ij

aux lignes ; car, si Taxe rectiligne considéré avait, par exemple, . accompli une demi-révolution dans l'espace par rapport à sa position première, il est visible que le sens de droite sera devenu celui de gauche et inversement, sans même que la position relative des points ait changé. Alors donc, comme dans toutes les circonstances où il pourrait y avoir incertitude sur le véritable sens des signes et des distances, on fera bien de recourir à des repères extérieurs lels que ceux A elïHJig. ioi à 106), situés à une distance assez grande des points du système, pour indiquer nettement, l'un le côté droit, l'autre le côté gauche sur l'axe mobile, et qui permissent en même temps de suivre, au moins par la pensée, le* sens de son propre mouvement de rotation et de translation ( * ).

15. La difficulté relative au signe de la sécante des arcs supérieurs à 200 degrés, si obscurément discutée et résolue par MM. Carnot et Gaudin, provient essentiellement d'une confusion de cette espèce, qui ne saurait se produire dans le système des axes coordonnés de notre illustre Descartes : là, en effet, l'origine et le point fictif vers l'infini à droite, servent de repères naturels aux autres points et aux distances variables comptées, de l'origine commune, sur ces axes respectifs censés immobiles. Néanmoins, comme ces distances et ces points ne sont que la représentation, la projection géométrique de ceux de la figure variable à considérer dans l'espace, les mêmes difficultés se reproduisent dans l'interprétation du résultat final des calculs algébriques sur la figure transformée ou corréla-

(*) En généralisant cette considération et l'étendant à des lignes et à des surfaces quelconques mobiles dans l'espace absolu , en conçoit qu'il se passe ici des choses analogues à celles qui ont lieu pour les mouvements relatifs des systèmes invariables, sinon quant au temps, aux vitesses, aux accélérations totales ou résultantes, du moins quant aux déplacements mutuels des parties et des points dont les distances peuvent d'ailleurs varier suivant des lois quelconques. Ces considérations se rattachent, comme on voit, à ce qu'on nomme, en général, la transformation des coordonnées dans l'espace absolu ou relatif, problème dont nos grands géomètres algébristes nous ont déjà offert de belles solutions, sans néanmoins soulever entièrement le voile et résoudre les difficultés qui tiennent à la loi de continuité et des signes de position.

tive, ainsi que nous en verrons plus tard des exemples remarquables. C'est pourquoi il me semble utile d'insister ici encore sur divers éclaircissements.

16. Pour suivre avec une entière facilité la loi de la mutalion des signes dans les ûgures corrélatives d'un système quelconque de points en ligne droite, on pourra écrire pour la figure type ou primitive, à la suite les unes des autres, les lettres qui désignent le système des points variables à considérer dans Tordre même où ils se présentent en cheminant de ia gauche vers la droite, c'est-à-dire dans le sens supposé positif et progressif à priori : soit {fig> 106, p. 176) dans l'ordre

a, b, c, d, ey. . . ,

Alors si, pour une nouvelle position du système, l'ordre est

devenu

a, ey d, bt v,. . .,

ce sera une preuve évidente que les distances bd, be, cd, cey de, par exemple, ont changé à la fois de sens et de signe en passant par zéro ou par l'infini, c'est-à-dire, en d'autres termes, sont devenues inverses ou rétrogrades, tandis que les distances ab> ac, ad, ae, bc sont restées directes dans l'ordre progressif, non-seulement pour toutes les relations de positions linéaires primitives, mais aussi pour toutes celles qui en seraient déduites algébriquement.

Pareille chose aura lieu encore pour des relations particulières quelconques mais non identiques, lorsque, d'après les données de la figure et les conditions du problème, elles seront soumises à la loi de continuité et des signes de position : telles sont, par exemple, les relations qui définissent, sur une droite fixe, la proportion ou moyenne liarmonique selon Platon et Pappus (*), ainsi que la plupart des relations qui nous

(*) Serait-il vrai qu'Ëuclide et Apollonius, et à leur suite Legendre dans sa Géométrie élémentaire, se fussent trompés dans leurs écrits sur cette relation si élégante et si simple, en la privant do tout signe symbolique et conventionnel? Je le pense d'autant moins que la Géométrie analytique, celle des coordonnées de Descartes, ne saurait justifier en aucune

i8o IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

ont occupés dans le IIe Cahier de ce volume, et qui, d'après ce qu'on a vu, prennent leur source et leur point d'appui nécessaire dans les propriétés mêmes des racines ou des coefficients des équations algébriques.

17. Mais si, au contraire, les relations métriques données à priori et étrangères à celles qui définissent la position respective des points ci-dessus d'une manière indépendante de toute convention particulière, si ces relations métriques et algébriques ne sont point, par elles-mêmes ou par les hypothèses du problème, assujetties à la loi de continuité et des signes de position, leur combinaison avec les premières ne pourra évidemment conduire à des résultats soumis à cette même loi, et par conséquent d'une interprétation géométrique facile; notamment si, parmi ces équations, il en existe une seule de ces formes toutes géométriques,

k.cd = ab t cd= — , »

ab ou, algébriquement, de celles-ci

A étant une constante linéaire, x = cd, y = ab des indéterminées ou variables arbitraires; dans des cas pareils, disonsnous, l'interprétation des résultats de l'élimination ou des transformations algébriques pourra offrir des difficultés véritables, des paradoxes même dont on verra, dans la suite de cet écrit, divers exemples choisis parmi ceux qui ont déjà exercé la sagacité des géomètres, et qui se reproduisent aussi bien en

manière et par aucun artiâce de calcul ou de raisonnement, cette introduction à priori du signe négatif dans une égalité à deux termes; introduction inopportune, et qui ne tend à rien moins qu'à obscurcir, oblitérer même, le sens géométrique des adeptes, en s'adressant exclusivement à leurs yeux et à leur mémoire; méthode permise seulement dans les basses classes de nos institutions scientifiques, dans les écoles commerciales et industrielles, où il s'agit moins d'exercer le jugement que d'enseigner des faits et des vérités pratiques.

Géométrie, en Mécanique, en Physique, en Astronomie, etc., qu'en Algèbre ou en Analyse pure.

18. La plus simple de toutes les relations métriques qui peuvent appartenir à une série de points a, A, c, rf, e, situés en ligne droite, et dont les déplacements mutuels restent soumis à la continuité, se rapporte, sans contredit, aux relations d'abord examinées qui expriment la somme algébrique linéaire des distances consécutives entre ce9 points. Or, d'après ce qui précède, on ne sera jamais embarrassé de lire et d'énoncer géométriquement une telle somme pour toutes les figures corrélatives et dans toutes les situations possibles des points, en cheminant, je suppose, dans le sens positif de gauche à droite. Mais, pour éviter la fatigue de l'esprit, abréger, généraliser tout à la fois le discours et l'écriture, on peut considérer géométriquement cette somme comme représentant la projection orthogonale ou oblique du contour d'un certain polygone ouvert ou ferme, plan ou gauche, sur l'axe dont il s'agit, et le long duquel un mobile cheminerait continûment dans le sens positif ou progressif primitivement adopté, en allant de l'une à l'autre des extrémités de ce polygone.

19. On a un célèbre exemple d'une telle considération géométrique, dans la composition des forces ou des vitesses appliquées à un même point, ici représentées par des droites, des chemins respectivement parallèles aux côtés du polygone et dirigés dans le même sens. De pareilles considérations, trèssimples, sont en effet généralement familières aux intelligences tant soit peu exercées en Géométrie: les premiers linéaments, si je ne me trompe, en sont dus à Varignon ( Nouvelle Mécanique, i685), esprit philosophique et généralisateur trop oublié de nos jours, et dont les aperçus géométriques, nés d'un théorème célèbre de Leibnitz relatif à la résultante et au centre de gravité des extrémités de forces appliquées à un même point, sont, en quelque sorte, complétés par les études de MM. Lhuilier (de Genève) et Carnot, relatives à la projection orthogonale des polygones et des polyèdres sur un axe rectiligne ou un plan fixe arbitraires; projections dans la dernière desquelles les aires des faces polyédrales correspondent aux moments mêmes des forces concourantes d'abord mentionnées.

182 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

20. Les additions el soustractions indiquées par les signes et — dans les sommes géométriques à considérer en projection sur un axe fixe rectiligne, peuvent d'ailleurs s'opérer suivant les règles algébriques ordinaires, c'est-à-dire dans un ordre tout à fait arbitraire, comme la construction même des côtés successifs du polygone des forces, des chemins ou droites convergentes de la figure (*).

