RÉDUCTION A DBS CAS SPÉCIAUX

Propriétés des lignes planes du troisième degré.

Théorème principal. — Soient p, p', q, q'9 r, r' six points situés à la fois sur une conique et une courbe du 3" ordre ;

Fig. 63.

soient tracées les droites pp', qq\ rr'f dont les rencontres mutuelles forment le triangle transversal abc, qui coupe la courbe aux nouveaux points P, Q, R; je dis que ces trois points doivent appartenir à une ligne droite.

(*) Ceci explique comment, après l'examen du cas particulier des lignes du 3e ordre et de la détermination du rayon de courbure en un point donné des courbes géométriques en général? j'en suis venu à changer de route et à me rapprocher de la méthode de Maclaurin que j'avais ignorée jusque-là (i8i6),[mais en cherchant à généraliser ou simplifier ses solutions, ce à quoi je suis parvenu en transformant une équation à deux termes, relative aux produits de segments et qui se rapporte à l'involution généra- Usée, en fonction de réciproques d'abscisses ou d'autres segments compté» d'une origine fixe, comme on le verra plus loin. .

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. f<>3

En effet, on a pour la conique

{ap) {br) (cq) = (aq) (bp) (cr),

et pour la courbe du 3e degré

[ap)aV(br)bH{cq)cQ = (aq)aQ{bp)b¥{cr)cR,

relations d'où l'on tire immédiatement

aP.6R.cQ = aQ.6P.cR;

ces trois points P, Q, R, doivent donc être en ligne droite. Par conséquent, si les cinq points p, p', q9 q', r, communs à la conique et à la courbe du 3* degré, étaient donnés, le sixième se trouverait facilement (p. 71) par des constructions linéaires.

Supposez que r se déplace sur la courbe du 3e degré, Q et P étant immobiles; R restera fixe aussi, mais r' variera avec la droite rr\ qui tournera par conséquent autour de R comme pôle et décrira la section conique.

Théorème réciproque. — Soit abc (fig. 64) un triangle transversal d'une ligne du 3* ordre ; si trois quelconques des inter-

Ffg. 64.

sections p", q", r", appartenant à des côtés différents du triangle, sont sur une même droite, les six intersections restantes P> 9j r> p'y fl'» r'9 sont sur une conique.

104 n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Donc si Ton fait tourner à volonté les trois transversales abf ac, bc autour des points p", q" et r", les six intersections ne cesseront pas d'appartenir à une conique.

De cette seule remarque découlent une foule de conséquences curieuses et utiles; nous nous bornerons à quelques exemples.

Imaginons (fig. 65) que les trois points/?, q, r se réunissent en un seul p, la conique passant par p' q'r' sera osculatrice

Fig. 65.

du second ordre en pqr; si donc on donnait le point de contact et deux autres points quelconques q' et r' sur la courbe, on obtiendrait aisément le point p' avec la règle, en traçant une transversale arbitraire p" q" ru .

Remarquons d'ailleurs que si cette dernière droite passait par le point où la tangente commune rencontre de nouveau la courbe du 3e degré, r' se confondant dès lors avec le point de contact commun p, la conique deviendrait osculatrice du 3e ordre en ce point avec cette même courbe censée décrite ou convenablement déterminée.

Si Ton veut que la conique, toujours osculatrice du a* ordre en p [fig. 65 ), touche la courbe en un nouveau point p'y il faudra tracer pp\ qui donnera p", puis en p" mener la tangente j/'ç", qui donnera q"; tracer enfin pq", qui donnera un nouveau point q' de l'osculatrice demandée; on construira ensuite facilement la conique avec la règle, seule.

Si la conique osculatrice en p devait l'être en même temps en p1 y il faudrait que q' se réunît avec p1 et q" avec p"\ donc p" devrait être un point d'inflexion.

Dans les courbes du 3e degré, tout point d'inflexion est donc tel, que si par ce point on mène une sécante arbitraire, elle ira couper la courbe en deux autres points par lesquels pas-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. io5

sera une conique doublement osculatrice en ces points à la ligne du 3* degré.

Supposons, dans le cas général, que les quatre points p, q, p', q' de la conique soient donnés, p" et q" seront donnés aussi et par suite r"; si la conique doit toucher la courbe, il faudra que les points r et r'se confondent en un seul ; on obtiendra donc le point de contact en menant de r" une tangente à la courbe autre que celle qui correspond au point r" môme.

