V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECT1VES

-celte corde est plus petite que sa correspondante M'N'; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'il existe une position intermédiaire où ces cordes sont parfaitement égales et se confondent par conséquent en une seule , qui devient ainsi une corde idéale commune aux deux ellipses proposées.

16. La courbe des points 0 rencontrant nécessairement chacune de celles (C) et (C), au moins en deux points réels, puisque, après être entrée dans leur intérieur et avoir passé par leurs centres respectifs, elle doit nécessairement en ressortir, on pourrait prouver, en suivant l'esprit des raisonnements que nous venons de mettre en usage, que les deux sections coniques dont il s'agit ont une autre corde idéale commune différente de celle qui précède. Enfin, il ne serait pas difficile de constater l'existence de semblables cordes pour d'autres circonstances également étendues; mais il suffit, pour notre objet actuel, d'avoir prouvé la chose d'une manière générale et en quelque sorte indéterminée, et d'avoir fait connaître même les moyens propres à construire ces cordes graphiquement dans tous les cas possibles. En effet, dans la discussion qui précède, nous n'avons attribué aucune grandeur absolue ou fixe aux parties qui déterminent la grandeur et la position du système : la seule condition admise ne tient qu'à une limitation de la possibilité de résoudre le problème, et cette limitation laisse d'ailleurs tout indéterminé. La nature particulière supposée auwdeux sections coniques ne détruit pas la généralité des raisonnements, car ces raisonnements en sont indépendants, et ils subsistent, pourvu qu'une partie de la courbe des points O soit à la fois au dehors des deux sections coniques, quelle que soit d'ailleurs leur espèce ; or, cette condition laisse entièrement indéterminée, entre certaines limites, la grandeur des parties du système.

11 en est ici comme de l'analyse elle-même, où l'on regarde une quantité, objet d'un problème, comme généralement possible quand les conditions de sa réalité, dans les équations finales qui le déterminent, sont indépendantes de toute grandeur ou relation absolue et donnée, et que ces conditions laissent variables entre certaines limites les diverses quantités qui fixent le système.

DES SECTIONS CONIQUES. 37g

Concluons donc que :

« Deux sections coniques, situées sur un même plan, ont » en général et pour des situations indéterminées, des cordes » et des sécantes idéales communes, tout comme elles ont, » pour de semblables situations, des points d'intersection » réels et des cordes réelles également communes. »

17. Pour faire entrevoir à l'avance l'utilité que peut présenter la considération des cordes idéales, et, en même temps, pour faire sentir le but qu'on se propose en les admettant dans les recherches géométriques, nous présenterons, dès à présent, un exemple bien connu, où leur emploi peut paraître de quelque importance pour la solution d'une difficulté singulière, qui se présente assez souvent dans les applications de la Géométrie descriptive.

Quand on se propose de rechercher la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan, on arrive, comme on sait, à la construction suivante, pour déterminer un point quelconque de la projection de la courbe sur le plan diamétral qui contient à la fois les deux axes (#).

Soient SB, SB' [fig. i53) les deux axes en question; AMB,

Fig. i53.

A'M'B' ou (C) ci (C) les deux courbes génératrices, situées

(*) Voir la Géométrie desrriftiivr de Mongf», art. 83.

38o Ve CAHIER. - ESSAI SDR LES PROPRIÉTÉS PROJECT1VES

l'une et l'autre dans le plan commun des axes, courbes que nous supposerons ici toutes deux des ellipses; du point d'intersection S de ces axes, comme centre, soit décrite à volonté une circonférence de cercle rencontrant à la fois les deux courbes; soit tracée pour chacune d'elles la corde MN ou M'N' qui lui est commune avec ce cercle, le point I de l'intersection mutuelle des deux cordes ainsi tracées appartiendra à la projection de la courbe, de pénétration des deux surfaces sur le plan commun des axes.

