SA.SB = SC.SD

comme il s'agissait de le démontrer.

Tant que le point S sera situé à l'intérieur du cercle ACBD, la disposition mutuelle des parties restant la même, il n'y aura

3o8 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES évidemment pas lieu à refaire celle démonstration ; mais si le' pointS vient à passer du dedans au dehors du cercle (jig. 149), celte première disposition se trouvera totalement changée; les segments SA, SB et SC, SD(Jig. ï48), dirigés dans des sens respectivement contraires, le seront [fig. 149) dans le même sens par rapport au point S; quant aux angles ÀCS et DBS de Tune ou l'autre figure , puisqu'ils cessent d'être sous-tendus, mesurés directement par les arcs AD et BC de chaque circonférence, c'est-à-dire de la manière que le supposent les premiers raisonnements, ces raisonnements ont besoin, tout au moins, d'être modifiés et appuyés sur d'autres lemmes, sur d'autres principes (*).

Ainsi, en suivant la marche rigoureuse de la Géométrie, on se voit obligé de recommencer sur de nouveaux frais, la démonstration de la proposition ci-dessus, pour le cas où le point S est situé au dehors de la circonférence de cercle ABCD; c'est en effet ainsi que les Anciens, toujours scrupuleux, et ceux d'entre les modernes qui ont suivi leurs traces, en agissaient dans tous les cas semblables.

13. La corrélation des figures qui précède est simplement indirecte (6), et il est assez remarquable que la conséquence finale des raisonnements reste la même de part et d'autre sans modification explicite ou apparente; nous avons à dessein choisi cet exemple pour montrer jusqu'à quel point la Géométrie peut être sévère et restreinte dans sa marche et dans les conséquences de ses raisonnements. Mais, dans des exemples plus compliqués que celui qui précède, et où néanmoins la corrélation resterait simplement indirecte, la conséquence finale pourrait éprouver des changements, non dans la forme, mais dans les signes et les dénominations mêmes des grandeurs. C'est ce qui arriverait, par exemple, si l'on se proposait de démontrer la relation connue entre les côtés et les segments d'un triangle oblique, du sommet duquel on aurait abaissé une perpendiculaire sur la base; cette relation changeant dans les signes -f- et — , selon que le pied de la perpendiculaire tombe sur la base elle-même ou sur son pro-

(*) Voir le n° 33 du précédent Cahier, p. 195.

longeaient. Je ne m'arrêterai pas à cet exemple et je renverrai, pour plus de détails, aox Sect. I et II de la Géométrie de position, qui, outre celui qui précède, en renferment un grand nombre d'autres semblables, l'auteur ayant précisément pour objet de rechercher la mutation qui peut arriver dans les signes d'une formule applicable à une certaine figure, quand les parties de cette figure viennent à éprouver une transposition réelle et continue.

Ce que nous disons de la variation des signes qui peut avofr lieu dans les relations appartenant à deux figures en corrélation indirecte, ne concerne évidemment que celles de ces relations qui sont métriques (3) ; car, on le sent assez, les propriétés purement descriptives ne sauraient éprouver d'autres variations que celles qui tiennent au changement de grandeur absolue, d'ordre et de situation des parties ; elles rentrent, par conséquent, sous ce rapport, dans la première des circonstances examinées.

14. Nous n'avons encore envisagé que le cas où la corrélation des figures pouvait devenir tout au plus indirecte; il nous reste à. voir ce qui a lieu quand la corrélation est idéale, c'est-à-dire telle (6), que certaines parties de la figure primitive deviennent impossibles dans sa dérivée. C'est dans cette circonstance surtout que la Géométrie rationnelle se refuse, d'une manière absolue, à suivre les conséquences de l'Analyse; car, dans celle qui précède, elle pouvait au moins parvenir à ces conséquences, sinon en général et d'une manière immédiate, au moins à posteriori en reprenant, dans chaque cas, la série des raisonnements établis sur la première figure, et les modifiant d'une manière convenable.

