AN.BL.CM = AL.BM.CN

c'est-à-dire que les 3 points M, N, L sont en ligne droite.

Théorèmes divers. — Soit abc un triangle dont les côtés ab, bc, ac rencontrent une courbe du 3* ordre aux points respectifs p, p' , p" ; q, q'> q" ; r, r' et r" ', . • . , on aura, en con-

sidérant la courbe comme transversale par rapport à ce triangle abc,

(ap) {br ) (cq) = (aq) (bp) (cr).

Si Ton suppose maintenant que les côtés du triangle deviennent tangents à la courbe, c'est-à-dire que les points d'intersection p' elp", q' et q", r' et r" se réunissent, respectivement et en un seul, cette équation deviendra

ap.br.cq. ap' -br' *cq' =aq.bp.cr. aq' -bp' -cr* .

Supposant, en outre, que les trois points de contact soient en ligne droite, on aura cette nouvelle relation

ap' . br' . cq' = aq' . bp' . cr'

qui réduira la précédente à celle-ci

ap.br, cq = aq. bp.cr;

c'est-à-dire que les trois points d'intersection des tangentes avec la courbe seront aussi en ligne droite (*), et l'on conçoit que la réciproque doit avoir également lieu dans certaines conditions. Cette proposition peut être généralisée ainsi : Les côtés d'un triangle rencontrant une courbe géométrique de l'ordre m, chacun en m points, tels qu'en les prenant 3 par 3 et sur des côtés différents, ces points soient rangés sur autant de lignes

Fig. 71.

droites, à l'exception d'un dernier groupe des trois points; ceux-ci seront par là même aussi en ligne droite; ainsi rmqvp^9 r"Q" P"> r'q' p' {fig' 70 étant respectivement en ligne droite, les intersections r, q9 p avec la courbe seront aussi sur une même droite.

Dans le cas des lignes du 3e ordre, s'il n'y avait que trois des intersections qui fussent en ligne droite, les six intersections restantes seraient à une section conique, et réciproquement, la section conique pouvant d'ailleurs être remplacée par le système de deux droites.

Du cercle oscillateur en un point donné d'une ligne géométrique plane de degré quelconque.

Pboblème. — Une courbe géométrique étant donnée sur un plan, déterminer pour un de ses points le rayon de courbure et le cercle osculateur.

(*) Cette élégante proposition est due à Maclaurin, qui l'a démontrée par d'autres procédés dont on prendra une idée un peu plus loin.

lia IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Considérons le triangle abc (fig. 72) comme transversal par rapport à la courbe donnée, que nous supposerons néanmoins du 3° degré pour plus de facilité dans les tracés et démons* trations; on aura

(ap) (bq) (cr) = (ar) (cq) (bp).

Si Ton fait passer par les 3 points/*', p" et qf une circonférence de cercle, on aura aussi

bq'.bQ = bp'.bp".

Multipliant ces équations en croix il viendra, toutes réductions

faites,

(ap) . bq . bq" (cr ) = bp. (ar ) . (cq) . b Q.

Supposons, en premier lieu, que la transversale abp, ou si Ton veut le côté ab du triangle abc, vienne à se déranger de sa position, alors le cercle Rp'p" variera aussi de grandeur en passant toujours par le point fixe qf, et la relation ci-dessus aura

Fig. 72.

encore lieu; si enfin Ton suppose que ce côté vienne à loucher la courbe en p' ou />", alors les deux points// et p" se confondront et le cercle sera devenu tangent au même point à la courbe, comme on le voit fig. 73; appelant P le point de réunion de p' etp", il faudra dans l'équation ci-dessus faire

ap'=ap" = aP.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. n3

En second lieu, si l'on suppose que la transversale bc (fig. 72) se meuve en se rapprochant de pp' ou P, le cercle qui touche la courbe en ces points et qui passe par le point q', changera de grandeur en restant toujours tangent à cette courbe et il

Fig. 73.

arrivera un instant où q' se confondant avec le point P (jig. 73), b s'y confondra à son tour. Dans ce même cas, le cercle tan. gent coïncidera évidemment aussi avec le cercle osculateur en ce point; et, comme l'équation ci-dessus ne cesse pas d'exister, il s'ensuit qu'elle donnera la valeur de la corde PQ que ce dernier cercle intercepte sur la transversale q Pc.

