TC

gés, en trois autres points H,R',Q, et l'on aura cette nouvelle relation métrique

aK,aW .cq'\cQ.bp' .hp'' z=ap' .ap\hqr bQ.cR.cR',

Multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

(i) ap,bq,bq\{cr),al{.aW .tQ = bp.cq.cq' .{ar).cR.cK' ,bQ,

Stipposons, en premier lieu, que la transversale abp'' devienne tangente à la courbe donnée, c'est-à-dire que les points p' et p^ se réunissent en un seul : la conique deviendra elle-même tangente à la courbe en ce point, ella relation cide«isus ne renfermant ni p^ ni //, subsistera toujours et donnera

par là loul ce qui peut concerner le système de la courbe proposée et de la conique tangente.

Nous ne nous arrêterons pas à rechercher les propriétés qui résultent de cet état particulier du système, et nous passerons tout de suite au contact du second ordre.

Supposons donc, en second lieu, que la transversale bc se meuve en se rapprochant du point de contact ci-dessus représenté par ip' p")y le point q" se rapprochera pareillement de ce point et se confondra avec lui en même temps que le sommet b du triangle transversal abc (fig. 55). Mais alors, en appelant b le point de contact, la relation ci-dessus, conservant la même forme et demeurant toujours applicable, servira à décrire la section conique qui a au point b trois points réunis en un seul commun avec la proposée; c'est-à-dire que la conique sera osculatrice à cette même courbe en ce point devenu le sommet du triangle abc^ et de plus elle passera par deux points R, R' donnes à volonté sur le plan de cette courbe.

Tracé de V osculatrice à VaiJe du calcul (*),-^ — On trouvera, par la règle seule (fig* 55), la tangente au point b de la courbe proposée, ce qui donnera le point /); on tracera la droite indéfinie RR' qui coupera la courbe proposée aux points r, /, r" dès lors connus; enfin, par le point 6 on mènera une transversale arbitraire Ac, et Ton obtiendra les points q et q'. Tout ce qui entre dans la relation (i) sera donc entièrement connu, sauf les segments &Q et cQ, relatifs au point Q oii la transversale arbitraire cb, rencontre la section conique. Cette relation

[*) Ce titre de subdivision s'adresse aux ingénieurs divers qui ont besoin de tracer à Féchelle, des courbes et des figures quelconques de grandes dimensions soit sur le terrain, soit sur des épures ou patrons pré* parés à cet effet et pour lesquels les ressources graphiques manquent absolument. Officier du génie, je ne pouvais pas dédaigner Tutilité de l'application du calcul aux arts, beaucoup trop négligée de nos jours dans les Écoles d'enseignement préparatoire. Écrivant à la hâte ces notes manuscrites en vue du Traité des Propriétés projectives, j'ai dû n'en pas oublier le but essentiel, inspiré par les remarquables travaux dos Lambert, des Mascheroni, des Servois, des Brianchon, des Prony, etc. Peut-être, cette tendance de met* idées géométriques a-t-elle pu me nuire, plus tard, dans l'esprit des savants de profession trop exclusifs?

pourra donc servir à déterminer le point Q, puisque d'ailleurs

On déduira facilement de Téquation (i) le rapport de cQ à ftQ

Fig. Ô5.

par les tables de logarithmes, puis appelant /r le nombre correspondant, on posera

cQ = k.bQ = bc — bQ, d'où bQ = J^.

Ainsi, rien n'est plus facile que de déterminer par points l'osculatrice à l'aide du calcul. Maintenant occupons-nous de la recherche d'une construction graphique qui n'exige que l'emploi de la règle ou d'alignements sur le terrain, etc.

On y parviendra sans peine en se rappelant le procédé employé ci-dessus pour trouver la tangente en un point donné de. la courbe.

'Hncé pui-ement linéaire. — Qu'on décrive en efïet les trois

90 II* CAHIER. - MÉTHODE DES TKANSVEllSALES

sécantes r"q'K, /•'K' q, prÇy, et qu'on les prolonge jusqu'à leur nouvelle rencontre avec les côtés respeciifs du triangle abc, elles donneront respectivement, en les considérant comme des transversales par rapport à ce triangle :

1° (r"g'K) cq\ar".bYL = hq'.cr".aK, 2° (/?/Q') bp.ar.cQ' = ap.cr bQ\

3" (K'r'q) cq.ar' bK' = bq.cr'.aK'.

