MOYEN DE QUATRE CONDITIONS DONNÉES ; PAR MM. BRIANCHON ET PON

CELET.

(T. XI des A finales, i*r janvier i8ai.)

Théorème I. — Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le point de concours des trois hauteurs est situé sur la courbe*

Démonstration. — On sait que, pour tout hexagonp ABCDEF (Jig. 170) inscrit à une section conique, les trois points de concours II, I, K des côtés opposés sont en ligne droite. Si donc, la courbe ayant des branches infinies, on suppose que l'hexagone ait deux de ses sommets, comme E, F, situés à l'infini, le point I, concours des deux côtés EF, BC, se trouvera à l'infini ; ce qui revient à dire que BC et HK seront parallèles.

Maintenant, la courbe étant une hyperbole, il est clair que les deux côtés DE; FA, adjacents à EF qui est à l'infini, seront respectivement

parallèles aux deux asymptotes, et, partant, seront rectangulaires, pour le cas de l'hyperbole équilatère, qui est celui dont il s'agit ici.

Les deux derniers sommets E, F de l'hexagone inscrit à cette courbe étant ainsi portés à l'infini, les quatre autres resteront arbitraires. Soient

Figw 171.

donc pris à volonté les trois premiers A, B, C (Jig. 171 ), et soit marqué

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5o5

le quatrième D tel que les deux côtés AB, CD, respectivement opposés à DE, FA, soient rectangulaires entre eux. Il résulte de ceci que AH est perpendiculaire sur DK. D'ailleurs AK est perpendiculaire sur DH, par la propriété des asymptotes; donc le point A est le croisement des trois hauteurs du triangle DHK; donc AD est perpendiculaire sur HK, et conséquemment aussi sur BG, parallèle à HK. Mais, par construction, CD est perpendiculaire sur AB; donc le point D est le croisement des trois hauteurs du triangle ABC. Or, le triangle ABC a été inscrit à volonté à la courbe; donc généralement a dans tout triangle ABC, inscrit à une » hyperbole équilatère, le point de croisement D des trois hauteurs est » un point de la courbe » ; ce qu'il fallait démontrer.

Si l'un A des angles du triangle inscrit varie de grandeur, en tendant vers l'angle droit, le point D se déplacera sur la courbe en s'approchant continuellement du sommet A ; ce qui revient à dire que la sécante AD, perpendiculaire sur BC, tendra sans cesse à toucher la courbe en A, et qu'enfin elle sera tangente quand l'angle A sera droit. Donc :

Théorème II. — Dans tout triangle rectangle inscrit h une hjfterbole équilatère, la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse est tangente à la courbe.

Il suit de là que, si l'angle droit oscille sur son sommet, l'hypoténuse se déplacera parallèlement à elle-même et à la normale menée à ce sommet; ce qui est un cas particulier du beau théorème démontré par M. Frégier dans le présent recueil (Annales, t. VI, p. 229 et 32 1, t. VII, p. 95).

Au moyen de ce qui précède,si on connaissait deux points A, B (Jtg. 1 72) de la courbe, et la tangente AP en l'un A de ces points, on pourrait en

Fîg. 172.

construire un troisième C en cette manière: du point B abaissez une perpendiculaire BC sur la tangente donnée, elle ira couper au point cherché C la perpendiculaire AC à AB.

On sait donc résoudre ces trois problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et la tangente en tun rteux.

Décrire une hyperbole équilatère dont on a deux points et les tangentes en ces points.

Décrire une hyperbole équilatère dont on a tleujc points, la tangente en tun de ces points et une autre tangente quelconque.

5o6 \T CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

En effet, par la construction qui vient d'être indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions ( *) :

Décrire une section conique dont on a quatre points et la tangente en Fun (Peux.

Décrire une section conique dont on a trois points et les tangentes en deux de ces jwints.

Décrire une section conique dont on a trois points, une tangente quelconque et la tangente en F un de ces points.

Il résulte encore du Théorème I que, lorsqu'on connaît trois points A, B, C {fi g. 171) d'une hyperbole équilatère, on en a un quatrième D, qui est le croisement des trois hauteurs du triangle ABC; en sorte qu'on sait aussi résoudre ces deux problèmes :

Décrire une hyperbole équilatère dont on a quatre points*

Décrire une hyperbole équilatère dont on a trois points et une tangente.

Car, au moyen de la construction indiquée, on obtiendra un nouveau point de la courbe; après quoi, pour achever, on aura recours aux solutions connues de ces questions ( **) :

Décrire une section conique dont on a cinq points.

Décrire une section conique dont on a quatre points et une tangente.

