ko -4- AX-f- A A1' -h- • • — Ar — Ar' — . . . = o

I d'où Ao = -(Ar-hAr'+Ar"4-...-AX--AXJ~...),

\ valeur égale à la demi-somme de tous les segments Ar, . . . , AX- [fig. 85),

formés sur la sécante Ar devenue parallèle à la tangente Vp, mais en

I ayant soin de prendre les segments AX-, AX*',... d'un signe contraire à

celui qu'ils devraient naturellement recevoir.

I Première conséquence. — L'origine A étant arbitraire, si, par hasard,

on l'avait prise au point o lui-môme, resté fixe, la distance ko devrait I être telle qu'on eût

or 4- or ' + or"-h. . . — ok — oAJ. . . = o ;

ce point deviendrait alors le centre de moyenne distance des points r, r', r", . . ., et d'autres points symétriques à X-, /',..., par rapport à l'origine accidentelle o. On peut remarquer aussi que, dans le déplacement de cette origine, les points r, r', r ",..., restent naturellement fixes, mais qu'il n'en est pas ainsi des points symétriques à X-, X'. .,; de sorte que le point o n'est pas le véritable centre des moyennes distances pour un état quelconque du système ou relativement à toute autre origine.

Enfin on peut s'assurer, d'une manière directe, que le point o, déterminé par ce qui précède, est indépendant de la position particulière de l'origine A.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3i

En effet, pour une autre origine A', située au delà de CA, on aurait

or A'o = Ao + AA', A'r= Ar+AA',..., A'X = AX+AA*. .., d'où Ton tire, en substituant pour avoir Ao,

Ao + AA'=i(/w.AA'+ Ar+Ar'-K..-(/w-a).AA,-AX-AX'...),

Ao = i ( Ar-+- Ar'-K . . - AX- - AX-'),

comme par la première formule , chose presque évidente a priori.

Diamètre de Vosculatricc conjugué à la tangente, — Sans nous attacher à la recherche des diverses propriétés du point o, terminons en prouvant que la droite qu'il parcourt dans les différentes positions des transversales aby a' 6',.") quand le pôle G passe à l'infini, renferme le point P de contact de la tangente ?p à laquelle ces sécantes rr" sont parallèles.

En effet, on a pour la position particulière Vp de la sécante (Jig. 85),

Ar = AP, Ar' = AP, kr*=Xp, XA = Ap,...< et Ao=- (Ar+ Xrf + Ar#-K , . — AX — AX', . .)

= -(AP4-AP-+-A/?-f-A^-A^-A//. ..)=AP.

De tout ce qui précède il résulte :

« Que pour déterminer à priori le diamètre d'une section conique oecu- » lalrice en un point P {Jig. 86) d'une courbe géométrique donnée sur

Fig. 86.

9 un plan, il suffira de tracer à volonté une transversale rrn parallèle à

i32 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

» la tangente au point P; puis, ayant déterminé sur cette sécante un » point 0, comme il a été dit ci-dessus, de joindre ce point au point P » par une ligne droite PO qui sera le diamètre demandé. »

Réflexions à ce sujet. — Il est bien évident que la droite PO étant un diamètre de la conique osculatrice en P, elle divise en deux parties égales les sécantes infiniment voisines menées dans la courbe, parallèlement à la tangente Pp au point P; c'est la recherche de l'angle formé par cette droite et cette tangente, que s'est proposée Carnot à la page 477 °*e sa Géométrie de jwsition; il en détermine la valeur par l'analyse différentielle, comme cela se fait pour le rayon même de courbure. Il propose aussi, en cet endroit, de prendre le rayon de courbure et l'angle dont il s'agit pour les coordonnées variables des lignes courbes indépendantes rie toute constante auxiliaire. D'un autre côté, M. Ampère, dans un Mémoire présenté à l'Institut en décembre i8o3 (14e cahier du Journal de P École Polytechnique), propose de choisir pour coordonnées en chaque point, le paramètre et l'angle du diamètre avec la tangente de la parabole osculatrice du 3e ordre en ce point. On peut y voir avec quelle peine l'analyse algébrique arrive à des résultats si faciles pour la Géométrie : ainsi, notamment, ce n'est que par des comparaisons délicates entre plusieurs expressions compliquées, qu'Ampère parvient à prouver que cette parabole pour un point quelconque d'une conique, a même diamètre et mAme paramètre (*). On verra ci-après, comment ces propriétés sont des conséquences nécessaires de ce qui a été exposé précédemment.

Revenons au sujet dont je me suis un instant écarté.

(*) Ampère et Carnot, sans le savoir, avaient été précédés dans cette intéressante étude relative aux éléments de la courbure du 3e ordre des lignes courbes, par le géomètre anglais Maclaurin, dont l'ouvrage déjà cité, antérieur de près d'un demi-siècle à ceux de ces illustres savants, contient la détermination de ce que l'auteur appelle la variation de la courbure par la parabole osculatrice; détermination dont Newton s'était également occupé sous un autre nom, dans son Énumêration des lignes du 3e ordre. La détermination dont il s'agit repose sur des considérations géométriques tirées de la définition de la moyenne harmonique, sur laquelle je reviendrai un peu plus loin; or ces' considérations offrent une grande analogie avec celles exposées ci-dessus, qui prennent uniquement pour point de départ le théorème de Carnot relatif au triangle transversal, et, comme on sait, ce dernier a pour fondement celui de Newton sur les produits des segments ou appliquées parallèles des courbes géométriques, théorème qui, à son tour, sert de point de départ aux recherches de Maclaurin.

Au surplus, le désir d'abréger et de ne pas grossir inutilement ce volume, me fait supprimer une longue discussion relative à la préférence qui doit être accordée aux équations n deux termes de l'analyse des transversales, sur les modes de représentation des courbes proposés par Ampère et Carnot, ou tout antre mode où l'on prétendrait bannir de leur équation les variables ou coor-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3>3

Solution finale. — La direction du diamètre de la conique osculatrice du 3f ordre on un point donné d'une courbe géométrique étant connue par ce qui précède, rien n'est plus facile que d'achever la solution du problème :

Par le point donné a de la courbe (fig. 87 ), on mènera la sécante arbitraire «C, et, d'après ce qui a été dit plus haut,

Ht; 87.

on trouvera la position correspondante du point by ol la co-

doonées étrangères à leur nature propre. Lorsque j'embrassais ainsi en 1816, avec une sorte d'enthousiasme et de prédilection exclusive, l'idée de la supériorité de l'analyse des transversales sur ces divers systèmes de représentation des lignes courbes parles équations ou relations métriques quelconques, M. Lame n'avait point encore développé cette belle méthode des multiplicateurs indéterminés mentionnée à la fin du précédent volume, p. 489, et j'étais loin surtout d'imaginer le parti que, dix années plus lard, d'autres amateurs de la «Géométrie tireraient d'une application de l'analyse de Descartes, assez simple et d'apparence assez évidente pour qu'on se dispensât, je le redis ici avec intention et regret, d'en indiquer la véritable et féconde origine.

