OA.OB = OA

Si pareille chose arrive pour le second cercle (C), les cordes communes subsisteront toujours, et Ton aura, pour déterminer celle à distance finie,

ÔT = OÂ't ou OA = OA';

Ce sera donc la perpendiculaire élevée au milieu de la distance CC des centres.

33. Si les deux circonférences, au lieu de se réduire à des points, devenaient concentriques en conservant des dimensions finies, la corde qui leur est en général commune à l'infini, deviendrait (26) une corde idéale de contact, et la même chose aurait lieu si l'on considérait un nombre quelconque de circonférences de eercle. Ainsi :

« Deux ou un plus grand nombre de circonférences de » cercle concentriques, et situées sur un même plan, ont une

3ga V CAHIER. — ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES

d corde idéale de contact commune à l'infini, ou se touchent a en deux points imaginaires à l'infini. »

34. Enfin, si Ton suppose que les circonférences de cercle, toujours en nombre quelconque, au lieu d'être concentriques, aient une situation arbitraire sur le plan qui les renferme à la fois, leur système aura également une corde idéale commune à l'infini (25) ; mais ce ne sera qu'une corde simple et non une corde de contact ; c'est-à-dire que :

« Le système d'un nombre quelconque de circonférences » de cercle, situées d'une manière arbitraire sur un plan, a > toujours une corde idéale à l'infini commune à la fois à tous » les cercles dont il s'agit* »

35. Des cercles placés arbitrairement sur un même plan ne sont donc pas tout à fait indépendants entre eux ; ils ont idéalement deux points imaginaires à l'infini en commun, et, sous ce rapport, ils doivent jouir de certaines propriétés appartenant à la fois à tout leur sy s tente.

L'examen que nous allons faire des propriétés des cordes communes aux circonférences de cercle pourra servir à confirmer, pour ce cas particulier, la justesse des définitions et des rapprochements que nous venons d'établir; en nous y arrêtant un instant, nous aurons principalement en vue les propriétés qui nous seront utiles pour l'examen des sections coniques en général, et nous ne dirons des autres, qui sont aujourd'hui pour la plupart généralement connues, que ce qui pourra paraître indispensable à l'intelligence des premières.

36. Soit mn [fig. i55) une corde idéale commune à deux circonférences de cercle (C) et (C;); appelons M et N les deux points où la coupent à la fois les hyperboles supplémentaires qui lui correspondent ; d'un point quelconque P de cette corde menons arbitrairement une sécante PF dans le cercle (C), et une autre PF' dans le cercle (C ) : on aura (28), en tant que la corde mn appartient au cercle (C) et à son hyperbole supplémentaire,

pe.pf=poVôm\

et, en tant qu'elle appartient à l'autre cercle (C),

PE'.PF^PÔVÔM*; donc PE.PF = PE'.PF,

quel que soit le point P qu'on ait choisi sur la corde mit.

Si Ton traçait les tangentes PT, PT' aux mêmes cercles, elles seraient évidemment égales ; ainsi :

« La corde idéale commune à deux circonférences de cercle » est le lieu des points du plan de ces cercles pour lesquels » les tangentes correspondantes sont égales. »

Or cette propriété et celle qui précède, toutes deux prçpres à construire la corde dont il s'agit, appartiennent aussi aux cordes réelles communes à deux circonférences de cercle ; donc les cordes idéales ne diffèrent en rien des cordes réelles: les unes et les autres répondent à la même question et se construisent de la même manière ; la seule distinction nécessaire, c'est que les unes appartiennent à deux points imaginaires, et les autres à deux points réels communs à ces mêmes cercles.