Théorème Ut. — Si deux points, situés sur le plan d'une hyperbole équilatère, sont les milieux ou les pâles respectifs de deux cordes ou de deux droites quelconques également situées sur ce plan; et que, par chacun (Feux, on mène une parallèle à la corde ou à la polaire qui correspond à F autre 9 le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se coupent les parallèles passera aussi par le centre de la courbe.

Démonstration. — Soient, en premier lieu, CE, CF (fig. 173 ) les direc-

Fig. 173.

lions indéfinies des deux cordes en question, I, K leurs milieux respec-

(*) Mémoire sur les lignes du second ordre, etc., par C.-J. Brianchoo, Paris, 1817.

(**) Même ouvrage.

EXTRAITS DES ANNALES DR MONTPELLIER. 5o7

tifs, 0 le centre de l'hyperbole équilatère et EF l'une de ses asymptotes, rencontrant en E, F, les deux cordes CI, CK prolongées; les droites OK, 01 seront les diamètres de la courbe, conjugués à la direction do ces cordes.

Cela posé, puisque l'angle des asymptotes est droit et que le point K est le milieu de la partie interceptée par ces asymptotes sur la direction de CF, la distance KO = KF et par conséquent l'angle RFO = KOF. Par la même raison, l'angle IEO = IOE; mais, a cause du triangle CEF, l'angle C est supplément de la somme des angles E, F, et par conséquent supplément de celle des angles KOF, IOE ; donc il est égal à l'angle IOK, formé de l'autre côté de IK par les diamètres IK, 10. D'ailleurs, on prouverait de la même manière que, si le point 0 était supposé du côlé du sommet de l'angle C, l'angle IOK, formé par ces mêmes diamètres, serait égal au supplément de l'angle C ; donc il est sur la circonférence du cercle qui passe par les points K, I et par celui. L où se coupent les parallèles KL, IL menées par chacun d'eux à la corde qui passe par l'autre : c'est-à-dire que,

i° « Si par chacun des points milieux de deux cordes quelconques d'une » hyperbole équilatère, on mène une parallèle à la corde qui correspond » à l'autre, le cercle qui passera par ces deux points et par celui où se » coupent les parallèles passera aussi par le centre de la courbe. »

En second lieu, soient PG, PH (fig. 174) deux droites quelconques, situées sur le plan d'ime hyperbole équilatère; R, Q leurs pôles respec-

zA^z

tifs, par rapport à cette courbe. Concevons, par le point Q, la parallèle QC à la polaire PH de ce point; la corde correspondante sera évidemment partagée en deux parties égales en Q ; car, d'après la théorie généralement connue des pôles, « le diamètre d'une section conique qui renferme » les milieux de toutes les cordes parallèles à une même droite, située » sur le plan de la courbe, passe aussi par le pôle de celte droite. »

Par la même raison, si, par le point R, pôle de la droite PG, on mène la parallèle CR à cette droite, rencontrant la première au point C, la corde qui lui correspond, dans l'hyperbole équilatère, sera divisée en deux parties égales en R ; ainsi, les points R, Q seront les milieux des droites ou cordes indéfinies RC, QC, qui passent respectivement par ces points et sont parallèles aux deux droites PG, PH.

5o8 \T CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

11 suit de là et de ce qui précède que :

a° a La circonférence qui passe par deux points quelconques R, Q, situés * sur le plan d'une hyperbole équilatère, et par le point L où se cou- » peut les parallèles menées par chacun d'eux à la polaire PG ou PH de » l'autre, passe aussi par le centre de la courbe. »

Il est d'ailleurs évident que les mômes choses auraient encore lieu si, à la place de Tune des deux droites et de son pôle, on substituait une corde et son point milieu ; ce qui complète la démonstration du théorème énoncé.

S'il arrivait, dans le cas où Ton considère deux droites PG, Pli et leurs pôles R, Q, que chacun de ces derniers fût situé sur la droite qui correspond à l'autre; c'est-à-dire, si le point Q se trouvait sur PG et le point R sur PH, les parallèles RL, QL se confondraient évidemment avec ces droites; donc la circonférence qui renferme le centre de l'hyperbole équilatère correspondante passerait alors par le point P où se rencontrent ces mêmes droites; mais, d'après la théorie des pôles, ce point a évidemment pour polaire la droite qui passe par les points Q, R; de sorte que ces trois points sont tels, que chacun d'eux est le pôle de la droite qui contient les deux autres; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème IV. — lorsque trois j/oints situés sur le plan rPune hyperbole équilatère sont tels, que chacun (Peux est le pôle de la droite qui contient les tlcux autres, le cercle qui passe par ces trois points passe aussi jmr le centre de la courbe.

