PQ
Si
l'on
fait attention
que aW.aW
<*n désignant par ft' et a' les demi-diamètres respectivement parallèles à aP et à aR ou Pg, cette équation deviendra enOn
I Kl II' CAIIIKR. - MÉTHODE DKS TRANSVERSALES
Olbî expression irès-simple, représentera le diamètre du eenrle de courbure (|uand la droite PQ sera tracée perpendiculairement à la tangente en P.
Supposons [fig, 7()) qu(» P</' soit un diamètre de la courbe, on aura pour calcul(*r le point correspondant du cercle oscillateur.
Cette quantité (»st Texpression du paramètre du diamètre en question. Qu'on divise PQ également en Q', et qu'on élève Q' R
Fig. 76.
perpendiculairement au demi-diamètre PC, il rencontrera la normale au centre de courbure U; abaissez la perpendiculaire CK du centre C de la conique sur la normale Pc, les triangles CKP et PQ'R seront semblables et Ton aura
Pa:PQ'::PC ou rt':PK, d'où Ton tire, conformément à un tbéorème du à M. Dupin,
, pQ^__6:i.
s». PK "PK'
expression très-simple dans laquelle PK = Cl est la distance de la tangente en P au centre C. On peut la traduire ainsi :
« Dans toute conique, le ravon de courbure en un point » donné, est une troisième proportionnelle au demi-diamètre » parallèle à la tangente en ce point, et à la distance de cette » tangente au centre de la courbe. »
Remarques, — Au sommet du grand axe, le rayon de cour-
bure étant égal au rapport de 6' à a, demi-paramètre de cet axe, on voit qu'à partir de ce sommet le diamètre h' augmente et la distance PK diminue, en sorte que la fraction ci-dessus, qui représente le rayon de courbure PU, augmente sans cesse, jusqu'au sommet du petit axe; elle décroît ensuite suivant la même loi : les rayons de courbure aux deux sommets sont donc les plus grands et les plus petits possibles (*).
Le cercle osculateur rencontre en général In conique en un second point distinct du point de contact et pour lequel [Jig' 75) PQ = Pç; or on a, en général,
// et a' étant les demi-diamèli*es parallèles à P^ et à la tangente en P; donc on doit avoir «'= b'y ce qui n'a lieu que pour deux droites également inclinées sur les axes principaux de la conique.
DES COl'RBES GÉOMÉTRIQUES DÉFÎMES, A LA MAMÈHK DE MACLAIKIIS, PAR DES ÉQUATIONS ENTRE DEUX SOMMES DE RÉCIPROQUES DE SEGMENTS INTERCEPTÉS SUR UNE TRANSVERSALE ARBITRAIRE.
Transformation algébrique de l'équation fondamentaley à deux termes, entre produits de segments.
En considérant (^g-. 77) une courbe géométri(iue di* degré quelconque m, comme transversale d'un triangle aht\ nous savons, d'après le théorème fondamental de Carnol, que
[ap)[br)[cq) = {bp)[cr] (aq).
(*) M. Mannhoim, dont los rechorchos originales, rolali\es aux rayons de courbure en des points divers des lignes «géométriques, sont aujourd'hui bien appréciées, et quia eu robli«;eancc de relire les manuscrits de ce volume avant leur impression, m'a remis sur ce môme sujet, une Note qu'on trouvera à la fin du présent Cahier, et dont l'élégante simplicité m'a paru mériter 'assez Fattention des lecteurs de cet ouvrage, pour y trouver place au risque de lui faire perdre beaucoup par la comparaison, si Ton venait à oublier la différence des dates et le développement récent des idées géométriques.
ri8 n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES^
Soient tracées les droites rç, r'ç', r** q^ ^ jusqu'à leurs rencontres respectives en h\ //, h'* y avec le côté ah opposé au sommet c, point de concours des droites gg'î'' et rr*r''\ en considérant successivement chacune des premières droites comme transversale à l'égard du triangle ahc^ on aura
transversale r ç, bk ,aq ^cr =^ ak .cq,br^
r' q\ bk* . aq' . cr' z=ah\ cq* . bi*\
r"q\ bh \aa\cr''= ak" . cq'' . br'\
Yi »
Multipliant ces équations par ordre et le produit par la première, on obtiendra la relation plus simple,
(bk){ap) = (ak)(bp),
ce qui constitue une proposition analogue à celle que nous
Fig. 77.
avons trouvée pour le cas du quadrilatère inscrite une conique et coupé par une transversale quelconque (*)•
{*) Ceci se rattache à ce que, dans mes publications postérieures à 18211, j'ai nommé, par extension, involiUhnûc m points, ot dont, comme on voit, jVlais en [possession dès 1816.
APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. 119
Mais on a ici, en posant ab —. d,
ak = bk -{-ab = bk -f- d, ak' = bk' -4- nb = bk' 4- ^/,
a/j = bp -\- ab — bp -j- <-/, ap' = bp' + ab = bp' -f <^/.
Substituant dans Téquation ci-dossus, il viendra
(bp)(bk + d)(bk'-{-(l)(bk''-\-d) = [bk)[bp-{-d)[bp'-^d)(bp''-ird).
Cette équation a lieu et consenc la mémo forme analytique^ quoi <{iie soit le degré de la courbe ; en l'ordonnant par rapport à r/, observant que le terme qui en est indépendant disparaît de lui-môme^ ainsi que celui qui renferme r/\ divisant ensuite par r/, il viendra
d^[^[l[,p)^[bk)'\-ird\{bp)[bk-{-bk'-^bk'')--[bk)\bp + bi)'-^bp'')^ -^{bp) (bk,bk'-^bk.bk''-hbk',bk'') - [bk)[bp,bp'-^bp,bp''+bp' J}p") = o.
Cette équation doit avoir lieu quelle que soit la grandeur de d ou den^. De plus, on doit remarquer que si l'un quelconque des points X-, X', etc., k par exemple, se trouvait situé d'un côlé différent du point b^ origine des segments par rapport aux autres intersections de la transversale, le signe de bk devrait nécessairement changer, en sorte qu'on aurait
ak = d — bk. , ,
Théorème de Maclaurin, — Que d= ab soit nul, ou, si Ton veut, supposons que la droite bcrr',,, tourne autour du pointes
Fig. 78.
jusqu'à ce qu'elle se confonde avec «c, comme le montre la fig. 78, les droites rq, r' q\. - ., deviendront des tangentes à la
courbe, el les distances ah ou bk conservant des grandeurs finies et déterminées, Téquation ci-dessus deviendra
{bp){bk.b1f''\-bk.bk"-^bk'M") = {bk){bp.bp'^bp.bf+bp\bp'%
Dans celle équation (bp) est le produit de tous les segments bp, bp\,,. formés par la courbe, {bk) celui de tous les segments bk, bk\...y formés par les. tangentes, et bk .bk* -\- bk .bk" -\-..., bp.bp^-\- ... est la somme des produits deux à deux de ces mêmes segments. En divisant celte équation par (bp) et par i bk ), elle deviendra