37. Puisque le produit des segments PE, PF est égal à celui des segments PE', PF', les quatre points E, F, E', F appartiennent à une même circonférence de cercle : la réciproque est également vraie; donc:

« Si l'on décrit une circonférence de cercle quelconque qui » coupe celles (C) et (C ) en quatre points E, F, E', F'; qu'on «trace ensuite les cordes EF et E'F', elles iront concourir » sur la corde commune mn; cette corde sera donc, dan£ d tous les cas, très-facile à obtenir, qu'elle soit réelle ou » idéale. »

Quand les sécantes PF et PF' deviendront tangentes en T et T aux cercles donnés, ce qui peut avoir lieu de quatre manières différentes, la circonférence EFF'E' deviendra ellemême tangente en T et T' à ces cercles, et, réciproquement :

« Si une circonférence de cercle touche d'une manière » quelconque deux cercles (C) et (C ), les tangentes aux deux j> points de contact iront concourir, dans tous les cas pos- » sibles, sur la corde mn qui leur est commune. »

Ces propositions demeurent toutes applicables au cas où

3g4 V« CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES Tune des circonférences données devient infiniment petite ou se réduit à un point, car la corde commune, quoique idéale, subsiste toujours (31); il en est de même du cas où les deux circonférences données se réduisent à la fois à un point. Mais nous reviendrons plus tard sur ces circonstances particulières ; retournons au cas général.

38. Quand deux circonférences de cercle, situées sur un même plan , se rencontrent en deux points réels, et ont par conséquent une corde réelle commune, on peut en construire une infinité d'autres passant par ces points et ayant la même corde qu'elles. Pour déterminer une quelconque de ces circonférences, il faudra l'assujettir à une condition nouvelle, par exemple à celle de passer par un point donné ou de toucher une droite également donnée sur son plan ; or les propriétés qui précèdent serviront à tracer cette circonférence, sans qu'il soit besoin de recourir aux points de l'intersection commune des cercles donnés, et seulement en employant la corde qui passe par ces points, de sorte que la construction demeurera applicable même au cas où cette corde serait idéale. Donc, quand deux circonférences de cercle ont une corde idéale commune, et se coupent par conséquent en deux points imaginaires situés sur cette corde, on peut aussi construire une infinité de nouvelles circonférences toutes réelles, ayant la même corde en commun avec les premières, et qui passent ainsi idéalement par ces deux points imaginaires.

La même chose aurait lieu évidemment à l'égard des deux ipoinls réels ou imaginaires, situés à la rencontre d'une droite quelconque et d'un cercle.

39. Les deux séries de cercles qui nous occupent, étant déterminées et construites de la même manière par rapport à la corde réelle ou idéale qui leur est commune, doivent nécessairement jouir des mêmes propriétés.

Ainsi, que d'un point de la corde commune à l'une ou l'autre série, on mène des tangentes aux divers cercles de cette série, toutes ces tangentes seront égales (36), et les points de contact seront par conséquent rangés sur une seule circonférence de cercle, ayant son centre sur la corde commune au point même d'où sont issues les tangentes ; de plus, ce cercle et tous

DES SECTIONS CONIQUES. 3g5

ses semblables, coupant à angles droits tous ceux de la série qu'on examine, auront eux-mêmes évidemment une corde idéale commune (36), qui est la ligne des centres de cette série; mais cette corde sera nécessairement idéale quand l'autre sera réelle, et vice versa.

Le cas où la corde commune à une série de cercles est idéale offre une circonstance particulière qui mérite d'être remarquée en passant : c'est que, parmi l'infinité de cercles dont elle se compose, il en est toujours deux qui ont des dimensions infiniment petites, ou qui sont réduits à des points placés symétriquement sur la ligne des centres à l'égard de la corde commune. Ces points sont précisément ceux où passent à la fois toutes les circonférences de cercle de la série réciproque rencontrant à angles droits ceHes de la première ; ainsi ils sont faciles à construire. En les appelant cercles on points limites de la série à laquelle ils appartiennent, on pourra énoncer ce théorème :

Théorème I. — Si, d'un point quelconque de la corde réelle ou idéale, commune à une série de circonférences de cercle situées sur un même plan, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, la suite de tous les points de contact déterminera une nouvelle circonférence de cercle passant par les points limites du système quand ces points subsistent, et, si l'on considère déplus le système de toutes les circonférences pareilles, coupant orthogonalement les premières, elles auront réciproquement la ligne des centres primitifs pour corde réelle ou idéale commune à tout leur système.