11 y a plus, ces projections, s'opérant par des ordonnées parallèles à un second axe fixe quelconque, sur lequel, à son tour, le polygone peut être projeté par d'autres parallèles au

premier axe, il en résulte un système de coordonnées tout à fait analogue à celui de Descartes, et auquel on peut appliquer des remarques pareilles à celles des n°* 14- et suiv., relatives aux lignes et distances du plan ou de l'espace rapportées à trois axes coordonnés fixes arbitraires issus d'un même point d'origine. Quant aux ordonnées, aux appliquées parallèles des divers sommets du polygone et des extrémités des chemins convergents, bien qu'elles soient, à d'autres égards, indépendantes entre elles et distinctes dans leurs positions respectives, il n'en est pas moins vrai qu'elles sont soumises

(*) Dans des leçons du soir faites, en 1827, aux ouvriers messins, tendant une convalescence longue et pénible, j'avais pris pour base de la Mécanique la notion, pour ainsi dire intuitive, de la composition des chemins issus d'un même point et des projections du polygone qui sert à construire le dernier côté ou chemin résultant. Ainsi, par exemple, aiin de démontrer que, pour tout déplacement virtuel, fini ou infiniment petit, du point commun d'origine de ces chemins représentant autant de forces concourantes, la somme des moments ou des travaux virtuels de ces forces est égale au moment ou au travail virtuel de leur résultante, il suffisait de multiplier le déplacement arbitraire du point général d'application dont il s'agit par la projection de la résultante géométrique, c'està-dire par la somme algébrique des projections des forces sur la direction indéfinie du môme déplacement. Or, cette proposition capitale conduit, par une voie toujours simple et intuitive, à la composition des travaux et des moments des forces en général. ( Ier Cahier lithographie du Cour a de Mécanique industrielle ; édition de 1827, rédigée par le capitaine du génie Gosselin, d'après des leçons orales qui n'étaient qu'une rapide et simple émanation de celles que, à partir de janvier 1825, j'avais été chargé de professer aux élève? de l'École d'application de Metz.)

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. iSl

aux mêmes lois de signes que leurs projections sur chaque axe» respectif.

Ainsi tes considérations précédemment exposées (17) [tour les sommes algébriques des segments de points rangés sur une mémo droite leur sont directement applicables, et les principes de continuité et de corrélation relatifs aux signes dans les équations algébriques transformées, n'ont lieu qu'autant qu'il n'existe aucune relation métrique exprimant des conditions étrangères à la loi des signes de position et à la génération continue des grandeurs que Ton considère.

A l'égard des lignes polygonales en particulier et des chemins convergents qu'elles représentent, il est à remarquer que ces chemins ne comportent par eux-mêmes aucun signé algébrique ou géométrique de position, s'ils ne dérivent d'un mode unique de génération qui, pour ainsi dire, se transporte hypothétiquement et d'une manière indépendante, d'une direction rectiligne à celle qui lui est contiguë par voie de continuité; tout comme il arrive, par exemple, pour les attractions planétaires, la chute des graves, etc., ou, simplement, pour les sécantes du cercle, dont les signes de position ne peuvent être que relatifs a la direction tournante du rayon (15), signes non convenus à l'avance ni imposables à priori.

Seulement, comme, dans le cas de chemins convergeant ou rayonnant autour d'un même point et projetés sur un axe fixe, le rapport numérique de chaque ordonnée au chemin correspondant n'est autre que ce qu'on nomme en Trigonométrie, selon les cas, le sinus et le cosinus de l'angle formé par la direction propre du chemin avec l'axe fixe dont il s'agit, il en résulte que ces lignes trigonométriques, ces ordonnées ou projetantes suivent encore la loi des signes de position, à l'exclusion des distances elles-mêmes ou des chemins projetés (*).

21. En terminant l'examen intéressant qui concerne les sommes algébriques des segments relatifs aux points rangés en

{*) J'ai joint ces derniers développements aux considérations géométriques de l'ancien texte, ici beaucoup trop laconique eu égard à leur généralité et ù leur importance dans les applications en Géométrie et en Mécanique, et cola avec d'autant plus de motifs qu'ils sont entièrement d'accord, si je ne me trompe, arec les opinions généralement admises à notre époque sur la loi des signes des distances, selon qu'elles sont obliques les unes par rapport aux autres, ou qu'étant parallèles, l'intervention de lignes trigonométriques auxiliaires cesse d'être indispensable; car on peut alors recourir à la projection ordinaire des distances sur un axe fixe, lui-même parallèle à ces ordonnées, en se laissant d'ailleurs guider par les considérations du texte, relatives à la génération continue des lignes de la ligure dans un sens déterminé, aux lois du calcul algébrique et a la projection polygonale qui tend à supprimer tout vague et arbitraire dans les applications à chaque cas particulier.

1*4 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

ligne droite» je ne veux point passer sous silence un fait très-* important, c'est que les relations d'identité géométriques et linéaires auxquelles elles se rapportent subsistent, à cause de leur grande généralité, dans les perspectives de cette droite sur un plan ou un axe arbitraire, et qu'elles jouissent ainsi, quoique sous une autre forme, du caractère qui appartient à toutes les relations entre segments formés sur des transversales rectilignes quelconques, qui nous ont occupés dans le IIa Cahier <de ce volume. Or, je crois devoir prévenir, dès à présent, que les relations métriques de ce genre, même celles qui concernent la simple juxtaposition des distances rangées sur une droite, peuvent être facilement transformées en relations directement projectives par des opérations géométriques très-simples, pour ainsi dire évidentes (*).

( * ) Voir l'observation placée au bas de la page 6g, ainsi que les Notes sur quelques principes généraux de transformation des relations métriques des figures, insérées par moi, dans la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles, t. VII, p. 118, 14 1, i43> 146, i49j i5i, i53, i57, art. I à Vin (octobre i83i); mais plus particulièrement ce dernier article, p. 157, dans lequel les identités géométriques relatives aux sommes de distances mutuelles de points en ligne droite et à celle de produits similaires et homogènes sont rendues projectives coniquement, en y introduisant en facteurs les segments relatifs au point à l'infini de Taxe des distances. L'intervention de ce point, considéré comme origine d'abscisses ou segments, et qui prend en projection sur le nouvel axe une position quelconque py conduit à des transformées d'autant plus remarquables, que leurs différents termes ou produits peuvent être mis sous la forme

\pb pa) \pd pc) \pf pe)

où il n'entre que des réciproques de segments comptés de l'origine commune p> et analogues, par conséquent, aux réciproques dont on s'est occupé dans le précédent Cahier; or cela constitue un autre mode de transformation souvent mis à profit depuis la publication de mon Mémoire de i83i , et qui, dans les endroits cités de la Correspondance de Bruxelles, se trouve appliqué à des identités géométriques dignes d'intérêt.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i85

Examen de la loi des signes de position et du principe de continuité dans les relations métriques des figures de la Géométrie élémentaire.

22. D'après les remarques faites, en général (n°* 1 et suivants), sur la correspondance intime qui existe entre les arcs, les angles et les distances, il est évident que ce qui a été dit des sommes algébriques de segments restera applicable aux sommes d'arcs sur un même cercle ou d'angles contigus autour d'un même point, si ce n'est qu'ils ne peuvent devenir inverses en passant par l'infini, mais seulement en passant par zéro ou un multiple quelconque de 4°° degrés; néanmoins il n'y a pas lieu alors de construire directement les sommes dont il s'agit par la projection ou le tracé du polygone des chemins rectilignes. Enfin il ne faut, en aucun cas, perdre de vue (n°* 14 et suiv. ) le renversement possible de sens dû au déplacement relatif et au transport des lignes dans l'espace toujours censé fixe et absolu.

23. Après les relations fondamentales qui appartiennent à un système de points rangés sur une droite ou un cercle, et à des droites rayonnantes autour d'un même point, viennent successivement les diverses propriétés élémentaires de la Géométrie plane, qui servent de base essentielle à toutes les autres:

i° La propriété des angles d'un triangle ou, plus généralement, des angles formés deux à deux par trois droites qui se coupent à des distances finies ou infinies ;

2° La propriété des triangles semblables et des lignes proportionnelles ;

3° La mesure des angles par les arcs dans les figures inscrites à la circonférence du cercle ;

4° La mesure des aires triangulaires.

