordes idé^iles parallèles à une direction donnée; les extrémités de toutes ces cordes se trouveront sur une nouvelle section conique, que l'auteur appi>llo supplémentaire de la première, relativement à la direction dont il s'agfit.

Cela poH^, il est facile de voir que deux sections coniques supplémentaires l'une de l'autre, relativement à une direction donnée, sont nécessairement o.u deux i)araboles ou une hyperbole et une ellipse. Dans le premier cas, les deux paraboles ont le même paramètre, avec une tangente commune, parallèle à la direction donnée, et un diamètre commun passant par le point de contact. Dans le second cas, les deux courbes peuvent aisément se déduire Tune de l'autre, d'après la condition à laquelle elles se trouvent assujetties d'avoir en commun deux diamètres conjugués, dont l'un est parallèle à la droite donnée, tandis que l'autre rencx)ntre à la fois les deux courbes qui se touchent ainsi par ses extréoûtés. Dans le même cas, toutes les fois que l'ellipse se réduit à un cercle, l'hyperbole devient équilatère, et a pour axe transverse le diamètre du cercle. Enfin, l'on prouve aisément que, si deux courbes sont supplémentaires l'une (le l'autre, relativement à une direction donnée, indiquée par une certaine droite, leurs projections sur un plan parallèle à cette droite jouiront <le la même propriété.

En vertu de ce qui précède, si Ton donne une section conique quelconque, avec un centre et un plan de projection, il deviendra facile de déterminer, pour la section conique projeta : 1" l'angle formé par deux diamètres conjugués, dont Fun serait parallùlo au plan do la section conique proposée; a" le rapport de ces mômes diamètrt»s. En effet, si Ton conçoit d'abord que la section conique projetée soit une hyperbole, un plan quelconque, parallèle au plan de projection, cou|)era le cône qui a pour base la courbe projïosée, et pour sommet le centre de projection suivant des hyperboles semblables et comprises entre des asymptotes parallèles. Par suite, si le plan coupant passe par le sommet du c^ne, la section se trouvera réduite à deux arêtes parallèles aux asymptoti'S dont il s'agit. Comme d'ailleurs le môme plan coupera évidemment la courbe donnée suivant une certaine .corde t^Tminée à ces deux arêtes, il en résulte : I** que l'an^çle cherché sera é(|uivalonl à celui que forme la corde en question avec la droite qui joint son milieu et le sommet du cône ; a° que le rapport cherché sera celui (jui existe entre la hmgurur de cette droite et c^elle de la demi-corde. Lorscjue la courbe projeléo sera une ellipse, le plan mené par le sommet (li#côn(; parallèlement au plan de projection ne rencontrera plus la courbe proposée; mais sa trace sur le plan de cette dernière sera toujours une droite réelle, à hujuelle correspondra une certaine corde idéale de la courbe donnée. Dans la même hypothèse, on appliquera les raisonnements (pie nous avons employés ci-dessus, non plus à la courbe projX)S<V, mais à la section conique supplémentaire de cette courbe, relativement à la corde idéale dont nous venons de parler; et l'on en conclura : 1" que ran;j;le cherché (*st équivalent à celui que forme la corde idéale avec la droite (jui joint le milieu de celle corde et le centre de projection; 'i" que le rapport rhenhé est celui qui existe entre fa longueur de celle droite et la demi-corde. I.orsq\ie la courlM' projelée ^e réduit à un cercle, tous ses diamètres conju;4ués sont ép;aux et s(^ coupent à angles droits. Par conséquent, dans ce cas particulier, la droite menée du centre de projection au milieu do la corde idéale de la courbe donnée doit être perpendiculaire sur cette corde et égale à sa moitié.

La question que nous venons de résoudre n'a pas été lraité(» directement |>ar M. Poncelel; mais la solution que nous avons déduite (Iqh princi|)(« qu'il a établis fournit le moyen f/r simptifirr et de f^rnrraliwr, tout à la fois, celles de plusieurs autres problèmes dont nous p^frlerons ciaprès.

Considérons à présent deux sections coni(|ues tracées sur un môme plan. Il peut arriver ou qu elles se ('0U[)ent en ipiatre points, ou quelles se cou|M»nt en deux points, ou qu'elles ne se coupent pas. Si Ton cherche, par l'Analyse, les abscisses des points d'intersection, on trouvera que ces abscisses sont les racines -d'une écpiation du quatrième dc^gré à coeflicients réels, et que celle même équation a (jualre rac^ines réelles dans le premier cas, deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées

TiGo WV ET DEUNIER CAIllEU. - CORUESPONDANCE ,

dans le setîomi, enlin quatn? racines imaginaires conjuguées deux à deu\ tians le troisième. Do plus, comme, on combinant les équations des deux courbes, on peut on déduire une troisième équation du second degré, qui ne fc»nfprmo l'ordonnée qu'au premier dtrgré s(*ulement, il en résulte que l'Analyse indique seulement quatre points d'intersection, et que, pour chacun de ces points, on pwit exprimer l'ordonnée on fonctions rationnelle et réi»lle de l'abscisse. Par suite, si l'on trouve, pour un point d'intersection, une abscisse réelle, l'ordonnée le sera également; et si l'Analyse fournit, pour deux de ces points, deux abscisses imaginaires conjuguées, les ordonnées correspondantes seront elles-mêmes imaginaires et conjuguées. Considérons, en particulier, deux i)oints de cette dernière esi)èce. Comme, pour transformer les coordonneras de l'une en celles de l'autre, il suffira de remplacer -h v^— i par — v^^, il ^st clair que toutes les équations et quantités diverses qui, étant rationnelles par rapport à ces ordonnées, ne <levront pas être altérées par leur échange mutuel, seront nécessairement des équations réelles et des quantités réelles. Par exemple, l'équation de la droite qui i>asse par les deux points sera réelle, ainsi que le cijrré de leur distance mutuelle, ou, en d'aJïres termes, de la corde qui les unit, et il en sera de mémo des coordonnées du milieu de celle corde. Toutefois, comme, par hypothèse, les deux {)oints ne sont pas réels, le carn'^ de la corde en question ne pourra être qu'une quantité négative, dont la racine, abstraction faite du signe, sera une expression imaginaire de la forme a C \/— i •

