II. .H

594 Vn-^ KT DEKMER CAHIEU. - CORRESPONDANCE,

noulli, etc., relatifs à la diviaioii géométrique du cenid et à la résolution des équatioiiS à doux termes, qui se déduisent, en effet, des propriétés des fonctions e*^ cosx et sina: développées par divers moyens en séries indéfinies, dont le princii>id et plus remarquable caractère consiste à demeurer convergentes pour toutt»s les valeurs de la variable, et constamment équivalentes à la fonction d*où ces séries émanent. !.a doctrine de M. Français, qui conduit (65) aux prétendues identifia

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dont la dernière serait le signe de mrrélation des lignes dirigées, cette doctrine ne constitue qu'un rapprochement fort ingénieux, mais non rigoureusement justifié. C'est ce que je j)rouve de point en point, en observant que les définitions, les équations symboliques qui concernent les lignes dirigées, pèchent toutes contre la règle de rhomogcnéité; les raisonnements, les conséquences ou soi-disant corollaires, sous des api>arences logiques et séduisantes, reiK)sant sur de véritables pétitions de principes et des hypothèses contradictoires, sont, sinon radicalement fausse> au point de vue géométrique ou algébrique, du moins illusoires (*). A l'égard de l'équation symbolique

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à laquelle M. Français arrive dans son Mémoire pour exprimer la valeur variable des lignes polaires ou diri^ées^ je montre à la fin de la Note précitée de i8i6, qu'elle revient à supposer que toutes les ordonné<»s Y= asina, perpendiculaires à un axe fixe quelconquo'dans un plan, soient à priori affectées du signe d'imaginarité ^ — i, tandis que les abscisses correspondantes x ~ <7C0sa resteraient réelles; de sorte que l'équation ci-dessus appartiendrait, non à une circonférence de cercle, comme l'auteur le suppose ou sous-entend, mais bien à une spirale logarithmique

( • ) Je \\\x\ voudrais pour preuve, si le temps et l'espace me le permettaient, (|ue les démonstrations symboliqu<>s relatives aux projections des droites pol\- (^onales sur un axe fixe, dont l'idée et les théorèmes, tout clamentaircs, sont dus au yéomèlre Simon Lhuillier (de Genève), et ont servi de point do départ il M. Ar^rand et postérieurement, comme on l'a rappelé dans une note do la p. ?/|.'|, .^ M. Cauchy, qui, par un sin(;ulier entraînement, s'en est aussi M*rvi sous le nom de somme gèomètruiue^ proposé par quelques adeptes nationaux ou étrangers qui s'en sont disputé la découverte et l'application à divers rapprochements et conséquences dans le {jenre analytico-symholique, mais, chose remarquable, toujours dans l'hypothèse des proje-ctions exclusivement orlhof^onalos, vQ. qui limilo l'intorprétatiori, on cola non moins arl»itruir(\ du si^^ne d'inia{;inari(é v — i.

POLÈMIQUK \iV l'IlAiiMKNTS DlVl-KS. :uj5

imaginaire. Or, il serait arrivé à des consnjuence's tout autres F(»lali\(»ment à la cogrbe ou à la valeur du sii^no i de corrélation des angles polaires, s'il eût substitué à priori la considération de rhy[Kîrboleé(iuilattMO à celle du cercle, etc.

11. J'ai iv|»été à ditrcrentos (K'cusidiis i]iu> la ruiitiiiuite cuiistiliiail un a.iioinr^ un fait primordial indîsculablc, sur I<Miuel ropoïiaient, au moins impliritomcul, la plupart dos voritos i;éonu;tri(|ues. C'i'sl vv. que 'y. nu; proposa d'examiner ici d'une manière un pou plus-approfondie, d'après deux très-aueiennes \oles ou r«*dartioni>, prinripaleinenl écriles en vue <!«' rèponilre à <l«'s ol)jec(ions stériles et Irup souvent pedantes(|Ues, sinon d'élucider parfaitement les notions infinitésimales sur lesquelles s'a|>puyai(;nl nu's Leeiwis «le Meeanitpie tle iS.».') à iS;{."» a .Met*, <'t de iS.iS à iS'iS a la Faculté îles Sciene»^ de Pari^; notions «ju'il me serait imjtossilde <le publier avec les developpirments ilivers que comportent ces mêmes écrits, et faute desquels beaucoup de pas.naj^es trop écourtes du tcvte ri -dessous, pourront sembler obscurs ou <le véritables répétitions par rapport au contenu des précédents Articles.