Pour donner un exemple bien connu qui puisse faire ressortir, d'une manière évidente, les idées qui précèdent, supposons qu'il s'agisse d'examiner, en particulier, quelle est la propriété dont jouit le système d'une surface sphérique et d'une droite situées d'une manière arbitraire dans l'espace; nous dirons, en empruntant à peu près les termes de l'auteur de la Géométrie descriptive (Monge, p. 49» art« 38) :

Que si, en premier lieu, celte droitç est située tout à fait au dehors de la surface donnée, on pourra mener par cette droite

3io IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES à la surface, deux plans tangents dont chacun déterminera sur elle un point de contact; que si Ton conçoit ensuite une surface conique enveloppant la sphère et ayant son sommet en un point quelconque de la droite donnée, la courbe plane du contact mutuel passera nécessairement par les deux points ci-dessus des plans tangents, et, par conséquent, le plan de cette courbe contiendra la corde indéfinie qui joint ces deux mêmes points; d'où il résulte que, pareille circonstance ayant lieu pour toute autre surface conique enveloppante dont le sommet serait sur la droite donnée, on pourra énoncer ce théorème : « Si lion imagine que le sommet d'une surface conique, » circonscrite à une sphère, vienne à se déplacer en parcou- » rant tous les points d'une ligne droite donnée, extérieure à o cette sphère, le plan de la courbe de contact ne cessera pas, 9 dans toutes ses positions, de tourner autour d'une autre » droite fixe comme la première ».

Le raisonnement que nous venons de rapporter en substance reste vrai et rigoureusement applicable à la figure dans tous les cas où la droite donnée, venant à se déplacer à regard de la surface sphérique, lui restera entièrement extérieure, parce que Ton pourra en effet, dans cette position particulière, toujours mener par cette droite deux plans tangents à la sphère. Mais, si Ton vient à supposer, au contraire , que la droite et la sphère se pénètrent, alors les plans tangents, qui servent d'auxiliaires, devenant impossibles aussi bien que les points de contact qui leur correspondent, le raisonnement primitif cessera d'exister d'une manière absolue, quelles que soient d'ailleurs les modifications particulières qu'on veuille lui faire éprouver; afin donc d'étendre à ce dernier cas les conséquences du premier, sans sortir de la marche rigoureuse de la Géométrie pure, on se verra obligé de refaire une nouvelle démonstration, non en reprenant la série des premiers raisonnements, comme dans l'art. 12, pour lui faire subir des modifications plus ou moins légères, mais en changeant la forme même de ces raisonnements, et en remplaçant les objets et les propositions auxiliaires d'abord employés, par d'autres qui aient une existence absolue et réelle dans la circonstance particulière dont on s'occupe.

On doit même remarquer que, en suivant à la lettre l'esprit

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 3n

de la Géométrie des Anciens, on serait au premier abord fort •tenté de croire que la propriété examinée cesse réellement d'avoir lieu pour le cas où la droite donnée rencontre la surface sphérique ; car les deux plans tangents, et par conséquent les points ou ils touchent la surface, ayant cessé d'exister d'une manière géométrique, on pourrait supposer que la droite indéfinie qui les joint est elle-même entièrement impossible. On arriverait donc ainsi, en suivant les principes les plus avérés et les plus rigoureux de la Géométrie ancienne, et précisément parce qu'on aurait suivi à la lettre ces principes, à une conséquence véritablement absurde ou au moins en apparence contradictoire à ce qui se passe en effet.

15. Les mêmes circonstances et les mêmes difficultés se reproduisent presque à chaque pas dans la Géométrie descriptive et, en général, dans toutes les théories où l'on cherche à donner une certaine extension aux conceptions de la Géométrie. Je sais bien que, de nos jours, on ne s'astreint plus ainsi, à la manière des Anciens, à reprendre la série des raisonne* ments dans chaque circonstance distincte où ces raisonnements cessent d'avoir lieu, et qu'on étend fort souvent, sans se faire aucun scrupule, les conséquences d'un premier raisonnement établi sur une figure donnée, à toutes les figures qui n'en diffèrent que par le déplacement relatif de certaines parties, c'est-à-dire à toutes les figures corrélatives (6); que c'est même en cela que la Géométrie des modernes est si fort au-dessus de celle des Anciens ; mais en réalité; c'est que l'on se fonde tacitement sur un principe général, qui se manifeste d'une manière explicite dans les résultats de l'Analyse algébrique, et qui appartient en effet bien moins à cette science, comme nous le verrons plus tard, qu'au penchant naturel que nous avons à généraliser l'objet de nos conceptions, et à établir des lois régulières , des relations permanentes entre elles.

