TROISIÈME CAHIER

SUR LA LOI DES SIGNES DE POSITION EN GÉOMÉTRIE, LA LOI ET LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ (*).

En employant transi toirement dans ce qui suit, avec M. Carnot (Géométrie de position), les mots de corrélation, corrélatif, ainsi que ceux de direct et inverse proposés, en 1799, Par de Velay, de Genève ( Introduction à V Algèbre), pour indiquer un certain étal de correspondance entre des figures analo-

(*) J'ai supprimé de ce Cahier, sauf quelques indications et explications indispensables, les quarante premières pages manuscrites, qui concernaient l'examen critique des objections soulevées par Carnot, dans sa Géométrie de i*)siiion, contre l'interprétation et remploi de la règle des signes jusque-là admis dans les applications de l'Algèbre à la Géométrie; car cet examen prématuré, ces réfutations à priori, datées de l'hiver de 181 5 à 181 6, sont en majeure partie, reproduites et mises à leur véritable place dans le cours de ce lir Cahier et du suivant, où se trouve exposée, justifiée, d'une manière plus approfondie et plus philosophique, l'admission du Principe de continuité, tel que je l'ai entendu et indiqué dès le premier volume de ces applications.

Dans ses nombreux tableaux de corrélation des figures, généralement complexes et assujetties à un même mode de description ou de génération continue, Carnot épuise, en quelque sorte, tous les cas, toutes les situations, à la manière des Anciens; il suppose implicitement la permanence des relations métriques, la loi des signes de position, mais il ne les démontre pas, et, en cela même, il s'écarte de la marche toujours logique d'Euclide, d'Archimèdc et d'Apollonius, se rapprochant ainsi de l'idée, Loute moderne et algébrique, qu'on attache au mot de fonction; mot qui implique en lui-même, cette permanence ou principe de continuité, bien qu'on en ait, contradictoirement et sans motifs plausibles, reproché l'emploi au moins tacite, dans certains raisonnements, certaines démonstrations de la Géométrie de Monge, comme j'en ai déjà fait la remarque en plusieurs endroits du précédent volume.

Cette antinomie dans les idées, et les épineuses objections adressées par dAlombert et Carnot à l'ancienne loi des signes de position, expliquent

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gués, dérivées ou non de la même source, du même type primitif, nous aurons soin d'en indiquer nettement l'acception dans chaque cas.

Nous admettrons, à priori, l'hypothèse de la continuité sans la discuter ni l'approfondir à l'avance, aussi bien que les règles anciennes et indiscutables du calcul algébrique, fondées sur le rapprochement, l'analogie logique des idées ou des résultats antérieurement acquis, et non pas simplement sur des conventions à priori et arbitraires, telles qu'on en adopte trop souvent en faveur des élèves paresseux de l'esprit. Au contraire, nous repousserons comme vaines et dangereuses toute idée préconçue, toute interprétation à priori des quantités isolées, positives, négatives et imaginaires, quelque séduisante qu'elle puisse paraître.

Ainsi nous n'adopterons nullement, avec certains métaphysiciens algébristes, les soi-disant êtres de raison détachés de leurs attributs concrets et des signes de représentation géométrique, algorithmique ou figuratifs en langage convenu et exactement défini. Pour nous, qui admettons la génération continue des grandeurs simples, fussent-elles isolées, nous aurons

pourquoi ses théories ont été froidement accueillies par les géomètres, et comment, malgré ma profonde admiration pour ce grand homme, profitant des loisirs que m'avaient imposés les événements à dater de la fin de i8i5, j'ai été conduit, par une pente irrésistible de mon esprit et pendant même le douloureux exil de l'illustre auteur, à combattre dans le silence du cabinet, les doutes et, à certains égards, les doctrines philosophiques de la Géométrie de position; toutefois, avec la volonté expresse d'ajourner toute rédaction définitive, toute publication officielle de mes idées jusqu'à une époque moins défavorable à beaucoup d'égards; n'ayant en principe d'autre but que d'affermir par de sévères et consciencieuses études, ma route vers des recherches plus positives, moins discutables dans les résultats et, en quelque sorte, plus matériellement utiles.