Pour déterminer le coefficient réel îC, dans cette expression, il suffira évidemment de chercher la corde idéale qu'on obtient on considérant la droite réelle (jiii passe par les deux points imaginaires comme sécanfe idéale de l'une ou de l'autre des deux courbes profK)sées. Par conséquent, la longueur iC sera celle d'une corde idéale réellement commune à ces deux courl)es. Cela y)Osé, si l'on passe successivement en revue les trois hypothèses (|ue l'on peut faire sur le nombre dos points réels commun> aux deux courlxîs proposées, on trouvera que ces deux courbes ont, on général, ou six cordes comnumes, passant {)ar quatre points ré(»ls, ou deux cordes communes, dont une idéale, ou deux cordes idéales communes. Toutefois, i)our deux hyperboles semblables, ou du Inoins comprises entre des asymptotes parallèles, ainsi que pour des ellipses semblables et *emblablement placées, une seule conle commune naturelle ou idéale subsiste, tandis qu'une autn» s'éloigne à l'infini. C'est ce qui a lieu, en particulier, pour deux circonférences do cercle. De plus, il pi'ul arriver que deux cordes communes viennent à se confondre, et ahirs, si ces cordes ne sont pas idéales, les deux courbes se toucheront évidemment en deux points réels. Ajoutons que, si l'on projette deux seclions coniques, situées dans un même plan sur un nouveau plan, parallèle à une corde idéale qui leur soit commune, la projection de cotte conle sera elle-même une corde idéale commune nu\ projections des deux .sections

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. :Au

coniques. Par suite, si les deux courbes jiroposécs étaient dissemblablos entre elles, auquel cas elles avaient nécessairement plusitMirs (onlcs réelles ou idéales communes; pour rendre leurs projections semblables et .semblablement placées, il faudra faire en sorte cpi uni* des eordes communes s'éloigne à Finlini. On remf)iira c(Hl(î condition on plaçant U? centre de projection partout où l'on voudra, pourvu (|u'ensuile on prenne le plan de projection parallèle à a»lui (jui passera par ce centre et par Tune des cordes communes aux deux courbas données.

Dans ce qui précède, nous avons déduit de l'Analyse la notion des cordes idéales des siîctions coni(|ues ; mais on peut arriver au mènuî but par des considérations géométrirjues.

Par exemple, lorsqu'une ellipsf* ou une hy|)erbole se trouve cou|H^e en deux }K)ints réels par unesécanle quelconque, le milieu de la conio interceptée coïncide avec le point où la sécante (>st rencontrée par le diamètre conjugué à sa direction, et la corde elle-même est équivalente au double produit du rapport entre le diamètre parallèle et le diamètre conjuj.nié, par une moyenne proportionnel h^ entre les dislances du jxjint (pie \\m considère aux (extrémités du diamètre conjugué. Si Ton détermine, d'après les mêmes conditions, la corde et son milieu, dans le cas où la sécante devient idéale, on obtiendra ce que nous avons nommé la corde idéale relative ^ cette sécant(».

Considérons encore deux cercles non concentriques H sitm's dans un mémo plan. Si, par ces cercles, on fait passer deux sphères (pii se cou- |)ent, le plan d'intersection des deux sj)hères rencontrera le plan des deux cercles suivant une certaine droite; et cette droite, si les deux cercles se coupent, passera par \os deux points (jui leur sont communs. Si, au contraire, U^s deux cerck's ne se coupent pas, cette droite sera précisément la sécante idéale, dont la din^ction coïncide avec celle de la corde idéale commune, et le point d'intersection de cette s(Manl(» avec la droite des centres sera le milieu de la mémo corde. La construction précédente, en donnant un moven facile d(^ fixer la direction de la cord(î idéale commune à deux cercles, sert en mémo temps à taire connaître ses principales propriétés. Par ex(>mple, si dun point pris sur c(îtle s(Vanle on mène une suite de tangentes aux deux sj)hères, elles seront évidemment égales aux tangentes men(H\s par ce même point à leur cercle d'intersection : il en résulte immédiatement que les (juatre tangentes menées à doux cercles par un point pris sur la direction de la corde commune sont égales entre elles. Cette propriété était di'jà connue des géomètres. On avait remarqué la droite à laquelle elle appartient ; et M. Gaultier. auteur d*un Mémoires inséré dans le XVP Cahier du Jourmii de l'École Polytechnique^ a particulièrement considéré les droites de cette espèce, auxquelles il a donné le nom iVarcs mdicnu.r.

Après avoir entretenu l'Académie des méthodes em[>loy(»es par M. Poncflet. nous allons présenter une mdiration sommaire <\oii, applications 11. 36

56a VU- ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

qu'il en a faites. Son Mémoire est divisé en trois paragraphes : le premier est relatif aux cordes idéales des sections coniques, et renferme leur définition ainsi que leurs propriétés générales, déduites de considérations purement géométriques. L'auteur y remarque également que le point de concours des tangentes menées à une section conique, par les extrémités d'une même corde, ou ce qu*on appelle communément le pôle de celte corde, est un point réel, lors même que les tangentes deviennent imaginaires. Il montre la relation qui existe constamment entre ce pôle et le milieu do la corde, et 8*en sert pour construire le pôle idéal correspondant à une corde idéale donnée.