Quatre tangentes AB, BC, CD, DA (fig. 175) à une même section conique forment, par leurs intersections mutuelles, un quadrilatère complet

TABCSD, dont les trois diagonales AC, BD, ST sont, comme Ton sait, telles que a chacune d'elles est la polaire de l'intersection des deux autres; » de sorte que, si la courbe est une hyperbole équilatère, la circonférence qui passera par les trois points P, Q, R, intersection des diagonales, passera aussi, d'après ce qui précède, par le centre de la courbe; d'où résulte ce nouveau théorème :

Théorème V. — Si Con mène quatre tangentes quelconques h une hyperbole équilatêre, le rentre de la courbe sera situé sur la circonférence qui passe par les trois points (F intersection tics diagonales du quadrilatère complet formé par ces tangentes;

Ou, ce qui revient au même :

Les centres de toutes les hyperboles équUatèrcs tangentes à quatre droites quelconques-, tracées sur un plan, sont situés sur la circonférence ffun cercle unique qui passe par les trois points (P intersection des diagonales du quadrilatère complet formé par ces dntites.

D'un autre côté, il résulte d'un théorème découvert par Newton (Priaci/œs mathématiques, etc., liv. I, Lem. XXV, Corol. III) que

« Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique quelconque, les » trois points milieux des diagonales sont sur une droite unique qui passe * par le centre de la courbe ; »

Ou, ce qui revient encore au même:

» Les centres de toutes les sections coniques tangentes à quatre droites » quelconques, tracées sur un môme plan, sont situés sur la droite unique 0 qui passe par les trois points milieux des diagonales du quadrilatère » complet formé par ces droites. 9

Donc, dans le cas de l'hyperbole équilatêre, le centre de la courbe se trouve à la fois sur la droite unique dont il s'agit et sur la circonférence du cercle qui passe par les trois points P, Q, R, où se croisent les diagonales; en sorte qu'on peut aussi résoudre ce nouveau problème :

Décrire une hyperbole équilatêre dont on a qiuttre tangentes.

En effet, ayant déterminé, au moyen de ce qui précède, le centre de la courbe (et il y en a évidemment deux, en général, qui résolvent la question), on le joindra par une droite avec l'un quelconque P des points d'intersection des diagonales, laquelle ira rencontrer la diagonale opposée BD, polaire de P, en un point X qui, d'après la théorie des pôles, sera nécessairement le milieu de la corde correspondante, et par conséquent aussi le milieu de la partie interceptée par les asymptotes sur cette diagonale; portant donc, à partir du point X, deux distances égales à OX sur la direction de la droite indéfinie BDX, leurs extrémités appartiendront aux deux asymptotes de la. courbe, qui ainsi sera parfaitement déterminée de grandeur et de situation; car le point qui divisera en deux parties égales la distance interceptée parles asymptotes sur l'une quelconque des quatre tangentes données sera le point de contact de cette tangente.

Supposons maintenant que ABCD soit un quadrilatère inscrit à une section conique quelconque ; les points de concours S, T de ses côtés opposés et le point d'intersection Q de ses deux diagonales simples seront encore, d'après la théorie des pôles, trois points tels, que « chacun d'entre eux sera le pôle de la droite qui passe par les deux autres 9; donc,

5io VIe CAHIER. — ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

si la courbe est une hyperbole équilatère, son centre se trouvera situé, d'après le Théorème IV démontré ci-dessus, sur la circonférence du cercle qui passe par les trois points Qv S, T, et par conséquent :

Théorème VI. — Dans tout quadrilatère simple , inscrit h une hyperbole équilatère quelconque, le cercle passant par les deux points de concours des côtés opposés et par le point a? intersection des diagonales passe aussi par le centre de la courbe.

Il suit de là que, quand quatre points À, B, C, D sont donnés sur un plan, on connaît aussi la circonférence qui passe par le centre de I hyperbole équilatère passant par ces quatre points (*); d'ailleurs le Théorème III indique d'autres circonférences qui renferment également ce centre; donc il est entièrement déterminé de position sur le plan des quatre points donnés, et il en est par conséquent de même des asymptotes de la courbe; car, si Ton prend le milieu K de l'une quelconque CD des distances qui séparent deux à deux les points donnés, puis qu'on porte, à partir de K, sur la direction infinie de CD, deux longueurs égales à la distance de ce même point au centre de la courbe, leurs extrémités appartiendront aux asymptotes de cette courbe. Voilà donc une nouvelle solution, très-directe et très-simple, du problème déjà résolu plus haut, dans lequel il s'agit de décrire une hyperbole équilatère passant par quatre points donnés sur un plan.

On peut tirer du Théorème III d'autres conséquences remarquables.

