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3o6 IVe CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

partie élémentaire, serait de beaucoup inférieure à la Géométrie pure, tant pour l'élégance que pour la simplicité des résultats.

Mais si, en considérant ainsi la Géométrie pure sous le point de vue de son application à une question particulière et à une figure donnée d'espèce ou déterminée quant à la situation des parties, elle semble offrir des avantages sur l'Analyse, ou au moins les balancer, elle les perd bientôt sous le rapport de l'extension possible de ses résultats à toutes les figures qui, bien que de la même nature que la première, en diffèrent cependant par le déplacement de quelques parties; c'est là et uniquement là qu'elle se refuse d'une manière absolue à suivre l'Analyse dans toutes ses conséquences. Pour en sentir la véritable raison, jetons un léger coup d'œil en arrière sur sa manière de procéder et sur la nature des moyens qu'elle emploie pour répondre aux questions qu'on lui propose.

11. La Géométrie, envisagée comme nous venons de le faire, c'est-à-dire la Géométrie traitée dans toute sa pureté et telle qu'elle a été cultivée par les Anciens, ne perdant jamais de vue son objet, raisonnant toujours sur des formes réelles et existantes, et ne pouvant même jamais tirer de ses raisonnements des conséquences qu'elle ne puisse peindre à l'imagination par des images sensibles, doit nécessairement s'arrêter aussitôt que les objets qu'elle considère cessent d'avoir une existence positive et absolue; mais il y a plus : si les objets de son premier raisonnement ne conservent pas entre eux une position toujours semblable et telle, qu'il n'y ait absolument rien à changer dans les formes de ce raisonnement, elle s'arrête encore et se refuse, quoi qu'on fasse, à étendre la conséquence de ce même raisonnement, établi sur la figure primitive, à la nouvelle disposition de celte figure; elle exige qu'on reprenne la série des raisonnements, pour lui donner, dans chaque cas, une forme différente et presque toujours nouvelle; et cependant les objets elles propositions auxiliaires ont conservé une existence posilive et réelle; leur dépendance mutuelle et celle qu'ils ont avec la figure donnée est restée la même quant au fond; seulement la position et Tordre de grandeur des parties a changé : ce quiélait à droite

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 3o7

esl actuellement à gauche, ce qui était dedans est actuellement dehors, etc.

12. Qu'il s'agisse, par exemple, de démontrer ce théorème fort simple, emprunté à la Géométrie élémentaire :

« Si d'un point S, intérieur à une circonférence de cercle » ABCD (Jig. t48), on mène à volonté, dans son plan, deux

Fie. i48.

Fig. 149.

» sécantes ASB, DSC, rencontrant cette circonférence aux » points A et B, C et D respectivement, le rectangle SA. SB » des deux segments formés sur Tune, sera égal au rectangle » SC.SD des segments formés sur l'autre. »

Après avoir tracé les cordes opposées AC, BD et avoir formé par conséquent les triangles auxiliaires ACS, BDS opposés par le sommet S, on observe que, en vertu d'une propriété antérieurement démontrée, les angles ACS ou ACD, SBD ou ABD de ces triangles sont égaux comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc sous-tendant AD, et qu'il en est de même des angles CAS, BDS; de là on conclut que les triangles en question sont semblables, et que, par conséquent, on a, par la comparaison des côtés homologues, la proportion