Dans le second paragraphe, M. Poncclet s'occupe des cordes idéales, considérées dans le cas particulier de la circonférence du cercle, et démontre plusieurs propositions relatives, soit aux cordes réelles ou idéales, soit aux pôles de ces mômes cordes, soit aux centres de similitude et aux cordes communes de deux ou plusieurs cercles situés sur un même plan. On pourrait déduire un grand nombre de ces propositions des propriétés que possèdent deux points choisis sur une droite et sur son prolongement, de manière que leurs distances aux extrémités de la droite soient entre elles dans le même rapport. Parmi ces propriétés, Tune des plus remarquables consiste en ce que la circonférence décrite sur la droite comme diamètre coupe orthogonalement toutes celles qui passent par les deux points en question. On doit distinguer, dans le même paragraphe, une solution très-élégante du problème dans lequel on demande de tracer un cercle tangent à trois autres.

Dans le troisième paragraphe, l'auteur établit les principes de projection centrale ou perspective à Taide desquels on peut étendre les théorèmes vérifiés pour le cas du cercle à des sections coniques quelconques. Par exemple, voulant démontrer que les propriétés projectives du système de deux cercles, situés dans un même plan, subsistent pour le système de deux sections coniques, il a seulement à faire voir que le premier système peut être considéré, en général, comme la projection du second. Il recherche, à ce sujet, tous les points de l'espace susceptibles de projeter deux sections coniques suivant deux cercles, et prouve que tous ces points appartiennent à des circonférences décrites avec des ra}-t>ns perpendiculaires sur les milieux des cordes idéales communes aux deux courbes données, et respectivement égaux aux moitiés de ces cordes. Au reste, on est conduit directement au même résultat par la solution du problème que nous avons traité plus haut. On pourrait même, en s'appuyant sur cette solution, déterminer tous les points de l'espace susceptibles do projeter deux courbes quelconques du second degré, suivant deux autres courbes du même degré, mais semblables entre elles, pour lesquelles le diamètre, parallèle au plan des deux premières courbes, formerait, avec son conjugué, un angle donné, et serait à ce même conjugué dans un rapport donné. On trouverait que c^ points sont situés sur des

circonférences de cercles décrites par des rayons vecteurs qui, aboutissant aux milieux des cordes naturelles ou idéales communes aux deux courbes proposées, forment avec ces m(>mcs cordes l'anj^'le donné, et sont à leurs moitiés dans 1(^ rapport donné. Plusieurs autres questions du même genre, traitées par l'autour, dans ce troisième paragraphe, se résolvent d'après les mêmes principes.

D après le compte que nous venons de rendre du Mémoire de M. Poncelet, on voit qu'il supjwse dans son auteur un esprit familiarisé avec les conceptions de la Géométrie et fécond en ressources, dans la recherche des propriétés des courbes, ainsi que dans la solution des problèmes qui s'y rapportent.

Nous pensons, en conséquence, que ce Mémoire est diurne de l'approbation de l'Académie ; et nous proposerions de l'insérer dans lo Recueil des Savants étrangers^ si l'auteur no le destinait à faire partie d'un ouvrage qu'il se propose de publier sur celle matière.

Signés : Poisson ; Arago ; Cauciiy, ropf/nrtcur.

Remarques critiques et réflexions diverses à propos du précédent Happort.

Maintenant je rêvions à cette Géométrie intuitive, soi-disant métaphysique, qui remonte à nescart<>s, à Desargues, à Pascal, a Monge dans les temps modernes, mais que Descartes lui-même, écrivant au père Mersonne, prétond avoir été mise en usage par Archimède; à cette Oérimctrie que le Kapporleur de l'Académie, grand calculateur algéhriste, appréciait si peu à l'époque de iS-jio, et même à celle de 1824 où, pendant de si longues et jtour moi si penihies années, il retint entre ses mains les deux autres grands Mémoires snr les centres de nKn-ennes harmoniques et la théorie àes po/uiro réciproques, dont j'ai souvent, trop souvent peut-être, déjà parlé dans ce second \olume d(îs applications.

Je remarque, tout d'abord, que les premières pages du précèdent Rapport, non-seulement confirment ce que je viens avancer relativenu^nt à l'insullisance de son rédacteur au point de vue géométrique, mais montrent aus>.i que M. Cauchy, indifférent à de pareilles études, ne semblait nullement connaître ou avoir compris et goûté les divers Articles publies par niui de iSi^ à 1S19, dans les anciennes y/ /;/m/e.( mathématiques (VI* Cahier de ce volume]. ; c'est j>ar ces motifs, sans doute, et d'autres que j'ignore, qu'il a été amené à mo traiter aussi légèrement qu'il l'a fait dans le texte de son Rapport. J'aurais donc volontiers supprimé à l'impression plusieurs des pages de cet écrit pou digne de la haute renommée scientifique de l'auteur, si je n'avais craint ({u'une telle suppression ne devint pour quelques lecteurs, un motif de doutes, de reproches même, au sujet des opinions tranchantes que je viens d'émettre, en paraissant ne prendre aucun souci de les justifier explicitement. A plus forte raison, ne saurais-jo garder le silence sur ce que le Rapporteur afTirmo relativement à ce que, dans mon Mémoire de i8?o, j'appelais laconiquement : principe de^ la continuité, parce que je sous-entendais, pour la brièveté du discours, les mots : ou permanence des relations métriques et descriptives des figures. Pour M. ('auchy, on le voit, ce principe n'était qu'une forte induction susceptible de conduire 11

des erreurs manifestes ^ etc.; mais ce jugement sérére n*est appuyé d'aucuD exemple, d'aucune preuve quelconque; ce n*est là qu'une assertion vague, par conséquent irréfutable logiquement, et qui prenait sa source dans des opinions préconçues sur la cotuinuité atgébritjue.