Aujourd'hui, après quarante-huit ans écoulés, je me borne, comme pour les précédents Cahiers, à transcrire le texte manuscrit, sans rien changer d'essentiel dans l'ordre ni la nature des idées, en un mot sans en altérer la pensée fondamentale, mais on supprimant cependant de cet ancien texte, les exemples trop multipliés, les développements surperflus pour beaucoup de lecteurs, et en m'abstenant même d'y introduire aucune dos réflexions critiques que pourraient suggérer quelques écrits postérieurs, touchant la théorie géométrique des signes de position.

plus spécialement à considérer le double mode de cette génération dans le sens progressif ou rétrograde, positif ou négalif (additif ou soustractif ), à compter d'une origine commune, exactement indiquée et définie. Mais, afin de procéder du simple au composé, nous débuterons par examiner, dans leur état en quelque sorte rudimentaire, les objets de la Géométrie pure pour en déduire des règles certaines, relatives aux conditions sous lesquelles a lieu l'entière concordance entre la loi des signes algébriques et la situation relative des grandeurs figurées, telles qu'on en rencontre dans la Théorie des transversales, la Trigonométrie, l'Analyse des coordonnées, etc.

Relations génétiques entre les distances , les angles et les aires relatives aux figures élémentaires de la Géométrie.

1. De toutes les relations que la Géométrie envisage, les plus simples sont, âans contredit, celles qui appartiennent aux distances respectives d'un système de points rangés sur une même ligne droite; viennent ensuite celles qui concernent la grandeur des angles formés autour d'un même point ou sommet et les arcs qui les mesurent dans un cercle ayant pour centre ce point. Les relations de position et de grandeur, c'est-à-dire descriptives et métriques qui lient entre eux ces différents objets, ont, comme on sait, la dépendance la plus intime, et peuvent être comparées, étudiées séparément ou simultanément, ainsi qu'on le verra ci-après.

2. Soit, en premier lieu, AB (fig. 101) la droite indéfinie qui renferme les points à examiner.

Supposons que, de chacun des points a, b, c,... de cette

Fig. 101.

po

droite, on mène à un point extérieur quelconque s, d'autres

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lignes droites telles que sa, sb, se, . . . , çt que les angles que ces dernières forment entre elles soient, ainsi que les distances mutuelles des points a, b, c. . ., à examiner simultanément. Décrivons enfin, de * comme centre, une circonférence de cercle quelconque dans le plan qui contient à la fois ÀB et ce point, sorte de pâle ou de centre de projection de la droite ÀB et des points, des distances qu'elle renferme. Les droites rayonnantes ou projetantes sa, sb, se,. . . , nommées aussi rayions vecteurs dans certaines circonstances, viendront déterminer sur ce cercle, de nouveaux points a', b', c', . . . correspondant aux premiers a, b, c,. . ., et fournissant, par leurs distances circulaires et mutuelles, c'est-à-dire par les arcs qui les séparent, la mesure respective des angles au centre soustendus, formés par les droites rayonnantes.

Cela posé, admettons qu'il existe une relation quelconque de position et de grandeur, entre les distances mutuelles des points a, b, c,. . . ; il en existera nécessairement d'analogues entre les arcs et les angles correspondants, sinon quant à la mesure effective et absolue, du moins quant à la disposition, à la situation relative des parties. Ainsi les systèmes de points, de droites, de distances, d'arcs et d'angles considérés auront entre eux la correspondance ou corrélation la plus intime, bien qu'envisagés isolément, ils puissent comporter toute l'indépendance et la généralité possibles.

3. Ce rapprochement entre les arcs de cercle, les angles et les distances rectilignes, est d'autant plus naturel que, à proprement parler, on ne saurait fixer graphiquement la position d'un point sur une ligne droite ou courbe, qu'en assignant une autre ligne continue qui renferme ce point, et que, à son tour, on ne saurait fixer la direction indéfinie de cette ligne auxiliaire, si elle est droite, qu'autant qu'on connaisse un point Vixe s par où elle passe, et l'angle qu'elle fait avec une autre droite également fixe déjà connue et passant aussi par ce point. Tel serait, par exemple, Yaxe arbitraire, sa'a.

4. Le système le plus simple est celui où l'on ne considère que deux points a et b, ou une seule distance ab sur la droite indéfinie AB; dislance absolue, constante, si Ton suppose a et b fixes, mais variable si ces points changent de position

sur ÀB, l'un par rapport à l'autre, soit en s' écartant, soit en se rapprochant entre eux d'un mouvement essentiellement continu. Or, de cette supposition découlent toutes les notions géométriques concernant la mobilité ou déplacement relatif des points et la génération des distances mutuelles ou des chemins parcourus.