Les autres propriétés métriques des figures, même celles des aires, ne sont que des corollaires de celles-là et de celles déjà examinées pour les simples distances. C'est ce qu'on vérifiera sur quelques exemples exposés ci-après.

Nous allons préalablement et successivement examiner chacune des relations élémentaires, afin de constater qu'elles

subsistent et s'étendent à toutes les positions possibles des parties qu'elles concernent, quand on tient compte des valeurs et des signes de position, par voie de continuité.

24. Soit abc [Jig. 107) un triangle rectiligne quelconque servant de type primitif, et dans lequel les angles sont tous mesurés intérieurement.

On a. comme on sait, d'après les notations proposées par M. Carnet,

abc -f- acb -f- bac = 2000 ou b -f- c -+- a = 2000.

Cela posé, je dis que, quel que soit le déplacement relatif de la direction indéfinie des côtés de ce triangle, l'équation ci-dessus lui demeurera toujours applicable en ayant égard aux signes de position ou de carrelation, selon la dénomination adoptée par le môme auteur.

Supposons, par exemple (fig. 107), que le côté ac prenne la direction ac; le triangle abc devenant abc\ l'angle bac passera seul par zéro en rétrogradant vers la gauche, et sera seul inverse ou négatif, tandis que, des deux autres angles, l'un acb se sera changé en l'angle ac'B extérieur à ac'b, et l'autre abc dans son propre supplément abB ou abc' à aoo degrés; de sorte qu'ayant pour le triangle ainsi transformé

a = -— bac', c = 2000 — ac'b, b = aoo° — abc', il vient pour ce triangle, toutes réductions faites,

bac -\- ac'b -+- abc1 = 2000,

en remplaçant les anciens angles par leurs valeurs corrélatives ci-dessus; ce qui confirme à la fois la règle des signes et la généralité du théorème fondamental; car tous les autres changements que pourrait éprouver le triangle type ou la position de ses sommets conduiraient à des vérifications analogues du principe de continuité (*).

(*) Considérez, par exemple, le cas où le sommet a passe graduellement audessous de la base opposée bc, les angles intérieurs en b et c deviendraient simplement inverses ou négatifs, tandis que l'angle pareil en 0, se changerait en 1111 angle extérieur pour le nouveau triangle. Donc, en substituant algébrique-

On petit d'ailleurs démontrer la chose d'un seul coup, en partant d'un théorème de Géométrie, plus fondamental encore, tiré de la théorie des parallèles.

Soit abc (JZg. 108) un triangle quelconque; par l'un de ses sommets a concevez une parallèle b'c' au côté opposé bc ; les angles externes bac',

Fig. 108.

rab' étant respectivement égaux à leurs alternes- in ternes abc et acb intérieurs au triangle abc, on aura identiquement, n'importe la grandeur et le signe des angles du triangle corrélatif,

bac -f- bac •+- cab = 2000,

relation qui, étant entre les angles formés autour d'un môme point, est en effet applicable (22) à toutes les positions de leurs côtés, en tenant compte de la valeur algébrique ou de position des angles de la figure dérivée, que Ton ne doit jamais perdre de vue, dans le passage gradué de ces angles par zéro, etc.

25. Les diverses autres relations d'angles pouvant se déduire de la précédente, puisque les théorèmes élémentaires relatifs à la somme des angles adjacents, alternes-internes ou correspondants, ont lieu pour tous les cas possibles (*), ces relations restent soumises à la loi de continuité des signes et des règles algébriques, n'importe la situation du triangle.

ment ces trois derniers angles aux anciens, dans l'équation type a-+-& + c= qoo°, puis, remplaçant l'angle extérieur par sa valeur, supplément à 400 degrés de l'angle intérieur correspondant du nouveau triangle, on retomberait encore sur le théorème ordinaire de la Géométrie. (Noie de 1816.)

(*) En effet, quelle que soit [fig. 108) la position de bc par rapporta abt on aura toujours anç.abc = bac'. Que le, par exemple, devienne by en traversant la position de 6a, sa parallèle ac\ menée par at étant ay't l'angle abc, changé en aby, sera devenu inverse et négatif; mais il en sera évidemment ainsi de son correspondant alterne bay, qui aura dû aussi coïncider avec ab; donc on aura, algébriquement et identiquement,

aby

— bay' y ou

aby = bay ,

uns signes de corrélation; inutiles ici puisqu'ils disparaissent comme dans toutes le» relations à deux termes de la Géométrie.

i88 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Pareillement tout polygone rectiligne étant partageable en triangles de même sommet, d'ailleurs arbitraire, par lequel on ferait passer un axe invariable comme ci-dessus, les relations d'angles qui lui appartiennent s'en déduiront, et seront applicables également aux diverses grandeurs ou situations des figures qui en dérivent par voie de continuité. Mais il sera plus général et plus simple de mener directement, par ce point ou sommet commun arbitraire, des droites égales, parallèles aux côtés successifs du polygone et dirigées dans le sens progressif (19).

26. Revenons un instant au cas élémentaire du triangle abc (fig. 107), dont la base bc et l'angle au sommet bac deviennent inverses et négatifs (24) pour le triangle transformé ab'c\ et remarquons qu'il en est ainsi encore de son aire comparée à celle du triangle primitif abc, mesurée par -bc.ap; le facteur ap étant la hauteur commune aux deux

triangles. Rappelons, en outre, que, d'après les définitions et conventions ' ^généralement admises, on a, dans le triangle rectangle- acp,

ap -^\ cp /\ pa . .

-*- = sm.flc/?, — = cos. acp. '— — tang.ac/?, etc., ac r cet r pc ° r

relations purement numériques dont on ramène le calcul aux tables bien connues, et qui donnent aussi pour l'aire du triangle abc)

-bc.ap z=-&iïi.acp.ac.bc(*).

27. Pour généraliser et élucider encore mieux la question relative aux signes de corrélation, supposons (fig. 109) que le triangle abc ait pris,

( " ) Ces formules et équations à deux termes, ici purement géométriques, ne comportent aucun signe, ou plutôt les auxiliaires trigonométriques n'y ont pour signes que ceux des rapports mômes qui les définissent dans les figures corrélatives, dérivées d'un mode de génération continue et convenue. Voilà ce qu'il est nécessaire de répéter aujourd'hui, où l'on s'est familiarisé avec l'employa priori, des notations et conventions de la Trigonométrie analytique. Ainsi, par exemple, si l'on suppose l'angle en c obtus dans le triangle type abc, la perpendiculaire ap tombant on dehors de la base bc, l'angle acp, au lieu de rester égal à l'angle intérieur acb de ce triangle, se confond avec son supplément extérieur dont le sinus reste positif.

11 n'en serait plus de même si, raisonnant algébriquement, on voulait conserver l'angle intérieur acb ou c dans les équations ci-dessus; alors il conviendrait d'avoir égard aux règles des signes trigonométriques et de positions relatives, qui rendant simultanément sine et cp inverses ou négatifs quand l'angle c est obtus, tendent par là encore (note de la p. 187), à faire disparaître ces signes dans les équations à deux termes dont il s'agit.

dans le système dérivé, la position renversée b'ac', correspondante à l'angle opposé au sommet bac du triangle primitif.

Cela posé, j'observe que, dans la translation continue de bc en b'c\ les côtés ab', ac\ bc' sont devenus tous les trois inverses en passant par le sommet commun a, où, s'évanouissant simultanément, ils changent aussi de signe dans les relations métriques qui leur correspondent, ce qui sem-

Fîg 109.

blerait, à première Vue, devoir avoir lieu également pour l'angle b' ac' opposé par le sommet à bac, de même que pour l'aire du triangle ab'c' qui, dépendant du rectangle de deux de ses dimensions linéaires devenues inverses et négatives simultanément, reste cependant positive ; car, par exemple, on a, pour l'expression de cette aire,

-sintf (— ab') (— ac') = -sina.ffft' ac'-.

résultat auquel on arrive aussi par la considération de la mesure purement géométrique de la surface des triangles, puisque la hauteur c'p', entre autres, est devenue aussi inverse et négative par rapport à sa parallèle cp.