On a d'ailleurs la relation ( i ) ci-dessus, c'est-à-dire :

ap,bq. bq' . (t-r) . aW.aW , cQ =z bp.cq. cq' . [ar) .cW.cW ,hQ.

Multipliant ces quatre équations membre à membre, et elTaçani les termes qui se détruisent, il viendra

bK.bK'^cQ.cQ'xa[{.aK' = aK,aK'xbQ,bQ'XcK.cW,

relation qui prouve que les six points K, K', Q, Q', R, R', situés deux à deux sur les cotés du triangle abc, doivent appartenir à une seule et même conique. Or, cinq de ces points sont connus et donnés par la construction précédente, et il n*} a que le point Q qui ne le soit pas; mais comme il doit se trouver sur une droite donnée hq'c passant par Tun Q' des cinq points appartenant à la seclion conique dont il s'agit, on le déduira sans peine, au moyen de l'hexagone de Pascal et avec la règle seule, des cinq autres points déjà obtenus.

Si la courbe donnée, au lieu d'être du 3* degré, était d'un degré plus élevé, on ramènerait par le même procédé, et en ayant égard à ce qui a été dit précédemment, la recherche du point inconnu Q à celle du point d'intersection d'une section <onique donnée par cinq points quelconques, avec une droite donnée également quelconque, passant par l'un de ces cinq points. Je pense, d'ailleurs, (|ue, après tout ce qui a été dit (p. 86) du procédé pour mener une tangente en un point (|uelconque d'une courbe géométrique, H devient inutile d'examiner en détail les deux cas distincts où la courbe proposée est de degré pair ou impair.

Remarque /. — - Dans le problème qui précède, au lieu de tracer la conique osculatriro par points à l'aide du procédé

d'abord indiqué, on pourra se Borner à rechercher un seul de ses points; on tracera ensuite celte conique par les méthodes connues (t. I, p. 1 38 et i5o), puisque deux autres points R, R' de cette courbe, la tangente hp et son point de contact sont donnés.

On pourra d'ailleurs, en décrivant un seul cercle tangent en b, trouver par nos procédés (*), le centre, les axes, etc., de Tosculatrice avec la règle seule, et ainsi le problème sera complètement résolu.

Remarque IL — Lorsque les points Ret R' de Tosculalrice passent à rinfmi, la courbe devient une hyperbole ou une parabole selon les cas; enfin les mêmes points R et R' pourront être pris sur la courbe proposée sans que les constructions en éprouvent de modifications essentielles.

Remarque III, — Si la conicjue osculatrice, au lieu de passer par deux points donnés sur le plan de la courbe, devait être simplement une circonférence de cercle, les deux points deviendraient superflus, car le cercle osculateur est entièrement déterminé par son point de contact; mais la construction qui vient de nous occuper cesserait d*ctre applicable, et il conviendrait d'avoir recours pour ce cas particulier à un procédé direct, par exemple à celui indiqué ci-après.

On peut cependant suivre une marche tout à fait simple en observant que, lorsque deux courbes sont osculatrices entre elles, elles ont nécessairement au point de tangence, même cercle osculateur, car il résulte de là qu'on pourrait déterminer comme ci-dessus, une conique quelconque osculatrice de la proposée, et tracer ensuite le cercle osculateur de cette conique ; ce qui s'exécutera facilement et avec la règle seule (Rem. /), en se servant d'un cercle auxiliaire quelconque tangent en b h bp {Jig, 55).

(*) roir Tart. II, p. 262 et suiv. du précédent volume où se trouvent exposées les propriétés générales du sy>time de deux coniques par rapport au point de concours des tangentes communes^ véritable ventre <lv prtyjection mutuelle des deux courbes, nommé centre c/'/iorno/ogie dans le Traité des Propriétés pmjectivcs : les nombreuses conséquences de ces propriétés faisaient partie d'un ('.allier manuscrit, cpie j'ai dû 8up[)rimer dans cette publication.

iji \V CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Remarque IF. — Sans soriir des considérations qui précèdent, on peut démontrer aisément et à posteriori, que la conique osculalrice et la courbe proposée ont même cercle osculateur en leur point de contact.