Tant qu'on ne considère qu'une seule distance abf un seul angle asb, ou un seul arc a'b', ces grandeurs sont, à proprement parler, des quantités absolues et abstraites, susceptibles de croître et de décroître depuis zéro jusqu'à l'infini, représentés par les indices o et - ou oc . Mais, quand on veut

considérer à la fois la grandeur et la position relative, il se forme dans l'esprit une conception nouvelle, consistant en ce que la distance, l'arc et l'angle dont il s'agit, peuvent avoir une position contraire par rapport à l'extrémité fixe d'où ils se mesurent, soit en deçà, soit au delà, soit à gauche, soit à droite de cette même extrémité. Si l'on n'en connaissait que la mesure absolue, il y aurait indétermination; il faudrait de toute nécessité, dans l'indécision où l'on serait à l'égard de leur position effective, les supposer indistinctement à droite ou à gauche, etc. De là aussi utilité manifeste d'indiquer le sens par un signe mnémonique attribué à chaque grandeur, outre son mode propre de génération continue; d'autant plus que, par exemple, deux dislances ou chemins inverses (opposés de sens) ne comportent pas nécessairement, ainsi qu'on en aura plus tard la preuve, des signes algébriques contraires, s'ils ne dérivent point d'un seul et même mode de génération continue.

5. D'autre part, pour construire une longueur donnée avec une ouverture de compas fixe ou par un tracé continu, il y a lieu de s'enquérir de celle des extrémités a ou b qui doit servir de point d'appui, de départ ou d' origine, ainsi que du sens attribué à la génération. Enfin si, au lieu d'être donnée de grandeur et de direction, la distance ab est supposée variable sur la ligne droite indéfinie» AB, suivant une loi quelconque, il y a lieu de s'enquérir, non-seulement de sa direction par rapport au point i\\o ou d'origine a, mais aussi du sens direct ou

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inverse qu'il convient d'attribuer au mouvement de l'extrémité b; sens impossible à fixer à priori, c'est-à-dire abstraction faite de la connaissance des lois de la figure géométrique ou du système variable auquel ce point appartient.

6. Algébriquement parlant, une grandeur continue quelconque ne peut changer de signe qu'en passant par zéro ou son réciproque l'infini absolu ; mais elle n'en change pas nécessairement, et cela arrive aussi bien en Géométrie quand zéro et l'infini sont des limites infranchissables au delà desquelles la grandeur devient impossible, imaginaire.

En particulier, ces remarques sont applicables à la distance variable ab (fig. 101 ) dont a serait l'origine fixe, ainsi qu'aux sécantes, aux projetantes sa, sb et aux aires triangulaires sab, sa'b* qui s'y appuient; mais elles cessent de l'être pour les arcs a'b' et les angles correspondants asb', qui ne deviennent point infinis avec ab, ni par conséquent négatifs ou inverses de sens, comme cela arrive entre autres pour la sécante sb, à l'égard de l'origine fixe s, quand cette sécante prend la position sco , parallèle à AB.

Loi des signes de position, relative aux points rangés sur une ligne droite, une circonférence de cercle, etc.

Ces définitions et notions premières étant admises, passons à l'examen du système de trois points en ligne droite; en vertu du rapprochement que \&fig. 101 établit entre les distances linéaires, les arcs et les angles, ce que nous dirons des uns pourra s'appliquer immédiatement aux autres; c'est pourquoi, dans ce qui suit, je me bornerai à considérer les distances linéaires seules, mais on devra se rappeler que les mêmes choses s'appliquent aux arcs et aux angles.

7. Soient donc a, b, c (Jig. io?) trois points donnés sur la droite indéfinie AB ; Ton aura évidemment, pour le cas où b est entre a et c, en cheminant de la gauche vers la droite, c'est-à-dire dans l'ordre

( abc ) , ac = ab -+- bc.

Or celte relation intuitive aura lieu tant que b sera entre a

et c, quelles que soient d'ailleurs les distances qui séparent ces points; c'est-à-dire tant que a, bf c n'auront pas changé de position entre eux, ou, si Ton veut encore, tant qu'aucune de leurs distances mutuelles ne sera devenue inverse, rétrograde par rapport au sens et à Tordre primitifs.

Il en sera de même évidemment de toutes les autres relations dérivées de la première, soit géométriquement, soit algébriquement, par exemple de celles-ci,

ab = ac — bc, ac = ab -+-bc -+- a ab . bc9 ab = ac H-frc — 2ac.bc, etc., £tc;

car elles en sont des transformations exactes et rigoureuses : toutes ces relations demeurent immédiatement applicables, sans aucun changement de signe, a l'état supposé du système.