Quant aux angles mêmes du triangle transformé, leurs grandeurs et 'leurs signes algébriques de corrélation dépendent, comme on l'a vu (24), de la manière même dont on suppose que s'est opéré le déplacement de bc en b'c'\ ce que Ton reconnaîtra toujours par les moyens précédemment indiqués, qui deviennent d'ailleurs superflus s'il s'agit simplement des angles intérieurs, dont la somme n'est point susceptible de changements de signes de position.

28. Les résultats concernant les triangles abc, ab'c ou abc' ôe&Jig. 109 et 108 seraient évidemment tout autres, si l'on supposait, comme dans

icp III" CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

la Jïg. 1 10 ci-dessous, que la direction indéfinie de la base bc du triangle primitif fût passée en b'c', à gauche du sommet a, dans le supplément b'ac de l'angle bac; le sommet b' restant du côté de b sur ab, et ab' par conséquent direct ou positif, tandis que ac' est devenu inverse en passant

Fig. no.

par zéro en a, ou par l'infini au moment où sa direction est rendue parallèle à celle de ac ; enfin b'c' devenant lui-même inverse en passant par zéro en a, ou par l'infini si b'c', dans sa rotation, traverse la position de parallélisme par rapport à ce'. Dans ces circonstances, d'ailleurs, les angles en a et c du triangle primitif se sont changés, l'un dans le supplément bac' de bac, l'autre dans le supplément extérieur de l'angle en c' du triangle a b'c'. Quant à l'angle en b, changé en l'angle intérieur ab'c de ce dernier triangle, il est devenu inverse en passant par zéro. Enfin il en est ainsi encore de Taire du triangle ab'c' corrélatif de abc; circonstances dont on se. rendrait plus aisément compte en imaginant, comme au n° 24, une parallèle passant ici par le sommet b. D'après cela, rien n'est plus facile que de prévoir à l'avance les mutations de signes et de grandeurs qui pourront s'effectuer par le passage graduel de la figure abc à la figure ab'c', dans les relations métriques et les formules supposées obtenues pour la première.

Par exemple, on aurait pour le système transformé

Surf./i^V = - sina.a'b' (— ac') = - ap' (— bc'),

sina étant essentiellement positif, ainsi que ab par hypothèse, et la hau-, teur ap' comme la hauteur ap du triangle primitif, qui ont des directions distinctes non parallèles, restant sans signes de corrélation (20), etc. (*).

(* ) Ce sont là, (Tailleurs, des formules de substitution, de transformation de coordonnées purement algébriques en quelque sorte et dans lesquelles Surf.«»V est une inconnue à déterminer par l'expression du second membre, en valeur et en signe; là en effet, tout antagonisme doit forcément disparaître au point de vue géométrique, puisque le triangle lui-même s'évanouit avec ses deux côtés

29. Passons maintenant aux lignes proportionnelle* et à la similitude des triangles.

Soit a'b' (Jig. in) une parallèle à la base ab d'un triangle sab: on démontre en Géométrie, pour la position actuelle, l'exactitude rigoureuse des proportions ou égalités de rapports,

sa __ sa' a a* __ ab sT>~sT'~W~aTb'

sans signes de position. Mais si, dans le mouvement des lignes de la ligure, la parallèle a'b' passe de la droite à la gauche du sommet .v en ap, les côtés ou segments .r a, *P, a? changent à la fois de sens et de signe par rapport à leurs homologues, parce que rf aura passé par le sommet s

Fig 111.

ou par l'infini du plan, mais «a, b p conserveront leur sens primitif de aa\ bb\ ou, selon l'expression admise par M. Carnot, ils resteront directs. Donc, en remplaçant, dans les équations ci-dessus, les anciens segments ou côtés par les nouveaux avec leurs signes, ces signes allant par couple dans chaque rapport se détruiront algébriquement; ce qui est conforme au\ données de la Géométrie élémentaire, qui ne fait ici aucune acception des changements de position et de grandeur des côtés ou des angles ni, par conséquent, des signes; car ils n'entrent pour rien dans les démonstrations, de même qu'ils se neutralisent algébriquement.

Les mêmes circonstances arrivent généralement pour les triangles semblables, considérés dans des situations arbitraires, mais assujettis à des conditions analogues; car des longueurs quelconques ne peuvent changer

variables ac', bc' .Carnot {Géométrie de position, Dissertations préliminaires, p.ivj) n'hésite pas à considérer comme fausses les équations à deux termes

cos(ir-r- a) = — sina, sin (îTH-aj = — sina,

qui, ajonte-t-il, « ne peuvent être employées que comme de simples formes » algébriques, propres, parla même qu'elles sont fausses, a redresser une pre-

» mière erreur commise; elles la redressent en effet dans certains cas Ces

» expressions, telles que — sin a, sont ce que je nomme des valeurs de corréla- * tion, etc. »

igi UIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

de signes et de sens ou devenir proprement inverses que si elles appartiennent à la même ligne droite ou à des directions parallèles (20). D'autre part, toutes les relations métriques déduites algébriquement de celles qu'on obtient par des considérations géométriques sont nécessairement exactes et rigoureuses mathématiquement.

30. Soit, comme exemple particulier, abc (fig. 112) un triangle rectangle en b ; du sommet b soit abaissée sur l'hypoténuse ac, la perpendi-

culaire bd\ les trois triangles abc, abd, bdc seront respectivement semblables, et Ton aura, en les comparant deux à deux,

ab ad bd

bc cd bd

ab ad bd

ac ~~ ab~~ bc

ac~~ bc~~ ab

bc ~~ bd~~ cd

ou, ce qui revient au même,

ab"1 = ac.ad, ab.bc = ac.bd, ad.bc = ab.bt/,

bc = ac.cdf ab.bc = ac.bd, cd.ab = bc.bd,

bd = ad.cd.

En vertu de ce qui précède, ces relations appartiennent tout aussi bien aux triangles rectangles abc\ ab'c" construits sous des conditions entièrement analogues, et de plus, comme on a l'identité géométrique

ac = ad -+- cd

qui ne peut changer de signe, puisque le pied de la perpendiculaire bd sur ac, tombe nécessairement en Ire a et c, les combinaisons algébriques de ces diverses équations, par exemple celles-ci

ab -+- bc = ac.ad -+• ac.cd = ac (ad-\-cd) = ac ,

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE io3

sont applicables sans signes de position, dans toutes les hypothèses possibles relatives à la direction et à la grandeur de ab et au' (*).

31. Il est assez remarquable, d'ailleurs, que, dans toutes les relations élémentaires à deux termes jusqu'ici examinées, les changements de position n'influent en aucune manière sur les signes explicites; cela tient, comme on l'a vu, à ce qu'un facteur quelconque dans ces relations purement géométriques ne peut, par suite d'inversion, prendre un signe négatif dans l'un des deux membres, sans qu'il en existe dans l'autre un pareil qui détruise algébriquement le premier. Or c'est là un fait générai applicable à toutes les équations géométriques à deux termes, quelle que soit la manière dont elles aient été déduites de relations et de théorèmes élémentaires par voie exacte et rigoureuse.

Les relations à deux termes composés de segments linéaires, tels qu'en présente, en général, la Théorie des Transversales (II* Cahier), sont évidemment dans le cas dont il s'agit, et c'est ce dont on peut se convaincre directement pour le cas élémentaire des figures rectilignes, en recourant au beau Mémoire de Carnot sur cette matière (1806), dans lequel les équations dont il s'agit se trouvent démontrées par la simple considéra-

(*) On se jetterait dans des contradictions et des difficultés inextricables, si Ton prétendait repousser ces conséquences. Ainsi, par exemple, si, à priori, Ton Toulait considérer le triangle abc' (Jig. 112), comme dérivé ou corrélatif du triangle abc, parla rotation continue de l'hypoténuse ac autour du sommet a, resté fixe ainsi que le sommet b et la direction de ac', on trouverait que les lignes bc') d'e', bd' seraient devenues inverses et négatives en passant par zéro en b, limite infranchissable où ac atteint sa valeur minimum, ce qui offre un désaccord complet avec les notions de similitude, puisque ces distances ne sont nullement les homologues de bc, de et bd, et ne peuvent ainsi leur être comparées dans les équations et les proportions ci-dessus. Il en serait de même évidemment du triangle ab'cm opposé par le sommet au précédent, et si l'accord subsiste pour les triangles abc, ab'c", cela provient, en réalité, de ce que le premier peut se déduire du second par la simple translation parallèle du côté bc et l'inversion, le changement simultané des signes de toutes les distances homologues. Enfin, si Ton est conduit à des interprétations faciles et non contradictoires, pour le cas où Ton supposerait le sommet b du triangle type abc placé symétriquement au-dessous de l'hypoténuse ac, cela vient de ce que toutes les longueurs y conservent des signes invariables, sauf bd qui entre deux fois et similairement ou au carré dans les équations à deux termes ci-dessus, dont ainsi le signe négatif disparaît d'après lés règles algébriques.

i94 IIIe CAHIER. -SUR LA LOI DES SIGNES

tion des théorèmes relatifs à la similitude des triangles et aux lignes proportionnelles. Quant aux relations métriques et géométriques à plusieurs termes, elles peuvent varier dans les signes de position de ces termes, comme le théorème relatif au carré de l'un des côtés d'un triangle oblique, connu des Anciens, en montre un exemple très-simple.