Supposons enfin (fig. 66) que d'un point d'inflexion d'une courbe du 3e degré, on mène trois sécantes arbitraires, elles

Fig. m.

donneront sur la courbe six nouveaux points appartenant à une même conique, selon ce qui précède. Ayant donc cinq des points de cette conique, on trouvera le sixième r' avec la règle seule, etc., etc.

En particulier, du point d'inflexion s d'une courbe du 3e degré, menez les sécantes arbitraires sp, sq, $r, les six autres intersections p9 q et r, p'y q' et r1 étant à une simple conique, les droites opposées, qui, dans un ordre quelconque, joignent deux à deux ces six points, telles que, par exemple, qr et q' r', qrf et q'r, etc., iront concourir sur une même ligne droite, et il en sera ainsi encore des couples de tangentes aux extrémités de chaque sécante : on peut appeler cette droite unique la polaire du point d'inflexion s ; or, cette polaire viendra couper la courbe aux trois points de contact des tangentes issues du pôle s.

D'un point d'inflexion, on ne peut donc mener que quatre tangentes à la courbe, y compris celle qui correspond à ce point et qui d'ailleurs compte pour trois réunies en une seule.

io6 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Qu'en un point quelconque T d'une courbe du 3e degré il s'agisse de mener le cercle osculateur à cette courbe, on y choisira, à volonté, trois autres points /»', q'f r en ligne droite, puis on tracera Tp', Tq'9 Tr', qui donneront trois derniers

points p, q, r, appartenant à une conique osculatrice en T, laquelle sera ainsi déterminée, puisque, outre quatre de ses points, l'on aura la tangente en l'un d'eux. On tracera ensuite facilement le cercle osculateur en T au moyen d'un seul cercle auxiliaire tangent en T, et en n'employant que la règle seule, d'après des procédés déjà mentionnés à la page 91, mais sur lesquels nous n'insisterons pas davantage ici.

Au lieu de poursuivre ces questions relatives au tracé du cercle osculateur dans le cas particulier des lignes du 3* degré, et avant de reprendre celles qui concernent les problèmes analogues, relatifs aux coniques et aux cercles osculateurs des courbes en général, revenons aux propositions et aux hypothèses particulières des Jig. 63 et 64.

Supposons, plus particulièrement encore, que trois nouvelles intersections p', q', r' {Jig. 64) soient en ligne droite, de même que p", q", r", les trois dernières p, q, r seront aussi en ligne droite, ce qu'on peut énoncer ainsi en observant (yîg.68) que la figure qq'^^'p^pq forme un hexagone inscrit à la courbe :

Théorème. — « Si l'on inscrit à une ligne du 3° ordre, un » hexagone 1 2 3 45 6 1 , dont deux systèmes de côtés res- » pectivement opposés qFr' et pp", qq' et p"r", se rencon-

d irenl en des points j? et q" situés sur la courbe, les deux

Fig. 68.

» derniers côtés r*r*% pq, ou 3.4 et 1 .6, iront aussi concourir » en un 3e point r de cette courbe (*). » Si Ton suppose maintenant que p se confonde avec q, la

(*) On reconnaît ici, pour les lignes du 3e ordre, le théorème analogue à celui de Yhexagrammum mysticutn (a) découvert par Pascal pour les simples coniques. C'est seulement par le Mémoire de i83o sur Y Analyse des Transversales, déjà cité dans une précédente Note, que les géomètres ont pu avoir une tardive connaissance des résultats ci-dessus et des suivants auxquels j'étais parvenu dès 1816 pour les lignes de cet ordre : quelques-uns des plus simples offrent une grande analogie avec ceux que Maciaurin a consignés dans son célèbre Traité tV Algèbre, sans pourtant s'y confondre ni dériver d'une même source ; car ce n'est qu'après avoir communiqué, dans la môme année, mes propres résultats tirés du théorème de Carnot, à feu Français, de l'École d'application de Metz, possesseur de la riche bibliothèque d'Arbogast, que j'ai pu moi-même prendre connaissance de l'ouvrage, fort rare, publié en 1768 par la veuve de Maciaurin, et dans lequel se trouvent consignées les belles recherches de ce grand géomètre sur les lignes géométriques en général, et plus particulièrement sur les lignes du 3e ordre. La partie la plus intéressante de ces recherches est, sans contredit, celle où l'on voit les propositions relatives aux quadrilatères inscrits, aux pôles et polaires des courbés du second degré, se reproduire dans celles du troisième : à ce point de vue, on peut dire qu'en 1816, on ne connaissait rien de plus original en France, où ces travaux du savant anglais étaient pour ainsi dire complètement ignorés ou oubliés.