Avec un peu plus d'expérience des affaires académiques et d'après les vaines tentatives que j'avais faites pour obtenir une audience du savant Rapporteur, ainsi que par les mots bienveillants, mais discrets, échappés à mes anciens et illustres maîtres. Ampère, Arago, Lacroix, Poinsot et Poisson, peu soucieux d'intervenir dans la discussion, j'aurais dû comprendre que l'opinion de M. Cauchy n'était pas favorable à la tendance de mes idées philosophiques. Redoutant, avec raison, que douze années de travaux et de méditations persévérantes ne devinssent pour moi un sujet de déception et peut-être même de ridicule aux yeux de mes supérieurs, de mes camarades et du public géomètre, assez indifférent et peu indulgent en général, je parvins, l6rs d'une dernière démarche, à atteindre mon inflexible juge à son domicile, rue Serpente, n*^ 7, au moment où il le quittait pour se rendre à Saint-Sulpicc; mais durant ce rapide et trop court trajet, je m'aperçus promptement que je n'avais aucun droit acquis à ses ménagements, à son estime scientifique, et qu'il me serait même impossible de m'en faire comprendre. Aussi me bornai -je, en humble et timide solliciteur, à le prévenir respectueusement que les objections et les difllcultéji qa'il croyait apercevoir dans l'adoption du principe de continuité en Géométrie, tenaient essentiellement à l'insuffisante attention jusquelà accordée à la loi des signes de position, loi dont je m'étais préoccupé dès 181 3, en Russie, mais surtout depuis mon retour en France en i8i4« et dont la discussion mathématique aurait précédé ma communication à l'Académie, si d'estimables savants ('vo/r p. i3o etsniv.) ne m'en avaient détourné. Mais, sans me permettre d'en dire davantage, il me quitta brusquement en me renvoyant à U future publication de ses Leçons à l'École Polytechnique où la question devait, selon lui, être convenablement approfondie.

Ces leçons parurent, en effet, l'année suivante (183 1), sous le titre de Cour% d Analyse (I'® partie, en un volume in -8® de 570 pages); or, je fus grandement désappointé de n'y rencontrer que des théorèmes et problèmes de synthèse algébrique f exposés sous une forme de rigueur tout au moins apparente, c'està-dire à la manière d'Euclide, de Legendre, etc.; synthèse où se trouvent accumulées les nombreuses difficultés ou objections auxquelles avait donné lieu jusqu'alors l'application du calcul numérique à certaines formules de l'Analyse algébrique qu'il prétendait soustraire à tout reproche, à toute pétition basée sur ce que j'avais nommé principe de continuité. Quant à ce principe et à la loi des signes de position considérés en eux-mêmes, en Géométrie ou en Analyse, on en chercherait en vain des traces explicites dans ce volume de 1891. Pourtant l'auteur y admet, avec certaines restrictions il est vrai, même pour les fonctions simples, l'existence de la loi de continuité dont Lagrange et Ampère évitaient, d'une manière plus apparente que réelle, l'emploi dans leurs leçons d'Analyse algébrique (1807 à 1809); leçons auxquelles, pour ce motif, j'ai toujours préféré celles de notre ancien et vénérable professeur Lacroix, et de son spirituel successeur à l'École Polytechnique, Poinsot, qui auraient, sans nul doute, repoussé cette déHnition hybride mais fort commode au point de vue algébrique {Cours d'Analyse^ p. 34 '^t suiv.) : une /onction réelle et simple qui devient infinie entre deux limites données est une fonction discontinue. De sorte que,

noUraraent, la tangente et la gêcantc trigonométriqucs d*un arc de cercle compris entre xéro et un arc supérieur ù deux quadrants étant considérées comme discontinues par M. Cauchy, il devait en être ainsi, à fortiori, des arcs, des aires, etc., compris entre deux points appartenant à des branches opposées de l'hyperbole, bien que coDtijrus à une même asymptote : néanmoins, aa point de vue géométrique, ces branches sont nécessairement soumises a. un même mode de génération continue.

Cette déiinition, jetée au début d'un Traité ai Analyse algébrique^ est à coup sûr, je le répète, un moyen commode d'en éluder les diflficultés, mais non dé les résoudre et de les aborder avec franchise. De plus, une pareille manière de procéder, qui rappelle sans avantage celle des Anciens, accorde une trop grande prépondérance aux faits particuliers sur les faits généraux : elle rompt la liaison des théories et des idées, pour y substituer une série d'énoncés, de recettes pour ainsi dire, dont la science des nombres discrets, jusqu'ici encore soustraite à toute loi de continuité malgré les travaux de Dirichlet, offre un trés-remarquablc exemple. Évidemment, on ne pourrait s'imposer pour modèle une toile manière sans oublier le but véritable des Mathématiques, et sans courir la chance de nous ramener à la scolastique du mo)en âge, dont l'esprit étroit et diflicultueux ne s'est, comme j'en ai déjà fait la remarque, que trop propagé dans l'enseignement de nus Ivcf'cs et collèges, a dater de l'époque où régnait l'examinateur baron Reynaud, puissant personnage à la ville et à la cour, grand faiseur d'objections et de subliles questions dont il était l'inventeur satisfait; du reste commentateur obscur et ampoulé de Kczout, le plus lucide, avec l^croix, de nos auteurs de Traités de Mathématiques élémentaires, parce qu'ils ne repoussaient pas l'axiome de la continuité, et s'attachaient plus à l'esprit des méthodes qu'à la solution impromptue de petits problèmes qui eussent embarrassé le modeste Lagrange, et sont jtropres seulement à avertir les professeurs et à préparer les examens de l'année suivante.

L(*s procédés de démonstration et d'exposition épineux et décousus, dont je viens de parler, étaient, sans nul doute, l'origine et la base du jugement si légèrement prononcé contre le principe de continuité par !\l. Cauchy, qui, à mon sens, oubliait trop que la continuité en elle-même est un fait, un axiome indéniontré, indémontrable algébriquement, et qu'elle doit se manifester non pus seulement dans les fonctions simples et primitives, mais dans toutes leurs dérivées des divers ordres, comme le témoignent les belles séries de Taylor, de Maclaurin et d'autres» développements illimités : employés, en effet, dans des conditions de calcul cl d'approximation purement numériques, par conséquent restrictives et étrangères à la Géométrie ou à l'Analyse en général, ces développements sans limites ni restes coinplèmentaires^ seraient susceptible» de conduire à des conscquences absurdirs ou contradictoires ( ro/ r le contenu du n" III qui suit).