32. D'après la remarque faite d'une manière générale dans le n° 22, le principe de continuité et des signes de position doit s'appliquer à une somme d'arcs de cercle et d'angles au centre, consécutifs ou juxtaposés dans un ordre quelconque, en entendant le mot somme dans le sens algébrique ou géométrique déjà adopté pour le cas de la ligne droite; et, comme les angles inscrits à la circonférence ont pour mesure la moitié des arcs positifs ou négatifs (directs ou rétrogrades) qui les sous-tendent, c'est-à-dire des angles au centre correspondants, il en résulte que les projetantes ou droites rayonnantes qui partent d'un point fixe quelconque de cette circonférence et vont aux extrémités de divers arcs, forment entre elles des angles dont la somme algébrique est assujettie aux mêmes lois. Or cela permet d'étendre le sens de diverses propositions de Géométrie élémentaire, relatives aux angles simples ou aux angles des polygones inscrits à la circonférence de cercle, tout en abrégeant beaucoup les énoncés.

Par exemple, on peut dire que la somme des angles à la circonférence d'un quadrilatère inscrit quelconque, et qui sont opposés Vun à Vautre et par conséquent s'appuient aux mêmes extrémités d'arcs , équivaut à deux droits ou 200 degrés, quelle que soit la forme du quadrilatère; toute la question, en général, étant de reconnaître la grandeur et le signe de position des arcs ou des angles, ce qui oblige de recourir au procédé indiqué n° 16 ou à celui des tableaux de corrélation de Carnot, chose toujours délicate et pénible. Cela explique comment les Anciens évitaient soigneusement de pareilles généralisations , à cause des difficultés et des discussions épineuses qu'elles amènent, mais dont l'absence, plus apparente que réelle dans l'Analyse moderne, jempèche néanmoins de lire clairement dans les formules géométriques qui en dérivent.

33. Au lieu de nous étendre sur cet objet, considérons en particulier (Jig. 1 i'3, à gauche), l'angle ASB formé par la ren-

Fig . 1 1 3 .

contre intérieure de deux cordes quelconques AD, BC d'un cercle : on a, sans discussion, en substituant, d'après les principes de la Géométrie élémentaire, les arcs aux angles formés au centre du cercle par les rayons parallèles à ces cordes,

• ang. ASB ou CSD = - ( arc AB + arc CD ) ;

mais quand le sommet S venant à franchir la circonférence d'une manière continue quelconque, se place comme dans la Jig. 1 13 de droite, on a, au contraire,

ang. ASB ou CSD = - (arc AB — arc CD),

parce que Tare CD est devenu inverse en passant par zéro, tandis que l'arc AB a conservé son signe primitif.

Dans cette seconde figure, l'inversion subie par CD entraîne celle des segments SC, SD sur les cordes et sécantes, par rapport aux segments SB et SA; mais ces segments devenus négatifs, n'apportent aucune modification dans cette autre relation fondamentale de la Géométrie,

SA.SD = SC.SB ou |ç = |5 ,

parce que, dans la substitution de — SC, — SD, à SC etSD, les signes disparaissent algébriquement. Or de là résulte cette conséquence capitale :

Les équations à deux termes entre produits de segments re-

i96 III' CAHIER. - SUR .LA LOI DES SIGNES

la tifs au cercle et qui s'étendent (IIe Cahier, p. 69) projectiventent aux sections coniques en général, sont rigoureusement applicables à toutes les positions des lignes de la figure : il en est de même des diverses propriétés métriques et descriptives qui s'en déduisent,

34. D'autre part, le théorème général de Newton sur les produits des appliquées parallèles des courbes géométriques ne comportant aucun signe négatif, et le théorème de Carnot relatif au triangle transversal d'une telle courbe se déduisant du précédent par la considération de la similitude des triangles ou des lignes proportionnelles, il en résulte que le fait cidessus s'étend rigoureusement aussi aux théories exposées dans toute la dernière partie du IIe Cahier.

35. En particulier, c'est une grave erreur analytique el géométrique que d'attribuer le signe négatif au second membre de l'équation (fig. 1 14) •

MN = AN.NB,

qui exprime que l'ordonnée MN d'un cercle, perpendiculaire en un point quelconque N du diamètre AB, est moyenne pro-

portionnelle entre les segments adjacents et opposés NA et NB de ce diamètre ; de sorte qu'on aurait algébriquement

mn'=— an.nb, ab=nb-an,

en attribuant, selon la convention admise en Géométrie analytique, le signe — au segment situé à gauche de l'origine commune N et le signe -h à celui de droite; ce qui viole et le principe de continuité et la loi des signes de position, tels que

nous les avons définis ou entendus, el conduit, par une fausse interprétation, une fausse extension de la règle des signes algébriques, justement combattue par Carnot, à des conséquences absurdes, qui deviennent manifestes quand on suppose le pied N de l'ordonnée au centre même du cercle.

36. En attachant trop d'importance à l'ancienne dispute relative à l'existence isolée des quantités négatives, imaginaires, etc., M. Carnot, dans sa Géométrie de position, a peutêtre plutôt encouragé que détourné les esprits aventureux, d'ailleurs bien moins géomètres qu'algébristes, à s'occuper de semblables questions qui, par elles-mêmes, sont peu aptes à fortifier et agrandir le domaine de l'Analyse, supposât-on

qu'on admît, avec MM. Français et Argand, que le signe sj — 1 représente en Géométrie la perpendicularité, comme le signe — y exprime l'opposition des dislances (*).

Au surplus, on éviterait sans aucun doute ces difficultés, ces fausses interprétations masquées par des notations symboliques et algorithmiques séduisantes, mais qui jettent comme un voile obscur sur les vérités premières de la Géométrie et de l'Algèbre, rendues par là des sciences spécieuses et mystiques; on éviterait, dis-je, ces difficultés si l'on voulait bien se ressouvenir que, dans le cercle notamment, on a, en réalité, en prolongeant \jig. 1 *4) l'ordonnée MN jusqu'à l'extrémité P de la corde à laquelle elle appartient, non pas simplement

MN = — NA.NB, mais bien

NM.(— NP) = (— NA).NB, ou NM.NP = NA.N>

sans aucun signe algébrique de position, conformément aux principes exposés ci-dessus.

37. Cette conclusion est même tout à fait d'accord avec les vrais principes de l'Algèbre où les signes — et y7 — 1 n'appa-

(*) Voir à la fin de ce ni8 Cahier la réfutation que, en 1816, j'avais entreprise des doctrines de MM. Français, Argand, etc., à propos de laquelle on lira avec intérêt une Notice historique, par M. Vallès, dans l'ouvrage intitulé : Études philosophiques sur la science du calcul; Paris, 184 1 , p. 186.

i98 IIIe CAHIEK. - SUK LA LOI DES SIGNES

raissent d'une manière délachée que dans la résolution finale des problèmes, c'est-à-dire dans la résolution même des équations définitives, ainsi que nous en offrirons divers exemples ci-après. Mais cela ne doit nullement nous empêcher d'examiner à ce point de vue rationnel, ce que devient la loi de continuité et des signes ainsi que les diverses règles ou principes posés précédemment, quand certains points d'une figure cessant de rester réels et constructibles géométriquement dans la transformée par le déplacement graduel et progressif de quelques parties essentielles de'cette figure type, les distances qui se comptent de ces points respectifs étant devenues ellesmêmes impossibles, imaginaires, etc., il n'y a plus moyen de reconnaître à priori la loi des signes de position qui les concerne ou de les distinguer en directes et inverses, progressives et rétrogrades. La même chose aura lieu encore pour tout l'in- -tervalle où ces distances resteront inconstructibles, idéales, imaginaires, et celui où elles s'évanouissent ou deviennent infinies momentanément, transitoirement; ce qui fait rentrer de telles circonstances dans des cas déjà suffisamment étudiés ou qui le seront à l'occasion, et ne présentent aucune difficulté essentielle sous le rapport des signes de position.