En effet, représentons par p la corde interceptée par la secante arbitraire qbq' dans le cercle osculateur en 6 à Ijt. courbe géométrique proposée, et par p' celle qu'intercepte sur la même droite, le cercle osculateur de la conique osculatricc qui passe par les points R et R'.

On aura, pour déterminer p ( p. 68), la relati'on

ap.bq. bq' .{cr).ab = bp.cb. cq . cq^ . ( ar) . p.

Mais on a aussi, pour déterminer le point Q de Tosculalrice, l'équation ( i ) ci-dessus,

bp.cq.cq' .{ar)(cK).bQ = ap.bq.bq' . (cT)(aR).cQ.

Multipliant ces équations membre à membre et par ordre, il viendra Onalement,

'âbUc^)bQ = bc.(aK).cQ.p.

Maintenant on aurait évidemment aussi, pour déterminer le p' correspondant au cercle osculateur de la conique, celte seconde relation semblable à la précédente

'âb\{ci{).bQ = bc.{aR).cQ.p\

donc p'=p'; et, comme il en serait de même de toute autre sécante, il est visible que les points des deux cercles osculaleurs se confondent deux à deux. Ainsi, comme il s'agissait de le démontrer, le cercle osculateur est le même pour la courbe et pour la conique osculalrice.

Cas des simples coniques. — Examinons en particulier le cas où la courbe à laquelle il s'agit de mener une osculalrice du second ordre, est elle-même une conique quelconque : on a alors, [)our déterminer le point Q,

(ij vq.[(u)(c\\).bi} = bq.{ir)[n^),c(i.

Pour déduire de celle équalion une solulion graphique,

Iracez qr' {Jig. 56), qui coupera la langenie ba en K, puis KR',

Fig. 56.

qui coupera hq en m, enfin mr qui coupera ab en X; en con sidéranl chacune de ces droiles comme iransversale du triangle abc, on aura

pour qr'K pour KR'm pour mr\

bq.cr\aK = cq.ar' ,bKj

mc.aW .bK = mb.cW .aK,

mh,cr.a\ = mc,ar,b\.

Mulliplianl ces équations par ordre et par Téqualion (i) ridessus, il vienl immédiatemenl

cR.6Q.rtX = rtR.c'Q.^X,

nouvelle équalion qui apprend que les trois points R, Xet Q doivenl être en ligne nlroile; mais le point R esl donné et le poinl X esl déterminé par la construction qui précède; donc le point Q esl aussi connu.

Remarque I. — Si Tun des points donnés, R, par exemple, se irouvail sur la courbe à laquelle on veut mener Tosculairice, la construciion deviendrait encore plus simple, car alors le poinl Q serait le point m lui-même, et il suffirait de tracer bq, qr' et KR'. Ainsi, dans le mouvement de la figure gKwXQ et pour le cas général qui précède, le poinl m décrit aussi une osculalrice en 6, passant par R' et r.

Remarque I!, — Supposez qu'on trace bW jusqu'à sa reii-

contre en p avec la conique donnée et qu*on mène pq^ je dis que cette droite ira rencontrer mR' en un point de br. En effet, la figure brr'qpb forme un pentagone inscrit à la conique donnée et ab est la tangente en Tun b de ses sommets; en regardant donc cette tangente comme un sixième côté nul, et se rappelant que les côtés opposés doivent se couper en trois points situés en ligne droite, on en conclura sans peine la proposition énoncée.

De cette remarque on peut aisément conclure aussi que, si Ton trace la corde QR' correspondant à qp, ces deux droites se rencontreront en un point a qui demeurera sans cesse sur une troisième passant par 6, corde commune à la conique cherchée et. à la conique donnée, conformément aux considérations générales ci-ijessus rapportées. Mais nous n'insisterons pas davantage sur ce ras particulier, et nous allons passer à Texamen des contacts du 3* ordre.