8. Mais la même chose n'a plus lieu dès l'instant où la disposition réciproque des points vient à changer, par suite du déplacement d'un ou de plusieurs d'entre eux; c'est-à-dire dès l'instant où l'une quelconque des distances ab, ac, bc devient inverse ou rétrograde par rapport à l'origine d'où elle se mesure, en allant toujours de la gauche vers la droite selon notre hypothèse invariable.

En effet, si le point b, par exemple {Jig. 10a), s'est trans-

Fig. 10a. 1 s -j 3 s

Fig. io3. -j s ? g g

Fie- «°4 1 c a 5 b

porté {Jig. io3), d'un mouvement continu quelconque, de la gauche à la droite de c, la distance bc ayant changé de sens, on aura (Jig. 102), dans l'ordre

( acb ), ac = ab — bc ;

relation caractéristique qui ne diffère deac=ab-t-bc, qu'en ce que bc a pris un signe contraire à celui qu'il avait primitivement, c'est-à-dire est devenu négatif en même temps qu'inverse en passant par zéro. Or, il en sera évidemment ainsi de

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toutes les autres relations métriques qu'on pourra déduire de celle-là algébriquement, et qui correspondront, chacune à chacune, aux premières de la combinaison (abc) appartenant à la Jig. 102; elles ne différeront toutes, de leurs corrélatives, que par le changement de signe de bc.

Si donc on voulait rendre applicables à la seconde situation .(acb) des points a, b et c, les relations trouvées pour la première (abc), il suffirait de changer bc en — bc dans la relation primitive et dans toutes ses dérivées.

Désormais nous cesserons, pour la simplicité, de distinguer les relations dérivées de la relation primitive, parce qu'elles sont des conséquences rigoureuses de celle-ci, algébriquement ou géométriquement parlant.

9. Considérons maintenant la troisième et dernière disposition distincte que peuvent prendre les points a, b, c, par exemple celle où le point cf de la droite ÀB, passe en rétrogradant à gauche du point a. On a alors (Jig. io4), dans Tordre

(cab), ac = bc — ab,

ou, algébriquement,

— ac = ab — bc ;

relation qui fait voir que, par suite du déplacement du point c de \*fig* 102 à la Jig. 104, ac et bc ont changé à la fois de signe, de même que les distances qu'elles représentent, devenues inverses, ont changé de sens relativement à l'ordre primitif des points ou des lettres.

Si donc l'on veut rendre applicable à la dernière de ces figures les relations diverses trouvées pour la première, il suffira d'y changer les signes des deux distances bc et ac, devenues (Jig' 102) cb et ca dans l'ordre rétrograde.

D'ailleurs, ces diverses relations et leurs dérivées algébriques auront lieu pour toutes les grandeurs des lignes qui y entrent et qui, rapportées à la même unité de mesure, pourraient être représentées par des lettres quelconques, à la manière de Viète, et cela quand bien même elles changeraient de signe ou de sens en passant par l'infini.

10. Sans qu'il soit besoin d'aller plus loin, il est visible que

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i;5

les observations ci-dessus, relatives au système des points a, b, c (/ig. 102), se reproduisent également dans toutes les autres permutations de ces points, à l'égard des changements de signe que doivent subir les distances de la relation primitive, pour qu'elle devienne applicable indistinctement à toutes les situations possibles. En particulier, quand les points a, 6, c prennent la position indiquée par la fig. io5 ci-dessous, les distances sont devenues à la fois inverses ou rétrogrades par rapport à celles de \*fig» 102; mais alors on a

ac = ab-\-bc, soit — «6* = — ab — bc;

ces distances sont donc aussi devenues simultanément négatives; ce qui confirme la règle algébrique. On voit par là, d'ailleurs, que les signes ne sauraient, sans convention ex-

Fig. io5.

presse, fixer la position absolue des points a, b, c sur la droite AB; on pourra toujours les renverser symétriquement sans que les relations en soient troublées, en changeant le sens de la génération des lignes de la droite vers la gauche.

11. Donc, pour rendre une relation appartenant au système de trois points quelconques en ligne droite, et relative à une situation donnée de ces points, applicable à toutes les situations passibles des mêmes points, il suffit de changer dans cette relation, le signe des distances devenues inverses ou rétrogrades par rapport au sens dans lequel on les supposait primitivement engendrées. En d'autres termes, il suffît de regarder comme positives les quantités qui conservent le même sens A l'égard de l'extrémité d'où elles se mesurent, et comme négatives celles qui changent de sens par rapport à ce même point .