38. Dans cet état particulier du système, les relations métriques ou descriptives qui concernent les points, les grandeurs géométriques impossibles, sont purement idéales, et si l'on persiste à les considérer dans cette hypothèse, c'est pour maintenir la continuité même dans les intervalles où elle cesse d'exister d'une manière absolue, non dans la forme des équations ou relations métriques, mais dans l'état en quelque sorte physique des grandeurs qui y entrent.

Je le répèle, il doit être permis dans de tels intervalles, de considérer les grandeurs imaginaires comme des inconnues qu'il s'agirait de construire graphiquement au moyen des équations qui s'y rapportent et les déterminent. Cette supposition est d'autant plus permise qu'alors nécessairement, ces relations sont géométriquement incompatibles pour la série entière des positions de la figure où les grandeurs, les points en question restent imaginaires; sans quoi il existerait des valeurs réelles correspondantes des distances ou racines inconnues.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. nj9

propres à construire les points dont il s'agit; ce qui est contradictoire et en soi absurde.

Il est donc bien vrai que, pour les étals variés d'une figure dont les données constitutives changent par degrés continus et qui, par cela même, est soumise au principe de continuité, les distances, les aires, lignes et dimensions quelconques devenues impossibles graphiquement, doivent être considérées comme indéterminées à la fois de sens, de grandeur et de position; ou plutôt, il convient de ne rien statuer dans les relations métriques où elles entrent pour tout l'intervalle où elfes restent impossibles (*), tandis qu'il est rationnel de continuer à appliquer la règle ordinaire des signes de position aux quantités demeurées réelles et qui seraient devenues inverses en passant par zéro ou l'infini.

39. Éclaircissons tout ceci par un exemple très-simple [Jig. 1 15). Soient sb et >(3 deux sécantes extérieures au cercle dont le centre

Fig h 5.

est c\ de ce centre soit abaissée la perpendiculaire vu sur la sécante a 6, on aura, pour la situation actuelle,

sa.sP = sa.sb sol -+- s$ = %so

Ier système (s).

(*) Remarquons qu'il ne s'agit nullement ici d'impossibilité absolue, mais seulement d'imaginarité relative, transitoire et en quelque sorte temporaire; car nous n'admettons pas l'existence géométrique de quantités négatives, imaginaires,- infinies, considérées isolément (p. 168) , comme l'entendent quelquefois les géomètres algébristes, c'est-à-dire d'une manière purement analogique, conventionnelle cl parlant arbitraire.

aoo IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Supposons que sa$ se meuve parallèlement à elle-même jusqu'en a'£'T les seules distances s' cl' et s'a seront devenues inverses, et, d'après la règle des signes, on aura *

— s**'.s'b'= -s'a.s'b ) , , ,r, . , i a" système (*•').

Si de nouveau a/$' se meut par la même loi jusqu'en aflp*, au delà du point k d'intersection de sab et de coy s^o" sera devenu nul puis inverse, et aura changé de signe; les autres segments étant restés directs, il viendra

1 s 3e système (s").

~-s"«r+s',p=-is°o'' )

<x."p" prenant ensuite la position a.m$my pour laquelle s" est de nouveau hors du cercle, s'"pm et smb seront seuls devenus négatifs, en sorte que les équations prennent la forme algébrique

(-/•«.•m- *•?-)=(- *•«)(-*"*) , 4.svstème(n

qui se confondent avec les équations {s) de départ.

Donc a'$\ a.°Ç>\ a'"P'" finissant par sortir tout à fait du cercle après lui avoir été tangentes, et prenant la position siyo", les pointe correspondants à <x!" et $'" cesseront d'exister ainsi que les distances jwaOT, s"'pm; mais sma, smb, smom seront restées réelles sans devenir inverses et sans changer de signe positif. Si donc on veut persister à conserver les relations primitives, il faudra ne plus rien prononcer sur les signes des distances imaginaires, et les regarder comme de vraies inconnues. Représentant ces inconnues analogiquement par i"aIV, JITpx\ il viendra

v ' ' ' * ' M 5e système (O, imaginaire.

Si ces équations n'exprimaient par elles-mêmes aucune incompatibilité, on pourrait en déduire des valeurs réelles pour slv*1* et strptw; attribuant implicitement les valeurs ainsi trouvées aux distances qui les représentent dans les relations ci-dessus, ces relations seraient satisfaites. Or, alors on pourrait aussi trouver sur s^o1" deux points réels pour lesquels les distances correspondantes auraient entre elles et avec siyotv, s1" a, sivb, les relations examinées.

Soient a'\ ptv ces deux points : on aurait donc rigoureusement

.v,valv.A,vôlv= sl"u.s"b emtt. s r i 5r Uns).

A,va -h sivryv- 2A-,volv )

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aoi

Or si, par une marche inverse à celle qui a fait découvrir les relations du Ier système (a*), on remontait de proche en proche, des relations (siy) aux relations primitives qui leur correspondent, on trouverait évidemment que les points réels a1T, p1* sont à des distances du centre ct égales à celles de ce même centre aux points a et b\ d'où Ton conclurait que les points aIT et (£" appartiennent au cercle dont le centre est c et qui passe par a et b; car sur le plan de la figure, il n'y a aucun point hors de là circonférence qui jouisse de cette propriété. Il faudrait donc, dans l'hypothèse où les relations examinées (s1*) expriment des dépendances réelles, que la droite s^o1" rencontrât le cercle (c), ce qui est contraire à l'autre hypothèse faite en même temps que la première» à savoir : que la droite sl*o** soit entièrement au dehors de la circonférence dont il s'agit. Donc les relations (s) ou {s1") doivent, dans l'état où elles se trouvent, être incompatibles entre elles , en ce sens qu'elles ne fournissent aucune valeur réelle pour les distances 5a, $p, ou jITa,v, jIVP'\

40. Si, au lieu d'examiner, comme dans ce qui précède, la variation successive des signes pour les diverses positions que peut prendre le système primitif, en le faisant varier d'une manière continue, on se bornait à comparer entre eux directement les états extrêmes (s) et [sty), les seuls qu'on ait en vue, il faudrait toujours agir de même et regarder les distances imaginaires comme des inconnues positives, en ayant égard seulement à la variation des signes des distances restées réelles. Ainsi les relations trouvées pour le système (so) étant

sa.sfi = sa.sb,

celles du système imaginaire (j,vo,v) seront

siyxl\sl*$iy = (— s" a) (— s" b) = s"a.siyb, s1" a1* -h s" f>lv = — aj,ToIV,

puisque sa, sb et so sont devenus tous trois inverses.

Ces dernières relations diffèrent par le signe des distances iITaIV, j,T{i,T, de celles (siy) précédemment trouvées pour le même système, et cela doit être naturellement, puisque l'on n'a pas eu égard à ces signes; mais ces équations n'expriment ni plus ni moins que les premières, et doivent être également incompatibles entre elles. En effet, elles doivent donner les mêmes valeurs pour jxvaxv, j,lr(îIT, mais seulement avec d'autres signes; si donc les unes exprimaient des dépendances réelles, les autres en exprimeraient aussi, ce qu'on a démontré être absurde. Donc elles expriment à la fois des impossibilités géométriques et la non-exis-

aoa 111* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

tence des points et des distances qu'elles concernent : la même chose arriverait encore si, au lieu de partir du systèmes, on partait d'un système quelconque (/<?'); car on aurait, pour ce système (*V),

s'P' - s'* = 2 s'o\ et, pour le système dérivé (slvolv),

— .j,val\.y,v£IV = (— j,v«).(— s"b),

puisque s'b et s'o sont seules devenues inverses; or ces dernières relations ne diffèrent et ne peuvent évidemment différer que par le signe de slvptv de celles du système (s1*).

