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cosp- H-sm/>- V — '»

qui, émanées des tliéorèmes'de Côtes, doMoivre, etc., donnent la division en parties égales de la circonférence du cercle; la lettre/^ devant prendre toutes les valeurs entières comprises entre p = o et p--= n.

Les géomètres algébristes admettront encore plus difTicilement peutêtre, une autre considération «ivancée, non sans quelque réserve, dans la Note précitée de 1818, en vue d'établir la continuité des fonctions exponentielles e*, savoir : que si Ton suppose l'unité 1 de la valeur de x divisée en un nombre infini ^n de parties égales, chacune (felles pourra être

représentée par une fraction de la forme ; — où le dénominateur 2/2 = 00

est la limite infmie de nombres entiers positifs ; de sorte que la valeur

numérique de x serait ainsi exprimée par la quantité fractionnaire — ou

— • C'est ce qui arriverait, par exemple, dans le système de numération

où Ton voudrait rapporter tous les nombres à la fraction décimale infininient petite de Tunité, en se rapprochant ainsi de l'idée qui a donné naissance à la doctrine des indivisibles de Covnlieri (iG35), de Rohcrt'al et d*autres géomètres initialt>urs, auxquels il ne faut j)as trop reprocher certaines absurdités qui ne sont que des vices do langage. L'exponentielle c* pouvant ainsi être représentée en général par l'ex-

pression e'", cela fait retomber directement sur les solutions précédentes pour exprimer les valeurs numériques diverses de r; seulement, ici, le nombre p étant infini, ses racines et les ordonnées correspondantes à x sont en réalité irfassignables, à l'exception de celles qui répondent à p = o, p = n, c'est-à-dire aux valeurs

Or cela assignerait directement à l'exponentielle j = e* ou, ce qui revient au même, à la logarithmique x — log.r, une infinité de branches imaginaires conjuguées à un couple do branches réelles opposées, asymptotes par rapport à l'axe des x, et constituant à l'infini, du côté négatif de cet axe, un point de rebroussement auquel il servirait de tangente ; ce qui rétablit la continuité dans l'étendue entière de la courbe.

Ces raisonnements, tout au moins spécieux, supposant que l'unité de mesure de X soit un nombre absolu ou discrei, ainsi que la constante e et l'ordonnée r, cela ôte à la conséquence tout caractère géométrique relative-

ment à la continuilé des courbes exponentielles et logarithmiques. En outre le mode de démonstrations ci -dessus pour établir J'oxactitudc de l'équation ^' == i ^ ne saurait pleinement satisfaire l'esprit sous le rapport de la rigueur mathématique, quoique notre sévère Lagrange (leçons snr le calnd des fonctions y a' édition, 1806), dans son exposé algébrique des logarithmes des nombres, les considère (p. 35) comme dérivant de la /»• aine infinitième de ces nombres, et comportant, par là même, une infinité (le valeurs, de racines algébriques réelles 00 imaginaires.

Je ne parlerai pas des autres tentatives que j'ai faites avant ou depuis répoque de 1818, pour justifier la continuité de la logarithmique, soit en recourant au système analytique de protection de la courbe à branche unique, projection dans laquelle, selon lancienne hypothèse, les points à rinfini seraient représentés par des points d^arrét brusque^ sans raccordement quelconque ; encore moins parlerai-je d'essais infructueux de démonstrations algébriques ou trigonométriques, fondées sur des développements en série de sinx, cosx, etc., démonstrations analogues à celles qui ont été données par Legendro eldans lesquelles Tusagé du binôme de Newton, tout au moins indispensable, peut autoriser Tintroduction dei'ambiguïlé ±. Car ces diverses tentatives algébriques, quoique rationnelles et établies dans l'hypothèse de la progression (ascendante ou descendante) des nombres discrets sans signes de position, ne m'ont conduit à aucune conséquence distincte de celles qui se concluent du mode analytique de démonstration généralement adopté depuis Euter, mode où l'on s'occupe exclusivement de la génération des nombres considérés dans l'ordre ^//r^c/ ou positif, tandis qu'il conviendrait non moins, peut-être, de lef considérer à priori dans l'ordre négatif, c'est-à-dire îm^ersewk rétrograde , comme cela se fait en Géométrie (lU^ Cahier, p. 169 et suiv.].

Ceci conduirait inévitablement à adopter pour le^ nombres, dans Téchelle rétrograde, une unité également affectée du signe de position — ; de sorte qu'à ce point de vue géométrique, en supposant que y %K x fussent de véritables longueurs rapportées à leur unité de mesure propre i , positive ou négative selon la région où on la considère, on devrait remplacer l'équation ordinaire x^ e* par cette autre

ce qui donnerait pour la logarithmique, non plus simplement x = log/,

mais bien -7 = log t? x = i log^»

qui n'offre rien d'absurde quand on suppose à la fois x et i négatifs, et comporte ainsi implicitement le double signe de jr et le signe toujours

positif et numérique de --

Cola étant d'ailleurs admis, et quel que soit le parti ou système d*interprétation qu'on adopte, il restera toujours à résoudre les difficultés

initércntes aux valeurs fractionnaires de - et aux bizarres conséquences

qui en dérivent pour le tracé par points de la logarithmique, dès que Ton admet de telles valeurs et les longueurs réelles ou imaginaires correspondantes de l'ordonnée y do la courbe. Or ces diflicullés disparaissent, comme on l'a vu, dans riiypolhèsc» de la continuité et d'une seconde branche réelle, raccordée à l'infini avec la première, raccordement impossible dans le cas d'une branche unique; même quand on y adjoint toutes ses branches imaginaires en nombre infini.

N'est-il pas regrettable d'ailleurs que nos savants algébristes, cédant à une espèce de lassitude et d'entraînement scientifiques, aient, à l'aide d'une convention générale et tacite, abandonné léclaircissement géométrique de pareilles questions, sous le prétexte « qu'elles impliquaient l'in- » fini, et qu'il est difficile dans do toiles circonstances de vérifier In loi » (le continuité? » (Lacroix, Calcul dUfrrt'ntirl et intcf^mi, in-4", t. I, B p. i35.). Lacroix, mathématicien érudit et philosophe, a tort d'avancer que la discussion relative aux logarithmes ni?gatifs est, par ell(?-même, sans importance; car les diflicullés (lui viennent du changement de signe de certainca fonctions algébriques, se reproduisent pn'stpie à chaque pas, dans les applications du calcul aux quadratures, aux intégrales définies, etc.; les valeurs de la fonction sous le signe / étant susceptibles de passer par l'infini, en changeant ou non de signe algébrique, tout comme il lui arrive de passer par zéro d«ms des conditions analogues. C'est, en effet, co dont on peut se convaincre même sur les exemples rapportés par notre ancien et vénérable professeur, en un autre endroit de son précieux et grand ouvrage (t. 1, p. i56 et suiv.), où, reculant en présence de telles difficultés au lieu de chen her à les résoudre, il aboutit, de guerre lasso sans doute (t. II, p. iGi, n" 40â), par se ranger à l'opinion d'KuIer sur les logarithmes des quantités négatives, contre Jean Bernoulli, qui était pourtant aussi un grand géomètre algébriste, et alléguait l'exemple de la quadrature des espaces asymptotiquos de l'hyperbole équilalère, dont, il faut bien le remarquer, l'équation algébrique .ry — «' est véritiiblement homogène dans le sens précédemment indiqué.

Or cette conclusion est d'autant plus surprenante que Liicroix ne conteste pas, au fond et d'une manière absolue, la continuité de la courbe cxf)onentielle dans la loi de croissance ou de signes dos ordonnées et dos éléments d'aires, compris entre l'infini positif et l'infini négatif; que même il soupçonne, à propos de cette épineuse discussion, qu'il pourrait bien y avoir lieu de considérer deux onlrcx ou séries naturelles des nombres, les uns positifs, les autres négatifs. Mais Lacroix ne s'arréto nullement à cette idée, et finit par se ranger, non toutefois sans quelque hésitation, à l'opinion de Leibnitz et d'Euler contre Jean Bernoulli et d'Aleml)erl, sous

576 Vn« ET DERNIER CAHIER. -- CORRESPONDANCE ,

le prétexte qu^e la théorie algébrique d*Euler avait depuis longtemps reçu X assentiment des analystes Jes^ plus distingués^ nonobstant les objections soulevées de part et d'autre, mais non entièrement résolues ; ce qui le porte à conclure :

« Que la marche du calcul ne lui permet pas toujours d'exprimer toutes » les circonstances qui se rencontrent dans les constructions géomé- » triques...; ce calcul, ajoute-t-il, redevenant conforme au cours des » lignes lorsque ce qui tient à r infini en est écarté. » .