Cette construction s'applique très-bien à tous les points de la courbe qui sont situés entre les limites extrêmes où le cercle cesse de rencontrer à la fois les' ellipses génératrices, et, en cela, elle sert à donner tous ceux qui peuvent répondre à la commune intersection des deux surfaces que l'on considère; mais elle est tout à fait inapplicable à ceux qui sont situés au delà de ces mêmes limites : les points M et N, M' et N\ où la circonférence coupe les deux génératrices, deviennent, en effet, en tout ou en partie imaginaires.

A ne consulter que la manière ordinaire de voir en Géométrie, il semblerait naturel de penser que la génération de la courbe ne s'étend pas au delà des limites que nous venons de reconnaître, et qu'ainsi cette génération ne serait pas sujette à la loi de continuité qui subsiste dans toutes les courbes géométriques ; mais ce serait une véritable erreur que de le supposer, erreur qui serait contraire aux notions et aux résultats les plus certains de l'Analyse algébrique. On trouve, en effet, par les procédés qui lui sont propres, que la courbe des points 1 s'é- •* tend à l'infini par une loi continue, et qu'en particulier, c'est une hyperbole quand les axes de révolution SB, S'B' sont en même temps des axes principaux des ellipses correspondantes.

18. Ce paradoxe géométrique disparaît dès l'instant où l'on admet, ainsi qu'il est naturel de le faire, que les sécantes communes MN, MN', qui d'abord étaient réelles et absolues, se sont changées en des sécantes communes purement idéales, jouissant d'ailleurs des mêmes caractères quant à l'objet qu'on se propose. Il résulte, en effet, des principes qui précèdent, que ces sécantes pourront subsister et se construire, même

DES SECTIONS CONIQUES. 38i

quand le cercle auxiliaire en question ne rencontrera plus les courbes génératrices, ou, si l'on veut, les rencontrera en des points imaginaires.

Supposons, pour exemple, le cas déjà cité où les droites AB, A'B' sont les axes principaux des deux ellipses : ayant décrit à volonté une circonférence de cercle qui ne rencontre ni l'une ni l'autre de ces courbes, pour trouver, malgré cela, les sécantes communes correspondantes qui seront nécessairement idéales, on tracera pour chaque ellipse, pour celle AMB par exemple, la conique supplémentaire qui a mêmes axes qu'elle et AB pour diamètre de contact. On tracera pareillement l'hyperbole équilatère qui correspond au cercle auxiliaire et a le diamètre compris sur SB pour axe de contact ; cherchant ensuite celle des sécantes communes à ces supplémentaires qui est perpendiculaire à l'axe AB, ce sera évidemment la sécante idéale commune au cercle auxiliaire et à l'ellipse AMB. Une opération semblable donnerait celle qui correspond à la courbe A'M'B', et le point où sa direction irait couper celle de la première serait nécessairement un de ceux du prolongement de la courbe des points I. Il est visible, en effet, que les points ainsi obtenus jouiront de la même propriété que les premiers, savoir: que, « si de l'un quelconque » d'entre eux on abaisse des perpendiculaires sur les diamètres » AB et A'B\ les rectangles des segments qu'elles y formeront » seront toujours entre eux dans un rapport constant (56). »

11 est à remarquer, au surplus, que la construction précédente donnerait simultanément deux sécantes idéales correspondant à chaque courbe génératrice, et qu'ainsi leur intersection mutuelle donnerait à la fois quatre points appartenant à la courbe cherchée.

19. On voit, par cet exemple particulier, combien il devient nécessaire d'étendre le langage et les conceptions de la Géométrie ordinaire et de les rapprocher de celles déjà admises dans la Géométrie analytique. Voulbir repousser des expressions fondées sur des rapports exacts et rigoureux, quoique parfois purement figurés, pour y substituer des noms insignifiants et qui ne rappellent que des caractères particuliers ou insolites de l'objet défini; éviter de se servir dans le raisonnement géo-

38a V* CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECT1VES

métrique des expressions et des notions qui qualifient la nonexistence et la rappellent, ce serait véritablement refuser à la Géométrie rationnelle les seuls moyens qu'elle ait de suivre les progrès de l'Analyse algébrique , et- d'interpréter d'une manière satisfaisante les conséquences des résultats souvent bizarres, auxquels elle parvient*

Mais il est temps que nous revenions à l'objet véritable des discussions que nous avons un instant abandonnées, dans le dessein de répandre quelque jour sur la nature du sujet.