Quel (pie soit le dei^ré de rapprochemen! d<'s substitutions ntnnéri(|ues opérées dans une formule ou écpiation ali:ébri(pie, on peut en opérer de plus rapj)rocliées encore, et, conun(» le dit Pascal dans un passade de ses PrN.srrs, écrit sans doute en vue de c<»rtaines doctrines iidinilésiinales do son é|>oque, fpiebpu^ petite ipn» soit un(» f^ntndrur i^cntnrttiqu(\ on |)eut la conceNoir diviséi^ oti subdivisible à l'inlini. La mémo chose ne saurait se dire dans l'ordre physique : (luolipic la continuité, la diNisibilité indéfinie d(»s corps matériels ait été admise par (pielques philosophes anciens et modernes, ce n'en (îst pas moins une abstraction démentie par les faits, et qu'il faut se j^arder d'introduire en Mécanique a^ec certains j::éomè- Ires, bien que nos pinsiciens et nos chinnstes soient parvenus à diviser tous les corps jus^pi'à tomber dans le monde êtlicn\ ou d'atomes qui. révélés à certains de nos instruments cl de nos sens, send)l(»raient échapper à d'autres et à l'action de la jrravité.. D'après le P. IJoscovich, ces atomes, Forte de points matériels sans dimensions appréciables, (pioique rentres ou sièges de diverses forces^ constiluc'raienl les causes mystérieuses d'action ou de mouvement avec lesquels il prétendait recomposer lous les corps existants et en e\pli(|uer les propriétés physiques diverses {Theoria jihittnnphia' naturatis ^ ï7Ï>^» Dissertatitt de lumim^). jMais, il ne faut ])as l'oublier, ces forces tout à fait inconnues, ces points matériels isolés, ces atomes indivisibles j;rou])és dans un ordre relativement invariable, ce milieu ou lUiide élhéré émineimiient éhtsti(pu', continu ou discontinu, ne sont, en dehors «le certaines manifestiitions de mouvements et de foH'es bien constatés, que de pures conceptions de l'esprit, de pures hypothèses plus ou moins conformes à la natuie des choses, et propres sr'ulemeut à fournir à posteriori, îivec ou sans calcul alg«^-

590 Vil- KT DERMEK CAHIER. - CORRESPONDANCE,

brique, l^expliration matliémalique de certains faits ou phénomènes physi(iues, mais dont quelques hommes de génie, tels que Archimède, Copernic, Kéf»h»r, Galilée, Torricelli, Pascal, Iluygejis, Newton, Daniel Bernoulli,ClairauU, Borda, Coulomb, Malus, Fourier, Fresnel, Ampère, etc., tout à la fois géomètros et physiciens, ont eu seuls le privilège de découvrir les véritables lois.

Le passade dos fij^ures polygonales aux courbes dont il a déjà été parlé ailleurs, suppose que, en vertu de la continuité, les élément* droits ou courbi^s coïncident en s évanouissant à la limite, et ce n'est que par des subterfuges sophistiques qu*on échappe à cette notion, qu'il faut admettre comme un axiome primitif qu'on ne saurait prouver logiijuement ; car nous ne savons que d'une manière intuitive, il faut bien le redire, mais non par définition con\enue et indiscutable, ce que c'est qu*un arc, un secteur, une tangente de ligne courbe, dont en effet la lon^ueur^ Vetire et Vinclinaison ne peuvent se concevoir à priori que par leur comparaison avec les dimensions, les. mesures correspondantes relatives à la sécante ou à la sous-iendante de l'arc ; c'est-à-dire, en général, à la ligne droite, au triangle et aux angles, eux-mêmes impossibles à définir autrement que par le tracé et l'intuition géométriques.