Toutefois, les hésitations et le jugement définitif de Lacroix^ qui ont dû se propager dans les Écoles, sont mal fondés en principe, et tiennent, j'oserai le dire, uniquement à des difficultés relatives aux signes de position^ que j'avais, comme le prouve lo contenu du Iir Cahier de ce volume, cherché à résoudre selon mes faibles moyens, et en m'efforçant d'éclairer la théorie dans ses applications les plus simples à des questions de Géométrie élémentaire.

Pour s'en convaincre, il suffit de se reporter à Tobjectioii spécieuse et tout algébrique de l'endroit déjà cité de l'ouvrage de Lacroix (t. Il, p. i6ï, n** 402), où ce célèbre professeur pose et discute les formules de quadrature des hy])erboles de divers degrés pairs ou impairs, représentées par l'équation

— L et dont les aires, à partir de a: = o, ont pour expression commune

car les objections soulevées par le môme savant sont plutôt algébriques que géométriques, ei ne tiennent pas un compte suffisant de la loi relative aux signes de position, qui s'accorde parfaitement avec les règles ordinaires de l'intégration. Quant à l'objection relative au cas particulier de /ï = I , où.la courbe se réduit à l'hyperbole équilatère du second degré entre des axes rectangulaires asymptotes, cette objection fondée sur ce que la fonction ci-dessus, qui représente en général les aires hyperboliques, n'est point de la même forme que la fonction log(i + x] représentative de cette hyperbole pour laquelle n = i^ cette objection n'est d'aucune valeur. Car, en développant en série l'intégrale générale ci-dessus, d'après la formule du binôme, puis faisant /i = i dans le résultat, cette intégrale cesse d'être indéterminée, et l'on obtient pour l'expression de Taire hyperbolique correspondante la série indéfinie'

x^ a:^ X* it 3 4

convergente pour x < i, et qui représente précisément la valeur réelle

et positive de log ( i -+- x ) .

D'ailleurs Lacroix, qui redoute de se prononcer pour tous les cas où

les fonctions acquièrent explicitement des valeurs infmies, ne prend pas

garde que, dans ses calculs analytiques, en passant brusquement d'une

valeur positive à une valeur négative do x, il franchit implicitement et

sans hésitation les intervalles où les coordonnées x et j, les éléments

d'aires asymptotiques ydx^ ainsi que les coefficients différentiels réci-

(Iy dx proques 7-? 7-5 qui mesurent les inclinaisons des tangentes de lu courbe

par rapport aux axes coordonnés, deviennent eux-mêmes nuls ou infinis pour certaines valeurs de Tabscisse x.

Que conclure de tout ceci? C'est que le calcul algébrique, en ce qui concerne la discussion do certaines propriélés dos lignes courbes, relatives aux aires ou quadratures, etc., n'a point encore, malgré les travaux des plus grands géomètres algébristes, acquis le degré de clarté et do rectitude désirable pour les applications aux sciences qui reposent sur la Géométrie: fait généralement reconnu par les esprits élevés et sérieux. Tout en applaudissant donc aux efforts multipliés et souvent heureux des modernes, relativement à la théorie des nombres, à la résolution des équations numériques, aux règles du calcul et du développement en séries des fonctions de quantités réelles, imaginaires, etc., je ne puis néanmoins m'empècher de remarquer que ces diverses théories ou méthodes, demeurées si imparfaites entre les mains de nos prédécesseurs, laissent encore beaucoup à désirer du côté de la rigueur, de la généralité et, par suite, de la clarté. *

D'accord avec Lacroix [Calcul différentiel et intégral^ t. II, p. 162), que a rien n'est plus facile que d'abuser do la métaphysique en mathéî) matiques (*), et de perdre ainsi en vaines subtilités un temps et des n moyens qu'on peut employer à perfectionner les méthodes et à aug- » monter l'édifice analytique, r^ je ne puis cependant approuver entièrement, si ce n'est comme simple exercice et en dehors des classes, cetto profusion souvent stérile et nuisible au succès de la partie intellectuelle

(*) Je no crois pas me tromper en supposant que Lacroix »vait ici mi vue quelques-uns des successeurs de d'Alembert» Carnot même, mais surtout Wronski et son précurseur Suremain-Misseri, qui» dans sa Théorie purement algébrique des quantités imaginaires (an IX, 1801), fondée en partie sur le calcul douteux des radicaux et des séries, combat la démonstration géométrique de Jean Bernoulli, sans la comprendre, sans tenir compte des signes de position, c'est-à-dire par des raisonnements inexacts et confus, en un mot, sans prendre garde que, pour convaincre Tesprit des hommes en général, et à fortiori celui des géomètres, il faut des alBrmations logiques, et non des hésitations on des doutes.

des études, de théorèmes ou de problèmes, où parfois on se sert de considérations inutilement transcendantes pour arriver à ce qui, en soi^ est simple et élémentaire; mais c'est un point sur lequel j ai suflBsammenl insisté ailleurs.

Quoi qu'il en puisse être do l'opinion de Lacroix, il n'en est pas moins fâcheux que les géomètres algébristes les plus distingués de notre époque, dédaigneux d'approfondir et de dissiper par eux-mêmes les doutes qui retardent encore les progrès de la science, en abandonnent la tâche délicate aux esprits qu'ils nomment secondaires ; à peu près comme s'il s'agissait du nMuvcment perpétuel, de la trisection de Tangle ou de la quadrature du cercle, lesquels, en fm de compte, consistent en de simples préjugés ou malentendus émanant d'individus imparfaitement instruits, et qui, apercevant dans la nature et même en Géométrie des phénomènes de mouvement et d'existence physique incontestables, ne saisissent pas bien la différence qui existe entre la réalité indiscutable de ces phénomènes, dont ils ont la vive intuition, et les résultats du calcul et des théories des mathématiciens dont les rectrictions, les dénégations tiennent à une autre manière d'envisager les choses au point de vue des principes ou de 1 appréciation numérique des grandeurs.

Pour eux, par exemple, l'existence comme longueur absolue de la diagonale du carré, de la circonférence du cercle, de la tierce partie d'un arc ou d'un angle, etc., est absolument hors de doute, et toute idée d'approximation finie ou môme indéfinie leur répugne foncièrement ; ce qui est aussi le fait, même des mathématiciens, à rencontre des incommensurables v^, e == 2,71828. . . , qui n'existent pas comme nombres absolus ou discrets, mais simplement comme limites et symboles d'intuition, dont on peut approcher à volonté et numériquement, de manière à satisfaire à tous les besoins des sciences et des arts.

En réalité, Lacroix, esprit éminemment juste et éclairé, aurait dû, moins que tout autre peut-être, blâmer les efforts qui restent à faire pour élucider certains points de doctrine, résoudre certaines difficultés qui obscurcissent encore le domaine de la philosophie dans quelques branches des mathématiques, dont elles limitent par là même le sens et l'étendue, en s'opposant ù l'édification, au progrès ultérieur des sciences en général. Tel est notamment ce qui tient, non pas à la métaphysique vague, ténébreuse et alambiquée des rhéteurs de profession, qui traitent de Tinfini en dehors de la Géométrie, mais bien à l'interprétation et à l'usage des infiniment grands, des infiniment petits relatifs ou subordonnés, dont, tout le monde le sent, la hiérarchie, absolument analogue quoique inverse à celle des différentielles de divers ordres, demanderait à être exposée d'une manière spéciale et approfondie, mais qu'il ne faut pas confondre avec les limites absolues de toute grandeur, représentées par les symboles o et 00 . En un mot, je ne crains nullement d'insister, il n'y a rien d'absurde à se préoccuper de la manière dont, en Analyse algébrique, on

POLÉMIQUE ET ^^lAGMENTS DIVERS. 579

peut sans efforts pénibles, sans ces détours, ces procédés multiples et incohérents aujourd'hui en usage, franchir les mêmes intervalles qui, en Géométrie, correspondent à la coïncidence de certains points, au parallélisme et à la perpondicularité de certaines lignes droites ou courbes, etc.; ce qui, exig^^ant qu'on s'appuie franchement, explicitement sur le principe de continuité et la loi des signes do position, nécessite une longue étude et des exercices préalables relatifs à leur applic^alion à des questions variées. En effet, les difficultés relatives à l'interprétation des formules et des équations algébriques sont tout à fait du môme ordre que celles qu'on rencontre dans la discussion des lieux géométriques, dont, contre la propre opinion de Lagrange, on a tort de les isoler, sinon par le fait, du moins en apparence et ostensiblement. Ainsi, de toutes les manièrt»s, on est conduit aux mêmes conclusions relativement aux rapports et à la correspondance intime <iui existent entre les vérités, les déductions de J'Analyse algébrique et les faits, les consé(iuences de la Géométrie.