Quaut aux études de prédilection dont le commencement de ce Cahier contient une ébauche sans doute fort imparfaite, quant à celle notamment qui concerne les lignes du 3e ordre, elles m'avaient particulièrement séduit à cause de leur élégante simplicité et de leur nouveauté; car, en ce moment, j'ignorais encore les belles propriétés que Maclaurin avait lui-même découvertes sur ces courbes, par la méthode des réciproques de segments; méthode très-distincte d'ailleurs et d'une application moins facile que celle dont j'avais d'abord fait usage, mais qui peut lui servir d'utile et fécond couronnement.

i34 IIe CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

nique sera entièrement déterminée. Si Ton traçait aC parallèlement au diamètre PD, comme ac'y alors les points a et bf étant connus, si par le milieu i de la distance qui les sépare l'on mène une droite parallèle à la tangente PC, ce sera la direction du diamètre conjugué au premier PD, le centre A sera donc connu ainsi que le demi-diamètre PA ; quant à l'autre AB, il s'obtiendra par cette proportion

Si la courbe osculatrice, au lieu d'être en général une section conique passant par un point donné a quelconque, devait être en particulier une parabole, alors ce point a ne serait plus arbitraire ; car son conjugué b'y devant être situé à l'infini, serait réellement donné, et l'on aurait ainsi, pour déterminer a, cette nouvelle équation déduite de l'équation générale (p. 126), en y faisant c'b' infini,

c'a c'r ' c>r' ' d r" cpk

Or, c'a étant connue, l'ordonnée correspondante, dans fa parabole osculatrice, le serait aussi, et, par suite, le paramètre de cette parabole ; « donc on ne peut mener qu'une seule pa- » rabole osculatrice en un point donné d'une courbe géomé- » trique quelconque. »

Il est visible aussi que, en général, la conique osculatrice et la courbe géométrique correspondante ont le même rayon de courbure, puisque le cercle osculateur a trois points ou deux éléments consécutifs communs avec chacune d'elles, et pareillement que le cercle osculateur intercepte sur le diamètre PAD un segment égal au paramètre de la section conique osculatrice cherchée. Cette dernière propriété est évidemment une conséquence de l'autre.

Comme il existe une infinité de coniques osculatrices du 3e ordre en un point donné d'une courbe géométrique, on peut demander également que ce soit en particulier, une ellipse ou une hyperbole.

Nous savons (p. 127) que si, autour du point C, on fait tour-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3ô

rter C#, et qu'on prenne toujours

Co — Cr + Cr'"' Ck C*,'

la suite des points o n'est autre chose que la corde de contact PT {fig. 88) des deux tangentes issues du point C dans la seclion conique, c'est-à-dire la polaire de ce point. Or, on démontre aisément que si l'on menait une parallèle à PT, divi-

sant la distance Co en deux parties égales, cette parallèle ou sous-polaire couperait la section conique en deux points quand c'est une hyperbole, qu'elle lui serait simplement tangente si c'est une parabole, enfin qu'elle ne la rencontrerait pas quand c'est une ellipse. Si donc on veut que la section conique soit une hyperbole» il faudra se donner comme tangente une droite parallèle à la sous-polaire et située au delà ; pour la parabole, on prendra la sous-polaire elle-même, enfin pour l'ellipse, une parallèle quelconque au-dessous de la souspolaire. On cherchera ensuite le point de contact a' sur cette tangente représentée ici par CV, C étant la position correspondante de C sur la tangente donnée en P, pour laquelle Ca

i36 II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

et G b sont devenus égaux, de sorte qu'on a

Va

le centre A se trouvera au moyen de a', en divisant la distance Va' également en & et traçant la diamétrale C'o'A conjuguée à Pu', etc.

Exemples relatifs aux simples coniques.

Appliquons maintenant ce qui précède à une section conique arbitrairement donnée, et à laquelle il s'agit de mener une osculatrice du 3e ordre.

Dans ce cas (Jig. 89), Ton a pour un point quelconque C de la tangente au point P,

Ca + CÏ — ET + CF'

Donc les polaires de ce dernier point, pour les deux coniques, se confondent en une seule droite passant par le point de tangence P. Quand le point C est pris à l'infini sur la tangente en P, la polaire en question devient un diamètre commun aux

deux courbes; ce qui est encore évident puisque la somme des ordonnées est nulle pour l'une et l'autre coniques.

Il est aisé de voir aussi que si Ton traçait les droites aP et 6P qui rencontrent la conique donnée en A et B, les droites

correspondantes ÀB et ab devraient concourir au même point c; car sa polaire, par rapport au système de P<zA et P6B, doit nécessairement se confondre avec celle ci-dessus, commune aux deux coniques» ce qui ne peut avoir lieu à moins que AB ne passe par C. Ceci offre» comme on le voit, un moyen simple de décrire l'osculatrice du 3e ordre par points, quand le point a, par exemple, sera donné. En effet, après avoir mené arbitrairement la transversale Cab et tracé Va, qui coupe la conique donnée en A, il suffira de mener CA qui coupe cette même courbe en B, puis de tracer la droite PB, qui coupera Cab au point b de la conique osculatrice.

a On peut donc, avec la règle seule, déterminer la section » conique, passant par un point donné, osculatrice du 3e ordre » en un point d'une autre conique décrite. »

Remarque. — Si Ton regardait PAB comme la base d'un cône dont le sommet se projetât en P, la conique osculatrice ne serait autre chose que la projection de l'intersection de cette même surface par un plan passant par la tangente en P à la première (Développements de géométrie, par M. Dupin).

Osculatrice parabolique. — Dans ce cas (fig. 90), le point a de l'osculatrice du 3e ordre peut être supposé à l'infini, et la

transversale Ca doit être prise alors parallèlement au diamètre PQ; la construction subsiste toujours, mais ne s'exécute plus avec la règle seule, puisqu'il faut tracer des parallèles à des droites données. Le point A (fig. 89) se confond alors

i38 H* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

avec l'extrémité Q du diamètre PQ, et la construction, toujours applicable, se réduit à ceci :

<r Tracez arbitrairement Ca parallèle à PQ; joignez CQ, qui » coupe la conique donnée en B; tracez PB, elle coupera Ca » au point b de la parabole osculatrice. »

Égalité des paramètres. — Prouvons à priori que nos deux coniques osculatrices ont même paramètre p, relativement au

Fig. 91.

diamètre commun. En effet, qu'on mène (fig* 91 ) Cr parallèle au diamètre PQ et touchant la conique donnée en r, on aura

C^"i"CÎ~"C7""PO""5;

or, pour l'autre conique osculatrice en P,

DA, , Ca±Cb Câ2

PO' ou a' = = -7; >

2 2La — a

CP* fr 6/a , .„ Ca.b*

CâA$—Ca.Cb — a'>' U "~~a(2Ca— a)'

donc enfin p = -— = — , c. q. f. d.

On voit que cela a lieu indépendamment du point a que l'on se donne à volonté.

Quand la courbe donnée est une parabole {fig. 92), la démonstration devient encore plus facile; car alors Cb étant infini,

tt- = - ; d'où il résulte que Ca = - = 77- '• La a 2 dr

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3g

or aq =p.tq=p.Ca = - pa = Or =fc%

d'où l'on tire finalement

Paramètre relatif à une courbe géométrique quelconque.— Pour un point donné P il se calculera facilement; car en

Fîg. 92.

menant une parallèle Cr à PQ, qui rencontre la courbe en r,r\. .., et la parabole osculatrice, en a, on aura (p. i34)

Problème III. — Une courbe géométrique d'un degré quelconque étant décrite sur un plan, déterminer pour un point donné de cette courbe, la position de la conique qui lui est osculatrice du 4e ordre.