D'ailleurs, l'esprit ne conçoit pas nettement et à priori comment une grandeur nulle ou évanouissante, nommée infimmcnt petite, puisse conserver des propriétés, une existence distincte et individuelle au moment même où elle s'anéantit, ni comment une somme d'arcs ou de secteurs, s'ils étaient rigoureusement nuls à la limite, puisse néanmoins conserver ou obtenir une valeur iinie et susceptible de mesure exacte. Mais on doit considérée, d'une part, qu'un tout continu est rigoureusement égal à la somme des parties dans lesquelles on le suppose subdivisé, qu'il soit d'ailleurs rectiligne, curviligne, plan ou solide ; d'une autre, qu'il ne s'agit en réalité q^ie des rapports numériques de l'arc, du secteur curviligne, etc., de mesure inconnue, avec la corde ou le secteur triangulaire correspondant, etc., censés donnés ou déterminables à [)riori; rapports qui, à premièro vue et intuitivement, convergent vers l'urtîté abstraite, soit individuellement, soit dans les sonunos respectivement équivalentes à l'arc et au secteur entier, etc. De là aussi la justification à priori des notions relatives à la courbe polygone ou limite, que les démonstrations à la manière des Anciens ne sauraient rendre plus logiques ni plus rigoureu>es dans leurs conséquences, puisque celles-ci reposent elles-mêmes, au moins implicitement, sur la notion de la continuité ou de l'infini adroitement dissimulée, à moins qu'on n'admette à [)riori et franchement certains lemmes bien connus : par exemple, que toute Uf^ne enveloppante est plus longue tptr hi li^ne enveloppée.... Ces lennnes^ s'ils étaient admis comme njcinmes (4s<ms réticence, réduiraient considérablement les difficultés et l'étendue de l'enr^iîigFiement élémentaire, dauUmt plus que des auteurs modernes ont vainement et abusivement cherché à les démontrer par des raison-

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. 5gy

nements sophistiques bien plus propres à fausser Tesprit des élèves qu'à l'éclairer et à le convaincre.

En général, dans le passage de la ligne droite aux courbes, on suppose, quoi qu'on fasse, que les éléments de ces courbes et ce qui on dépend ^e succèdent sans intervalle fini, non-seulement en ce ^ens que leurs i;randeurs effectives parviennent à la limite de jKîlitesse, mais aussi que leurs directions (missent par se confondre avec celles des cordes correspondantes; c'est là un genre d'hypothèse tacite ou déguisée, à laquelle nul géomètre n'a pu jus(ju'ici se soustraire, pas même Format, Desrartcs, Huygens, Newton, sévères et rigoureux à la manière dos Anciens, mais que d'autres moins scrupuleux, Crwaiicri, Roberval, Leihnitz osèrent les premiers adopter ouvertement en se servant des noms, souvent mal interprétés, (ïttidivisibles, d'i/irrêffif/its, d'injtfii'ffwnt petits, de diffcrentifUcs, etr, , dont l'usage est aujourd'hui encore repoussé |)ar les esprits (iilficiles, qui en confondent mal à pro|»os la synonymie avec les hypothèses et les doctrines diverses dont elles ont tiré leur origine au xvii* siècle.

Dans l'écrit tout d'abord mentionné et qui {jortiiit pour titre : Notums de Gcnmélrie infînitésinude, j'avais essayé de commenter et d'éclairer les principales de C{}> doctrines, notamment celle d(»s infiniment petits, d'après Newton, Maclaurin, d'Alembert, LiMbnitz même, en m'a[»puyant explicitement sur l'axiome de la continuité et le résultat de la comparaison de deux quantités A et B, de même espèce, homogènes et susceptibles de varier simultanément jusqu'à la limite absolue (zéro) de petitesse, tandis que leur rap{K>rt A : B converge lui-Fnéme vers une limite généralement finie, distincte d'après la loi de continuité, et déterminable à l'aide de di\ers procédés qui, dans la Géométrie inhnitésimale, repo.-ent en délinitive sur la comparaison de triangles reclilignes substitués aux triangles curvilignes correspond;infs, avec lesquels ils se confondent rigoureus<Mnent à la limite, tout en convergeant eux-mêmes à celte limite \ers une forme semblable à celle d'autres triangles bien déterminés; ce (jui conduit à des comparaisons ou identités de rapports, faciles et élémentaires, fondées sur la coïncidence et la similitude des figures.