Or, ces circonstances singulières, qui rxercnnt aujourd'hui encore la sagacité des calculateurs, ne me préoccupaient nulhrment dans un Mémoire de pure Géométrie, exclusivement destiné à l'étude des propriétés pmjectit'ei des Jigures; car elles ne prouvent ri<>n contre le principe de continuité, comme on l'a établi dans le 111*^ (îahier de ce volume; ce principe ne cessant de subsister que lorsqu'il y a antagonisme entre les signes dos relations métriques primitivement soumises à des conditions incompatibles et étrangères à lu situation relative des divers éléments lixes ou midiiles d'une ligure géométrique. C'est bien

56C VU- ET DERNJEK CAHIER. - COR ttESPOND ANGE ,

là, tti ju ne me trompe, un fait irrécusable que le célèbre Rapporteur de l'Académie royale des Sciences ne pouTait connaitret faute d'une prcialable et suffisante étude de la matière : la forme algébrique, Texpressioii générale des résultûts ne pouvant changer d'une manière absolue avec les hypothèses primitives que dans ces cas d'antagonisme, dont je pourrais citer des exemples, même dans les machines, indépendamment de ceux qui sont offerts par les formules de l'attraction des sphéroïdes, etc., où les forces et les distances peuvent suivre des lois indépendantes par rapport aux signes de position, et que Lejeune- Dirichlct, l'illustre ami des Crclle et des Borchardt, des Jacobi, des Steiner, des Liouville et le mion propre, a ramené au principe de continuité par uo heureux artifice de calcul applique à l'intégration des fonctions différentielles dépendante de ce qu'on nomme le potentiel.

Ces observations générales me semblent, quant à présent, devoir suffire pour montrer que les scrupules, les objections tranchantes de M. Cauchy, relatives au principe de continuité, étaient sans fondement logique; et ce qui le prouve, c'est que Jacobi et d'autres illustres géomètres étrangers, en citant le Traité des Propriétés projectiles, ne se sont nullement arrêtés à ces malencontreux scrupules. D'ailleurs la F" Partie du Cours d'j4 naisse, si volumineuse à cause des nombreux développements sur le calcul des formes imaginaires, est restée sans suite immédiate, et il m'a fallu franchir l'intervalle de 18^4 ^ '^^^ ^ù parut le tome l*** des Leçons sur les applications du .calcul infinitésimal à la (réorné trie (Imprimerie Royale), pour voir comment M. Cauchy abordait, dans la théorie des courbes algébriques, le passage délicat du fini à l'infini, qui dans tous les temps a offert de si grandes difficultés aux esprits philosophiques iocapables de déguiser la vérité par des artifices de calculs ou de langage conventionnels et sophistiques.

Or, je le dt^clare sans détour, je n'y ai rien trouvé concernant la loi des signes de position, renvoyée sans doute aux Trmtés de Géométrie analytique élémentaires; rien sur la continuité des courlx^s, admise à priori et sans réserve pour le premier ordre d'infiniment petits ou d'infiniment grands, mais soigneusement évitée dans les autres ordres, grâce à un mode de démonstration d'une apparente rigueur, empnmté au philosophe Gergonne {Annales^ t. IX, i8iH)i, qui ,blàmant hardiment les doctrines de Leibnitz et de I<iewton, n'admettait pour légitimes que celles des dérivées de Lagrange, critiquées, non sans raison, par Wronski au point de vue de l'AIgorithmic et de l'infini.

De là aussi, do la part du Rapporteur académicien, ces reproches adressés au principe de continuité, si embarrassant pour ceux qui ont une aveugle confiance dans les résultats du calcul algébrique, dont l'apparente rigueur fait illusion à beaucoup de jeunes néophytes, qui confondent les formules, les équations de la Géométrie de Descartes avec celles de l'Arithmétique proprement dite; Géométrie qu'on débarrasse ainsi de toutes les difficultés inhénmtes à l'Analyse en gc'méral, aux signes algorithmiques des fonctions et à la position rt^lative des grandeurs ; je veux dire aux signes afférents au mode d'existence propre de ces grandeurs. C'est a tel point, que ces impitoyables et crédules ennemis de la continuité géométrique en sont venus à afiirmer nettement, môme dans les court>es simplement algébriques, l'exislonee effective de points d'arrêt brusques^ de points saillant Sy etc., dont M. (lauchy, d'ailleurs ass(»z mal affermi dans sa voie comme j'en ai déjà apporté des preuves, emprunte sans examen suffisant la doctrine à un Mémoire de 18'*') présenté à l'Académie des Sciences par M. Roche.

Au surplus, bien que de telles erreurs se soient propagées dan* d'autres écrits recommandables à certains titres, je ne veux pas insister ici sur l'imparfaite ébauche de M. Cauchy, datée de 1836 et qui prouve fout au moins que ses idées sur la continuité des fonctions et des équations algébriques n'étaient pas dès lors parfaitement arrêtées dans son esprit, et qu'il faut descendre jusqu'en 1828 {Calcul intégral) e% iH2g{Calcul différentiel)^ pour les voir se rapprocher de plus en plus de celles d'Euler, de Lagrange, d'Ampère, de Lacroix et de Poinsot, relatives aux différentielles, aux dérivées, aux limites et aux infiniment petits prescrits par le programipc de i8i3; mais dont l'exposition, d'une rigueur apparente, se trouve complétée par le calcul des imAginaires, déduit de conventions à priori très-peu propres à infirmer le principe de continuité, que, pourtant, le Rapporteur du Méimùre sur les polaires réciproques niait encore si obstinément dans cette même année 1828.

