A'.B":A'*.B':: OA.OB :OA'. OB

relation qui convient aussi aux cordes réelles communes ;

3° Que la droite MN ne rencontre ni Tune ni l'autre des deux courbes données (C) et (C).

Ces définitions s'accordent avec celles qu'on déduit de considérations purement analytiques : pour qu'une corde soit, analytiquemenl parlant, commune à deux sections coniques, il est nécessaire et il suffit, en effet, que son milieu, par rapport à l'une, se1 confonde avec son milieu par rapporta l'autre, puis que le carré de la partie interceptée à la fois sur cette droite par les deux courbes, soit le même de part et d'autre, de grandeur et de signe; et, comme on dit alors que ces courbes ont en commun deux points imaginaire^ situés sur la droite en question, nous pourrons adopter provisoirement la même expression par pure analogie, sauf à la justifier ensuite.

14. La question actuelle est de savoir si deux sections coniques, tracées sur un même plan, ont effectivement, pour des positions générales, des cordes communes idéales remplissant toutes les conditions qui précèdent.

Pour parvenir à la résoudre, nous remarquerons d'abord

376 Ve CAHIER. - ESSAI SUK LES PROPRIÉTÉS PROJECT! VES qu'il y a sur le plan des deux courbes (C), (C') une infinité do points 0 et de droites correspondantes mn qui satisfont à la première de ces conditions. En effet, pour obtenir un système semblable, il suffit évidemment de mener dans une direction quelconque des x tangentes, parallèles entre elles, aux deux courbes; de tracer ensuite les diamètres AB et A'B' qui passent respectivement par leurs points de contact ; car le point O de leur intersection commune sera le point demandé, et la droite mn, menée de ce point dans une direction parallèle aux tangentes, sera la droite qui lui correspond. Tous les points O, ainsi obtenus, sont sur une certaine courbe, et cette courbe passe évidemment par les centres C, C des proposées (*).

Les dernières conditions exigent, en outre, qu'ayant tracé les coniques supplémentaires aux proposées qui correspondent à la droite mn, déterminée ainsi que nous venons de le dire, les parties MN, M'N', interceptées sur cette droite par Tune et par l'autre courbe, soient égales entre elles, ou, ce qui revient au même, que OM soit égal à OM'. Celte condition ne sera évidemment pas remplie pour une position quelconque de la droite mn; mais si, pour chacune des situations qu'elle peut prendre, on détermine le point M correspondant à la courbe (C) çt celui M' qui correspond à la courbe (C), chacun de ces points engendrera évidemment une courbe particulière, et ces nouvelles courbes, parleurs rencontres mutuelles, indiqueront les positions des points générateurs M et M' pour lesquelles ils se confondent, et pour lesquelles, par conséquent, les parties ou ordonnées OM et OM' seront égales, et les droites correspondantes mn des'sécantes idéales communes aux deux sections coniques proposées.

Nous pourrions arrêter ici l'examen qui nous occupe; car il est visible que les courbes (M) et (M'), n'ayant entre elles qu'une dépendance générale, doivent aussi, en général, se couper selon la position relative des sections coniques (C) et (C); mais, pour ne rien laisser à désirer, nous allons faire

(*) Pour démontrer cette assertion, il suffit d'observer que, quand le diamètre AB, par exemple, a atteint la position CC\ celui A'B' qui lui correspond, et qui renferme avec lui le point O, le rencontre nécessairemont au centre (V lui-même. [\ot<> de 1818.)

voir, par l'examen d'un cas très-élendu, qu'en effet les courbes (M) et (M') sont susceptibles de s'entrecouper d'une manière réelle, et, par conséquent, de donner des cordes idéales communes à celles ( C ) et ( C ).

15. Prenons (Jig. i5i) pour exemple le système de deux ellipses (C) et (C), de grandeur et de situation arbitraires, mais pourtant telles, qu'elles soient entièrement extérieures Tune à l'autre. La courbe parcourue par le point 0, passant nécessairement par les centres C et C des deux ellipses, aura une partie de son cours entièrement au dehors de ces ellipses, et il existera une infinité de positions correspondantes de la droite mnf pour lesquelles elle sera tout à fait extérieure à ces mêmes courbes.

Cela posé, considérons, comme ci-dessus, les deux coniques supplémentaires qui correspondent à une telle position de la droite mn; il est évident qu'on aura démontré que le point M se confond, pour une certaine position de m/i,avec le point M', et, par conséquent, le point N avec le point N', si l'on parvient à prouver que, parmi toutes les grandeurs que peut prendre la corde MN, il y en a deux telles, que Tune soit plus grande et l'autre plus petite que celle de M'N' qui lui correspond; car, à cause de la loi de continuité, il y aura nécessairement une position intermédiaire où ces cordes seront parfaitement égales. Or, si l'on suppose que, dans la situation actuelle des hyperboles supplémentaires, MN soit plus grand que M'N', il ne sera pas difficile de s'apercevoir qu'il existe une autre position du système pour laquelle la corde MN devenant nulle, les points M et N se réunissent au point 0.

En effet, cette circonstance arrive nécessairement quand le point O se trouve sur l'ellipse correspondante (Cj, en sorte qu'il suffit de démontrer que la courbe des points O rencontre effectivement cette ellipse; mais c'est ce qui a lieu précisément dans la supposition actuelle, puisque la courbe (0) passe par les centres C et C (14), et que les ellipses étant entièrement extérieures l'une à l'autre, le point 0 doit nécessairement les traverser toutes deux par un mouvement continu.

Donc, en effet, il existe une position du point 0 pour laquelle la corde MN est plus grande, et tino autre pour laquelle