Nous avons vu ci-dessus (p. 126) que la conique ab V{fig. 85 el 93} et la courbe donnée P rr*. . . qui ont quatre points confondus en un seul P, devaient satisfaire généralement à la relation métrique

C« ^ Cb ~ Cf ^ C r' ^ Cr" ^ C*-

Mo IT CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES *

Cette équation ne suffit pas pour déterminer les deux points a et b de la conique osculatrice Pa6, et il reste encore une quantité entièrement arbitraire, qu'on ne peut obtenir qu'en assujettissant cette courbe à remplir une nouvelle condition ; mais parmi l'infinité de coniques osculatrices qu'on puisse considérer, il en est une qui a un contact du 4e ordre avec la courbe proposée.

Supposons, en vue de la construire, que b se confonde avec r", ou que r" soit l'une des intersections des deux

courbes, alors le point correspondant a sera entièrement déterminé, car il suffira de faire Cb = Cr" dans l'équation cidessus, qui deviendra

C^ ~ C7 + C? + " ' — Ue ~ CF — ' * "

Si donc l'on faisait tourner la droite Cr autour du point donné r", on obtiendrait successivement tous les points a de la conique osculatrice en P et passant par ce point r".

Supposons que, au lieu de prendre le point b en un point quelconque de la courbe donnée, on le prenne précisément au point P; alors la section conique sera osculatrice du 4e ordre avec la courbe en ce point; Cr" deviendra nul, mais l'équation ci-dessus ne changera pas de forme et donnera toujours la valeur de C a ou Pa, c'est-à-dire le point de Poscula-

irice qui se trouve sur la sécante arbitraire Va; puisqu'elle donne

Pâ~ Fr+P7 + "-— PA"

En faisant varier Pr on aura successivement tous les points a delà conique osculatrice; on pourra donc la décrire par points. On aura d'ailleurs son diamètre qui passe par le point de contact P, comme cela a été dit ci-dessus; menant donc par le

point P ce diamètre, et le prenant pour la sécante Va dans une de ses positions, on calculera la longueur du diamètre de la conique cherchée dont ensuite on trouvera facilement le

reste.

Exemple des courbes du 3e degré* — On a alors simplement

Pa~~Pr Pr' P/r1

qu'on prolonge la tangente pk jusqu'à sa rencontre avec la courte en k\ et soit menée la sécante particulière Vkf; Vk deviendra égale à Pr dans cette supposition, et l'équation cidessus se réduira à la simple égalité

1 f ou Va = Vr'.

Va Pr'

i4a IT CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Donc le point A, où la sécante P/r' vient de nouveau rencontrer la courbe, est précisément le 66 point d'intersection de la conique et de cette courbe» qui se détermine, comme on le voit, par la règle seulement.

CONSÉQUENCES GÉNÉRALES RELATIVES AUX SYSTÈMES DE POINTS, DE DROITES» DE PLANS, DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉ- TRIQUES D'ORDRE QUELCONQUE.

Notions fondamentales relatives aux centres et aux axes de moyenne distance \ de moyenne et d'origine harmonique (*).

Définition de la moyenne harmonique d'après Maclaurin. — Soit (fig. 95) la relation, toute géométrique,

dans laquelle O/r est appelée par Maclaurin (ouvrage cité, Appendice, p. 20 et suiv. ) moyenne harmonique entre les m

Fig. 95.

segments Oa, 06, Oc,. . . comptés sur une droite OÀ, à partir d'une origine fixe 0, donnée à priori et par rapport à laquelle la loi ordinaire des signes de position est observée comme

(*) Cette partie du manuscrit, écrite dans l'hiver de 1816, se composant d'un texte fort laconique, de notes éparses et non encore mises en ordre, j'ai dû en compléter la rédaction, en nf astreignant, comme toujours, à n'en modifier en aucune manière, le sens ni les intentions.

dans toutes les relations, entre réciproques de segments, dont on s'est précédemment occupé (*).

De cette équation on déduit immédiatement la valeur de Ok en Oa, 06, Oc,. . ., et, comme Haclaurin le montre dans son Traité, le point k peut être construit de proche en proche, linéairement ou avec la règle seule, par un procédé géométrique fondé sur les propriétés du faisceau de quatre droites convergentes, nommées harmonicales par Ph. de La Hire, successeur de Desargues et de Pascal, auquel Maclaurin attribue gratuitement la découverte de ces beaux théorèmes dus aux Anciens : Euclide, Apollonius, Pappus. Hais cette marche indirecte, adoptée par Maclaurin, n'éclaire pas suffisamment la question non plus que la nature géométrique ou algébrique du point k, et il parait bien évident, par exemple, que si Ton rapportait les segments Oa, 06, Oc, ... de la relation ci-dessus, à une autre origine À de Taxe OA, elle ne conserverait plus la même forme algébrique, ou bien elle définirait un point trèsdistinct de k, et qui serait conjugué harmoniquement & la nouvelle origine A. De plus, il est remarquable que cette même relation devient identique, illusoire, quand on suppose

(*) Ceci est une pure convention, permise néanmoins comme définition à priori de la moyenne harmonique. Quant à la loi même des signes de position, telle qu'on l'admettait dès l'époque de Maclaurin, elle consiste, comme on a dû s'en apercevoir par ce qui précède, en ce que les réciproques des segments dirigés en sens contraire, par rapport à l'origine commune, doivent prendre des signes différents. Mais il n'est pas nécessaire, comme le fait Maclaurin dans Y Appendice à son Algèbre posthume, de s'inquiéter, à l'avance et pour chaque cas , de la nature des signes de réciproques qui entrent dans la somme à considérer; il suffit, ainsi que nous Pavons constamment fait dans ce Cahier, de raisonner d'après l'hypothèse générale où les termes sont positifs dans les deux membres de l'équation primitive de définition, ee qui a lieu quand on suppose une position extrême ou extérieure au point ePorigine des segments. Ainsi il s'agit ici de sommes envisagées au point de vue ordinaire purement algébrique ou implicite des signes, dont toute la difficulté, dans chaque cas d'application et en général, consiste à montrer l'accord qui existe entre la loi de mutations de ces signes et les changemens mêmes de position des points correspondants de la figure, conformément au principe de continuité. Or tel est le but que, dès 1 8 16, je m'étais proposé d'atteindre. (Fbir le IIIe Cahier ci-après.)

le point 0 à l'infini ou simplement confondu avec l'un quelconque des points donnés a, 6, c, . . . .

Changement de l'origine des segments. — Afin d'éviter de tels inconvénients, il est indispensable de transformer l'équation qui définit le point h de manière qu'elle puisse s'appliquer à une autre origine A, sans altérer la position inconnue de ce point par rapport aux points donnés a, b, c, . . . .

Or on a, par exemple, en supposant A tout à fait au dehors et à droite de ces points,

OX = AO-À*, 0<i = AO — A*, 06==AO-A6,..., puis, en substituant dans la relation proposée,

AO - A* ~~ AO - ka + AO - kb + AO - Ar4"* ' ' ;

d'où Ton tirera kk quand AO sera donné à priori, et réciproquement.

En réduisant tous les termes de cette dernière équation au même dénominateur, on peut lui donner la nouvelle forme

m(AO - ka) (AO - kb) (AO- Ac). . .