Problème 11. — En un point donné b {Jlg. 5'] ) dune courbe géométrique quelconque, mener une conique osculatrice du 3* ordre, passant en outre par un autre point donné R.

Supposons que, dans le problème qui nous a précédemment occupé {,fig. 55) et où il s'agissait de trouver Tosculatrice

en 6, passant par R et R', le point donné R' soit précisément un des points de la courbe* géométrique proposée, et qu'il se confonde par conséquent avec l'un des points r, r', r".

avec r" par exemple: réqualion (i) qui serl à déterminer le point Q deviendra alors, puisque ai" = «H', cr" = clV,

ap.bq.hq'.cr cr' .aK cQ = bp,cq.cq\av.ar' .c\\,hQ,

Pour déterminer graphiquenient le point Q au moyen de reite équation, soit menée par les points R et Q la corde UQ qui rencontre en K le troisième côté ab du trianf;le abc; en la considérant comme transversale par rapport à ce triangle, on aura

multipliant ces deux équations par ordre, il viendra

ap,aK. bq . bq' . cr,cr' = bp,b K . cq . cq' . at\ ar' ,

relation qui apprend que les six points g, q\ r, r', /? et K sont sittiés sur une seule et même seclion conicjue. Or, parmi ces six points, un seul K est inconnu; de plus, ce point est situé sur une droite donnée ba passant par Tun y? des cinq aulres: donc on obtiendra ce point par la règle seule, au moyen de l'hexagramme mystique de Pascal. Traçant ensuite RU, celte droite coupera bq'c au point Q qui appartient à la conique osculatrice cherchée.

Nous avons supposé ici que la courbe donnée fût du 3*^ degré, mais, en se rappelant ce qui a été exposé (p. 86) dans la recherche de la tangente en un point donné d'une courbe géométrique, on voit sans peine comment il faudrait agir si le degré de celte courbe était plus élevé; car, en traçant toujours RQ, on obtiendrait en général 3 (m — i) points situés m — i à m — I sur chacun des côtés du triangle abc, et appartenant à une courbe d'un degré moindre d'une unité que celui de la proposée supposée du degré m: parmi ces 3 (m — 1) points, il y en aurait 3 (m — i) — 1 de connus et un seul K d'inconnu. On parviendrait donc sans peine, par nos procédés (p. 78 et suiv.), à assigner six points, dont K ferait partie, situés deux à deux sur les côtés du triangle abc et devant tous être placés sur une môme section conique; ce qui ramènerait le problème à celui qui précède.

Cas où la courbe donnve est une conique. — Avant de

passer aux conséquences générales, examinons le cas parliculier où la courbe donnée esl elle-même du second degré. Alors (Jig. 58), la dernière des relations ci-dessus devient

aK.bq.cr=^ bK.ctj.ar;

ce qui indique que les trois points K, q, r, doivent être en ligne droite. Or nous sommes déjà parvenus à ce résultat par

Fig. 58.

la méthode des pages 76 à 77, et nous savons d'ailleurs que le théorème de cet endroit conduit immédiatement aux propriétés connues du système de deux coniques qui ont un contact du 2* ordre. D'autre part, en supposant que R' se confonde avec le point fr, il donne immédiatement la conique osculatrice du 3* ordre en ce point, qui contient R.

Passons maintenant au contact du 3' ordre relatif aux courbes de degré quelconque et qui est une conséquence bien simple de ce qui précède.

Cas général. — Nous avons vu (yîg-. 57, p. 94) que les six points Çy q\ r, r', /? et K devaient, dans le cas d'une courbe du 3* degré, être situés sur une seule et même ligne du 2' degré afm que la conique QR6 fûi osculatrice du second ordre à la courbe donnée, et eût le point r" ou R' en commun avec elle.

Supposons actuellement que la sécante ac (même figure) se rapproche sans cesse du point b en tournant autour du point donné R, les six points ci-dessus devront toujours appartenir à une même conique, pour qu'à son tour le point Q appartienne à la conique osculatrice en b. Si donc on suppose que la sécante dont il s'agit passe enfm par le point 6, le point R' ou r" s'étant réuni au point b, la courbe sera devenue osculatrice du 3* ordre avec la première; or les cinq points 5, q\ r, r' et p conservant leur existence géométrique, en recherchant le sixième point K d'après la condition qu'il soit avec eux, sur une même conique, on en déduira (Jig, 5g) le point Q qui appartient à la section conique osculatrice du 3« ordre au point b avec la première.