20. Appelons M, N, P et Q (Jig. i54) quatre points appartenant à l'intersection mutuelle de deux sections coniques» et

Flg. 1S4.

joignons deux à deux ces points par des lignes droites indéfiniment prolongées : on obtiendra six cordes communes à la fois aux deux courbes, qui seront telles* que chacune d'entre elles en rencontrera une autre, et seulement une autre, au dehors du périmètre de ces courbes; il y aura donc trois systèmes semblables de cordes communes qui formeront un quadrilatère ordinaire MNPQ avec ses deux diagonales ; nous appellerons les deux cordes d'un même système cordes communes conjuguées. D'après cela, dans la figure, les cordes MN et PQ qui se rencontrent en K, au delà du périmètre des deux courbes, sont conjuguées entre elles; il en est de même du système des cordes MQ, NP et de celui MP, NQ.

Nous verrons plus tard les raisons qui peuvent déterminer à adopter cette dénomination, d'ailleurs très-naturelle; pour

le moment, nous ferons remarquer que si deux cordes conjuguées, telles que PN et QM, par exemple, viennent à se rapprocher jusqu'à se réunir enfin en une seule, les points M et N, communs à la fois au* deux coniques, se réuniront aussi en un seul, de même que leurs opposés P et Q; les cordes conjuguées MN et PQ deviendront donc des tangentes communes à la fois aux deux courbes, le point K de leur intersection mutuelle étant ainsi le pôle commun des quatre autre» cordes confondues en une seule avec celle de contact.

Dans ces mêmes circonstances, les deux sections coniques correspondantes sont devenues tangentes en deux points réels, et la droite qui joint le pôle avec le centre de la corde commune de contact est à la fois,. dans Tune et l'autre courbe (S), le diamètre conjugué à celui qui est parallèle à cette corde de contact.

21. Quand deux sections coniques tracées sur un, même plan seront telles, qu'ayant un système de coniques supplémentaires remplissant les conditions de l'article 13, ces supplémentaires se touchent, en outre, en deux points réels, la corde de contact de ces points, qui, d'aprps la définition, est une corde idéale commune aux deux courbes proposées, pourra être considérée, selon ce qui précède, comme la réunion de deux cordes réelles communes aux supplémentaires et, par conséquent aussi , comme la réunion de deux cordes idéales communes aux proposées. 11 sera donc naturel de dire alors que les sections coniques données ont une corde idéale de contact, qu'elles se touchent en deux points imaginaires suivant celte mçme corde, qu'enfin ces courbes ont encore deux autres cordes communes, toutes deux imaginaires et qui

sont les tangentes aux points de contact en question.

22. Si Ton se rappelle (9) que la section conique supplémentaire d'une conique par rapport à une corde idéale donnée sur un plan, a même centre, même diamètre conjugué h cette corde; que, de plus, le pôle de cette dernière, son milieu ou centre sont aussi les mêmes (12) pour l'une et pour l'autre, et se trouvent situés à la fois sur le diamètre en question, on pourra en conclure que deux sections coniques qui ont une corde idéale de contact commune, et se touchent par consé-

384 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES quent en des poinls imaginaires, d'après la définition qui précède, sont absolument dans les mêmes circonstances à Tégard de cette corde que si le contact des deux sections coniques était réel; car les cordes réelles "et les cordes idéales communes, considérées dans leur direction indéfinie, sont assujetties aux mêmes conditions, et il en est ainsi des pôles qui leur correspondent respectivement. Ces deux systèmes, jouissant d'une propriété commune, sont donc véritablement deux systèmes soumis à la même loi, et qui ne diffèrent absolument l'un de l'autre que parla situation particulière des deux courbes dont ils se composent; il en est ici évidemment comme du système de deux sections coniques quelconques, qui ont des cordes communes réelles pour certaines positions et des cordes communes idéales pour d'autres.

