AN.BL.CM = AL.BM.CN

c'est-à-dire que les 3 points M, N, L sont en ligne droite.

Théorèmes divers. — Soit abc un triangle dont les côtés ab, bcy eu: rencontrent une courbe du 3* ordre aux points respectifs /?, p\ p" ; ^, q\ q*' ; r, /•' et r", . . . , on aura, en con-

sidérant la courbe comme transversale par rapport à ce triangle abcy

(ap) (br ) {cq) = (aq) (bp) (cr).

Si Ton suppose maintenant que les côtés du triangle deviennent tangents à la courbe, c'est-à-dire que les points d'intersection p' eip'\ q' et g", r' et r" se réunissent, respectivement et en un seul, cette équation deviendra

ap.br,cq,ap' 'br' 'cq' =aq.bp.cr. aq' -bp' 'cr' .

Supposant, en outre, que les trois points de contact soient en ligne droite, on aura celte nouvelle relation

ap' . br' . cq' = aq' . bp' . cr'

qui réduira la précédente à celle-ci

ap ,br.cq = aq,bp. cr ;

APPLIQUÉE AUX œUBBES GÉOMÉTRIQUES. 1 1 1

c'esl-a-dire que les trois points d'intersection des tangentes avec la courbe seront aussi en ligne droite (*), et l'on conçoit que la réciproque doit avoir également lieu dans certaines conditions. Cette proposition peut être généralisée ainsi : Les côtés d'un triangle rencontrant une courbe géométrique de Tordre m, chacun en m points, tels qu'en les prenant ^ par 3 et sur des côtés différents, ces points soient rangés sur autant de lignes

Fig. 71.

droites, à l'exception d'un dernier groupe des trois points; ceux-ci serotit par là même aussi en ligne droite; ainsi r'^q'^p'^, r" q" p'\ r*q' p' {fig* 71) étant respectivement en ligne droite, les intersections r, q, p avec la courbe seront aussi sur une même droite.

Dans le cas des lignes du 3" ordre, s'il n'y avait que trois des intersections qui fussent en ligne droite, les six intersections restantes seraient à une section conique, et réciproquement, la section conique pouvant d'ailleurs être remplacée par le système de deux droites.

Du cercle oscillateur en un point donné d'une ligne géomé-

trique plane de degré quelconque,

Pboblème. — Lne courbe géométrique étant donnée sur un plan, déterminer pour un de ses points le rayon de courbure et le cercle osculateur.

(*) Cette élégante proposition est due à Maclaurin, qui l*a démontrée par d'autres procédés dont on prendra une idée un peu plus loin.

Considérons le triangle aftc {Jig. 72) comme transversal par rapport à la courbe donnée, que nous supposerons néanmoins du 3" degré pour plus de facilité dans les tracés et démonstrations; on aura

(ap) {bq) (cr) = {ar) {cq) (bp).

Si Ton fait passer par les 3 points/?', /?" et q' une circonférence de cercle, on aura aussi

bq\bQ = bp'.bp\

Multipliant ces équations en croix il viendra, toutes réductions

faites,

{ap).bq.bq" {cr)=zbp,{ar).{cq).bQ,

Supposons, en premier lieu, que la transversale abp, ou si Ton veut le côté ab du triangle abc, vienne à se déranger de sa position, alors le cercle ^p' p" variera aussi de grandeur en passant toujours par le point fixe q', et la relation ci-dessus aura

encore lieu; si enfin Ton suppose que ce côté vienne à loucher la courbe en p' ou p", alors les deux points p' et p" se confondront et le cercle sera devenu tangent au môme point à la courbe, comme on le voit^g^. 73; appelant P le point de réunion de p' et p", il faudra dans l'équation ci-dessus faire

ap'=:ap" = aV,

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. ii3

En second lieu, si Ton suppose que la iransversale bc (Jig, 72)

se meuve en se rapprochant de pp* ou P, le cercle qui louche

la courbe en ces points et qui passe par le point q'y changera

de grandeur en restant toujours tangent à cette courbe et il

FiR. 73.

arrivera un instant où ç' se confondant avec le point P {Jig. -jS), b s'y confondra à son tour. Dans ce même cas, le cercle tan. gent coïncidera évidemment aussi avec le cercle osculateur en ce point; et, comme Téquation ci-dessus ne cesse pas d'exister, il s'ensuit qu'elle donnera la valeur de la corde PQ que ce dernier cercle intercepte sur la transversale qVc.

Les points 6, p' et q' de la Jig, 72, s'élant ainsi confondus en un seul P de la Jig. 78, on a, pour exprimer cette circonstance, outre les conditions ci-dessus, les relations suivantes

bp = Vp, bq = Vq, bq''=?q', cq'=cP, 6Q = PQ.

Substituant, il viendra

ap.aVWq.^q\(cr)=Pp.PQ.cP.cq.cq\{ar).

Cette relation qui n'est pas projectivc, ne saurait fournir un tracé exécutable avec la règle seule- Si,au lieu de choisir la transversale PQ arbitrairement on la II. 8

ii4 U' CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

prenait perpendiculaire à la langente Vp, l'équation ci-dessus du 1" degré, donnerait évidemment le double du rayon de courbure cherché.

I^ même méthode s'applique d'ailleurs à la recherche du rayon de courbure d'une courbe géométrique quelconque; mais on y peut remplacer les transversales auxiliaires par d'autres moins arbitraires et dépendantes de la courbe elle-même.

Soient tracées [Jig, 78) les transversales prk et r'^q^O qui coupent respectivement les côtés du triangle aVc en /?, /•, k et r'^, q'\ 0, on aura pour ce triangle,

ar . Pp .ck = ap, cr.Pk, ar'' . cg" .PO = Vq\ cr'' .aO.

Multipliant entre elles, par ordre, ces deux équations et la dernière de celles ci-dessus, il viendra

aP!Pç.cr'.P/f.PO = PQ.cP.cg.ar'.cfr.«0.

Supposons actuellement que p ei rse confofident ainsi que

Fip. 74.

q'^ et r", les transversales pr et q"r" deviendront {Jig. 74) les tangentes />/r, ^'0, à la courbe, et Ton aura

aV = Vp, cV = q'V, ar' = pr', cr'=q'r';

par conséquent

Vj}''Vq.q'r\lH'.Vo = VQ.q'V,qq\pr\q'k.pO.

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. ii5

Es^emples relatifs aux lignes du 2« ordre. — Appliquons ce

qui précède à la détermination du rayon de courbure d'une

simple section conique.

En appelant toujours Q {Jig. 75) le point où la transversale

Fig. 75.

cP rencontre le cercle osculaleur au point P de la conique, OD.aura

aP .cr.ct' .Pg = ar.ar\cq.t;V.PQ.

Soit mené par le point a une paraiièio à PQc, rencontrant la <:ourbe en R et R', on aura, comme on sait,

cr.cr' ar.ar'

^cqT^^ a\\,a\\''

et réquation précédente deviendra, en la multipliant par cette dernière relation.

rtR.flU'