Les points b, pf et q' de la Jig. 72, s'étant ainsi confondus en un seul P de la Jig. 73, on a, pour exprimer cette circonstance, outre les conditions ci-dessus, les relations suivantes

bp = Vp, bq = Vq, bq''=Vq', cq'=cVy 6Q = PQ.

Substituant, il viendra

ap.aV'.Vq.Vq".{cr) = Vp.VQ.cV.cq.cq".(ar).

Cette relation qui n'est pas projective, ne saurait fournir un tracé exécutable avec la règle seule.

Si, au lieu de choisir la transversale PQ arbitrairement on la 11. 8

u4 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

prenait perpendiculaire à la tangente P/>, l'équation ci-dessus du ier degré, donnerait évidemment le double du rayon de courbure cherché.

La même méthode s'applique d'ailleurs à la recherche du rayon de courbure d'une courbe géométrique quelconque; mais on y peut remplacer les transversales auxiliaires par d'autres moins arbitraires et dépendantes de la courbe elle-même.

Soient tracées [fig. 73) les transversales prk et r"q"0 qui coupent respectivement les côtés du triangle aPc en py r, k et r", q", 0, on aura pour ce triangle,

ar.J*p.ck = ap.cr.Pk, ar« .cq" .PO = P q" .cr" .aO.

Multipliant entre elles, par ordre, ces deux équations el la dernière de celles ci-dessus, il viendra

aP7.Vq.cr'.Pk.VO = VQ.cV.cq.ar'.ck.aO.

Supposons actuellement que p et rse confondent ainsi que

Fig. 74.

qtt et r", les transversales pr et q"r" deviendront {fig. 74) lçs tangentes pk9 qf0, à la courbe, et l'on aura

<iP = Pj>, cp = q'vy ar'==pr'9 cr'=q'ri. par conséquent

Yp -Vqq' r' .Vk.Vo = VQ.q'?.qq' .pr' .q' k.pO.

APPLIQUÉE AUX €OURBES GÉOMÉTRIQUES. u5

Exemptée relatifs aux lignes du 2e ordre. — Appliquons ce

qui précède à la détermination du rayon de courbure d'une

simple section conique.

En appelant toujours Q (fg. 75) le point où la transversale

Fig. 75.

rP rencontre le cercle osculateur au point P de la conique, on aura

aP .cr.cr'.Vq = ar.ar' . eg.^P.PQ.

Soit mené par le point a une paraLlèle à PQc, rencontrant la courbe en R et R', on aura, comme on sait,

rr. cr

ar. arf

cq.cP «R.aR''

et l'équation précédente deviendra, en la multipliant par cette dernière relation,

aK.aR' V*

Si Von fait attention que

aR.aW a"

^n désignant par b' et a' les demi-diamètres respectivement parallèles à aP et à * R ou Pg, cette équation deviendra enfin

Cette expression très-simple, représentera le diamètre du cercle de courbure quand la droite PQ sera tracée perpendiculairement à la tangente en P.

Supposons {fig- 76) que Vq' soit un diamètre de la courbe, on aura pour calculer le point correspondant du cercle oscillateur,

Cette quantité est l'expression du paramètre du diamètre en question. Qu'on divise PQ également en Q', et qu'on élève Q'R

Fig. 76.

perpendiculairement au demi-diamètre PC, il rencontrera la normale au centre de courbure R; abaissez la perpendiculaire CK du centre C de la conique sur la normale Pc, les triangles CKP et PQ'R seront semblables et l'on aura

PR:PQ::PC ou a':PK,

d'où Ton tire, conformément à un théorème dû à M. Dupin,

1 PQa'^fr*.

a PK ~~PK1

expression très-simple dans laquelle PK = CI est la distance de la tangente en P au centre C. On peut la traduire ainsi :

« Dans toute conique, le rayon de courbure en un poini » donné, est une troisième proportionnelle au demi-diamètre » parallèle à la tangente en ce point, et à la distance de cette » tangente au centre de la courbe. »

Remarques. — Au sommet du grand axe, le rayon de cour-

bure étant égal au rapport de 6' à a, demi-paramètre de cet axe, on voit qu'à partir de ce sommet le diamètre 6' augmente et la distance PK diminue, en sorte que la fraction ci-dessus, qui représente le rayon de courbure PR, augmente sans cesse, jusqu'au sommet du petit axe; elle décrott ensuite suivant la même loi : les rayons de courbure aux deux sommets sont donc les plus grands et les plus petits possibles ( *).