= (AO-A^)[(AO-A^)(AO-Ac)...+ (AO-A«)(AO-Ac)...-4-...]-

Développant d'après la théorie des équations, appelant P la somme des simples segments ou racines ka, kb, kcy. ., Q la somme de leurs produits deux à deux,. . ., R celle de leurs .produits m — i à wi — i; enGn S leur produit total ou complet, il vient

/«(I^-P.ÏÔ^ + Q.ÂO"^— ...±R.AOq=S)

= {kO-kk)[mkO -(ot-i)P.AO 4-(w-a)Q.A0 — ...±RJ:

réduisant, le terme mkO disparaîtra naturellement, et il restera, en ordonnant par rapport à AO,

(P-mAX)AO 4-[(m-i)P.A*-!iQ]AO H-...q=(R.ÀA -iwS) =o.

Cas où le centre de moyenne harmonique se change en un centre de moyenne distance. — Si l'on fait AO infini dans cette

équation, après l'avoir divisée d'abord par AO , elle cessera

de devenir identique, et donnera pour calculer la valeur cor* respondante de kk,

Àa+-À6 4-Ac-4-...

P — mAk = o, ou A/r =

c'est-à-dire que le point 0 étant à l'infini, son conjugué harmonique k se trouve être le centre de moyenne distance des points a, 6, c». . », selon la définition adoptée par Carnot, d'après Lhuilier de Genève, et qui suffit pour caractériser la nature et les propriétés géométriques du point k, que par analogie, je nomme le centre de moyenne harmonique des points a, b, c,. . ., relativement à l'origine particulière 0, des segments. Mais il y a plus encore, les nombreuses propriétés du centre de moyenne distance, qui, au fond, sont les mêmes que celles du centre de gravité, conduisent pour le centre de moyenne harmonique à beaucoup d'autres intéressants théorèmes auxquels on n'avait pas songé jusqu'ici (1816) (*).

Propriétés, relations fondamentales projectiles, des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique. — Qu'il me suffise ici de rappeler que l'une des propriétés les plus remarquables du centre de moyenne distance consiste en ce que, si l'on y place l'origine des abscisses ou segments, la somme de ceux qui sont situés à droite de ce point devient précisément égale à celle des segments situés à gauche. Or, c'est réellement ainsi que Newton, dans son Énumération des lignes du 3e ordre, définit le point milieu des appliquées parallèles des courbes géométriques dont le lieu constitue la droite nommée diamètre par ce grand homme, d'après l'analogie offerte par les coniques ou lignes du second degré, analogie poussée beaucoup trop loin, comme on le verra ci-après, quand on veut l'étendre avec Newton, jusqu'à la définition même des sommets et du centre des courbes géométriques en général.

D'autre part, la correspondance intime entre le centre de moyenne distance et celui de moyenne harmonique laisse

(*) Voir le Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, t. III, p. ai 3, du Journal de Crelle^ où la définition do ces points est étendue au cas où les réciproques des segments sont multipliés par des coefficients numériques quelconques.

ir. 10

i46 II# CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

entrevoir que l'un est la perspective ou projection centrale de l'autre, et que, par conséquent, il en doit être de même des relations métriques ou descriptives qui leur appartiennent. Or, c'est là encore une présomption facile à vérifier par une nouvelle et très-simple transformation de l'équation primitive; mais je me contente ici de faire observer qu'il résulte de ces rapprochements une manière nouvelle, très-concise et très-élégante d'énoncer les théorèmes de Newton, de Cotes et de Maclaurin (*) :

« Si l'on fait tourner la transversale Ok (fig. g5> p. i4^) au- *> tour de 0 comme pôle, et qu'elle rencontre une courbe » géométrique en autant de points a, b9 c9. . . que le marque

(*) Newton, dans son É numération des lignes du 3* ordre, s'est servi, le premier, de la projection des courbes par les ombres, en remarquant qu'elle n'altérait nullement le degré et les affections essentielles de ces courbes relatives à leurs intersections et tangences avec d'autres; mais ni lui ni ses successeurs immédiats, Maclaurin et Waring, n'ont songé à établir un rapprochement quelconque entre les propriétés des diamètres des courbes géométriques et celles des droites lieu des points de moyenne harmonique de Cotes, du moins au point de vue de leurs projections réciproques; le motif en est fort simple : ils ignoraient la correspondance intime qui existe entre ce que je nommais, dès l'époque de 1816, le centre de moyenne luirmonique et le centre de moyenne distance relatif au cas où le pôle des transversales rayonnantes passe à l'infini. Et voilà aussi pourquoi je ne pense pas qu'antérieurement à mars 1 824 où je présentai à l'Institut de France les Mémoires qui ont suivi de près le Traité fies Propriétés projectiles, personne ait eu la nette intuition de cette remarquable correspondance, comme quelques auteurs modernes semblent l'admettre par prévention ou ignorance de ce qui caractérise une véritable découverte et une méthode nouvelle de démonstration, soit en Géométrie pure, soit en Analyse algébrique.

Au surplus, ce que je viens de dire des centres de moyenne distance et de moyenne harmonique dont Newton et Maclaurin ne pouvaient connaître le nom, je puis le répéter à l'égard du beau théorème du premier de ces grands géomètres, relatif à la coïncidence du diamètre d'une courbe algébrique avec celui du système de ses asymptotes, quand on prétend le comparer à son analogue relatif aux axes de moyenne harmonique communs à une courbe et à un certain système de ses tangentes. Ce théorème, découvert et démontré algébriquement par Maclaurin, se trouve établi cidessus à notre manière (p. lao à ia3,jfe. 81) ; car, à l'époque où il écrivait, ainsi qu'à celle de Newton, on ne se doutait guère, si j'en crois un

» son degré m, le centre k des moyennes harmoniques de ces » divers points pris relativement au pôle O, se meut sur une » droite qu'on peut appeler Yaxe ou polaire harmonique de » la courbe par rapport à ce pôle; cet axe se changeant en » celui du centre de moyenne distance des intersections » a, é, c, . . . , nommé diamètre par Newton, quand le pôle pas- » sant à l'infini, les sécantes transversales deviennent parai- » lèles à une droite fixe. »

Démonstration du théorème de Cotes par Maclaurin. — Haclaurin démontre le théorème de Cotes d'une double manière: i° géométriquement, en partant du cas singulier où la courbe est remplacée par un système de lignes droites dont l'axe ou polaire harmonique s'obtient en procédant de proche en proche, comme je l'ai rappelé ci-dessus; car c'est là une

célèbre apophthegme de philosophie transcendante, tour à tour attribué à Platon, à Descartes, à Leibnitz, à Pascal, etc., que tous les points à l'infini d'an plan ou de l'espace dussent se trouver, non pas sur un cercle ou une sphère dont le centre est partout et la circonférence nulle part, mais bien, comme je l'ai géométriquement établi par les principes de continuité et de projection centrale, sur une ligne droite ou un plan indéterminé de situation, à la limite idéale et fictive attribuée à l'infini de l'espace ; ce qui soulève le voile dont étaient jusque-là enveloppées un grand nombre de vérités géométriques ou analytiques.