Après ces réflexions générales sur la manière vague et imparfaite dont le savant Rapporteur de mon Mémoire de 18-iO ent^'ndait le principe de continuité, je puis, sans entrer dans des détails inutiles aux lecteurs instruits des progrès récents de l'Analyse appliquée à lu Géométrie, me permettre d'insi&ter quelque peu sur la manière tout algébrique dont il a plu à M. Cauchy de traduire, à son propre point de vue, mes idées relatives aux cordes idéales ou imaginaires communes à un système de coniques sur un plan, et aux principes de projection centrale qui les concernent. Les personnes qui ont bien voulu lire arec quelque attention le l"*^ volume de ces Applications^ comprendront combien il m'a été pénible de voir interpréter et traiter avec un tel sans façon et si peu d'intelligence philosophique, des notions de Géométrie générale jusque-là, il est vrai, étrangères au Calcul algébrique, trop souvent, je lo répète, confondu avec l'Arithmétique.

Par exemple, M. Cauchy, en s'appesantissant pour le démontrer à sa manière sur les propriétés élémentaires d'un système de cercles dans un plan ou de sphères dans l'espace, ne s'est pas a(>erçu, n'a pas compris que, d'après les principes subséquents de mon Mémoire, ces propriétés, toutes projectives et linéaires, s'étendaient à des systèmes de coniques et. do surfaces du second degré quelconques, ayant en commun une sécante ou un plan de section. Il est vrai que j'avais laissé aux lecteurs intelligents le soin de cette application, facile quand on x>i'<^Nd garde que les cercles et les sphères dont il s'agit ont toujours des sections imaginaires communes à l'infini.

Malheureusement, des considérations de cette nature étaient comme non avenues pour le Rapporteur, auquel il eût été au cuutruire beaucoup plus aise de mettre en évidence son inconlostublo supériorité algébrique, en essayant de démontrer par l'Analyse do DescarlCK, à laquelle je substituais le raisonnement géométrique, l'existence et le mode de construction dos cordes idéales communes au système de deux coniques quelconques sur un plan, ainsi que la possibilité 4e projeter ces courbes suivant des cercles, auxquels le Rapporteur substitue des coniques semblables et scmblablement placées sur un second plan à déterminer dans l'espace; mais je ferai remarquer «pic ce problème, bien qu'en apparence plus général, est, par le fait, moins riche en conséquences utiles, puisque les propiiétcs relatives aux cercles et aux sphères,

5G8 Vil' KT DERNIER CAHIER. - œRRESPONDANCE ,

étant plus élémentaires» plus abordables à l'universalité des esprits et étant aussi mieux connues, une telle généralisation allait précisément au rebours du but que je voulais atteindre.

Comment d'ailleurs M. Cauchy, qui ne craignait pas de montrer sa supériorité en fait de Géométrie, no s'est -il pas aperçu que ses démonstrations à posteriori, SCS prétendues généralisations des théorèmes établis dans mon Mémoire de 1820, étaient dénuées de tout mérite original après la découverte des relations intimes qui lient les cordes communes au système de deux coniques, aux centres et aux plans auxiliaires de projection? S'était-il donc figuré que ces relations fussent le résultat d'une simple intuition ou improvisation géométrique, et qu'elles n'eussent donné aucun mal à acquérir, même par la voie de l'Analyse algébrique {voir t. 1^' des Applications , p. 99, 118, 387, 408 il 4^9)* î^'«til pas décourageant au dernier point, de voir de nos jours que les découvertes géométriques les plus délicates sous le rapport de la philosophie de la science, soient ainsi travesties, rabaissées par des esprits légers, satisfaits, tout au moins inattentifs, et qui n'ont pas peu contribué à jeter dans l'enseignement le désordre et l'indiscipline dont j'ai déjà parlé? N'etXt-il pas été beaucoup plus digne de la réputation de M. Cauchy, d'appliquer direcUîment, sans préventions ni idées préconçues, son prodigieux talent d'algébriste à la recherche directe du lieu des sommets communs aux cônes projetants dont il a été parlé? Ce problème, en effet, vainement tenté par d'autres avant ou depuis 181 3, et qu'à cette époque j'ai abordé directement par les voies de l'Analyse algébrique, dépend, comme on l'a vu, d'une équation du 12' degré, décomposable im|^icitement en six autres du j*, mais dont les coefficients ou constantes dépendent à leur tour d'une équation du 6" degré, réductible au 3', ce problème méritait bien, je crois, l'intérêt et l'attiuition du Rapporteur.

Peut-être qu'une pareille tentative eût rendu ce savant plus circonspect, moins dédaigneux envers l'auteur du Mémoire dont la Commission académique l'avait fait RapporU^ur, sinon juge exclusif. Peut-être aussi qu'en y réfléchissant davantage, il se fût aperçu que la théorie des coniques supplémentaires, offrant la construction géométrique immédiate des six cordes idéales commune» en général à deux coniques donuéiis, pouvait servir de point de départ à de plus vastes doctrines concernant, sinon la représentation, du moins l'interprétation simple et naturelle des expnrssions imaginaires. C'est ce qui arrive, • en effet, dans la recherche des propriétés de certaines intégrales périodiques que les géomètres algébrisles ont, en dernier lieu, abordées par des méthodes assez peu satisfaisantes au point de vue géométrique, mais que M. Maxirailien Marie, connu par de savantes et oi'iginales publications, a remplacées par d'autres plus lumineuses, 'dans un iH'marquable Mémoire sur la théorie des fonctions de luiriables imaifi noires, soumis en iH-Vi au jugement de l'Académie, Mémoire que M. Cauchy aurait plus favorablement encore apprécié comme Rapporteur, s'il avait gardé un meilleur souvenir de mes écrits de 1830 et iHtj, Or, j'insiste quoique bien à regret, M. Cuuchy était peu apte à comprendre et goilter les doctrines de In Géométrie, ce dont on se convaincra en lisant le Mémoii-e sur lu synthèse tilgébriffue {t. XVI de nos Comptes rendus^ p. 867 à 881, 9(57 à 97G, iu39 à ioJ'j»),où cet actuléniicien reproduit un peu tardivement (1 843; les méthodes de son ami et afTidé scientifique M. Gcrgonne, qui consistent a traiter, sans enlrul ni éliminations laboricus4>s, certaines questions de Géométrir elénicutaire, relatives aux contacts des cercles, des sphères, ele.