23. De tout ce qui vient d'être dit sur les contacts doubles des sections coniques, il résulte qu'il sera toujours facile de reconnaître, à priori, si deux semblables courbes, situées sur un même plan, sont entre elles en contact idéal, ou ont une corde idéale de contact commune; car il suffira de tracerle diamètre qui passe à la fois par leurs centres, puis de décrire les coniques supplémentaires conjuguées à ce diamètre et aux deux courbes données, et de s'assurer ensuite, d'une façon ou d'une autre, qu'elles ont un double contact réel.

Les considérations que nous venons d'offrir sur les cordes réelles ou idéales communes au système de deux sections coniques conduisent directement à quelques notions nouvelles touchant les sections coniques. Nous croyons, pour le moment, devoir nous borner à l'examen dp .celles d'entre elles qui peuvent présenter le plus d'intérêt par leur généralité , et c'est par là que nous terminerons ce premier paragraphe.

24. Deux hyperboles situées sur un même plan, qui sont semblables et semblablement placées sur ce plan, ont évidemment leurs asymptotes respectivement parallèles, et concourent par conséquent en deux points réels à l'infini, appartenant à la fois aux deux systèmes d'asymptotes dont il s'agit(7): donc elles ont une corde réelle commune située à une distance infinie sur leur plan.

Pareillement, quand deux ellipses, situées sur un même plan , sont semblables et semblablement placées sur ce plan , il existe une infinité de systèmes d'hyperboles supplémentaires, conjuguées à une même direction de diamètres des ellipses proposées (10), et, pour chacun de ces systèmes en particulier, les hyperboles supplémentaires sont évidemment semblables et semblablement situées, et ont, d'après ce qui précède, une corde commune à l'infini ; donc aussi les ellipses proposées ont une corde idéale qui leur est commune à l'in • fini, c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'elles peuvent être regardées comme ayant deux points imaginaires en commun à l'infini.

Au reste, on peut remarquer que la direction de la corde dont il s'agit est nécessairement indéterminée, puisqu'il y a une infinité de systèmes d'hyperboles supplémentaires autour des ellipses proposées, répondant à l'infinité pareille de systèmes de diamètres conjugués dont la direction est commune à ces ellipses. La même indétermination subsiste évidemment quant à la direction de la corde à l'infini commune à deux hyperboles semblables et semblablement placées sur un plan, car rien n'indique à priori si cette corde fail plutôt partie de tel système de cordes parallèles que de tel autre. Ainsi :

« Deux hyperboles ou deux ellipses semblables et sembla- » blement placées sur un même plan, ont une corde corn- » mune à l'infini, qui est réelle pour les hyperboles et idéale » pour les ellipses, mais, dans tous les cas, entièrement » indéterminée de situation à l'égard des courbes auxquelles d elle appartient. »

25. Si, au lieu de deux hyperboles ou de deux ellipses, on en considérait un nombre quelconque qui soient toutes semblables et semblablement placées sur un même plan, on prouverait également qu'elles ont à l'infini une corde unique qui est à la fois commune à tout leur système ; mais cette corde serait nécessairement idéale pour le système des ellipses, c'est-à-dire que :

« Le système d'un* nombre quelconque d'hyperboles ou » d'ellipses , toutes situées sur un même plan, semblables et » semblablement placées sur ce plan, a une corde à l'infini h. i5

386 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

» commune à toutes les courbes du système, mais qui est » réelle pour le système des hyperboles et idéale pour celui » des ellipses,