Pour donner une idée de ce principe, considéré simplement en tant qu'il appartient à l'Analyse algébrique, d'où les modernes l'empruntent par la grande habitude qu'ils ont acquise de cultiver cette science, nous anticiperons sur ce que nous aurons à en dire de général par la suite, en l'appliquant à

3 ta IVe CAHIER, - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

l'exemple particulier dont nous venons de nous occuper dans ce qui précède.

Nous avons vu, à l'aide de la seule Géométrie, que, quand la droite donnée ne rencontrait pas la surface sphérique, le plan de contact de la surface conique circonscrite à cette sphère, et dont le sommet est assujetti à parcourir la droite donnée, passait dans toutes ses positions par une autre ligne droite fixe comme la première, et que, dans le cas contraire où la droite donnée rencontre la surface sphérique, on ne pouvait plus savoir à priori, par la seule Géométrie, si en effet la propriété en question subsistait toujours; nous avons même fait voir que, à ne consulter que les premières apparences, il semblerait que la propriété cessât d'être vraie pour ce cas, parce que la corde de contact paraît elle-même ne plus avoir aucune existence géométrique. Cependant, il n'en est réellement rien, car la Géométrie analytique, dont les résultats sont indépendants de la position relative de la surface et de la droite, fournit la même conséquence dans un cas et dans l'autre,

Qu'on se donne, en effet, les équations de cette droite et de cette surface, il est clair que, quelle que soit leur position relative, les coefficients constants qui déterminent l'une et l'autre de ces équations, quoique ayant implicitement des va* leurs numériques distinctes, selon la position particulière des parties, y entrent, malgré cela, de la même manière et sous la même forme, en sorte que la question pour le cas où la droite rencontre la surface, et celle qui est relative au cas où elle ne la rencontre pas, ne sauraient, envisagées d'une manière générale, être distinguées l'une de l'autre. Ainsi, comme il est déjà prouvé par la voie géométrique que la proposition dont on s'occupe a lieu d'une manière générale et indéterminée dans le cas où la droite ne rencontre pas la surface, elle 4îst, par là même et en vertu du raisonnement précédent, démontrée pour tous les cas possibles, et, en particulier, pour celui où cette droite vient à pénétrer la surface.

16. C'est donc en s'appuyant tacitement sur cette conséquence générale de l'Analyse des coordonnées : que les relations appartenant à une certaine figure demeurent, dans leur

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 3i3

forme explicite, applicables à toutes les situations possibles de cette figure, que l'auteur de la Géométrie descriptive esl parvenu à donner à la proposition examinée toute l'extension dont elle est susceptible ; car il est visible que, pour le cas actuel , la Géométrie pure ne possède en elle-même aucun principe qui permette d'étendre ainsi, à priori, les conséquences de ses conceptions naturellement limitées. Or, on en peut dire tout autant de presque toutes les autres belles propriétés de l'étendue que nous devons à ce célèbre géomètre et à ceux de ses disciples qui se sont efforcés de suivre ses traces. Si cette marche a fait faire quelques progrès à l'esprit humain, si elle a contribué, comme on n'en saurait douter, à élever l'édifice des sciences exactes, c'est à l'institution de Y École Polytechnique, c'est surtout à ses illustres professeurs qu'on en doit la reconnaissance entière!

17. Au surplus, on retrouve l'emploi tacite et non suffisamment justifié du même principe dans presque tous les écrits de nos jours (1818), où l'on s'attache à une certaine généralité dans les idées et les conceptions; c'est ainsi notamment qu'un de nos grands géomètres a tenté de démontrer à priori et dans un très-petit nombre de pages, tous les théorèmes fondamentaux de la Géométrie élémentaire, sans faire usage d'aucune de ces constructions accessoires et de ces vérités auxiliaires qui retardent, il est vrai, et embarrassent si fort la marche des Anciens. C'est encore sur le même principe, plus ou moins déguisé, que s'appuient toutes les recherches basées sur la considération métaphysique des infiniment petits et des infiniment grands. En effet, dans ces recherches, on commence toujours par rapporter le système à un autre qu'on suppose lui être corrélatif, et dans lequel toutes les quantités sont d'une grandeur absolue et finie; on examine alors les propriétés soit métriques, soit descriptives de ce dernier système, et l'on en étend immédiatement la signification à la limite (*), c'est-à-dire au système particulier qu'il s'agissait

(*) Nous aurons, par la suite, occasion de revenir sur cette idée et de la développer davantage. (ISotc de 1818.)