Indépendamment des exemples relatifs à lu prétendue discontinuité des courbes exponentielles et lo(;arithmiqucs, qui viennent de nous occuper, et de toutes les courb(*s fonctionnelles qui en dérivent, on en a cité beaucoup d'autres qui n'ont pas la même raison d'être, et proviennent toutes de la manière Imparfaite dont on discute les équations des courbes algébriques ou transcendantes. Ainsi, entre autres, on cite comme exemple de discontinuité la courbe représentée par l'équation transcendante très-simple,

y •=^ X arc

(tanc = i),

qui aurait h l'origine un point de rebroussement anguleux; mais ce point se change en un point double ordinaire à deux branches continues, quand on suit attentivement le mouvement du peint générateur et des signes dans les sens opposés, progressif et rétrograde, de l'arc que détermine la tangente, ici mal à propos censée donnée à priori.

Toutes ces équations et une infinité d'autres de courbes à préteildus points d'arrêt, sont non moins faciles à interpréter, et il serait bien inutile de s'y arrêter. Mais il y aurait au contraire un bien grand intérêt à discuter celles de beaucoup d'autres courbes méxîaniques encore inconnues, et qu'on peut concevoir engendrées d'une manière continue par l'enveloppement, le développement, le roulement ou le déroulement de figures elles-mêmes continues dans un plan ou dans l'espace; ce qui conduit à des résultats bizarres, inattendus et difficilement atteints ou expliqués par l'Analyse algébrique.

On consultera utilement à ce sujet un intéressant Mémoire de feu Coriolis, inséré à la p. > du t. 1**" du Journal Mathématique de M. Liouville, et où se trouve aussi indiqué le moyen de décrire sur un cylindre ou d'autres appareils, et par des procédés purement mécaniques, les courbes que représentent en général les équations différentielles

où les fonctions indiquées par les lettres / et f) sont essentiellement continues par hypothèse.

58o VU* ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE ,

On pourrait encore citer comme exemples de discontinuité au moins af^arente, les portions de lignes qu'on obtient dans certains cas par la projectioUf sur un plan ou un axe fixe» d'une courbe rentrante et continue dans l'espace ou sur un plan; car il en résulte des points d'arrêt extérieurs, et c'est ce qui a lieu en particulier pour la projection de l'ellipse ou du cercle sur une droite fixe; projection dans laquelle le mouvement orbitaire continu du point générateur sur la courbe^ se change en un mouvement oscillatoire (de vaet-vient) analogue à celui du pendule ordinaire où le mouvement s'éteint et reprend aux points d'arrêt mêmes, en sens contraires/ toujours par degrés insensibles, c'est-à-dire continus. Or, on arrive à des résultats plus ou moins analogues dans des circonstances où le mouvement s'opère sui^ d'autres courbes que le cercle et l'ellipse, par exemple sur l'hyperbole, et il faut se garder de confondre ce ^enre de points d'arrêt, qui tiennent à des questions de cinématique, dépendantes d'une manière tout au moins implicite du temps, avec ceux que l'on prétend exister dans certaines courbes algébriques, représentées par des équations telles que ^ = ya:, ^ = y/i — i* , . . . , plutôt arithmétiques que géométriques, et qui n'ont pu nailre que dans des esprits calculateurs prévenus contre toute admission du principe de continuité, mémo dans l'Analyse des coordonnées linéaires de Descartes, que l'on paratt méconnaître ou oublier eo cela, car elle ne saurait offrir de telles contradictions et absurdités.

D'autre part, nous avons, à diverses reprises, montré par des exemples simples et élémentaires, notamment celui qui concerne le milieu des cordes du cercle, issues d'un point donné, que, à l'inverse, la génération des lignes, et partant ces lignes elles-mêmes, pouvaient paraître discontinues au point de vue du tracé géométrique, quoiqu'il en soit autrement dans le fond et lorsqu'on s'élève à des conceptions, à des définitions plus générales. Toute la question est évidemment que la portion ou réunion des courbes considérées soient individuellement continues, et susceptibles d'être indéfiniment prolongées par des systèmes de constructions ou d'équations analytiques, elles-mêmes soumises à la loi des signes de position et de continuité; ce qui conduit naturellement à admettre que l'intersection mutuelle de telles lignes et des surfaces qui en dérivent soient, à leur tour, continues dans le sens le plus général, qui ne comporte aucune restriction à l'égard des grandeurs positives ou négatives, imaginaires, milles ou infinies.

Dans les Cahiers III et IV qui concernent spécialement la loi des signes de position et le principe de continuité, pressé par le temps et les devoirs du service, je n'ai pas suffisamment insisté sur quelques déductions essentielles de ce principe, entre autres sur la facilité avec laquelle il peut servir à démontrer des vérités, des principes même dont la découverte a exigé les travaux les plus approfondis des géomètres algébristes. Ainsi, de ce que toute courbe continue possède en général, en chacun des points de son cours indéfini, une droite tangente, une circonférence de cercle et des coniques osculatrices d'un ordre supérieur au deuxième, on en conclut immédiatement et rigoureusement, si l'on considère d'une part le système des transversales ou sécantes extérieures à la courbe et parallèles à sa tangente au point examiné, d'une autre la conique supplémentaire de l'une quelconque des osculatrices construites en ce point sous les mêmes diamètres conjugués : i^ que les intersections imaginaires des transversales parallèles dont il s'agit sont précisément de la nature des intersections pareilles du système simple de la sécante idéale du

cercle; i'^ que ces intersectioos sont représentables par les mêmes symboles algébriques, ei fictivement par les intersections réelles de l'hyperbole supplémentaire correspondante qui ne construisent ou ne déterminent nullement (IIP Cahier, p. 196, 20-i, 2?/|, 7f\0 et suiv.) les expressions imaginaires

/>-+-yV"~*» P — yv' — I, comme on a prétendu me lo faire dire; 3® enfin, que, si Ton considère le système entier des intersections de l'une quelconque des transversales parallèles avec la courbe proposée, il est permis de conclure que celles de ces intersections qui, après s'être réunies par couple, cessent d'être possibles géométriquement, sont comme les racines imaginaires mêmes des équations algébriques ou transcendantes, constamment conjuguées entre elles, ou accouplées deux par deux, quelle que soit la nature continue de la courbe et de l'équation qui la représente.

De là d'ailleurs, en s'élevant à la considération des rencontres mutuelles de» lignes ou des surfaces continues, on arrive, sans trop do difficultés, à la définition des plans et surfaces de section idéale commune au système des lignes et surfaces considérées, à peu prés comme on l'a ipontré dans le \® Cahier, à l'égard de deux coniques quelconques situées en un même plan.