Enfin, j'en dirai tout autant encore de ce théorème non moins admirable de Newton, relatif aux appliquées parallèles des courbes algébriques, que Carnot, d'après une considération élémentaire tirée de la théorie des lignes proportionnelles, a étendu à un triangle quelconque transversal des mêmes courbes; théorème auquel An pourrait en ajouter une infinité d'autres que, avant l'époque de 1820 ou 1822, on ne savait point encore généraliser par les principes dont il s'agit , exposés dans le Traité des Propriétés projectiles des figures 9 où j'en ai offert assez d'applications pour mettre sur la voie les lecteurs intelligents, mais que j'ai pris le soin de développer dans les Mémoires déjà mentionnés, sur les centres de moyennes harmoniques et les polaires réciproques, présentés au commencement de 1824 à l'Académie des Sciences. Pour mieux dire, la limite idéale des philosophes est Y enveloppe des plans ou9 ce qui revient au même, des droites indéterminées de situation à tinfini, enveloppe qui peut être une courbe quelconque plane, ouverte ou fermée, réelle ou imaginaire, etc. (Foir, pour les exemples, le Supplément du Traité des Propriétés projectiles des figures. )

i48 IF CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

conséquence nécessaire des théorèmes des p. 1 19 et 142, dus à Maclaurin, lorsque venant à supposer [fig. 81 ) la transversale app'p"... mobile autour du point a comme pôle, on admet, au contraire, que les autres transversales aqq' q" . . ., arr*r" . . ., restent fixes ou immobiles; 20 algébriquement, par des* considérations mixtes fondées sur la définition même des courbes géométriques dans le système des coordonnées linéaires de Descartes, et d'où Maclaurin déduit, par des comparaisons analytico-géométriques relatives aux coefficients des deux derniers termes de l'équation qui représente la courbe proposée, les sommes de réciproques des abscisses ou segments formés sur la transversale mobile autour du pôle fixe et qui répondent aux intersections imaginaires avec la courbe. Mais cet ingénieux procédé, né d'un scrupule géométrique alors plausible, peut être remplacé par d'autres, indépendants de toute représentation des courbes par les équations algébriques, et qui exigent seulement' que les intersections imaginaires soient définies par un système convenable de lignes géométriques distinctes, données sur le même plan; chose toujours possible géométriquement, comme on en a vu des exemples élémentaires dans le précédent volume de ces Jppli- , cations (Ier et Ve Cahiers relatifs aux sécantes et cordes idéales communes aux cercles ou aux coniques ).

Démonstration par nos principes. — Quant à démontrer intuitivement et par le principe de continuité l'existence de l'axe conjugué ou harmonique d'un pôle fixe donné sur le plan d'une courbe géométrique, il suffit de considérer que le centre de moyenne harmonique est unique sur chaque transversale ou rayon vecteur; que jamais le lieu de ces centres ne peut passer par le pôle fixe censé hors de la courbe, et qu'en conséquence ce lieu est une ligne droite, etc. (*).

Cette démonstration s'étend au cas où les réciproques de segments dont les sommes définissent le point générateur, sont élevées à des puissances égales, supérieures au ier degré et multipliées par des coefficients numériques arbitraires,

(*) Ce genre de considérations, déjà mis en usage à la fin du Ier Cahier, a été plus amplement justifié, en 182a, dans le Traité des Propriétés projectii*es (p. 332, etc.).

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. Mg

pourvu qu'en extrayant la racine de la puissance relative à la réciproque inconnue, on n'oublie ni les signes, ni la multiplicité de sa racine» et que Ton ait, de plus, égard à la multiplicité du pôle des rayons vecteurs, s'il appartient à la courbe dont on recherche le degré à priori ( * ).

Des courbes polaires lieu des origines ou centres contre-harmoniques par rapport à un pôle et à une courbe géométrique arbitrairement donnés sur un plan.

Théorème fondamental. — Soit (Jig. 96) une courbe géométrique de degré quelconque m; d'un point fixe^, considéré

Fig. 96. *

comme pôle de rayons vecteurs, soit menée une sécante arbitraire pa, rencontrant la courbe aux m points af a\ a",. . .; qu'on prenne sur cette sécante un point a tel que

ap m \<xa aa' aa )

(*) De telles questions sont aujourd'hui d'un bien faible intérêt au point de vue géométrique, quoiqu'elles aient beaucoup préoccupé Waring, continuateur peu fécond des idées de Newton, de Cotes et de Maclaurin, dans un ouvrage de 1762, intitulé : Miscellanea analytica, publié par souscription à Cambridge, et dans lequel se trouve une incomplète é numération des lignes du 4e ordre ou 3e genre. Je cite cet ouvrage, que je connaissais dès 1816, parce que l'auteur s'y est aussi occupé du problème démener les tangentes à une courbe géométrique par un point quelconque donné sur un plan, problème dont on verra la solution dans le paragraphe ci-après, à l'aide de procédés algébriques très-différents, et qui assignent au nombre de ces tangentes la limite m(m—\), inférieure de m

r5o IIe CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

je dis qu'en faisant mouvoir cette sécante autour du pôle p, la suite de tous les points a d'origine des segments comptés ici du centre de moyenne harmonique relatif à ce pôle et qu'on peut nommer centres de réciproques ou contre-harmoniques, seront situés sur une seule et même ligne géométrique de Tordre m — i.

L'équation ci-dessus peut être écrite ainsi :

ctp m \ap — pa a/y — pa' a.p — pa" J

Développant r réduisant, ordonnant par rapport à a/?, et faisant de plus, pour abréger,

P = pa -4*- pa ' -f- pa" + . . . ,

c'est-à-dire égal à la somme algébrique de tous les segments formés, dans la courbe, à partir du pôle fixe/?,

Q = pa.pa'-\-pa.pa* + . . .-\-pd .pa" -\-. . .,

la somme des produits deux à deux des mêmes segments ; appelant de même R, la somme de leurs produits trois par trois; T, celle de leurs produits /n— i à m — i; enfin V, le produit total ou complet des mêmes segments, on aura pour calculer/? a, réquatio»

(a) V.pa. —iQ.pa. -|-3R./?a — . . .qp (m — i)T»/?arfc /»V= o.

Cette équation, n'étant que du degré m — t, ne donnera sur chaque sécante pa que m — i points tels que a ; d'autre part Y, ne pouvant s'annuler ni, par suite, a se confondre avec le pôle p pour aucune des positions du rayon vecteur, à moins que ce pôle n'appartienne à la courbe proposée, il en résulte la démonstration du théorème énoncé.

unités à celle indiquée (p. ioo de l'ouvrage cité) par Waring; m représentant d'ailleurs le degré de la courbe proposée, dont cet auteur n'a nullement recherché la ligne des points de contact qui, à ses yeux sans doute, comme à ceux même de Maclaurin, ne paraissait pas jouir du degré d'importance qu'on lui accorde généralement depuis la publication de la Notice sur ta théorie des polaires réciproques, que j'ai adressée en 1817 au rédacteur des premières Annales de Mathématiques. (Voir, à la fin de ce volume, l'extrait de cet article qui a paru dans le tome Vin de ces Annales. ) Je crois d'ailleurs superflu de faire remarquer que les démonstrations de cette Notice sont très-différentes de celles du texte ci-dessus, qui s'appliquent aux surfaces comme aux courbes géométriques, mais qu'il n'entrait nullement dans mes intentions de publier dès l'époque de 18 17.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i5i

Pour découvrir la forme explicite des coefficients P, Q,. . ., V, soit

y + ia + bx^^-hlc + dv+ex*)!"-1-*:..