Que A, B, C [fig. 176) soient trois points quelconques, appartenant à une hyperbole équilatère ; si l'on divise les côtés CA, CB du triangle ABC,

Fig. 176*.

formé par ces points, en deux parties égales, aux nouveaux points I, K,

(*) On peut remarquer que, à quatre points donnés sur un plan, correspondent toujours trois quadrilatères simples différents, mais qui tous redonnent les mêmes points Q, S, T; en sorte que la circonférence en question est unique.

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. Si i

et que, par ces derniers, on mène les parallèles IL, KL aux côtés CB, CA, elles viendront se couper en un point L qui, d'après le théorème cité, appartiendra au cercle qui, passant par I, K, passe en outre par le centre de l'hyperbole équilatère ; mais lo point L se confond évidemment avec le milieu du troisième côté AB du triangle ABC ; donc

Théorème VII. — Dans tout triangle inscrit h une hyperbole équilatère, le cercle qui passe par les trois points milieux des côtés passe aussi par le centre fie la courbe;

Ou, ce qui revient au mémo :

Les centres fie toutes les hyperboles êquilatères circonscrites h un même triangle quelconque, sont sur la circonférence cFun cercle qui renferme les trois points milieux des côtés de ce triangle.

On peut conclure de là et de ce qui précède que, quand un quadrilatère quelconque A BCD (Jïg. 175) est inscrit à une hyperbole équilatère, le centre de la courbe doit se trouver, à la fois, sur les circonférences de huit cercles différents.

En effet, si l'on trace les diagonales AC, BD de ce quadrilatère, on obtiendra quatre triangles inscrits à la courbe, dont les points milieux G, H, I, K, L, M, qui sont aussi ceux des diagonales et des côtés du quadrilatère, détermineront un égal nombre de circonférences, passant par le centre de cette courbe; d'ailleurs, ce centre devra aussi se trouver sur la circonférence qui renferme les trois points Q, S, T, où se coupent les diagonales et les côtés opposés du quadrilatère (Théor. VI); et il en sera de mémo encore de chacuno des trois circonférences qui, passant par les points milieux do deux côtés opposés ou des deux diagonales de ce quadrilatère, renfermerait aussi le point où se coupent les deux parallèles menées par chacun d'eux (Théor. III) au côté ou à la diagonale qui renferme l'autre.

Le point où se coupent les* huit circonférences dont il vient d'être question est nécessairement unique; car, s'il était possible qu'il y en eût un second, toutes les circonférences devraient y passer à la fois, comme par le premier; or, toutes ces circonférences, excepfé celle qui renferme les points Q, S, T, et pourvu qu'on no combine pas entre elles celles qui passent par les milieux des deux côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère, sont évidemment telles quo, prises deux à deux, elles ont pour intersection commune l'un des points milieux do ces côtés et de ces diagonales; donc il faudrait que tous ces points milieux fussent confondus en un seul, ce qui est absurde; donc enfin le centre de l'hyperbole équilatère qui passe par quatre points donnés sur un plan est unique.

Si Ton fait attention à la manière particulière dont se trouve déterminé le point dont il s'agit, relativement aux côtés et diagonales du quadrilatère ABCD, il sera permis «l'en déduire cette conséquence générale :

5ia VI- CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Théorème VIII. — Quatre points étant pris à volonté sur un pian, il existe un autre point, et un seul point, tel, qu'en le Joignant par des droites avec les milieux des six distances qui séparent les quatre premiers deux h deux y V angle formé par deux quelconques de ces droites est égal à celui des deux distances qui leur correspondent, ou en est le supplément. Ce point unique est, en outre 9 le centre de rfiY/?crbole équilatèrc passant par les quatre points dont il s* agit.

Ce théorème souffre pourtant une exception qu'il est nécessaire de signaler : c'est lorsque l'un D [Jîg. 176) des quatre points que l'on considère, est le croisement des hauteurs du triangle ABC formé par les trois autres; car alors (Théor. I) il va uno infinité d'hyperboles équilatères passant par les quatre points A, B, C, D; et par conséquent la position du centre de la courbe ne saurait être unique ; elle est nécessairement indéterminée. Or, il résulte de là que les huit circonférences de cercle dont il vient d'être question, et qui renferment simultanément le centre, doivent se confondre en un seul et même cercle; ce qui donne lieu à la proposition suivante appartenant à la Géométrie élémentaire :

Théorème IX. — Le cercle qui passe par les pieds des /perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle quelconque sur les côtés respectivement opposés, passe aussi par les milieux de ces trois côtés, ainsi que par les milieux des distances qui séparent les sommets du /joint de croisement des perpendiculaires,

Démonstration. — Soient P, Q, R [fig. 176) les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés, et soient K, I, L les points milieux de ces côtés.

Les triangles rectangles CBQ et ABR étant semblables, on aura