26. Quand deux hyperboles semblables et semblablement placées sur un même plan sont en outre concentriques, elles ont évidemment mêmes asymptotes ou mêmes tangentes aux deux points qui leur sont communs à l'infini ; ainsi elles se touchent en deux points réels, et par conséquent elles ont une corde réelle de contact; mais cette corde est située entièrement à l'infini. Or il suit de là et du raisonnement qui précède, que deux ellipses qui sont concentriques, semblables et semblablement situées sur un même plan, ont également une corde de contact commune à l'infini, mais qui est idéale; et, comme la même chose subsiste nécessairement pour un nombre quelconque d'ellipses ou d'hyperboles, on peut énoncer ce nouveau principe :

« Le système d'un nombre quelconque d'hyperboles ou » d'ellipses, toutes concentriques, semblables et semblable- » ment placées sur un même plan, a une corde de contact à » l'infini commune à toutes les courbes du système, mais qui » est réelle pour le système des hyperboles et idéale pour » celui des ellipses. >

Les propositions réciproques résultent évidemment des principes mêmes qui viennent d'être posés ; ainsi , par exemple :

« Si deux ou plusieurs sections coniques, situées sur un » même plan, ont une corde commune réelle ou idéale située » à l'infini , elles sont nécessairement semblables et semblad blement placées sur ce plan. »

27. Nous remarquerons, avant de terminer ce sujet, que l'indétermination qui a lieu pour la corde commune à Tinfini, quand on considère des sections coniques semblables et semblablement placées sur un plan, subsiste également quand ces sections coniques deviennent concentriques. En général, quand une ligne droite se transporte d'un mouvement continu, mais d'ailleurs quelconque, jusqu'à une distance infinie, sans quitter le plan de la figure à laquelle elle appartient, elle devient nécessairement indéterminée de situation sur ee plan

à l'égard des autres objets de la figure. Cela résulte immédiatement de ce que, par suite de l'admission de la continuité dans les lois géométriques, a tous les points à l'infini d'un d plan doivent être considérés idéalement comme distribués » sur une ligne droite unique, située à l'infini sur ce plan, » mais d'ailleurs indéterminée de situation à l'égard des autres » objets de la figure. »

Les considérations qui viennent de nous occuper peuvent servir, dès à présent, à justifier cette notion purement métaphysique; nous la verrons se reproduire sous plusieurs formes, dans diverses circonstances particulières, et nous aurons même occasion de la justifier d'une manière générale et d'en donner une explication satisfaisante au moyen des considérations propres à la perspective. Au reste, cette même notion pourrait se justifier directement au moyen des principes reçus en Analyse ; mais nous croyons la chose pour le moins peu utile, si ce n'est superflue (*); car là, comme en Géométrie, les notions abstraites et purement figurées ont pour principe unique la volonté qu'on a d'étendre la conception d'une ligure, actuellement géométrique et possible, à tous les étals que peut prendre cette figure, même à ceux où certains objets perdent leur existence absolue.

Après avoir posé, dans ©e premier paragraphe, les notions générales qui concernent les cordes réelles ou idéales des sections coniques, nous croyons devoir, avant de passer aux principes de projection qui forment la base principale de ces recherches, nous arrêter quelque temps à l'examen des diverses propriétés dont ces cordes jouissent dans le cas simple de la circonférence du cercle. Par là nous acquerrons des idées nouvelles et précises sur la nature de ces lignes; nous éclairerons l'objet des définitions qui précèdent, et nous pourrons ensuite poursuivre, sans beaucoup de peine, l'examen des sections coniques en général.

(*) Voir dans le IVe Cahier, art. % de ce volume, une note récente annexée au Mémoire sur la théorie des polaires réciproques, extraite des Annales de Mathématiques de Montpellier (t. VIII, janvier 1818).

388 V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIETES PROJECTIVES § II. — Des gordbs et bécâuths idé»lks considérées dans