40. En général, on voit que les cordes idéales des cercles se comportent absolument comme les cordes réelles, et ne peuvent être distinguées dans les recherches. On doit donc facilement concevoir que tout ce qu'on a pu jusqu'ici découvrir des unes s'applique immédiatement aux autres; ainsi, par exemple, sachant que trois cercles qui s'entrecoupent d'une manière réelle sont toujours tels, que les cordes qui leur sont deux à deux communes vont concourir en un même point, on pourra énoncer cette proposition d'une manière beaucoup plus générale, ainsi qu'il suit :

Thêobjhb II. — Quelle que soit la situation respective de

396 Ve CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES trois cercles sur un même plan, les trois cordés réelles ou idéales, qui leur sont deux à deux communes, vont toujours concourir en un seul et même point (* ).

Ce point jouit de propriétés nombreuses et remarquables* C'est à cause d'une de ces propriétés qu'il a été nommé centre radical des trois cercles par M. Gaultier de Tours, qui a pareillement désigné par l'expression d'axe radical de deux cercles, ce que nous avons jusqu'ici appelé leur corde réelle ou idéale commune. Au reste, toutes ces propriétés, aussi bien que celles qui précèdent, étant généralement connues des géomètres (**), nous n'insisterons pas davantage.

41. La série des cercles que nous venons d'examiner, qui ont, outre leur corde idéale à l'infini, une autre corde réelle ou idéale commune à une distance donnée, jouit d'un grand nombre de propriétés remarquables qu'il serait intéressant d'étudier d'une manière complète pour l'objet subséquent de ces recherches; mais nous nous bornerons, pour le moment, à exposer quelques-unes de celles qui se rattachent plus particulièrement au sujet qui nous occupe, et qui deviennent par là susceptibles d'être démontrées d'une manière assez simple sans le secours de considérations étrangères.

D'un point A (fig. i56), pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles (C), (C),... ayant une corde mn9 réelle ou idéale, commune à distance finie, soient menées deux tangentes AT et AT' à chaque cercle dont elle se compose ; soit joint le point A au centre C de ce cercle par une droite AC ; soit enfin tracée la corde de contact ou polaire TT' correspondante à A : je dis, en premier lieu, que la suite de tous les points B' de l'intersection mutuelle de ces deux droites sera sur la circonférence d'un cercle passant par le point A, et ren-

(*) Ce théorème reçoit sa démonstration directe de l'art. 36.

(**) XVIe Cahier du Journal de l'École Polytechnique. On supprime ici une note historique qui se trouve textuellement rapportée dans le Traité des Propriétés projectives de 1 822, et par laquelle je revendique sinon mes droits de priorité, du moins l'ancienneté des recherches relatives aux systèmes de cercles, qui se trouvent consignées dans le Ier Cahier du précédent volume des Applications d'Analyse et de Géométrie (i863).

contrant orthogonalemeni tous ceux de la série proposée,

circonférence dont le centre P est nécessairement (36) sur

la corde mn commune à tous les cercles de cette série.

En effet, soit tracé le rayon CT perpendiculaire à la ten-

Fi£f. i5G.

gente AT, on aura, dans le triangle rectangle ACT, en tant que le point B' appartient à la corde TT,

Ct' = CB'.CA;

soit tracé aussi le cercle (P), passant par le point A et coupant le cercle (C) orthogonalement au point Q (39), les rayons CQ et PQ qui lui correspondent seront réciproquement tangents à ce cercle; donc on aura aussi, en tant que le point B' est supposé sur la droite CA et sur la circonférence (P),