M. Dans l'exemple qui précède, nous avons supposé, pour plus de simplicité, que la droite «ose mût parallèlement à ellemême, mais il est visible que les conséquences ne varieraient pas quand bien même la direction de cette corde se mouvrait d'une manière entièrement arbitraire aussi bien que sab (*).

En général, on peut supposer le cercle (c) non tracé, cas auquel, ignorant si la droite so le rencontre, on se trouve naturellement obligé de considérer les intersections de cette droite avec le cercle comme inconnues de position, et les distances soc, sfi elles-mêmes, comme inconnues à la fois de grandeur et de signe, tout en conservant les formules, les équations relatives à la situation primitive arbitraire, de a(3.

Concluons de cet examen particulier et des réflexions générales qui le précèdent, que la règle des signes aura encore lieu pour les états de la Jig. 1 16, où, en vertu du déplacement de quelques-unes de ses parties, certains points et les distances

(*) Tout cela est parfaitement conforme, pour le fond, aux résultats quo fournit le calcul algébrique dans les équations du second degré à racines réelles ou imaginaires, de la forme .ra — /*r-h y — o. Pour s'en convaincre directement, on peut supposer que la sécante sab devienne mobile autour du point fixe .?, aussi bien que .r a[3, / étant d'ailleurs le point milieu de ab, auquel cas on a évidemment

p sa f sb T. si, ff — sa.sb. etc.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. 2o3

qui les séparent sont devenus imaginaires, pourvu qu'alors on se rappelle qu'il est inutile de s'occuper du signe même des expressions qui représentent ces distances imaginaires.

Réflexions générales sur le principe de continuité et la différence caractéristique qui existe entre la Géométrie pure et le calcul algébrique,

ML Avant de terminer le sujet qui nous occupe, je crois devoir ajouter à ce qui précède quelques nouvelles réflexions propres à montrer que la permanence ou continuité des relalions métriques et la règle des signes de position jusqu'ici constatée dans certaines figures élémentaires de la Géométrie, s'étendent, par là même, à toutes les figures possibles et à toutes les équations qui s'y rapportent.

La question revient évidemment à faire voir comment les relations métriques en général, peuvent se déduire de celles que nous avons précédemment examinées.

P'abord cela parait évident à priori, quand on réfléchit que l'Analyse des coordonnées de Descartes n'emprunte elle-même à la Géométrie qu'un très-petit nombre de principes, et qu'en les combinant d'une manière convenable par les procédés algébriques, ils permettent d'arriver à la connaissance de toutes les relations et propositions possibles relatives aux figures composées.

D'un autre côté, et sans recourir à ce moyen, il est visible qu'une telle figure, toujours décomposable en d'autres plus simples ou plus élémentaires, ne jouira d'aucune relation et propriété métrique ou descriptive, si elle n'a été démontrée pour une situation actuelle et donnée, au moyen du raisonnement géométrique aidé ou non des calculs de l'Algèbre. Or, ce genre de raisonnement repose essentiellement sur la décomposition dont il vient d'être parlé ou la considération de figures plus simples, plus élémentaires encore, telles que nous en avons précédemment étudié, et soumises, par hypothèse, au principe de continuité non-seulement en elles-mêmes, mais aussi dans leurs conséquences, sans introduction ni mélange (17) d'aucune relation, d'aucune condition géométrique ou algébrique étrangères à K«i loi des signes de position.

*oâ IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

C'est ainsi, par exemple, que les formules de la Trigonométrie, plane ou sphérique, se déduisent des plus simples propriétés du cercle et des triangles semblables. Or, il résulte de ces considérations évidentes que toutes les relations ou .théorèmes obtenus par la combinaison licite des premières relations ou propositions, seront également soumis au principe de continuité et à la loi des signes précédemment exposés ( * )•

Que si l'on contestait les déductions, de ce genre de raisonnement, je répondrais par cet autre argument: je suppose que, à une époque quelconque de renseignement de l'Algèbre et de la Géométrie, Ton y ait introduit, avec les ménagements et la gradation convenables, mais non brusquement, les notions intuitives inévitables de la continuité, de l'infini, de l'opposition de sens et de signes des grandeurs, etc.

43. Ces réflexions me paraissent devoir provoquer une refonte, sinon des éléments de la Géométrie pure, du moins de ceux qui ont pour objet spécial l'application de l'Analyse algébrique, dont les hardiesses, les abstractions contrastent singulièrement avec le caractère timide, réservé de la Géométrie

(*) Par exemple, les formules ou relations fondamentales de la Trigonométrie

Rsin.f . Ra 4 Rcosj R . , Ra

tang* — ? séc s = > cois = —. = > cosécï =

cos* ' cosa-' sin^ tangi' sïns1

dans lesquelles s est Tare, R le rayon positif tournant toujours datas le même sens , ces formules n'ayant que deux termes qui ont été obtenus par la considération des triangles semblables, ne comportent par ellesmêmes aucun signe explicite, et les signes implicites, variables avec la position et le sens, doivent constamment s'y détruire; de sorte que si l'on considère comme inconnue la ligne trigonométrique de l'un quelconque des premiers membres, sa valeur de signe et de position sera donnée par le second. Ainsi notamment, la sécante a toujours le signe du cosinus, et, par conséquent, si Ton regarde le rayon mobile du cercle comme unité de longueur, la sécante sera négative pour tous les arcs

compris entre -n (in -h i) et tt (/14- i); ce qui s'accorde avec la règle

des signes géométriques, puisque la sécante aura alors une position opposée à celle du rayon toujours censé positif et tournant progressivement dans \e sens mémo des arcs positifs, etc.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ao5

des Anciens; car l'esprit» d'abord accoutumé aux restrictions de toute espèce, interprète et s'explique péniblement-les généralités de la Géométrie analytique; souvent même elles lui paraissent contrarier les notions les plus rigoureuses et le plus généralement admises : on se forme difficilement de nouvelles idées, parce qu'on ne songe pas à remonter aux principes et à les approfondir. On veut interpréter à priori la nature des solutions positives, négatives et imaginaires, on veut expliquer, démontrer la règle des signes de position, sans faire attention que ces solutions diverses ont pour fondement et explication nécessaire des faits placés à l'entrée même de la science et indépendants de toute vérité antérieure, parce qu'ils sont de véritables axiomes auxquels on ne saurait rien substituer de plus clair.

Ce sont ces faits primitifs qu'il faut d'abord nettement exposer, afin de pouvoir en déduire avec certitude les conséquences les plus générales. Il n'est pas permis, en effet, de prétendre démontrer rigoureusement et à priori un théorème compliqué en esquivant ceux dont il est la conséquence nécessaire, c'està-dire indépendamment de toute donnée antérieure. Les vérités géométriques les plus éloignées sont liées, par une chaîne continue, aux vérités les plus élémentaires, et il est impossible à notre entendement d'apercevoir un rapport compliqué entre des grandeurs quelconques, si l'on n'en montre la filiation, la dépendance intime et rigoureuse avec d'autres rapports précédemment admis ou démontrés, et ainsi de suite jusqu'aux axiomes qui tombant immédiatement sous le sens, n'ont absolument rien avant eux (*).

(*) Je prie le lecteur de se rappeler (note de la p. 107) que ces réflexions ont été écrites en 18 16 pour moi seul, et sans nulle intention de les publier sous la forme qui leur a été conservée ici. C'était, comme on voit, peu après l'époque où l'auteur de la Technie de rjlgorithmie, fondée sur la doctrine philosophique de la soi-disant raison pure, déjà cité à la p. 495 du précédent volume, essayait, non sans succès, d'attaquer les écrits mathématiques de nos plus grands géomètres, défendus par M. Servons et d'autres; ce qui a conduit de plus jeunes savants algébristes à se laisser entraîner à l'attrait de discuter, de refondre même et de démontrer à priori les plus anciennes vérités mathématiques , celles qui sont dues aux lents et pénibles progrès des siècles antérieurs.

aoô IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

44. Que penser donc de ceux qui, voulant expliquer la règle des signes de position, commencent par poser ce principe vague : Tout ce qui existe dans le calcul doit exister aussi en Géométrie, parla seule raison que le calcul est applicable à tous les objets que cette science considère ( *). Ce n'est certes pas là un axiome; aussi est-il impossible d'en rien déduire qui soit bien clair ou mathématiquement établi : n'est-ce pas oublier ainsi que le calcul algébrique n'est point, à proprement parler, une science, mais bien un art, un mécanisme assujetti à des règles, à des procédés invariables qui s'appliquent à nos premières conceptions géométriques, lorsqu'elles se bornent à formuler des rapports préexistants entre certaines grandeurs des figures, etc.? Ce mécanisme servant à découvrir d'autres rapports qui découlent des premiers, soulage la mémoire, abrège le travail de l'esprit, mais jamais il ne le dirige; car, dans son mystérieux symbolisme, il cache trop souvent, non pas simplement des erreurs matérielles, mais des contrevérités ou d'insignifiantes vacuités.