Que Von consuitt; oiicore les divers Articles ou Wotes non moins étendues, écrites à l'occasion d'un Rapport sur des Recherches géométriques de M. Amyot, et qui a donné lieu à de lon^^es discussions et réclamations insérées dans 19 même volume des Comptes rendus de V Académie des Sciences (p. 8'i8 à 833, 938 à 939, 947 à Ç)j\t iioj à iii^), devenues la cause, le motif stimulant des . excursions de M. Cauchy dans le domaine de la Géométrie pure, et certes on ne pourra disconvenir avec moi, à part toute prévention morale et scientifique, que M. Cauchy, si puissant comme calculateur, si léger et superficiel dans ses jugements, manquait absolument du sens philosophique et géométrique, nécessaire pour généraliser les méthodes et franchir les bornes établies par ses illustres prédécesseurs.

Maintenant, on doit comprendre comment peu goAté, encore moins encoui ragé au dedans comme au dehors de l'Académie des Sciences, dans ma téméraire entreprise de publication du Traité des Propriétés projectives^ j'ai dû, faute de ressources pécuniaires et d'éditeurs l>énévoles,'recourir à une souscri|)tiou publique, immédiatement couverte il est vrai, grâce au bienveillant intérêt de mes amis, de mes camarardes et de mes chefs, parmi lesquels la reconnaissance me fait un devoir de citer avant tous, le digne et illustre général du génie Raudrand, membre du jury d'examen de l'École d'application de Metz.

On conçoit encore comment, après l'impression entière de ce volumineux ouvrage, en iSt;».», j'ai dû attendre avec résignation le jugement académique sur les théories générales du, centre de moyenne harmonique et des polaires réciproques que j'ai si souvent mentionnées, parce que, n'ayant obtenu que des Rapports aussi tardifs que peu encourageants et peu intelligibles au point de vue géométrique, ils sont devenus pour moi la source de nombreuses et pénibles déceptions scientifiques, au nombre desquelles on me permettra de rappeler ici l'injuste oubli des successeurs et vulgarisateurs auxquels j'avais donné de plus généreux exemples dans le Traité des Propriétés projectiles ^ mais surtout l'hostilité flagrante des rédacteurs ou collaborateurs des Annaies de Montpellier et du Butletin des Sciences mathématiques (i830 à i8'28), dont je n'ai pu combattre et vaincre le mauvais vouloir qu'à force de réclamations, de sollicitations persévérantes, qui ne témoignent pas en faveur de l'impartialité de certains échos de la presse scientifique.

Enfin, ou conçoit mieux encore comment, profondément humilié et contrarié de tant de retards et de dénis de justice, je me suis décidé, non sans un regret patriotique amer, à recourir a l'impartial Journal de Mathématiques, publié tout récemment alors (iSjG) à Berlin, par l'honorable et savant I)*" Oelle, qui accueillit les Mémoires dont il vient d'être parlé, non il est vrai sans quelques timides réser\e* dictées par la crainte de déplaire aux rédacteurs alors toutpuissants, des Recueils scientifiques français que je viens de citer.

570 Vil' ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

RÉSUMÉ ANALYTIQUE DE DIVERSES KOTES OU 80UTEN1RS ANTÉRIEURS À 1820, AVEC QUELQUES DÉVELOPPEMENTS PLUS RÉGENTS.

Sur In continuité des courbes géométriques et transcendantes.

Envisagée dans le sens le plus général, la continuité, donl aujourd'hui encore on ose à peine invoquer le principe, est un fait mathénvatîque qui ne saurait se démontrer à priori, ni en Analyse algébrique, ni en Géométrie, ni môme dans la Mécanique rationnelle et abstraite où, cependant, elle semble do toute évidence à l'égard du mouvement, puisque le mobile, quel qu'il soit, ne saurait s'anéantir à aucun instant. Dans la génération dos courbes et des surfaces notamment, elle se manifeste par Taccord exact des faits avec les résultats déduits de son admission à priori et de Tapplication du calcul ou du raisonnement aux relations algébriques et géométriques qui définissent l'état, la constitution et le mode de génération des grandeurs que l'on considère.

J'ai déjà émis, dans diverses notes ou passages du texte (lU* et IV* Cahiers), quelques idées relatives à la continuité des courbes ou des surfaces, idées qui remontent à l'époque de mon séjour à l'École Pôlîtechnique ; je ne saurais y revenir ici, mais je ne puis me dispenser de rappeler que, longtemps avant la présentation à l'Institut, en iS-io, do \ Essai sur !rs Propriétés pmjccfives des sections coniques, j'avais écrit diverses Notes au sujet de la continuité des courbes; ces Notes, d'ailleurs fort incorrectes, sont trop étendues pour trouver place dans ce volume, outre que plusieurs sont ^x^rdues ou échappées partiellement de ma mémoire; je me bornerai donc à en présenter ici un résumé succinct. J'y admettais à 4)riori, d'après une multitude d'exemples plus ou moins connus, la continuité des courbes dites algébriques^ pourvu, comme je l'ai déjà expliqué en'divers endroits, que l'on donne à leur A(^^\n\\\oTi génétique ou organique, à leur description par points ou enveloppements tangentiels, la généralité et le sens géométriqucî qui convient, dans chaque cas, d'après le principe luème de (continuité. Or cela est surtout indispensable pour ce qui concerne les affections multiples que ces courbes ou les surfaces présentent aux points singuliers divers de leur cours limité ou infini.