Cette conséquence résulte immédiatement de la loi de continuité; car> puisque la construction de 0 subsiste, elle doit

toujours donner des points qui appartiennent à une conique passant par R et par R', désormais confondu avec 6, tout en conservant un contact du a* ordre au même point b avec la proposée, c'est-à-dire qu'elle doit avoir quatre points réunis en un seul en 6.

Solution définitive, — Les six points g, g', /•, /•', p et K, étant, dans le cas actuel ^fig^ ^9), situés deux à deux sur trois droites qui passent par le même point, il est aisé de construire l'un II. 7

quelconque K d'entre eux au moyen des cinq autres, sans même recourir à Thexagramme de Pascal.

En effet, soient (Jig. 60) q, r, p, q\ r', k, six points quelconques d'une section conique, placés deux à deux sur trois droites qq'^ rr\ pk passant par un même point b. Achevons le quadrilatère inscrit q'rqr' dont rr' et qq' sont les diago-

Fig. 60.

nates; les côtés opposés concourront respectivement en deux points L et P situés sur la polaire PL du point b; or il en serait de même du quadrilatère pqkq' si Ton connaissait le point k; donc si Ton détermine le point N où le côté connu pq de ce quadrilatère rencontre la polaire PL, et qu'on joigne le point N ainsi trouvé au point q' par la droite Nç', celle-ci coupera la direction de la diagonale />6 au sixième pointa demandé : ainsi la recherche de ce point n'exigera seulement que le tracé de sept lignes droites.

Remarque. — D'après la remarque déjà faite plus haut, la solution précédente s'étend à toutes les courbes géométriques possibles, décrites sur un plan : pour éviter les erreurs, il convient de s'occuper d'abord des constructions à effectuer dans le cas {Jig. 54, p. 87, et 55, p. 89) où le point R' n'est pas censé confondu avec b, et où la conique doit être seulement osculatrice du 2* ordre avec la proposée; puis de les appliquer au cas où le point R' est confondu avec 6, et où par conséquent la sécante ac correspondante, passant par ce même point, le triangle abc s'évanouit: car toutes ces constructions

APPUQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. 99

resteront applicables sans aucune modification au tracé de Tosculatrice du 3* ordre.

La solution qui précède peut nous conduire encore à celle de cette autre question d'un ordre plus élevé, mais dépendant toujours de la géométrie de la règle :

Problème III. — En un point donné h (Jig. 61 ) d'une courbe géométrique quelconque, mener la conique osculatrice du 4* ordre en ce point.

Supposons, dans le problème ci-dessus, que le point R, donné à priori, soit, précisément sur la courbe proposée et se confonde par conséquent avec le point correspondant r' de cette courbe; la construction par laquelle on obtenait à vo-

Fi(». 61.

lonté un point Q de l'osculatrice du 3* ordre en b passant par R subsistera toujours sans aucune modification; mais, si Ton veut, en outre, que ce point donné R se confonde avec 6, et que par conséquent la conique cherchée y devienne osculatrice du 4" ordre, cette même construction deviendra complètement illusoire. C'est pourquoi il est nécessaire de recourir à une autre méthode j)Our parvenir à la solution du problème dont il s'agit, et qui semble difficile pQpr les courbes géométriques d'un degré supérieur au 3".

Supposons que, dans les hypothèses du cas général [Jig, Sg) où R n'est pas confondu avec 6, on veuille déterminer les positions du point Q pour lesquelles il se confond avec son

loo 11* CAHIER. ~ MÉTHODE DES TRANSVERSALES

corrospondanl q\ ce qui revient à rechercher les autres points 011 Tosculatrice coupe la courbe proposée, et exige que les trois pointsK, R et g' soient en ligne droite. Or nous savons (p. 78 et suiv,) que les six points ç, r, /;, </', R et K doivent, en général, appartenir à une même section conique; donc les trois points </, r, p doivent aussi être en ligne droite*