-\-fxm+gxm~x+hxm-*-{-.„ + k = o;

I équation de la courbe donnée (fig. 96), rapportée actuellement à la droite fixe quelconque /x> et à sa perpendiculaire comme axe des x et des/; l'équation relative à la sécante paa" prise pour nouvel axe des x, sera donnée par les formules de transformation bien connues,

x=x/cos<p — ,/siny, y = y cos y -1-x'sin y,

où 7 est l'angle apo des x et x\ et qu'il faudrait substituer dans la proposée pour faire ensuite y' = o dans le résultat; ce qui donnerait une équation dont les segments ou abscisses pa% pa\ pa",.,. seraient les racines. Mais, au lieu d'opérer ainsi, on peut faire à l'avance y = 0 dans les formules de coordonnées ci-dessus, ce qui donne simplement

jc = x'cosy7 /=.r'siny,

et. en substituant et ordonnant par rapport à <p,

x,m (sin"? -h b cos y sin"*"1 <p 4- * cos'y sin"1"*'? 4- . . . 4-/cos"'y ) 4-x*""' (flsin'"",f-h^cos<psin,""3y-|-. ..4-^cosw",<p) -+-••.;

d'où Ton tire respectivement, en nommant D le coefficient de x'm,

rrsin"-,«>-|-^C08^8in",",<p4-.. -4-^coê*"1^

~ csin'""3v-f-...-f-Àcos",-a<p v . X

Substituant dans l'équation (a), il viendra finalement, en observant que

poi.co&y — a, /?2.siny = f3, « et p étant les coordonnées de l'origine ou centre contre-harmonique a,

équation effectivement du degré m — 1, comme cela était annoncé.

Hais, avant de nous occuper de sa discussion, il est bon d'examiner encore ce qui arrive dans le cas particulier où l'on suppose le pôle p à l'infini, et par conséquent les sécantes aa" toutes parallèles entre elles; le point générateur a de chaque transversale prenant alors, comme dans la recherche de la p. 128, un caractère tout particulier très-distinct d'ailleurs de

i5* II€ CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

celui qui appartient au centre de moyenne harmonique, puisqu'il n'est point unique, et que sa détermination dépend d'une équation du degré m — i.

Faisant en effet ap infini dans l'équation de définition ci-dessus, du centre contre-harmonique, elle devient

Soit oo'x (Jîg. 97) une droite ou axe fixe quelconque, o' étant une nouvelle origine de segments , on aura

(oa-ofl)joa-ofl') (oa-oo") = o.

Posant pour abréger oa = x, et faisant attention que o remplace ici le p de layfc. 96 comme origine des segments, cette équation devient, d'après les notations déjà admises,

c'est, comme on voit, la différentielle de l'équation

a* — Pa^-'-hQ.r'»-*-: . . .±T^=fV = o,

dont le rapprochement avec celle (a) du cas général, porte à soupçonner que le lieu des points a dont on recherche l'équation, n'est autre que la courbe même des points de contact des tangentes , ici parallèles, menées du pôle fixe p à la courbe proposée (m).

Il n'est pas difficile de voir, en effet, que l'équation (a) ou (b) est précisément celle que l'on obtiendrait en cherchant à déterminer en général ces diverses tangentes.

Courbe polaire des contacts ou tangences. — Appelant a et (3 les points de contact qu'il s'agit de découvrir, on aura,

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i53

pour exprimer qu'une tangente à la courbe (i) passe par le pôle p, origine des axes coordonnés des x et / {jig. 97 ),

L'équation de la courbe devant être satisfaite par les coordonnées * et (5, il en résulte la relation de condition

(c) j ^+(« + *«)P^l4-{c-hrf« + ^,)p,,--14-...

de laquelle on tire, par la différentiation,

dp bF-t+{d+*ca)^*+...+ mf<r-ï+(m—i)g<^'+... + (t du" mp^l+(m—i)(a + ba)pr-i+(m—'à)(c + (fo + coLi)pm-*+...'

substituant dans l'équation ci -dessus, il vient

wp" 4. mb a. f"-1 4- me a1 0"-" + . . .

4- (w — 1 ) a$m~x-\- (m —a) ^""M- (/«— 1 ) dp"-'4- . . . -h i* = o ;

multipliant enfin l'équation primitive (c) par /«, et retranchant de cette équation celle qui précède, on retombera sur l'équation (b), ou

d'abord obtenue par la définition directe de la courbe comme lieu des points, tels que a, qu'on pourrait nommer les contre-liarmoniqucs du pôle p des rayons vecteurs ou transversales de la proposée ; le point a lui-même pouvant se nommer point d'origine des segments.

Problème. — D'un point p donné sur le plan d'une courbe géométrique de degré quelconque m, mener graphiquement les tangentes à cette courbe. On prendra les points d'origine ou centres contre-harmoniques a des intersections a, a',. . . [Jig. 96), relatiye aux diverses sécantes pa, issues du point p considéré comme pôle ; la courbe de degré m — 1, que ces points a formeront, viendra rencontrer la proposée (m) précisément aux points de contact des tangentes cherchées. Malheureusement, sauf pour le ier et le 2e degré, cette solution est à peu près inexécutable par des procédés graphiques.

Dans le cas d'une courbe du 3e degré, la polaire de contact dont il s'agit étant simplement une conique , on pourra se contenter d'en trouver cinq points quelconques au moyen de

i54 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

trois transversales arbitraires, et Ton construira le reste de la courbe par des procédés linéaires bien connus (t. I, p. i38). Dans ce même cas, l'équation ci-dessus, propre à déterminer directement la position des deux points a, sur chaque transversale issue d'un point donné p, se réduit à celle-ci :

P./>a — -2Q./?a-f-3V = o, dans laquelle

P = /?fl + pa' -+- pa" , Q=pa.pa' -h pa .pa" -hpa' . pa" ',

Y =pa.par ,pa"9

et d'où l'on tire immédiatement

Qdbv'Q'— 3PV P" ==" p

p9 a, a\ a" étant donnés par la courbe supposée décrite, toute la difficulté serait de trouver a géométriquement; chose ici très-facile, notamment quand le point p est à l'infini ou sur la courbe du 3e degré dont il s'agit, car la détermination de p a ne dépend plus alors que d'équations d'une forme et d'une construction très-simples.

Intersections de la courbe proposée avec la polaire de contact. — Voici comment on peut démontrer directement et géométriquement qu'en effet, quand la polaire, lieu des centres contre-harmoniques, coupe la proposée en un certain point, ce dernier est nécessairement un point de contact ou l'équivalent. Il suffit pour cela de prouver qu'en chacun de ces points l'équation de définition (ax ou a) est naturellement satisfaite. Prenant pour exemple la courbe géométrique du 3e degré, on mettra cette équation sous la forme

i>* [(/** —pà) (/**-/*»')-+- (p* -pa) [px - pa9) -h (/** —pa')(pa. —pa")}

— 3(p«-pa)(paL-~pa'){pz-paM) = o,

et remarquant que, si a et a', par exemple, se confondent, ce qui suppose p a' =pa, l'équation ci-dessus acquiert le facteur pa — pa commun à tous ses termes, et que, par conséquent,

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i53

si Ton égaie ce facteur à zéro, on aura, par cela même, Tune des racines pu de l'équation, c'est-à-dire

pa, = pa=pa'9

qui indique précisément que le point a s'est confondu avec a et d sur une même branche ou sur deux branches distincte» de la courbe proposée. .

