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relation qui, étant la même que la précédente, apprend que le point B', intersection de TT' et de AC, appartient, en effet, à la circonférence fixe (P), orthogonale aux cercles de la suite (C) (39), comme il s'agissait de le prouver.

Si Ton fait attention que le point B' n'est autre chose que le point milieu de la corde de contact TT', on* pourra énoncer ainsi ce thorème :

Théorêhb III. — Si, d'un point pris à volonté sur le plan

398 Ve CAHIER. - ESSAI SDR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES d'une série de cercles ayant une corde réelle ou idéale commune, on mène deux tangentes à chaque cercle de cette série, tous les points milieux des cordes de contact correspondantes seront distribués sur une nouvelle circonférence de cercle coupant orthogonalement les premières.

42. En second lieu, puisque tous les points B' appartiennent à la circonférence de cercle invariable ( P), les cordes de contact ou polaires TT, qui correspondent au même point A et à chaque cercle (G) de la suite proposée, iront toutes concourir au point invariable A' de la circonférence (P), situé à l'extrémité du diamètre ÀP qui passe par À ; proposition qu'on peut énoncer ainsi :

Théorème IV. — Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une suite de cercles ayant une corde réelle ou idéale commune, on mène deux tangentes à chaque cercle dont elle se compose, toutes les cordes de contact ou polaires correspondantes iront concourir en un point unique.

43. Les points A et A' jouissent évidemment de propriétés réciproques à l'égard des cercles de la suite, puisque, si l'on appliquait au point A' le raisonnement fait sur le point A, on trouverait que le point de concours correspondant est encore sur le cercle (P), à l'extrémité du diamètre invariable A'PA; ainsi ces deux points sont réciproquement les concours des polaires qui leur correspondent.

Quand le point A est pris sur la corde commune mn, son réciproque A' s'y trouve nécessairement aussi, car la direction du diamètre AP se confond alors avec celle de celte corde ; ainsi encore :

Théorème V. — Tous les points de la corde commune à une suite de cercles tracés sur un même plan, sont tels, que les polaires correspondantes vont concourir réciproquement en des points appartenant à cette même corde.

44. Cette proposition peut, au reste, être considérée comme un corollaire très-simple de ce qui a été dit à l'article 37; on voit, en outre, qu'elle s'applique aussi à la corde idéale qui est commune à l'infini à un système de cercles quelconques

situés sur un plan, car les polaires d'un point de cette corde deviennent évidemment alors parallèles entre. elles et concourent réciproquement à l'infini , ce qui peut servir à justifier le principe de l'article 34.

Le cercle (P), qui passe parle point A, et qui rencontre orthogonalement tous les cercles de la série proposée, est évidemment unique pour un même pdint donné A ; mais il est variable en môme temps que ce point. D'après l'observation faite à l'article 39, la suite de tous les cercles semblables doit avoir la droite CC pour corde réelle ou idéale commune, selon que celle mn du système proposé est, au contraire, idéale ou réelle, et ils doivent tous passer, dans le premier de ces deux cas, par les points K et L, qui représentent les cercles infiniment petits limites de tous ceux de ce système. Or, de cette remarque, on peut déduire une proposition qui nous sera particulièrement utile par la suite.

Soient K et L {fig. 167) les deux points par où doivent passer toutes les circonférences orthogonales ; mn la droite

qui renferme leurs centres et qui sert de corde idéale commune à la suite examinée ; soit enfin ED une droite, donnée arbitrairement sur son plan , qu'on suppose devoir être parcourue parle point A; je dis que tous les réciproques à ce point seront situés sur une section conique passant par les points K et L.

4<x> V CAHIER. - ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PRGJEGTIVES

Concevons, en effet, une circonférence quelconque (P) passant par K et L; elle ira rencontrer la droite donnée aux deux points A et B, et, si Ton trace les diamètres APA' et BPB\ leurs nouvelles extrémités A' et B; appartiendront évidemment ( i3) à la courbe des réciproques de ED. Or la corde A' W, qui passe par ces extrémités et coupe KL en S, est parallèle à la droite donnée ED dans toutes les positions qu'elle peut prendre en rendant variable le cercle (P); de plus, on a pour toutes ces positions