Comment appliquerait-on l'Algèbre à la Géométrie, notamment, si Ton ne commençait par raisonner sur les figures pour en déduire les propriétés métriques et élémentaires? Il est néanmoins d'illustres savants qui ont conçu l'espoir chimérique de rendre l'analyse des coordonnées tout à fait indépendante de la Géométrie, et cela faute d'avoir fait la remarque qui précède. II ne serait guère plus absurde, ce me semble, de prétendre démontrer algébriquement les bases de la Mécanique et les lois du système planétaire, sans partir de la notion expérimentale et physique des forces qui se manifestent à la surface de la terre ou des lois naturelles les plus simples que Kepler et Galilée ont découvertes, en se fondant sur l'observation directe des phénomènes.

Mais il est temps de revenir à notre sujet principal, que les discussions précédentes nous ont fait un instant abandonner.

45. Nous venons de démontrer rigoureusement qu'en admettant la règle des signes en Géométrie, toutes les relations et propriétés métriques relatives à une figure appartiennent,

(*) Gaudin, Essai sur la théorie des signes, etc.; Nantes, 1816, p. 5.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ao7

non-seulement à une disposition donnée des parties de cette figure pour laquelle elles seraient géométriquement démontrées, mais encore à toutes les dispositions possibles de ces parties, pourvu que la transformation puisse être conçue comme ayant lieu en vertu d'un déplacement continu.

H résulte de là que, de même que pour une situation particulière et donnée d'une figure, chaque relation est apte à déterminer une certaine distance ou un certain point sur une certaine droite, quand les autres dislances qui y entrent sont connues, de même cette relation devient propre, quand on suppose le système variable, à construire la suite des points analogues au premier; ce sera donc la définition génétique d'une certaine ligne, c'est-à-dire son équation, et comme telle, elle devra en renfermer implicitement les propriétés essentielles; car elle construit et détermine parfaitement toutes les parties de la courbe.

Donnons quelques exemples :

Soient ab, ab' (Jîg. 116) des parallèles quelconques comprises dans l'angle AsB formé par deux droites fixes indéfinies vA et sh : on a, comme on Ta vu ( n° 29 ) sans signe algébrique,

a'b' __ ab sb' ~ jS'

quelle que soit la position des lignes ou des distances. Or, si l'on suppose que l'angle en .v et la droite ab restant invariables, a'b* se meuve parallè-

Fig. il fi. 4

leroent à ah, la relation ci-dessus sera apte à déterminer à chaque instant l'ordonnée a'b', et par conséquent l'extrémité mobile a', si l'on se donne l'abscisse variable sb'; car on aura, m étant une constante,

a'b' — — r sb' — m.sb'.

sb

ao8 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Cette relation sera donc propre à construire successivement tous les points de la droite indéfinie s A et rien que ses points; ce sera donc l'équation même de cette droite, en ayant égard à la loi des signes de position. Ce serait aussi l'équation de l'autre droite *B, si Ton regardait les distances sa' comme successivement données, et celles de a'b' comme inconnues.

46. Ces considérations géométriques s'appliquent à une relation métrique ou algébrique quelconque, entre les abscisses et les ordonnées d'une courbe plane, pourvu que cette relation , assujettie à la loi des signes, subsiste dans toutes les positions possibles des coordonnées variables.

Par exemple, dans le cercle (c), Jig. 117, dont c est le centre,

Fiç. 117.

AB une diamétrale, cb = r un rayon quelconque, ba perpendiculaire à AB l'ordonnée, ca l'abscisse de l'extrémité b du rayon, on a algébriquement

ac -{-ab = cb = /•%

quel que soit b ; c'est donc l'équation de ce cercle. Je n'insisterai pas ici sur les théories de l'Analyse des coordonnées, qui, au fond, n'est qu'un cas particulier de l'application de l'Algèbre à la Géométrie; ce que nous venons de dire, en effet, des équations entre les coordonnées ordinaires d'une ligne courbe, s'applique aux relations géométriques entre des distances variables quelconques.

Soit acbd ou (o), fig. 1 18, un cercle quelconque, ab et cd deux sécantes se coupant en s; on a, toujours sans signes algébriques,

sc.sd = sa.sb.

Fig. 1 18 .

Imaginons que les points /7, c , d restent fixes, tandis que la droite ab

tourne autour du pointa: l'équation ci-dessus, en ayant égard aux inversions de sens et de signes, donnera, pour chaque position de ab, un point b du cercle (o) qui passe par a, c, </, et elle ne donnera aucun point en dehors de ce cercle; ce sera donc son équation génétique, de même que l'équation sm = r constante, serait celle d'un autre cercle ayant pour centre le point fixe s. .

Soit encore abc un triangle inscrit au cercle (o), fig. 119, dont le

Fig. 119.

sommet c vienne à se mouvoir, tandis que a et b restent fixes : on aura, intérieurement au triangle,

angle acb ou c ~ C const.,

quelle que soit la situation de c sur le cercle, ou, si Ton veut encore,

a 4- b -f- C = aoo°.

Cette relation est aussi l'équation du cercle (o) ; car, en se donnant si, elle fournit 6, et par suite le point correspondant c du cercle, dont, par conséquent, elle construit, successivement tous les points en considérant a et b comme variables.

II en est. évidemment de même de toutes les propriétés possibles des figures à l'égard des lignes qu'elles sont supposées construire; mais il est à remarquer qu'une même équation relative à une figure jïonnée peut souvent être la définition de plusieurs lieux, selon la nature des quantités qui y entrent. Cela arriverait notamment pour les figures qui nous ont occupés ci-dessus, si l'on changeait les hypothèses concernant le mode de description. Il faut donc, dans chaque cas, distinguer attentivement les grandeurs et les points censés fixes, des grandeurs et des points qui doivent être mobiles ou variables en vertu de la liaison admise; autrement, on ne saurait prononcer sur la nature des lignes que représentent les relations examinées. Or cela peut arriver dans toutes les questions géométriques où la nature et la loi du déplacement des parties constituent la donnée essentielle.

47. II nous reste à faire sur les relations métriques appartenant aux figures, une remarque générale qui nous sera trèsutile par la suite.

aïo III* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Toutes les propriétés géométriques pouvant être censées déduites avec exactitude du raisonnement ordinaire, elles ne doivent évidemment renfermer rien d'étranger aux figures mêmes qu'elles concernent; elles sont nécessairement, dans leur expression algébrique, les plus simples possible.

Pour faire concevoir ce que nous entendons par là, reprenons les données et les hypothèses de la fig. 1 17, n° M>, on aura, pour tous les points du cercle (c), ,

ab = r2 — ac .

Voilà une relation primitive, car elle ne peut provenir par aucune transformation d'une autre plus simple qu'elle. En l'élevant au carré, on a nécessairement aussi

ab = (r2 — ca ) ;

mais quoique cette relation soit une conséquence rigoureuse de la première, elle dit pourtant plus qu'elle, par la raison

que r2 — ca au lieu d'être essentiellement positif peut y devenir négatif, sans que cette dernière équation change de forme algébrique; en sorle qu'elle exprime à la fois tout ce que ren-

ferme la relation ab = r2 — ca et celle-ci — ab = r2 — ca , qui est bien différente, puisqu'elle appartient, non plus au cercle lui-même, mais à Yhyperbole équilalère9 et construit celte hyperbole par points.

La relation ab = r2 — ca est celle que nous appelons pri-

mitive, l'autre ab = (r2 — ca ) n'est que dérivée. Or, je dis que les relations de la Géométrie sont toutes d'une nature simple comme la première.

D'abord, cela peut résulter du fait géométrique même, et l'on peut toujours supposer qu'on n'admette que de semblables relations; mais on peut aussi montrer que cela résulte immédiatement des principes fondamentaux de la Géométrie pure, à l'aide d'un raisonnement déjà employé et que nous allons reproduire.