Réciproquement, pet ne saurait être égal à pa ou pa', etc., sans que la sécante devienne tangente; car alors, en introduisant cette hypothèse dans l'équation ci-dessus, elle deviendra

pa(pa — pa')(pa — pa?) = o,

qui ne peut être satisfaite qu'en faisant

ou pa = paf ou pa = p<f;

eesi-à-dire qu'alors la sécante pa touche nécessairement la courbe proposée aux points a et a' ou a et a", respectivement confondus entre eux.

Propriété essentielle des deux courbes et de leurs dérivées polaires contre-harmoniques. — Laissant de côté l'examen intéressant de ce qui arrive quand le pôle ou point de convergence/? des tangentes à la courbe donnée est à l'inQni ou sur cette courbe même, je me contente de faire remarquer :

i° Que la polaire de contact dont on vient de s'occuper est le lieu des points a tels, qu'en les prenant respectivement pour origine des segments relatifs aux transversales qui y passent, ou, si Ton veut, pour pôles fixes de ces transversales, les axes de moyenne harmonique correspondants (théorème de Cotes) pivoteront autour du point de convergence p des tangentes comme pôle réciproque des points a ou centres contre-harmoniques de p; de sorte que toutes les droites qui passent par ce même point p, peuvent être considérées comme autant d'axes de moyenne harmonique ayant pour pôles respectifs, à l'égard de la courbe proposée base des contacts, les points a mêmes de la courbe des contacts.

a° Que, dans l'équation générale (a), d'abord obtenue el qui donne les valeurs peu répondant aux centres contre-har-

i56 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

moniques a, on a, en appelant a, a\ a" les points qui répondent aux m — i racines de cette équation,

i —pa.pa' ...poiim-*)-)-pa; .pa!' . . />a(-,-*M--..,

somme des produits m — 2 à m — 2 des m — 1 racines,

-— =pa.pof.pof. . ,pa^"^9

4e produit des mêmes racines ; d'où Ton tire généralement (m— i)T iii 1

mV pa. pot! pa!' pal"*7*

relation digne de remarque et dans laquelle

T = pa .pa' .pa" . . .pal"—*) -h . . .

est la somme des produits m — 1 à m — 1 , tandis que

V = pa .pa1 .pa" . . ./?a(m~l >

est le produit total ou complet des m segments relatifs aux intersections de la transversale paa (Jig. 96) avec la courbe proposée. Or, de là on conclut, par un rapprochement facile,

m—i \pa ~*"ïa?~*~pa" + m "4"/ia(— »>j

~ m \pa^]ri*Ja~"^''' + ]û^))"

c'est-à-dire que la moyenne harmonique des segments pa, poi... y pa!m-^, en nombre m — 1, qui se rapportent à la courbe des contacts, est égale à la moyenne harmonique de ceux pa, pa'..., pa("-1) qui, sur la transversale commune issue du point p, correspondent à la courbe donnée de degré m. En d'autres termes, on peut dire que :

3° Relativement au point fixe p pris pour pivot des sécantes communes mobiles, la courbe proposée (m) et la ligne des contacts m — 1 ont même axe de moyenne harmonique. Et,

comme il en est ainsi encore de la courbe de degré m — 2 dérivée de la précédente, et ainsi de suite, on voit que cet axe harmonique, commun à toutes les dérivées, n'est autre que la droite, c'est-à-dire l'axe harmonique même auquel se réduit en définitive la dernière des dérivées de degré m — (m — 1) = 1.

4° À chacun des points p du plan de la courbe proposée (m), pris pour pôle , correspond nécessairement un axe , mais un seul axe de moyenne harmonique selon la définition cidessus; donc réciproquement, à une droite quelconque donnée, considérée comme axe harmonique, correspond au moins un pôle conjugué p, par rapport à la courbe (/n), pôle déterminable géométriquement et qui doit décrire une certaine courbe continue quand on assujettit Taxe harmonique conjugué à se mouvoir suivant une loi géométrique donnée, ellemême continue.

5° En particulier, il résulte des relations métriques ou de réciprocité qui lient la courbe des contacts ou des points a à la proposée et au pôle de concours p des tangentes, que les points générateurs a de cette courbe ont pour axes de moyennes harmoniques dans la proposée, des droites qui passent toutes par le pôle fixe/?; propriété analogue à celle qui a lieu pour les coniques où la ligne des contacts est du ier degré, et se nomme, comme on l'a vu, la polaire de p.

Plus généralement, l'enveloppe desaxes harmoniques de (m), conjugués aux divers points d'une autre ligne quelconque de degré n, tracée sur son plan, est une dernière ligne du degré

qui s'abaisse au degré (m — 1 ) ( m — 2 ) quand n = 1 ; de sorte que si la droite correspondante à n — 1 passe à l'infini, les axes de moyenne harmonique étant devenus autant de diamètres de (m), suivant la définition de Newton, l'enveloppe dont il s'agit se réduit au degré (m — i)(/w — 2), courbe à laquelle on ne peut mener que m — 1 tangentes seulement, d'un point arbitraire du plan, etc., etc.

On pourrait faire d'autres rapprochements curieux et non moins remarquables au moyen de l'équation (a) ; mais je m'arrête aux précédents, et termine par quelques remarques et réflexions essentielles.

i58 IIe CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Considérations diverses. — Supposons, entre autres, à l'infini le point ou pôle p, et construisons la courbe des points de contact relative à la proposée de degré m; faisons la même chose pour une autre direction quelconque de sécantes parallèles : si parmi les points en nombre (m — 1)\ où les deux courbes ainsi construites s'entrecoupent, il en est qui appartiennent à la proposée, ce seront des points singuliers trèsremarquables, soit multiples, soit de rebroussement, conjugués, etc.

En effet, la courbe des contacts passe évidemment par ces points singuliers, et la limite m (m — i) du nombre des tangentes possibles s'abaisse d'autant de fois ? unités que les droites allant du point donné p aux différents points singuliers renferment de cordes nulles de la courbe (m). Quant aux points d'intersection en apparence étrangers à (m), ils n'en sont pas moins très-importants à étudier, et doivent, comme les points singuliers propres à cette courbe, être totalement indépendants de la direction attribuée aux sécantes parallèles, je veux dire à la position même des points p, sur la droite à l'infini du plan de la courbe (m).

Ces considérations, qui se rattachent à la théorie ordinaire des pôles et polaires des coniques, ont, d'autre part, une relation très-intime avec le peu que nous apprend jusqu'ici l'analyse infinitésimale relativement aux points singuliers des courbes, notamment aux points de multiple inflexion, de multiple rebroussement, etc., aux points d'extrême grandeur, servant de limites, de sommets à ces courbes dans des positions pour lesquelles les coefficients différentiels des ordonnées, des abscisses, ou de toute autre fonction déterminée de ces variables, deviennent plusieurs fois nulles, infinies, et prennent la forme algébrique de l'indétermination (*).