De là ensuite je déduisais, tcnijours {^èoinétiiqueinoiil et éU'inentaireineiit, la juslitiralion de cette théorie des îii(inis de di\erH ordres, iloiil la considération, si je ne me trompe, est due à L<'il)nil7. , juais sur laijuelle il m'esl impossible d'insister ici, me contentant d'observer que j'<'n dfduisais di><*rses notions do (•eometrie infinitésimale indispensa)>les quand il s'ajjit d<> d<*tnontrer, a>ec une ri|îueup apparente <;t souvent inutile, certains Itmmcs de Mécanique ou de (11nématique rationnelles, qui piuirraient e{;alemf>nt être admis comme autant d'axiomes. Qu'(»n me permette seulement une dernièn» remarque.

Soit li la dilfereiice des «lenx quantités variables iiomo{;ènes A et B, avec la condition R <: A, de sorte qu'on ait constamment

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598 vu* ET DERNIER CAHIER. - CORRESTONDANCE, ETC.

On doit bien se {;ardcr, comme cela se fait quelquefois, de prétendre que si d est supposé infiniment petit vis-à-vis de A 'et B tinis ou infiniment gninds, ou ait rigoureusement A = B et par conséquent </ = o^ même à rextrênie limite de grandeur ou de petitesse de A et h, limite qui peut d'ailleurs ( 111*" Cah.]: être absolue et infranchissable sans changement des signes -+- et — , ou purement relative et franchissable en en changeant; Vnnité vers laquelle le rapport de A à B converge dans le premier cas, ayant tous les caractères d'une limite analogue à celle que prtîsentent les symboles «• et yj-x, (^est ce dont la relation harmonique offre un exemple très-simple, qui se reproduit dans une infinité de circonstances de la théorie des courbes et surfaces, où des distances A et B convergent vers l'infini absolu, tandis que rint<îrvalle d de leurs extrémités reste fini ou donné à priori. Or c'est là, dans la considération des infinis des ilivers ordres, l'une di^s plus grandes difficultés que présente leur application ou interprétation métaphysique à la Géométrie et ii l'Analyse algébrique.

Opendant on peut très-bien observer, sans recourir à des calculs transcendants ou à des hypothèses absurdes et contradictoires, que si le rapport des quantités variables A et B ci-dessus, au lieu de converger vers une quantité finie, converge vers une limite elle-même nulle ou infinie, selon le cas, on tombe inévitablement sur des valeurs infiniment petit(>s ou infiniment grandes par rapport aux i»remières A et B, supposées à priori de cette espèce; c'est- àdirt», en d'autres ternies, sur des injinis d'infinis^ ce qui, en allant de proche en proche d'un ordre quelconque au suivant ou au précèdent, constitue la série entière, ascendante ou descendante, des infinis de divers ordres que, par des considérations géométriques, je démontrais se rapporter à la forme générale A.t"f jc étant simplement relatif au premier ordre; ce dont je présentais divers exemples relatifs à des figures rectilignes, en zigzags y inscrits dans l'angle forme par deux lignes droites ou courbes; cet angle ayant une ouverture finie ou infiniment petite, etc.

Kn terminant cette analyse imparfaite dSin écrit fort étendu, je crois devoir prévenir qu'il n'étjiit nullement destiné à voir le jour, même à propos do mes anciennc<!S leçons de Mécanique; car j'ai toujours été d'avis qu'il est aussi dangereux que superflu de vouloir justifier à priori la notion intuitive des infiniment petits, autrement que par quelques mots d'éclaircissement simples et naturels amenés en de rares occasions; c'est là, en effet, une maxime aussi sage qu'ancienne : dans tout enseignement élémentaire ^ on ne doit jamais courir audevant des difficultés , maxime qui a pour complément dogmatique nécessaire, <elte autre posée par notre illustre d'Alembert : Allez en avant ^ et la foi vous l'icndra.

FIN Dr TOME DEl'XlKHi: £1 UERMEH DES APPLICATIONS.