Dans une Note toute spéciale de 1818, relative aux courbes en général, considérant la continuité des lignes exprimées piir de simples équations algébriques, comme entièrement hors de cau?e, je faisais des vœux pour que l'étude à priori en fiH développée davantage par celte intuition géométri(]ue dont l'École de Monge a offert de si beaux exemples. . Quant aux courbes dites transrendantes, je citais divers exemples où la continuité semble cesser d'avoir lieu en des points -pour lesquels leur

cours éprouve un changement brusque tout au moins apparent; mais ces c^s se rapportent généralement à des lignes définies par des équations purement analytitjues ou littérales, parmi lesquelles se distinguent, en nombre nécessairement illimité, celles qui renferment des fonctions logarithmiques ou exponentielles et certaines intégrales définies, que l'on considère, à tort, comme autant de formules essentrdlemeijt arithmétiques et qui sont trop souvent dépourvues du caractère d'homogénéité inséparable du point de vue géométrique.

Au préalable, je dois rappeler que, dans la Note dont il s'agit, je regardais comme chose évidente en soi : i" que les courbes décrites i)ar des procédés purement géométriques ou mécaniques, fussent-elles mêmes à évolutions multiples et comprises sous la dénomination de courbes transcendantes, telles que les spirales, les cycloïdes, sinusoïdes, épicycloïdes ou roulettes et développantes diverses; ces courbes, qui se rapportent toutes aux fonctions simplement circulaires^ doivent être considérées comme assujetties à un double mode de génération continue, directe ou inverscy progressive ou rétrograde, c'est-à-dire dans des sens contraires, positifs et négatifs, mais non pas exclusivement dans un seul do ces sens, comme cela se faisait d'habitude, sans doute pour la facilité des disiMissions; 'i^ que c'est aussi à torl que, par une abstraction non permise, on sépare souvent les diverses branches d'une môme courbe susceptibles en apparence de descriptions distinctes, mais, par lo fait, inséparables et intimement liées entre elles d'après le principe de continuité, de permanence des relations métriques et descriptives des figures; car ces relations admettent aussi bien les points imaginaires que les points à l'infini dont, remarquons-le bien, les distances mutuelles peuvent demeurer limitées ou finies et devenir, dans certains cas, négligeables ou comme nulles, |)ar rapport à celles qui sont essentiellement infinies; 3° que les relations métriques, les équations (]ui définissent algébriqueuicnt de pareilles lignes courbes, doivent, n'importe les cas, être homogènes dans leurs termes divers, soit numériquement, soit géométriquement, c'est-à-dire (jue ces équations, purement littérales, doivent être telles, qu'en divisant chacune des grandeurs simples qui y entrent par l'unité "concrète de son espèce, inditTcremment considérée comme positive ou négative, selon le sens progressif ou rétrograde qu'il plaît <le leur supposer à priori, les diverses unités concrètes, mises ainsi en évidence, disparaissent naturellement comme facteurs communs à tous les termes de Téquatian ; 4** f*»ifin que, dans le cas où une telle unité, fut-elle la mémo pour tous les termes de réquation, ne pourrait disparaître à la fois comme facteur commun, il serait indispensal)le de l'y laisser subsister d'une manière apparente et explicite, afin de conserver à cette même équation le caractère d'homogénéité géométrique sans lequel il est difficile de ne pas tomber dans des contradictions et des obscurités inextricables. En particulier, la question de savoir si les courbes exponentielles et logarithmiques dont les équa-

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lions les plus simples, d'ailleurs identiques et de la forme /—tf', x= log>, sont ou non assujetties dans toute leur étendue à la loi de continuité, cette question revient évidemment à étudier la marche même de la fonction e^, quand x y croit par degrés insensibles.

Or, on sait toutes les difficultés et les divergences d*opinion que cette discussion a fait naître parmi les anciens géomètres algébristes : Leibnitz, d'Alombert, Euler, Jean BernouUi, etc. Ce sont ces difficultés, aujourd'hui non entièrement résolues sous le rapport géométrique, que j'ai tâché d'approfondir, sinon d'éclaircir parfaitement en 1818, dans une Note qui roule presque exclusivement sur l'opinion consistant à regarder les logarithmes des nombres négatifs comme les mômes que ceux des nombres positifs : cette opinion, on le sait, a été combattue par Léonard Euler, qui repoussait l'argument de d'Alembert fondé sur la prétendue exactitude des identités ou transformées algébriques

(— û)'=(4-flr=rt', alog( — rt) = 2log{H-/ï), log(-tf)=log(-f-fl),

à la dernière desquelles Euler a substitué, pour les nombres négatifs, cette autre plus générale et plus rigoureuse,

log(— a) = Log«-h(a//i-|-i)7r v^— 1,

tandis que, pour la série des nombres positifs,, on aurait simplement

log ( -f- /?) = Logrt -{-nmv v/— I,

Log/z désignant un nombre tabulaire, par conséquent n^el et absolu.

Euler, esprit essentiellement juste, n'admettait probablement pas la considération des valeurs multiples de r correspondant à des valeurs numériques fractionnaires do x dans l'équation r = ^', du moins, s'en est-il tu dans sa réplique à d'Alembert, comme il s'est également tu à l'égard de l'objection de Bernoulli, relative à l'aire de l'hyperbole équilatère; chose regrettable au point de vue de la Géométrie analytique, ainsi qu'on le verra ci-après.

En particulier, si l'on substituait d^ns l'équation y — e' des valeurs de

la forme — ) //i et /i étant des nombres entiers quelconques, cette équation donnerait algébriquement

y^e:"' =^[€^y'\ soit" v=^---^^

et conduirait, comme on sait, à 2/t valeurs distinctes do.r, dont les deux premières

ai», — î«.—

sont seules réelles, mais de signes contraires; les 2 (/i — i) autres étant

toutes imaginaires et égaies au produit de yjtf par les racines de Tunit^, fourni par la formule connue