Ainsi, il y aura variation de signe et permanence en même temps que variation ou permanence de position relative. H est visible, en outre, que la permanence aura lieu toutes les fois que la distance ne sera devenue ni nulle ni infinie, et que, ré ciproquement, la variation n'arrivera que dans l'hypothèse contraire.

i7G IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

12. Supposons maintenant qu'on introduise un quatrième point parmi les trois autres, je dis que la règle examinée cidessus aura encore lieu à l'égard des relations qui concerneront leurs distances mutuelles, alors au nombre de six, et en admettant toujours la notion de continuité et la convention que le sens progressif va de A vers B, de gauche à droite» et le sens rétrograde de B vers A, de droite à gauche.

Pour le démontrer directement et sans recourir à un nouvel examen circonstancié, j'observe que, quelles que soient les relations géométriques entre les distances mutuelles d'un pareil système, elles doivent nécessairement provenir de transformations géométriques ou algébriques, appliquées à trois quelconques des équations primitives, linéaires et indépendantes, du genre de celles ci -dessus qui concernent trois points rangés en ligne droite.

On aura, par exemple (fig. 106), entre les distances qui lient entre eux quatre points a, b, c, d sur la droite AB,

bc = ac — ab, bd =z ad — ab, cd = ad — ac;

s'il pouvait exister entre les six distances ab, ac, ad, bc, bd, ca, toute autre relation qui ne fût pas une conséquence algébrique ou géométrique de celles, en quelque sorte identiques, qui définissent la position des points a, b, c, d, il arri-

Fig. 106.

A a h crf'B ,

verait qu'en y remplaçant, par exemple, bc, bd, cd par leurs valeurs ci-dessus, on obtiendrait une nouvelle relation entre ab, ac et ad, qui ne serait pas d'elle-même une identité de cette espèce; ce qui est visiblement absurde, puisque l'on pourrait calculer l'une de ces distances au moyen des deux autres, et que, par hypothèse, les points b, c, d, comme les distances ab, ac, ad qui en déterminent les positions relatives, sont supposés indépendants de toute condition ou relation mathématique donnée à priori et étrangère à celles que rend évidentes le raisonnement géométrique, aidé de simples et légitimes transformations ou combinaisons algébriques (7 et 17). Or, nous avons démontré que chacune des relations d'iden-

lité géométrique qui appartiennent au groupe de trois points arbitraires, pouvait s'appliquer à tous les états possibles du système complet des points a, 6, c, rf, en ayant égard à la règle ci-dessus des signes algébriques de position; donc il en sera ainsi des nouvelles relations métriques, je veux dire des équations qui peuvent en dériver par des opérations licites, exécutées sur les plus simples d'entre elles et qu'on pourrait nommer relations, équations linéaires de situation.

13. Le même raisonnement étant applicable à un nombre quelconque de points distribués sur une ligne droite, il en résulte, en définitive, que les relations géométriques d'un pareil système peuvent toutes être censées provenir d'un nombre limité de relations du genre de celles que nous venons de définir et d'examiner.

Concluons enfin que, quel que soit un système de points situés sur une ligne droite, les relations métriques qui lui appartiennent sans conditions étrangères à la situation naturelle des parties, demeurent applicables à toutes les positions possibles des points dont ce système se compose , toujours en ayant égard à la règle des signes de position.

Un simple coup d'œil suffira, comme on voit, pour établir la correspondance des signes entre les divers systèmes dérivés ou corrélatifs. Cependant il existe quelques difficultés qu'il est intéressant de faire connaître à l'avance, parce qu'elles sont la source de contradictions et d'erreurs apparentes dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie.

14. Dans ce qui précède, nous avons supposé fixe l'axe, la droite indéfinie qui renferme les points examinés; mais cette droite pourrait faire partie d'une figure générale variable, et, dans le passage de cette figure à celle qui lui est corrélative par voie de continuité, il pourrait arriver non-seulement que les points dont il s'agit changeassent de position entre eux, mais encore que la droite elle-même changeât de position relativement aux données de la figure, par exemple, en pivotant autour d'un point fixe. Dans ce cas, il est très-essentiel pour ne pas se tromper, de suivre exactement le mouvement de la droite et de ne pas perdre de vue quel est le sens positif ou négatif, progressif ou rétrograde, primitivement attribué