Si, à ces considérations générales, et à celles qui terminent le IV* Cahier de ce volume, relativement an nombre des intersections réelles, imaginaires, etc., d'une courbe ou surface continue d'ordre quelconque par une transversale arbitraire, on joint cette autre considération générale non moins rigoureuse et importante, que le nombre dont il vient d'être parlé étant convenablement déterminé, même pour cette position unique (ou une série de positions polaires de la transversale), suffît pour fournir une limite supéricuro du dogre de la courbe ou surface examinée; si l'on ajout»», enfin, les diver»i»s autres conséquences qui découlent inévitablement de l'adoption du principe de continuité, et qui se trouvent exposées dans les diverses parties do cet ouvrage servant comme de préambule au Traité des Propriétés projectives des fif^ures , on ne peut se refuser à reconnaître qu'il n'est nullement nécessaire, comme l'ont fait Newton, CAtes, Maclaurin et leurs successeurs, <le recourir au syslème de Géométrie analytique imaginé pur Descartes et ù la théorie des équations, pour découvrir et démontrer les propriétés des courbes geoniélri(|ues, même pour construire les coniques osculatrices en un point donné d'une telle courbe, [)Ourvu toutefois que les intersections imaginaires des transversab*s rectilignes soient définies, remplpcées par des cireonferenei's de cercles, des coniques ou toutes autres courbes géométriques qui les contiennent, comme on en a des exemples dans les II* et V* Cahiers do ce volume.

Sttr le tracé ries lif^ncs courbes et ses applications diverses aux questions

d* Analyse et de Cêotnétric.

Les Anciens et, par là comme toujours j'entends parler des Grecs qui grâce à leurs instincts délicats et leur sens cxcjuis ont perfectionné a un si haut degré les lettres, les sciences et les arU^, les Anciens n'ont nullement dédaigné, comme on le sait, démettre en usage le tracé des courbes IHir des procédés graphiques et mécaniques qui impliquent la continuité, pour résoudre, même mécaniquement, beaucoup de questions apparlenaut à un ordre transcendant ou simplement supéiicur au second degré. I-es

58a VII* ET DERNIER CAHIER. - œRRESPONDANCE ,

modernes, en les imitant, ont imprimé aux arts et à Tindustrie une impulsion qui, espérons-le, ne se ralentira jamais. Malheureusement, depuis quelques années, les mathématiciens, comme je l'ai dit dans le premier volume de cet ouvrage, tendent, sous l'influence de fâcheux exemples, à se diviser en deux classes fort distinctes, étrangères et pour ainsi dire hostiles l*une à Tautre, les algébristes calculateurs et les géomètres applicateurs ; classes que la primitive Ëcole Normale et l'École Polytechnique étaient destinées à rapprocher, à unir entre ellos^ sous les auspices de nos plus illustres maîtres, Monge, Lagrange, Laplace, etc. Pour peu que cette déplorable scission se propage et s'accroisse en France, tandis qu'elle s'efface ailleurs daas l'enseignement public, on verra, sans aucun doute, y décroître en même temps les sciences, les arts et industrie qui reposent à la fois sur la Géométrie et le Calcul.

Une Séparation complète ne serait nullement à craindre, et il serait inutile de s'enquérir de ce qui se passe à l'étranger, si dans nos Écoles on avait mieux retenu les immortelles leçons des grands géomètres que je viens de citer et qui ont tous, Lagrange notamment (*), recommandé l'emploi de procédés graphiques d'interpolation et de substitution, au moyen des courbes d erreurs, de tâtonnements ou de fausses positions; procédés qui, tous évidemment, dérivent de la loi, du principe de continuité, admis ici, non plus tacitement ainsi qu^l arrive dans l'Analyse algébrique, mais ouvertement et franchement comme base de solution el même de démonstration en beaucoup de cas où toute autre marche serait, sim n impossible, du moins trop longue ou trop pénible à cause des raisonnements ou des calculs qu'elle exigerait.

A la vérité, la Géométrie descriptive et les arts graphiques en général se servent d'instruments et de procédés d'une exactitude purement relative ; mais on doit considérer que, en appropriant la grandeur de l'échelle du dessin et la précision des instruments au but à remplir^ ce dont la Géométrie, la Physique et l'Astronomie même nous offrent aujourd'hui de si admirables exemples, on peut atteindre à des résultats qui ne le cèdent en rien, pour ainsi dire, aux Tables numériques et aux méthodes d'approximation, en elles-mêmes indéfinies, du calcul arithmétique; méthodes, comme on sait, d'un usage souvent laborieux, et d'une exactitude également limitée en dehors de quelques cas exceptionnels, qui sont à la fois le triomphe de la Géométrie et de l'Analyse algébrique.

A l'égard de l'utilité dont peuvent être le tracé géométrique des courbes et le sentiment instinctif de la continuité pour la démonstration et la dé-

( •) VII* et VIII* Culiiors du Journal de r École Polytechnique, 4' ftt 5*" lc<;ons â l'École Nornnale, p. 'î^.') à 978, leçons dont on aurait torl de dcdai^jner l'enftei(;ncmenl, sous le prélexl** spécieux qu'il s'adressait à un auditoire rci^oiufionnat're et peu éclairé, car il comptait des professeurs du. plus haut mérile, tels que Lacroix, etc.

couverte de certaines vérités pliysiques, je pourrais ici rappeler la célèbre el sublime découverte du mouvement elliptique des planètes par Kepler^ qui, après tant de siècles écoulés, eut l'heureuse, la profonde et persistante pensée, (jue le cours do ces astres devait être soumis à des lois géométriques, éternelles comme Dieu et Pirnivcrs, et qui, disciple fervent de Copernic et de Tycho-Brahé, ne craignit pas de poursuivre pendant plus de trente années la pénible tâche de tracer de point en point, au moyen des Tables d'observation de ce dernier astronome, son maître et initiateur, le cours entier de plusieurs orbites planétaires, notamment de celle de Mars, si favorable à cause de sa grande excentricité.

Je pourrais encore citer d'autres belles découvertes, d'une moindre im)K>rtance sans doute, mais qui tendent toutes à prouver Timmense avantage inhérent au tracé géométrique des courbes; soit que ces courbes aient été relevées par une construction directe au moyen de points isolés, soit qu'elles aient été obtenues par le tracé d'un style dépendant d'un de c«s appareils à indications continues, dont Watt et Eytelwein ont offert les premiers exemples, et qui se sont si généralement répandus à partir de répoijue de 1827, où commença aussi à se répandre l'idée de se servir du tracé continu des courbes pour la vérification et la démonstration des vérités premières de la Mécaniciue physique et industrielle, idée qui n'a cessé de se propager, de se généraliser de plus en plus dans ses applications diverses aux siences et aux arts.

11 n'existe à notre époque (i8G3), si je ne me trompe, aucun appareil tmccur fondé sur un principe analogue par enveloppement des tangentes, et l'on en comprend aisément le motif; mais existât-il un pareil outil, il resterait toujours à déterminer, par des procédés graphiques simples et rapides, le point de contact quand la tangente est donnée, tout comme, pour le traceur à style ou à pointe, il est souvent indispensable de construire la tangente en un point également donné à priori. Ces problèmes exactement inverses présentent une égale difliculté graphique, et se ramènent l'un ^d l'autre d'après la théorie des jwlaircs réciproques^ dont pour la première fois les éléments ont été exposés dans un Mémoire de 181 7, réimprimé à la p. 483 du précédent Cahier.

Or, ce qu'il y a de particulièrement digne de remarque dans ce genre de problèmes, c'est que les difficultés dont il vient d'être parlé tiennent précisément à la double indétermination do tout élément infinitésimal de la courbe, soit en position, soit en direction; incertitude qui n'existe qu'en partie seulement quand on sait que le point de contact doit être sur une droite donnée, ou (jue la tangente doit passer par un point également donné sur le plan de la courbe supposée d'un degré quelconque ///. Car, d'après le principe de réciprocité polaire que je viens de rappeler, ces questions sont précisément aussi inverses Tune de l'autre, puisque si, dans la première, le nombre des intersections est simplement ///, celui des tangentes dans la seconde est /// (m — i) ; les points de

584 Vil- ET DERNIER CAHIER. -- CORRESPONDANCE ,

conlact, en même nombre, étant déterminés (H* Cahier, p. iS3) par les intersections de la courbe donnée du degré m avec une ligne du degré m — I seulement. D'ailleurs, ces circonstances montrent par quels liens intimes les problèmes ci-dessus des tangentes, d'une apparence si élémentaire, se rattachent à la théorie des polaires réciproques et des lignes de contact simples ou successives qui m'avaient occupé dès 1816 (p. 149 et Buiv.), sous d'autres noms que ceux adoptés postérieurement (i8a8) par mon excellent et regrettable ami feu Bobillier.