Toutefois, je ne pense pas que l'illustre auteur ait jamais songé à rattacher cette singulière analogie ou correspondance aux énoncés généraux établis dans le texte ci -dessus, d'après lesquels une branche ou portion de branche infinie d'une courbe du 3e degré peut être assimilée à une

{«) Cette expression latinisée a été consacrée par Pascal et Leibnits.

io8 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

direction de pq sera tangente au point correspondant, et l'hexagone se changera en un pentagone, le dernier côté pq étant devenu infiniment petit.

On arrive à des conséquences analogues relatives aux quadrilatères et aux triangles inscrits ou circonscrits à la courbe, et Ton voit en particulier, comment on pourra tracer le pentagone ou la tangente dont il vient d'être parlé : prenez arbitrairement trois points p"f q" \ r" en ligne droite sur la courbe, joignez ensuite le sommet double (pq) avec q" et p"> par d'autres droites qui vous donneront q' et p'\ tracez l'indéfinie p'q'9 qui vous donnera r'; tracez enfin la droite r' r" qui viendra couper la courbe au point r appartenante la tangente en (pq) (*).

droite sans limite, par rapport au restant de la courbe, lui-môme assimilé à une section conique ou au système de deux lignes droites indéfinies. En outre, dans mon Mémoire de i83o, inséré au t. VIII de l'excellent Journal Mathématique de C relie, j'ai montré, comme dans mon ébauche de 1816, que, relativement aux quadrilatères, à Xhexagramme et à leurs principaux corollaires, la théorie était susceptible de s'étendre, par cette directe et facile application de l'analyse des transversales, à une infinité d'autres figures inscrites dans les lignes du 3e ordre ; proposition remarquable et dont, à mon sens, on n'a pas jusqu'ici tiré un suffisant parti, malgré les beaux travaux de MM. Sleiner et Plucker, dont les brillants imitateurs ou amplificateurs se sont, de plus en plus, attachés à un genre de spéculations mal à propos nommé quelquefois Géométrie de position ou de situa- /formais qu'il serait plus exact d'intituler: Monographie géométrique et combinatoire. En effet, on s'y livre à des énumérations de lemmes, de théorèmes, de problèmes et de corollaires où l'on épuise, pour ainsi dire, le nombre des combinaisons possibles relatives aux points, aux lignes, surfaces ou accidents géométriques inhérents à certaines figures, jusque-là compréhensibles dans leur élégante simplicité, et dont l'extrême et récente complication ne tend rien moins, qu'à détourner les jeunes adeptes du but véritablement utile, sérieux et philosophique de la science, par des exercices en quelque sorte gymnastiques, dont, je le répète ici à dessein, les algébristes de ce siècle et du précédent ont offert de trop fâcheux et nombreux exemples.

(*) Ces conséquences deviennent bien évidentes si l'on se reporte aux p. 127 à 140 (Cah. III) du Ier volume de ces Applications d'Analyse et de Géométrie, et l'on comprend parfaitement que, dans cette rédaction rapide et écourlée relative aux lignes du V ordre, j'aie négligé d'entrer dans le développement de corollaires aussi simples et dont on trouvera les plus saillants dans X Analyse des Transversales déjà citée.

Problème. — Une section conique ahcd (Jig. 69) ayant 5 points a, b, c, d, e communs avec une courbe du 3a ordre, trouver le sixième avec la règle seule.

Tracez ab et cd se coupant en M; si la troisième droite ex était connue, elle viendrait couper de nouveau la courbe en un certain point N, et celui-ci devrait être en ligne droile avec les points M et L connus, où les deux droites de et ba ren~

Fig 69.

contrent respectivement, une troisième fois, la courbe. Donc, pour obtenir le point x, tracez ML qui vous donnera N, tracez enfin Ne qui vous donnera le point cherché par son intersection en x avec la courbe.

La démonstration directe de ce résultat est facile : car le triangle ABC formé par les rencontres mutuelles des cordes prolongées ab, cd et ek, étant regardé comme transversal, d'abord de la section conique, ensuite de la courbe, on aura

( AN.Aar.A*) (Cd.Cc.CM) (Bfc.Ba.BL) = (Aa.A6.AL)(BM.Bc.Brf)(Cé? Ca7.CN),

( Aa.\b)(Bc.Bd)(Ce.Cx) = (.\x.ke){Bb.Ba)(Cd.Cc),

no n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

et en multipliant membre à membre,