Le cercle osculateur rencontre en général la conique en un second point distinct du point de contact et pour lequel (fig* 75 ) PQ = P<7; or on a, en général,

b' et a', étant les demi-diamètres parallèles à P</ et à la tangente en P; donc on doit avoir a' = V, ce qui n'a lieu que pour deux droites également inclinées sur les axes principaux de la conique.

DIS COURBES GÉOMÉTRIQUES DÉFINIES, À LÀ S AN 1ÈRE DE MACLAURIN, PAR DES ÉQUATI05S ENTRE DEUX SOMMES DE RÉCIPROQUES DE SEGMENTS INTERCEPTÉS 8UR UNE TRANSVERSALE ARBITRAIRE.

Transformation algébrique de l'équation fondamentale, à deux termes, entre produits de segments.

En considérant (^g. 77) une courbe géométrique de degré quelconque m, comme transversale d'un triangle abc, nous savons, d'après le théorème fondamental de Carnot, que

(ap) (br) (cq) = (bp) {cr) (aq).

(*) M. Mannheim, dont les recherches originales, relatives aux rayons de courbure en des points divers des lignes géométriques, sont aujourd'hui bien appréciées, et quia eu l'obligeance de relire les manuscrits de ce volume avant leur impression, m'a remis sur ce même sujet, une Note qu'on trouvera à la un du présent Cahier, et dont l'élégante simplicité m'a paru mériter assez l'attention des lecteurs de cet ouvrage, pour y trouver place au risque de lui faire perdre beaucoup par la comparaison, si l'on venait à oublier la différence des dates et le développement récent des idées géométriques.

u8 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Soient tracées les droites rq, r'q', r"qny jusqu'à leurs rencontres respectives en A\ hr, h", avec le côté ab opposé au sommet e, point de concours des droites qq'q" et rr'r"\ en considérant successivement chacune des premières droites comme transversale à l'égard du triangle abc, on aura

transversale r q,

bk ~aq . cr bk' .aq' .rr' bh".aa\cr".

• ak .cq.br, ah'.cq' .br*, ak" .cq" .br" \

Multipliant ces équations par ordre et le produit par la première, on obtiendra la relation plus simple,

(bk)(ap) = (ak)(bp)r

ce qui constitue une proposition analogue à celle que nous

avons trouvée pour le cas du quadrilatère inscrit à une conique et coupé par une transversale quelconque (*)•

(*) Ceci se rattache à ce que, dans mes publications postérieures à 182a. j'ai nommé, par extension, invokaiottfà m points, et dont, comme on voit, j'étais en possession dès 1816.

Mais on a ici, en posant ab — d,

ak = bk +ab = bk -f- fi, ah' = bk' -4- ab = AX ' -h d.

ajj i= bp -+* rt/v = bp -±- <7,

Substituant dans l'équation ci-dessus, il viendra

(fy>) (M-M)(M'-4-</)(M"+ </) = (M)(bp + d) [bp'+d) (bp*+d).

Cette équation a lieu et conserve la même forme analytique, quel que soit le degré de la courbe ; en l'ordonnant par rapport à df observant que le terme qui en est indépendant disparaît de lui-même, ainsi que celui qui renferme d\ divisant ensuite par d, il viendra

d*[(bp)-(bk)] + d[(bp)(bk + bÀ'+bk")-{bk)(bp + bp'+bp')] + {bp) {bk.bk' + bk.bkH-hbk'M") - {bk){bp.bp'+bp.bp*+bp'.bp') = o.

Cette équation doit avoir lieu quelle que soit la grandeur de d ou ûeab. De plus, on doit remarquer que si l'un quelconque des points £, X-', etc., X* par exemple, se trouvait situé d'un côté différent du point 6, origine des segments par rapport aux autres intersections de la transversale, le signe de bk devrait nécessairement changer, en sorte qu'on aurait

ak= d — bk,..