A regard du tracé graphique des tangentes, dont on s'ocxïupait beaucoup de mon temps à l'École Polytechnique, comme on peut le voir aux p. 447 et suiv. du t. I de ces Applications, il existe, relativement au tracé par courbes d'erreurs, etc., divers procédés plus ou moins exacts et ingénieux, consignés dans quelques écrits mathématiques antérieurs même à l'époque de 1816 où, en m'occupant des matières du ir Cahier de ce second volume, je me proposai de déterminer, sans tâtonnements, d'une manière directe et rationnelle, pour un point donné d'une courbe décrite sur'un plan, non pas* seulement la tangente, mais l'osculatrice conique d'un ordre quelconque, en suivant partiellement les traces de Pillustre Maclaurin , c'est-à-dire à l'aide de méthodes exclusivi^ment applicables aux courbes géométriques décrites sur un plan et naturellement d'un degré peu élevé. Mais ces procédés n'étant nullement susceptibles de s'étendre aux courbes transcendantes, il est souvent nécessaire de recourir à la méthode purement géométrique de Roberval, c'est-à-dire à la considération directe de la loi graphique suivie par le point générateur.

Enfin si, comme il arrive souvent aussi, on ne connaît pas cette loi alors remplacée par une défmilion, des relations purement métriques, pleine de difficultés sous le rapport des tracés, il ne reste pour dernière ressource que l'emploi de V Analyse infinitésimale , née des premiers efforts de Fermât, de Descartee, de Roberval môme, do Barrow, do Newton et de Leibnitz, dans la solulion du célèbre problème des tangentes que, au point de vue des difficultés, on ne doit pas confondre avec celui des quadratures ei du calcul inverse des tangentesy dont le développement analytique est dû aux Bernoulli, aux lluygens, aux Euler, aux d'AIembert, aux Lagrange, etc. Cependant, j'ose le dire, malgré Umtd admirables découvertes ou d'efforts ingénieux pour généraliser et perfectionner l'instrument analytique, ces hommes célèbres à justes titres, en négligeant trop la voie géométrique tracée par Archimède d'une [jart, de l'autre par Pascal, Maclaurin et les géomètres des xvi* et xvii* siècles, ont ainsi entraîné la jeune génération dans l'exclusive et fausse persuasion que, en dehors de l'algorithme algébrique et des théories sur lesquelles il repose, il n'existe aucune source de démonstrations rigoureuses (*]•

(*) Coinmo on le verra plus loin, cette opinion nVtait, au fond, nullement partagée par Lagrange, ef l'on ppiit aflirmer qu'elle a donné naissance h le

Revenant aux travaux de Maclaurin, je rappellerai que, dans ses recherches relatives aux propriétéâ des courbes géométriques, fondées sur la considération des deux derniers termes des équations algébriques entre abscisses et ordonnées, cet illustre successeur de Côtes et de Newton avait parfaitement compris l'insuffisance de telles méthodes pour la déterraination des osculatrices aux courbes en général, et c'est pourquoi, dans son Traité des fluxions et son yilgèbrt: posthume^ Maclaurin aborda la question par des considérations directes purement géométriques, dans lesquelles il cherche à tracer, par une série de points successifs, le cercle osculateur, le diamètre et le paramètre de la parabole osculatrice du 3* ordre en un point donné d'une courbe continue quelconque, censée décrite sur un plan, en faisant pour cela simplement intervenir les portionsde la courbe qui avoisinent le point de contact, et traçant une nouvelle ligne ou dérivée qui sert à déterminer certains points ou paramètres du «»rcle de courbure ou de la conique osculatrice.

Comme on voit, cette méthode se rattache à celles qui consistent dans le tracé des courbes d'erreurs mentionnées précédemment : envisagée à ce point de vue, elle faisait partie d'une Note manuscrite que, dans ma ferveur pour les procédés d'une utilité pratique, j'avins autrefois rédigée et où se trouvaient réimis divers procédés du même genre, étendus à des osculations d'ordres supérieurs au troisième, dont l'étude comprenait la variation de courbure dont Maclaurin s'était exclusivement occupé.

Les mêmes motifs d'utilité pratique me conduisirent, beaucoup plus tard (1825), c'est-à-dire après MM. Dupin et Hachette, à publier dans les anciennes Annales de Mathématiques^ un [yrocédé mixte pour déterminer le cercle osculateur en un point donné d'une courbe gauche, au moyen de ses projections orthogonales sur deux plans (juelconques.

D^ailleurs, on sait très-bien que le tracé graphirpie des courbes planes peut, non-seulement s'opérer ]>ar points successifs, mais encore par l'enveloppement de droittîS, d'arcs de cercle, de /)atn)ns, gabarits ou pistolets traceurs, composés eux-mêmes d'arcs de diverses courbures, se raccordant consécutivement et auxquels le dessinateur habile substitue,

«ingiilicr et fiicilc ontrainemcnt qui t'ait pnrlout substituer le niconiiisiiic ilu C^alcul ulgéhriquc h l'intuition ot au inisoniicmcut {;coinéliiquL's. (^otte 1(!ndanee signalée en (li\e»s endroits de ret ouvrajje, dont notre eolehre Poisson, e<î robuste ealculateur aljrébriste, se piai(;nait si \i\enient dans ses evainens de l'Ecole Po1yl(;ehnique, a failli amener une s(*paration complète entre cette mère Ecole et celles des divers serviees publics; aujourd'hui même elle ol»li{;e ri'iiiversitë impériale à s'enquérir dans les pays circonvoisins, de l'état de l'enseignement professionnel qu'ils nous ont emprunté sans entraves; enseif[iieraent que cette Lniversitc a jusqu'ici constamment dédai{jné, qu'elle méprise peutêtre encore malgré des vœux, des avertissements souvent reitérés, pour lequel par conséquent elle n'est nullement préparée, et qui tôt ou tard doit amener sa ruine ou son entière réforme sous une sage et prévoyante liberté.

586 Vil* ET DERNIER CAHIER. -- CORRESPONDANCE ,

presque toujours, un tracé direct en se laissant guider d'après le sentiment de la continuité, admirablement développé par de longs, de fréquents exercices, que suppléent trop rarement les instruments à style mobile, d*une perfection égale à celle du com()as et quelques antres appareils délicats, propres à la génération continue des courbes; mais, ainsi que j'en ai déjà fait la remarque, aucun do ceux-ci ne s*a(iplique aux lieux définis par les intersections successives de droites ou d arcs mobiles, dont le mode de génération rappelle la belle, découverte des déveIo[>panles et des développées due à une heureuse inspiration géométrique de Huygens.

J*ai montré au commencement de cet article, par l'exemple de Kepler, nmportalice du parti que l'on )>eut tirer du tracé géométrique des courbes pour la découverte des lois naturelles; j'aurais pu en multiplier indéfiniment les exemples. Or, c'est ici le cas de le rappeler, les idées de cause et d'effet continus, de permanence mathématique dans la manifestation des lois phénoménales ou naturelles ; ces idées sont toul(?s modernes, puisqu'elles datent de Kepler et de Galilée, mais elles n'en doivent pas moins être considérées comme résultant d'un sentiment véritablement inné ou instinctif même chez les Anciens, auxquels, si ce n'est peut-être au grand Archimède, il a manqué le patient géïiie de l'observation et de Texpéricnce, antérieur aux systèmes philosophiques de Bacon et de Descartes, et qui constitue notre princii)ale sui>ériorité sur les Grecs. Car, j'en ai déjà fait ailleurs la remarque (Riipport sur /'JKx/josithn de Ijo/idres en i8'n : Machints-outils)^ leurs géomètres, leurs philosophes, leurs orateurs, leurs poètes, leurs inimitables artistes valaient, s'ils ne surpassaient, les nôtres en génie et en invention, bien que la somme de leurs connaissances ac(iuises en tous genres ne fût pas, à beaucoup près, équivalente à celles (le notre époque.