3i4 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

d'examiner; or cette extension ne peut avoir lieu évidemment qu'en vertu du principe même qui nous occupe.

18. Nous pourrions appuyer ces assertions générales d'une foule d'exemples particuliers, extraits de nos meilleurs auteurs et parmi lesquels les plus intéressants seraient, sans doute, ceux que nous offre la Géométrie de position, en ce qui concerne la théorie générale de la corrélation des figures; mais te discussion approfondie qu'exigerait un tel ouvrage nous entraînerait bien au delà des bornes que nous nous sommes prescrites ici (*) ; nous voulons et nous devons nous renfermer dans les idées générales qui précèdent. Cependant, pour ne pas laisser trop à désirer, nous extrairons de l'écrit de Carnot deux passages où l'auteur semble avoir voulu lui-même mettre en évidence le principe sur lequel repose essentiellement toute sa doctrine.

A la page xxvu de sa Dissertation préliminaire, après avoir parlé d'un tableau général qui comprendrait toutes les propriétés actuelles d'une figure donnée, l'auteur s'exprime ainsi :

« Ce tableau des propriétés de la figure primitive une fois » établi, il s'agit de savoir quelles modifications on doit y ap- » porter pour qu'il puisse représenter successivement, de » la même manière, les propriétés des figures qui lui sont » corrélatives. La construction de chacune de celles-ci étant » essentiellement la même que celle de la figure primitive, » on sent que les formules qui en expriment les propriétés » doivent avoir d'autant plus ft analogie avec celles de cette » figure primitive, qu'il y a moins de disparité entre elles : » les quantités correspondantes doivent s'y trouver combi- » nées de la même manière, quant à leurs valeurs propres ou » absolues; il ne s'agit donc que d'exprimer la diversité des » positions, et c'est ce qui s'opère par la mutation des signes » qui affectent ces quantités ou les différents termes des for- » mules du tableau. »

L'auteur s'exprime à peu près dans les mêmes termes au

(*) Voir le précédent Cahier.

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 3i5

commencement de la Sect. II, lorsqu'après avoir défini ce qu'il entend par figures corrélatives, il ajoute :

a En considérant toutes ces figures corrélatives comme les » différents états du système primitif qui varie par degrés in- » sensibles, on pourra regarder les formules trouvées comme » appartenant à toutes les autres, et il ne s'agira pour l'appli- » cation que d'attribuer dans chaque cas particulier aux di- » verses variables les valeurs absolues qui leur conviennent, » et de faire les changements de signes qu'exigent les modifi- » calions éprouvées par le système. »

L'identité parfaite de ces notions avec celles qui découlent du principe qui nous occupe est très-facile à apercevoir, et l'on peut se convaincre par là, sans qu'il soit besoin d'entrer dans un examen plus circonstancié et plus sévère, que la théorie de l'auteur est entièrement basée sur l'admission de ce principe, considéré comme un axiome en quelque sorte évident par lui-même.

19. Ce nouvel exemple vient ajouter à tous ceux qui précèdent, pour prouver que la Géométrie ordinaire ne possède en soi aucun moyen de généraliser ses conceptions, et qu'elle en doit nécessairement emprunter le principe à toute autre doctrine; que si, sous ce rapport, la Géométrie des modernes semble l'emporter de beaucoup sur celle des Anciens, elle ne le doit précisément qu'à l'admission, tantôt tacite et tantôt ouverte, du principe môme qui vient de nous occuper, soit que ce principe ait été considéré comme une de ces vérités premières et fondamentales qu'on ne saurait révoquer en doute et au delà desquelles il n'est pas possible de remonter, soit que ce principe ait été regardé comme une conséquence rigoureuse et nécessaire des principes mêmes de la Géométrie analytique.

Dans tous les cas, il est facile de voir qu'il n'a pas été admis, dans les considérations géométriques, avec toute la généralité qui lui est propre, et qu'il n'a été employé que dans certaines circonstances favorables, où il ne pouvait contrarier les idées ordinairement reçues : on se serait en effet, sans cette restriction, jeté dans toutes ces considérations métaphysiques des imaginaires, qui ont été, jusqu'à cette heure, constam-

3i6 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

ment repoussées du sanctuaire étroit de la Géométrie rationnelle (*).