(*) Voir à la fin de ce volume (Cah. VI) l'extrait d'un article sur la théorie des polaires réciproques ', imprimé en 1817 dans le Journal Mathématique de Gergonne, et où Ton trouvera l'empreinte de quelques-unes de ces idées, de celles surtout qui concernent la polaire des contacts, lieu des centres cantre-ltarmoniques, mais envisagée sous un aspect purement analytique à la manière de l'époque; attendu que, à propos de la solution accidentelle des problèmes proposés dans les Annales de Montpellier, je

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i5g

Voici les énoncés de quelques autres propositions relatives aux propriétés des axes et des centres de moyenne harmonique et qui dérivent immédiatement de celles qui précèdent.

Fragments résumés relatifs aux centres, aux axes et pians de moyenne distance ou fie moyenne harmonique des courbes' et des surfaces.

1. Définitions. — Si Ton prend pour base d'un faisceau de lignes droites convergeant en un même point s (fig. g5, p. nfa), considéré comme sommet ou centre de projection d'un système de points a, b, c, . . . en nombre #w, rangés sur une môme droite, et pour lesquels le point X- est un centre de moyenne harmonique ou de réciproques de segments relativement à un point 0 de la même droite, pris pour origine de ces segmente, on formera un faisceau harmonique ou harmonical ( mot adopté par de La Hire pour les coniques), dans lequel les projetantes sk et sO sont respectivement ce que je nomme les axes de moyenne et d'origines harmoniques du faisceau, axes qui jouissent de la propriété d'être coupés par une transversale rectiligne arbitraire, en un nouveau système de points harmoniques, analogue au système primitif des points de base.

Nota. — Lorsque Taxe des origines harmoniques est donné à priori, celui des centres ou moyennes harmoniques s'en déduit par des constructions linéaires, dépendantes uniquement de la Géométrie de la règle. Dans l'hypothèse inverse, la détermination de Taxe des origines dépend de la résolution d'une équation de degré m — i ou du tracé d'une courbe de ce degré, ayant un point multiple de l'ordre m — a, elle-même constructible linéairement par points isqlés et successifs (*).

H. Théorème . — Si, pour une courbe de degré quelconque m (fig. 98), on détermine Y axe de moyenne harmonique pq du faisceau des tangente* à cette courbe, issues d'un point quelconque p d'une droite arbitraire oo\

ne voulais point entamer l'exposé de théories que je me proposais d'approfondir et de publier lorsque des circonstances m'en offriraient la possibilité matérielle et l'occasion propice; le peu que j'ai dit dans ce même article, des polaires réciproques et de la courbe des contacts, a d'ailleurs suffi pour mettre sur la voie, neuf années après, d'autres savants moins empêchés, ou plus favorisés que moi ( t. XVI, XVII et XV1U des mêmes 4 finales).

(*} Voir la démonstration de ces propositions dans le tome VIII du Journal de C re\h (p. 5i, 117, 2i3, 370), qui contient la première partie du Mémoire déjà cité sur Y Analyse des transversales, présenté en septembre i83o h l'Institut, et auquel les recherches de ce II9 Cahier ont servi de point de départ et d'appui.

i6o n* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

située dans son plan et prise pour axe fixe des origines harmoniques du faisceau, le premier de ces deux axes, mobile avec le point p de eon-

Fîg. 98.

vergence des tangentes, ira concourir, dans toutes ses positions, en un point 7, fixe comme la courbe ( m ) et le second des axes dont il s'agit.

III. Théorème. — Si, d'un autre point quelconque p' de Taxe des origines 00', on mène des rayons ou projetantes vers les points de contact a, b, c, . . . des tangentes ci-dessus, elles formeront un nouveau faisceau dont Taxe des moyennes harmoniques, conjugué à Taxe fixe oo\ coïncidera avec Taxe pareil des tangentes issues de p', et pivotera, par conséquent, aussi sur le pôle immobile 7, lequel, pour ce motif et d'autres encore, peut être nommé le centre harmonique général de la courbe géométrique (m) y relativement à la droite invariable 00',

IV. Théorème. — Si l'on fait pivoter, à son tour, l'axe des origines harmoniques 00' autour d'un point fixe quelconque p de sa direction, le centre q des moyennes harmoniques changera, mais les points de contact n, b, c,..., dos tangentes issues de p restant immobiles, ce centre q décrira la courbe même des contacts conjuguée à /?, et dont, comme on l'a vu, le degré est généralement m — 1.

Remarque. — Les théorèmes ci -dessus s'étendent, sans aucune difficulté, aux courbes à double courbure et aux surfaces géométriques situées dans l'espace, en observant que nos définitions (I) s'étendent ellesmêmes au faisceau de m plans qui ont une droite commune de convergence en s (fig. 95), et seraient coupés par un plan fixe OX A des origines contre-harmoniques. Ainsi notamment :

V. Théorème. — Là fig. 98, représentant une courbe à double courbure ou une surface géométrique de degré quelconque m, figure dans laquelle 00' représente également un plan arbitraire pris pour plan des origines harmoniques, et le point p une droite quelconque située dans ce plan, de laquelle partent les m—\ plans pa, pb, pc,... tangents à la

courbe ou surrace (/m); enfin pq représentant le plan des moyennes harmoniques de ce faisceau de plans tangents, par rapport au plan des origines oo\ tous ces plans pq et leurs analogues passeront par un point unique q de l'espace, que Ton peut encore nommer le centre général et unique de moyennes harmoniques de la courbe ou de la surface proposée relativement au plan 00'.

Nota. — Des théorèmes analogues ont lieu quand on substitue aux faisceaux de plans tangents, les cônes enveloppes d'une courbe ou d'une surface, issus de chacun des points d'un plan d'origine 00', et l'on entrevoit, à priori, que leur système possède, relativement à un axe ou à un plan donné d'origines harmoniques, une infinité de diamètres ou d'axes harmoniques qui viennent tous converger en un centre commun et unique de moyennes harmoniques, jouissant de propriétés entièrement analogues à celles des pôles, polaires et plans polaires des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés se convertissent en d'autres relatives aux centres, axes, diamètres et plans diamétraux ordinaires ou de moyennes distances, quand les points, les droites, ou les plans d'origines harmoniques sont censés à l'infini ; et comme, dans ce cas, les propositions diverses qui viennent d'être indiquées sont d'une démonstration facile, elles peuvent, au moyen de nos principes de projection centrale et de continuité, servir de points de départ à l'étude des propriétés les plus générales, qu'il convient d'ailleurs de faire précéder des théorèmes analogues relatifs au cas, plus élémentaire encore, où les courbes et les surfaces géométriques dont il s'agit se réduisent simplement à des systèmes de points, de droites ou de plans donnés quelconques, etc. (*).

Addition au IIe Cahieh, par M. Mannheim (mars i863).

Déterminer l'expression du rapport des rayons de courbure en deux points quelconques d'une courbe du 3* ordre.

Coupons la courbe du 3* ordre par un triangle ABC [fi g. 99). En vertu du théorème de Carnot, on a la relation

,,) 1 Aa.Xa'.Aan.Bb.hb'.Bb''.C>c.Cc,.C>ctt

= Xc.kc'.kc\Cb.Cb,.Cb\Ba.Ba'.Ba\

(*) C'est ce que j'ai fait dans le Mémoire sur les centres de moyennes harmonises, présenté en mars 1824 * l'Institut de France, et postérieurement imprimé dans le tome III, p. 21 3, du Journal Mathématique de Crelle.