Si l'on veut encore, leur génie mathématique était moins hardi et moins développé, parce qu'ils ninmiuaient de l'admirable instrument de l'Analyse indéterminée, due à Viète et à Descartes, et dont l'usage repose véritablement sur l'axiome ou principe de continuité. Mais ce n'est point à dire pour cela, coHime je l'ai montré d'autre part (IV Cahier), que les Anciens n'eussent pu généraliser les concef)lions de la pure Géométrie, et s'élever à toute la hauteur de ce principe, émané de l'emploi du raisonnement implicite, qui nous permet de considérer à priori, les courbes et les surfaces continues comme les limites de polygones ou de i)olyèdres infinitésimaux, et, à l'inverse, les systèmes de lignes droites et de plans illimités comme des courbes, des surfaces uniques, à branches ou nappes infinies, absolument comme cela peut se dire des équations linéaires de ces lignes ou plans dans lo système des coordonnées de Descaries. En effet, séparément, comme dans leur ensemble, les lignes et les surfaces çsonl soumises au principe de continuité et à la loi des signes de (>osition, et il e^l toujours permis, en toute rigueur, de bupj>oser ((ue chaque droite, chaque plan, représenté par l'une quelconque des écpialions, facteurs de la pn)-

posée, se raccorde, par voie de conlinuité, au reste de la figure, absolument comme les branches ou asym[)totcs d'ime hyperbole dont la puissance serait censée infiniment petite.

J'ai dit que les Anciens, notamment Archîmèdo, cet ingénieur du dernier des rois de Syracuse, misérablement assassiné par le soldat de la Rome barbare, au cri d'indignation de la Grèce civilisée, auraient pu, sans calculs algébriques et simplement guidés par Tinslinct, l'intuition géométrique et expérimentale, parvenir aux plus fécondes découvertes des temps modernes : je n'en excepterai pas même la Chimie, cette science qui paraît appartenir plus particulièrement à la théorie des nombres, et qui a eu aussi chez nous une déplorable victime de passions j)oli tiques aveugles, excitées par la haine, la jalousie occulte de toute supériorité intellectuelle ou do prospérité matérielle. Mais je dois me contenter ici de remarquer que le dédain des algébristes calculateurs pour les méthodes géométriciues n'est justifié ni par le prétendu et {)OSthume dégoût historique d'Archimède pour ses admirables inventions dans l'art de l'ingénieur, ni par l'autorité de Ligrange dans la V*' Leçon, déjà citée, de son Cours à l'École Normale, leçon où ce grand géoniëlre analyste expose, a\ec une clarté et une simplicité dignes de son génie, le parti avantageux (jue l'on peut tirer du rapprochement de la Géométrie et de l'Algèbre, notamment du tracé effectif des courbes pour la résolution des problèmes et des équations numériques les plus complicpiéos, les plus ditliciles (*).

ï^grange donc, qui, on doit le reconnaître sans hésitation, était plus profondément géomètre que Laplace, ne craint pas de s'abai.^ser en montrant comment, par le tracc^ des courbes derreurs, de fausse [>osition et d'interpolation, 011 même par l'usage de véritables instruments mécaniques dont il indique un remarquable exemple, il devient possible de résoudre, d'une manière rapide et approximative, les problème^s et mémo les é(pi<i-

(*) T.agraiif;c sVxpriiiw» ainsi au comimMicoint'iit de celte V*^ Iih-oii (p. îGJ, du VII*' (3uhior du Journal dv l'Ecole Polytechnique) :

« Tant que l'Alyèlin' cl la (iéoniolne ont oté séparées, leuiN progrès onl été » lents et leurs usages hornes; mais lorsque ees <leu\ seitîuees se sont n'unies, » elles se sont prèle des (orres mutuelles et ont marché ensemble d'un pas » rapide vers la perl\*<'tion. »

l.a]>lace semble moins convaincu des avantages de ce raf»prochement, qu'il recommande cei^^ndant 1' ]>. 110 pour la satisiadion agréable que procure ù IVsprit la ^vérification à posteriori des n'sultals du calcul algébrique. L'inverse peut également se dire, et notre grand {jctunètre calculateur oublie un peu trop les droits de l'observation phénoménale, de la divination et de l'intuition géométrique à priori.

Quoi qu'il en soit, il serait désirable, aujourd'hui tu'i, par l'absence d'autorités et de convictions scientifiques convenables, la diversité souvent stérile des notations et du langage mathématique règne dans K's met ho<ie^ d'e»iseignenu»nt ^n France, il serait désirable, di», j«>, que le (iouvernement, si prodigue envers

588 VIP ET DERNIER CAHIER. ~ œRRESPONDANGE ,

lions les plus compliquées, qu'il faut bien se garder toutefois de transformer, de ramener à cette forme banale :

(uf^ 4- haf*-'^ 4- cr*-' — . . . -h/?x* -f- ^o: -h r =; o,

la seule pour ainsi dire employée naguère dans nos Ecoles. Cette forme d'ailleurs a, elle-même, été l'objet des méditations de Lagrange, dans un autre écrit mathématique, où il s*est comme efforcé de bannir toute trace de considérations géométriques (*); ce qu'il a aussi tenté fort malencontreusement, dans sa Théorie des fondions analytiques et ses Leçons sur le calcul des fonctions^ dont il a été impossible, même du vivant de ce grand homme, d'adopter le texte pour l'enseignement de rËcole Polytechnique, par des considérations scientifiques que j'ai déjà suffisamment indiquées.

Lngrange^ en recommandant, p. !i68 et 269 de ses Leçons à l'ancienne École Normale, d'opérer directement les substitutions dans les équations

la littérature fît les beaux -arts, fit réimprimer, pour les répandre d*oflice dans les bibliothèques de nos Facultés et gymnases universitaires, le texte de ces admirables Leçons de I^grange, de Laplace et .de Monge a la primitive École Normale; car ces LcconSy si mai à propos, je le répète, nommées réfolutionnairrSf telles qu'elles ont été réimprimées en 181 ?i dans le Journal déjà cité, ne contiennent pas un mot de politique; rien qui puisse, explicitement ou implicitement môme, rappeler aux professeurs et aux élèves, de tristes et trop malheureux souvenirs, mais bien Tesprit de rénovation dont était animé, eo 1793, le gouvernement de la première République française, dont à des époques postérieures on a prétendu en Tain dénigrer et combattre les actes véritablement restaurateurs de l'enseignement public en France. Ces actes, en effet, admirés et progressivement imités de toute l'Europe civilisée, avaient eu pour interprètes les plus grands génies mathématiques d'alors, et, malgré de misérables ciflculs ou préventions politiques, leurs sages et impérissables leçons sont regrettées par tous les esprits philosophiques amoureux du progrès des arts et des sciences dans notre pays.

(*) Traité cle la résolution numérit/ue des équations. Si cette étude, d'un caractère si différent, je pourrais dire si opposé à celui des Leçons dont il vient d'être parlé, a contribué à illustrer Fourier et son disciple Sturm, géomètres algébristes tous deux dignes de ce nom, on doit reconnaître qu'elle a fort peu servi au progrès des sciences d'application, malgré la découverte d'admirabli^ théorèmes et de précieuses, mais lentes et pénibles méthodes de calcul, qui constituent un véritable triomphe pour l'Analyse numérique ou l'arithmologie moderne. Je ne crains pas d'ailleurs de me trop aventurer en remarquant que les méthodes géométriques si simples et si élémentaires, recommandées par Lugraiige, ont servi, du moins implicitement, de base principale aux pins belles théories de l'Analyse fonctionnelle et des équations; ce dont je pourrais -citer, même dans ces derniers temps, quelques exemples remarquabh^ qui iront sans rri>se en se multipliant par le simple développement des id(*os philosophiques.

numériques de forme quelconque, soit/(x)=:o, sans leur faire subir aucune transformation algébrique, avait parfaitement compris, on n'en saurait dojiter, que loin de simplifier les solutions, on pourrait les compliquer outre mesure. C'est ce dont j'ai vu un exemple remarquable en 1834, môme à l'Observatoire royal, dont les calculs étaient alors dirigés par riiabile M. Bouvard, qui, en recourant à des éliminations et transformations laborieuses, avait introduit dans Téquation finale des solutions ou racines en quelque sorte étrangères à la question, sinon tout à fait fausses comme je l'ai montré dans le IIP Cahier de ce volume.