Théorème de Maclaurin. — Qued=ab soit nul, ou, si Ton veut, supposons que la droite bcrr'... tourne autour du pointe,

Fig. 78.

jusqu'à ce qu'elle se confonde avec ac, comme le montre la Jîg. 78, les droites rq, r' </',... , deviendront des tangentes à la

iao 11' CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

courbe, et les distances ak ou bk conservant des grandeurs finies et déterminées, l'équation ci-dessus deviendra

{bp)(bk.bk'-h bk.bk"-hbk*.bk") = (bk)(bp.bp'+bp.bp"+bp' .bp?).

Dans celte équation (bp) est le produit de tous les segments bp, bp',... formés par la courbe, (bk) celui de tous les segments bk, bk',..., formés par les tangentes, et bk.bk*-{-bk.bk" -{-..., bp.bp'-{- ... est la somme des produits deux à deux de ces mêmes segments. En divisant cette équation par (bp) et par ( bk ), elle deviendra

on obtient ainsi le théorème de Maclaurin (*), soumis à la loi ordinaire des signes de position pour les divers segments. On voit donc que, quand la sécante br vient à varier autour du point b, la somme des réciproques des segments bkf bk'. . . formés par les tangentes sur la transversale fixe bpp' . . . , reste constante quel que soit le degré de la courbe géométrique considérée.

La manière dont nous avons démontré ce théorème a cela de remarquable qu'elle n'oblige pas à recourir aux notions du calcul différentiel, comme l'a fait Maclaurin, et c'est là un des avantages que procure l'emploi de l'analyse des transversales.

Corollaires et généralisations. — Si d devient infini dans

(*) A Treatise of Algebra, by Colin Maclaurin, Appendix : De lincariim geometricarum proprietatibus generalibus Tractatus; 1748. J'ai déjà dit dans une précédente note, que je devais à l'amitié de mon ancien professeur M. Français, de Metz, la connaissance de ce précieux ouvrage, qu'il voulut bien me prêter au printemps de 18 16; j'ajoute que je m'empressai d'en faire, pour mon usage particulier, une translation exacte du latin en français, sans commentaires, interprétations ni mutilations quelconques, comme il convient quand il s'agit d'une production en elle-même aussi correcte et remarquable d'un grand géomètre : cette traduction littérale est demeurée, jusqu'à ce jour, entre mes mains, dans un état qui en permettrait la publication immédiate, si le goût des sérieuses études géométriques venait à se propager davantage.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. m

l'équation transformée (a), ce qui suppose ac {fig. 77) parallèle à ab> comme le montre la fig. 79, bcrr' . . . restant fixe, on obtient la nouvelle relation

(Mr) = (*/i);

c'est-à-dire que le produit des segments bk, bk'f..., est simplement égal à celui des segments bp> bp\ ....

Or, chose bien digne de remarque, la même relation subsiste sans modification essentielle, même quand on vient à supposer que, à son tour, la droite acq ... de la fig. 79 passe

entièrement à l'infini; ce qui conduit à divers autres corollaires relatifs aux branches infinies et aux asymptotes des courbes géométriques.

Si , par les points a et b de la fig. 77, comme on le voit [fig. 80) où a et b sont censés réunis en un seul, d'après l'hypothèse de te fig > 78 où d = o, on menait deux nouvelles sécantes arbitraires bqtfx . . . , br/x . . . , qu'on traçât ensuite les cordes /-, y|7 r^ </,,..., qui leur correspondent et déterminent sw la direction fixe quelconque de la transversale indéfinie^ AX'... de nouvelles intersections k0 X',, X*,..., analogues à celles X, K, X',..., on aura, d'après l'équation (a),

<*'[{bp) - {bkx)-\+d[(bp){bk{ + bltx+bk\) - (Mt)(bp+bpr+bpr]] + (bp)(bkxMx+bkxM"x+bKiMJ'x)--bkx (bp.bp'+bp.bp'+bp'.bp*) = o.

Cette équation, soustraite de (a), après les avoir préparées toutes deux

i%% II* CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

d'une manière convenable, donne

bk + bk' + bk" bkx 4- bk\ -h bk*x

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