Si la courbe était par exemple du 4*" degré, il y aurait trois nouveaux points, en sus des six qu4 précèdent, situés avec les premiers sur les droites hq^ br, bp ; et, par les mêmes raisons, les trois points K, R, q' devant toujours être en ligne droite, les six derniers seraient sur une conique: des circonstances analogues auraient lieu pour les courbes de degré supérieur au 4*« Mais, sauf le cas des courbes du 3* degré, la question de trouver une transversale qbq' (Jtg- 61) qui remplisse les conditions exigées est très-diflicile à résoudre, et on s'en rend compte en observant que le nombre des positions cherchées du point Q ou q' est nécessairement, et en général, 2 m — 5 pour une courbe du degré m. En conséquence nous ne nous occuperons d'abord que des courbes du 3* degré.

Cas (les courbes du 3* ordre. — Les trois points p^ ç, r (Jîg. 61) doivent alors, comme on l'a vu, être en ligne droite, mais les points r et p sont donnés par les conditions du problème; traçant donc la droite pr, qui coupe de nouveau la courbe au point g, puis la droite qb, celle-ci donnera le point q' demandé, pour lequel K, R, q' sont en ligne droite, et, par suite, Q est confondu avec q'. Quand le point donné R est luimême confondu avec &, la construction subsiste, seulement la direction de pr devient tangente à la courbe.

On peut donc encore, pour les lignes du 3* ordre, déterminer un point de l'osculatrice avec la règle seule. On en obtiendra ensuite autant d'autres que l'on voudra, en faisant attention que la conique osculatrice cherchée doit nécessairement avoir un contact du 3" ordre avec toute autre section conique, ellemême osculatrice de c^t ordre en b avec la courbe proposée; car en traçant celte conique par points avec la règle, on en déduira simultanément ceux de la section conique osculatrice du 4' ordre, dont un point est donné.

Sans passer par ces intermédiaires, on peut ii'ailleurs oon-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÊrUIQUES. loi

siruire Tosculalrico immédiaiemenl, en agissant conune dans la question précédente et prenant le point d'abord obtenu pour le point ci-dessus R ou r'.

Cas d'une courbe géométrique quelconque. — Si la courbe proposée est du degré m, on pourra encore» construire Tosculatrice du 4* ordre comme on va le montrer.

Soient toujours r'fc/', bpp' {Jig. 6?.) les d(»ux droites données à priori, et qq' celle dont on rechercbe la position; d'après ce qui précède, les trois points q'r'h devant être en ligne droite, ceux />, r, ^,. . ., //, /", q", . . en nombre 3{ni — 2)»

rV.^

devront être à une courbe de degré /// — ^. Celle condition suffit pour déterminer la position de bq^ : supposez, en effel, qu*on trace une droite arbitraire bqq'\ elle ira couper la courbe en m — 1, points dlslinrts de b, dont on cboisira m — 3 à volonté; on regardera ces m — 3 points comme faisant partie de la courbe du degré m — l\ ci-dessus, avec les 2 (m — 2) autres points donnés sur les droites fixes bp et br; on aura ainsi 3(m — 2) — i = 3m — 7 points de la même courbe, et on en déduira par la règle seule (p. 78 et suiv.),le 3 (m — 2)'*'"'. Supposant donc qu'on exécute pourcbaque sécante arbitraire hq la même construction, la suite des points ainsi obtenus formera une Ugne continue, et les points où elle ira rencontrer la proposée seront tels, qu'en joignant le point b k Tun d'eux par une droite, elle remplira les conditions du problème; c'esl-àdirc que chacun des points où elle coupera la courbe donnée appartiendra à Tosculatrice demandée.

loa !!• CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Nous n*en dirons pas davantage sur cette solution à cause de son extrême complication; je crois néanmoins/ malgré les apparences contraires, qu'il doit exister, pour ce cas général de Tosculatrice conique du 4* ordre, une construction non moins simple que celle indiquée ci-dessus pour les osculations d'ordres inférieurs, et qui n'exige également que l'emploi de constructions purement linéaires (*).

APPLICATION DIRECTE DES MÊMES PROCÉDÉS d'ÉLIMINATION ET DE