De toutes manières, guidé par le sentiment instinctif de la continuité, on peut, selon la méthode géométrique ci-dessus indiquée, s'aider du tracé de la courbe représentée par Tocjuation fonctionnelle r =^/(j^), pour découvrir avec ordre, rapidenienl, la nature et la grandeur approximative des racines; r et .r appartenant à un système de coordonnées variables quelconques, dont le choix est d'une extrême importance dans chaque cas.

En particulier, la courlx^ parabolique cnlre coordonnoos ordinnircs rcpréscntéo par l'équation

que Lagran^jo considère principalement dans ses l.oçons à l'Kcole Normale, et dont les intersections avec Taxe des al)scis>es corresf>on<lantes à l'ordonnée >- = o font connaître les racines réelles ou inia^^inaires de reijuation, cette courbe sinueuse ou serpentante^ que l'on pourrait aussi nommer interpotante, d'après la remarque m^me de La(jran{je, <•! dont le trac«» manuel est si facile à cause de sa parfaite continuité, lors((u'on en a déterminé un nombre suffisant de points par la méthode des substitutions ou autrement, cette courbe, dis-je, m'a beaucoup préoccupé autrefois, parce que, indépendamment de ses propriétés résolvantes bien connues des analystes, elle jouit d'un {jrand nombre d'autres propriété» purement p.cometriques, dont quelques-unes ont été exposées dans le II" (Cahier de ce volume, où, à l'exemple de IMaclaurin cl à cause de la facilite même du sa description, elle a constamment été prise pour type des courbes algébriques d'ordre supérieur, coupées par des transversales rectilignes arbitraires.

D'autre part, il est très-facile d'apercevoir que ces courbes planes d'un degré quelconque m, offrent à l'infini, vers l'extrémité commune aux ordonnées parallèles, un point multiple de l'ordre le plus élevé, soit de l'ordre m — I. Or ce genre de courbes, pour le cas où le point multiple a une position arbitraire, a fait l'objet de mes premières recherchop sur V Analyse des transversaleSy dont il ne m'a été loisible de publier le premier Mémoire que fort lard, en i83o, époque où je le présentai à l'Académie de» Sciences de l'Institut. Non -seulement ces courlies planes sont d'un tracé linéaire facile, non-seulement elles se rattachent, de la manière la plus intime, â la théorie si féconde des relations à deux termes, nommées involutions, généralisée comme je l'ai fait pour des groupes de n points en nombre quelconque (roir la note de la p. 118 de ce II" volume des Applications); mais encore j'espérais pouvoir

5ijo Vir KT DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

déduire de TeKamen de ses propriétés essiMitielle» quelque moyeu (rêomélrique nouveau et rapide de solution dos équations algébriques.

Malheureusement, je Tavouerai en toute franchise, ces longues et déjà si anciennes recherches, limitées mériie aux cinq premiers degrés, ne m'ont nullement réussi, parce que je prétendais éviter le tracé eflTectif des courbes auxiliaires et de leurs intersections mutuelles, moyen do solution connu longtemps même avant Descartes, et auquel je prétendais substituer l'emploi plus direct d'un système de ligm^ droites et de sections coniques, considéré comme une courbe unique de degré m, dont les intersections par l'axe des abscisses devaient coïncider avec celles de l'équation à résoudre. En effet, ce procédé m'a précisément conduit aux mêmes réduit a ou résolvantes qu'on obtient par la méthode de Descartes, telle que l'a exposée Lagrange dans ses Le(;ons à l'Ecole Normale; ce que j'aurais pu prévoir à l'avance, à cause des combinaisons et permutations symétriques qui doivent nécessairement s*o|>érer, soit entre les divers groupes de racines algébriques, soit entre les couples d'intersection, avec l'axe des abscisses, des lignes des deux premiers degrés, qu'on a supposi'^eii ici passer toutes par le point multiple à l'infini de la sinueuse parabolique, etc.

Mais je n'insisterai pas sur ces anciens souvenirs, où je me proposais de déterminer, par des opérations géométriques dont, à la vérité, on n'a pas toujours sous la main les instruments indispensables, les intersections de certaines courbes au moyen de lignes auxiliaires plus simples. 11 me suffit d'avoir rappelé, une fois de plus, l'accord évident en soi qui règne entre les conceptions de la Géométrie et celles de l'Algèbre proprement dite. Ici, en effet, l'ensemble . des lignes auxiliaires est censé constituer une ligne unique dont l'équation, représentée par le produit de leurs équations séparées précisément du degré m de la sineuse parabolique considérée, a, en commun avec elle, ce. même point multiple à l'infini d'ordre /r/ — i, et se trouve parfaitement déterminé dans les paramètres et coefficients des facteurs auxiliaires qui y entrent. Or n'est-il pas digne de remarque que les lignes auxquelles ces facteurs correspondent puissent demeurer réelles et constructibles, quand bien même leurs intersections avec l'axe transversal des abscisses seraient : ou toutes Imaginaires, chose possible pour les valeurs paires du nombre m; ou imaginaires, à cela près d'une seule répondant à une droite auxiliaire unique, pour les valeurs impaires de ce même nombre m?

Qu'il me soit permis d'ajouter que, au lieu de faire passer le système des lignes auxiliaires dont il vient d!étre parlé, par le point multiple à l'infini de la courbe parabolique, on peut tout aussi bien assujettir ces lignes à contenir, en nombre convenable, des points de la sinueuse à abscisses et ordonnées distinctes, obtenues par des substitutions numériques dans l'équation x =^f{^) de cette courbe; ce qui donne lieu à différentes propriétés ou combinaisons géométriques, dont je m^ suis autrefois occupé avec quelque intérêt, mais sur lesquelles il serait fort inutile d'insister ici.

Revenons aux équations /(j:) = o, jr=f{x\ dans l'hypothèse où /"(x; a ce sens vague et indéfini qu'on lui attribue très-souvent aujourd'hui, même dans renseignement secondaire et au début de l'Algèbre, sous le prétexte d'étendre ou généraliser les idées, le langage et les démonstrations, d'après une recommandation mal comprise, mal interprétée de Laplaoe, dans ses Leçons à l'ancienne École Normale, où néanmoins, tout comme Lagrange dans les sien-

iioj>, il ])rocèilc* coiistumniciil du simple nu coinpOM!, du particulier au (;cnéral, ïtann jamais empiéter, à proprement parler, sur le domaine des 8ciene4îs d'application. Il Mt évident û priori que la tliscussion des équations fonctionnelleti dont il s'agit, m^me en s'aidant des tracés géométriques recommandés par l^rangc, peut offrir, dans certains ras, de très-grandes diflicultés, tant sotis le rapport de la longueur des calculs que sous c^dui de l'interprétation intelligente et vraiment utile des résultats.

En elTet, un analyste de tact et d'esprit a (ait remarquer avec raison, dans des leçons i>ostéricures de beaucoup k celles de l'illustre Lagrange, qu'il n'existe ({u'un petit nombre de fonctions, même à une s4Hile variable, dont la valeur ait constamment une signiticalion simple et exuctenieiit déterminée, par cons<>quent susceptible de toutes les opérations ou transformations qu'il est d'usage de leur faire subir eu Algèbre et en Arithmétique, telles que divisions, extractions de racines, dév«*loppenu'nts en séries, etc.. par différentes méthqdes uuxqu<'lles on a recours, souvent eu dt'sespoir de cause, pour faciliter le calcul numérique de certaines fonctions implicites ou même (>xplicites. On sait en eflét, de longue date, que ces transformations, ers d(>velop|ienient:4 divers ne fournissent pas toujmirs, au f»oint de vue algébrique ou géométrique, des résultait» rigoureusement équivalents aux fonctions d'où ils émanent; c'est ce dont je crois inutile de rappeler ici la raison.

Quant à cette excessive variété de transformations et de méthodes de calcul, qui n'est point toujours un signe de richessi», tant s'en faut, ec»tte multiplicité exul>érante, dis-je, jointe à l'abus du néologisme, des changements arbitraires de définitions, de conventions et de notât i(Mis symboliques, jette le trouble et le doute dans les wprits non suffisamment avertis ou exercés; et si cette variété, cette multiplicité sont profitables à la spéculation mercantile des libraires et à l'insatiable curiosité du public, qui court après les trompeuses nouveautés, elles sont rarement un véritable progrès pour les sciences mathématiques ; sciences aujourd'hui livrées, comme la littérature et les beaux -arts, à un laisser-aller qui pourrait bien constituer une sorte de décadence à laquelle, malgré un incontestable talent algébrique, n'a pas peu contribué ce hanli disciple de Kant, promot<Hir de la dualité phiittsophique en France, et que précédèrent ou suivirent d'autres brillants prestidigitateurs, moins géomètre» qu'artistes technologués en algorithmie mathématique.

Fn terminant ce qui concerne l'usage du tracé des courbes dans la résolu lion des problèmes de l'Analyse algébrique, je remarque que les fonctions bien détenuinée^ mentionnées ci-dessus se réduisent, à proprement parler, à celles qui, n'ayant qu'une seule valeur numérique pour toute valeur pareille de la variable, p<>rmettent de calculer rapidement celles des divers4>s autres formules et foncli(»ns où elles entrent explicitement. A ce point de vue, il paraît évident que les courbes et surfaces continues données à priori, ou définies dans toutes leurs parties essentielles, pur un système de constructions d'une exactitude relative convenable, remplissent jusqu'à un certain point le même rrtle, avec des facilités plus grandes pour suivre en quelque sorte au doigt et à l'œil, la trace du point générateur et des éléments linéaires qui en dépendent, sans risquer de se tromper et de tomber dans ces complications, ces discussions algébriques p4>nibles où trop souvent, en certains points nommés dangereux par une fausse assimilati(»n, on confond les traces dont il s'agit avec celles d'autres branches, nappes ou modes de génération simultanément indiqués,

59a vu* ET DERNIER C4H1ER. - CORRESPONDANCE,

sinon explicitement fournis par l'cquation du lieu, en vertu des lois, ici tout implîdites, de permutation ou de combinaison des signes des racines et éléments géométriques susceptibles de varier avec la position môme de Tordonnée prise pour transversale de la courbe.

Cet isolement naturel du point type ou descripteur d'un lieu, soit d'une courbe simple et continue, par rapport à ceux qui appartiennent à d'autres régions de cette courbe plane ou gauche, est même l'un des caractères les plus frappants des résultats obtenus par les procédés de la Géométrie descriptive ou de l'observation directe des mouvements relatifs, toujours rapportés à quelque repère suppose fixe; simplicité qui ne saurait se présenter que dans des circonstances extrêmement rares de l'Analyse fonctfonnelle ou algébrique.

Notes complémentaires relatives au symbole d^ imaginante y-— i et à la

continuité en général.

Je réunis ici, sous un même titre, les résumés analytiques de deux écrits fort anciens, déjà rappelés à diverses occasions, et dont le premier concerne plus particulièrement la Géométrie do situation.

1. Les signes — i et /— i , considérés isolément et abstraction faite de leurs attributs implicites ou explicites, ont une origine purement algébrique, conventionnelle et analogique ; ils ne s'auraient dériver à priori d'aucune considération purement géométrique. Cela résulte des Notes du \W Cahier de ce volume, où je prouve que les relations à deux termes de la Géométrie rationnelle no comportant explicitement aucun signe de position, il est impossible d'admettre les interprétations graphiques proposées; à diverses époques, pour ces signes, notamment: que le symbole

/— I est le signe algorithmique de perpcndicularité ; en un mot, comme je l'ai dit, ces interprétations ne doivent Mro considérées que comme le résultat d'analogies trompeuses, quoique séduisantes, relatives à l'expression analytique dos cordes ou doubles ordonnées imaginaires des coniques. Or je crois avoir évité toute confusion ou difficulté de cette espèce, en substituant (p. f 41 et 367) à ces considérations analytiques celles des cordes ou doubles ordonnées sans signe algébrique, par conséquent toujours réelles et de mêmes directions que les précédentes, dans les a)/?/^//^?^ 5///?plémentaires conjuguées à la section conique proposée ; à peu près comme, dans l'équation analytique Ay — ^^x^= — A'B' de l'hyperbole, B est nommé lo demi petit axe de la courbe, sans qu*on prétende aucunement construire les grandeurs imaginaires d'une manière géométrique ou absolue, comme cela a été proposé dans le t. IV (i8i3 et 1814) des anciennes Annales de Mathématiques (p. 61, i33 et aaa) , par MM. Français et Argand, dont les théories, du moins celles de ce dernier savant, déjà connues de Legendre, ont été l'objet d'observations approbatives de la part de M. Gergonne, négatives de celle de M. Servois (p. aaS), et finalement suivies d'une revendication de priorité par Lacroix, en faveur de M. Buée, qui le premier, en 1806, dans les Mémoires de la Société Royale

(1c LondreSy aurait prétendu que \^— 1 est un signe de [)orpendicuIiirité géométrique et effective (*).

Je ne parlerai iri que du contenu d'une Note manuscrite que, en 1816. j'ai soumise à M. Français lui-même, mon ancien et honorable professeur à rÉcole d'application de Metz, qui, instruit de mes éludes sur la loi des signes et les imaginaires au point de vue géométrique, m'avait franchement encouragé à aflresser lo contenu de celte Note au rédacteur des Annales de Montpellier; ce que je me gardai bien de faire à cause des critiques, d'ailleurs réservées et respectueuses, qu'elle renfermait sur la doctrine en question, critiques qui s'accordaient au fond avec celles de M. Servois et dont l'étendue, la contexture et le caractère do rélros|H*ctivité me dispensent de les rapporter ici. Je me contenterai donc de rappeler que dans cette longue Note commençant par ces mots :

« Dans toute recherche mathématiqiu', on est iriconlestablenient en » droit de poser des définitions ncjuvelles. quelque étraFiges qu'elles puis- 1 sent d'ailleurs paraître, ijuehpie contmires qu'elles soient aux notions » généralement uiimises. Mais alors on a pris di» tuiiic nécessité Tengage- '> ment de raisonner juste sans scu-lir des déliiii lions pi^îmières, et sans se » permettre des pétitions de princijxs (jui, admises comme vraies en n général, sont op[)osées à ces mêmes délinitions. »

Dans cette Noto, dis-je, j'insistais i)rincipalenient sur l'argumentation de M. Français, qui, imaginant dans un nième plan et autour d'un point fixe ou pôle, des droites ou longueurs r/, />, r...., diversement (liri*;êes et formant avec un axe fixe passant par ce pùle, des anghs respectifs a, fc, 7,..., prenait, \\o\\t représenter ces dislances en grandeur et en direction, les expressions symboliques a y 6-, «'. et admettait à priori «pie les

angles a, ^, 7,..., croissaient exactement en proportion ou progression arithmétique, quand les longueui*s a, h, c... suIn aient elles-mêmes la loi des proportions ou progressions géométritpies; ce qui impliijue toute la th(*ori(^ algébrique des fonction» ejcponentiellex et nn}^ulaire.t,^ déjà bieii connue par les anciens travaux do Viête, de O^les, de Moivre. d'Kuler, de Her-

{*) Jusqufî dans ces derniers tem]»s, la même thèse a été diversement soutenue et débattue par un grand nombre d'autres savants franrais ou étrangers, parmi lesquels j'ai déjà eu occasion de citer MM. Vall«»s et Cauchy dans des renvois au bas des p. 197 et î'i'l* *^ l'égard de ces derniers savants, je me suis abstenu de mVriger en juge, non-seulement parce que la question, en soi fort délicate, eilt exigé des développements impossibles dans d'aussi courtes notes, mais encore et surtout parce que les doctrines «!e M. Vallès sur les imaginaires, présentées dès rS'|0 h l'Académie des Sciences, sont devenues de sa part, dans la séance du '.'B juillet iS/j-;, l'objet d'une réclamation envers MM. (Cauchy et Poinsot, publiée peu ai»rèK dans une Revue mensuelle intitulée : la Pha/auffe^pl dont la contexture algorithmique, en dehors de mes études de pure Géométrie, ne me permettrait nullement de me constituer l'arbitre.