c [Bp — aqr\ D +fD* = o

Observant que cette équation est décompftsable en deux facteurs dont l'un est 2>, épiant séparément à zéro chacun de ces facteurs, et remettant pour Bel D les quantités qu'elles représentent, on aura enfin, pour les équations de solution du problème,

, « l &-cf)p>-*(M-ae)qr+(d*-af)f .

1 } j a(&? — «/)/*■+ (£a-tfc)ra - *(de-bf)pr=o,

(c ) cp1 — a bpq -+■ fl<yT = o.

La première de ces équations représente évidemment, en général, une section conique; car les quantités /?, q, r, qui n'y entrent qu'au second degré, sont linéaires en x et y. Quant à la seconde, on peut s'assurer sans beaucoup de peine, qu'elle représente le système de deux droites. Si l'on y suppose, en effet, q= — mpt elle prendra la forme

(d) fl^ + aiw+f = o,

et donnera par conséquent pour m deux valeurs toutes connues en a, b, c ; en les substituant donc dans q = — u/p, qui remplace la proposée (c), et y mettant ensuite pour p et q leurs valeurs en x et j, on aura

(e) b'y + Jx-ï e'= — /w («'j -+-£'■* -h </') ,

équation qui, en y attribuant à m les valeurs constantes ci-dessus, re-

4o6 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

présentera évidemment ie système de deux lignes droites, comme on l'avait annoncé.

D'autre part, si Ton fait attention que ia ligne cherchée ne saurait être une droite que dans des circonstances tout à fait particulières, puisqu'elle doit être en général l'enveloppe de l'espace parcouru par une autre ligne droite, on en conclura que l'équation (V) représente seule la véritable courbe satisfaisant pleinement aux conditions du problème. Donc cette courbe est une seuje et même section conique, conformément à ce qui a déjà été démontré (XII} d'une manière purement géométrique.

XVI. Nous pourrions ici passer en revue, au moyen de l'Analyse, les diverses conséquences auxquelles nous sommes déjà parvenus (XII), relativement à la dépendance qui existe entre les trois courbes ($), (s'), (s*) ; mais cela serait d'un trop faible intérêt, et il vaut beaucoup mieux, pour l'objet que nous avons en vue , nous occuper de l'interprétation géométrique des facteurs étrangers auxquels la précédente analyse nous a conduits d'une manière presque inévitable.

Nous venons déjà de voir, par ce qui précède, que l'équation (c), mise sous la forme (e), représente, en y attribuant à m les valeurs constantes déduites de l'équation (d), le système de deux lignes droites particulières, et, en apparence, tout à fait étrangères à l'objet réel du problème ; on peut s'assurer, en outre, d'une manière trop facile pour qu'il soit convenable de s'y arrêter, que cette équation représente précisément un diamètre de la courbe (a-'), dont le conjugué fait avec Taxe des .r un angle qui a m pour tangente tabulaire, ou, si l'on veut encore, qu'elle représente un diamètre de cette courbe dont les tangentes extrêmes sont parallèles à une droite d'inclinaison donnée par m. Il ne reste donc maintenant, pour obtenir l'interprétation complète "de l'équation (c) ou plutôt (e), qu'à rechercher la signification de m, et pour cela il faut recourir à l'équation (d), d'où elle tire sa valeur.

On aperçoit d'abord, à la simple inspection de celte équation (d), que m ne dépend absolument que des constantes /?, b, c, qui appartiennent en propre à" la courbe (.v). Je dis, de plus, que cette équation ne représente autre chose que les valeurs des tangentes tabulaires des angles formés avec l'axe des x, par les asymptotes de (.v).

Afin de trouver les tangentes dont il s'agit, supposons, en effet, par l'origine des coordonnées, une droite parallèle à Tune quelconque de ces asymptotes et concourant par conséquent à l'infini avec elle : cette droite renfermera le point de contact de cette asymptote avec la courbe (.v) ; donc les coordonnées a et {3 correspondant à ce point, bien qu'elles soient infinies, n'en conservent pas moins entre elles un rapport fini et donné, lequel est précisément égal à la tangente tabulaire de l'angle que forme avec l'axe des r, la droite et l'asymptote dont il s'agit. Si donc, dans Té-

quation (s) do la courbe, on remplace le rapport ' par une constante inconnue X, ou, ce qui revient au même, si Ton y substitue Xa pour p, puis qu'on y suppose ensuito a infini après avoir préparé convenablement l'équation, on en obtiendra une autre qui donnera précisément les diverses valeurs des tangentes tabulaires cherchées (*). En opérant ainsi sur l'équation (s), on obtient

équation qui est absolument de môme forme que celle (d), et qui donne par conséquent pour k les mêmes valeurs que celle-ci pour ///; donc, en effet, comme il s'agissait de le prouver, la quantité m de l'équation (e) n'est autre chose que la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec Taxe des *r, l'asymptote correspondante de la courbe (.v) (**).

XVII. Maintenant, si Ton fait attention que le pôle d'un diamètre d'une section conique est situé à l'infini sur une droite parallèle au conjugué de ce diamètre, on pourra conclure de tout ce qui précède, que l'équation de condiLion (c) n'est autre chose que celle du système de deux diamètres de la courbe (.*'), ayant précisément pour pôles les points de la courbe (s), situés à l'infini, et que, par conséquent, ces points étant singuliers par rapport à (s), l'équation (c) n'est au fond qu'une solution particulière, purement algébrique, du problème proposé.

On aurait tort toutefois de rejeter sans un examen préalable, les facteurs qui correspondent à ces sortes de solutions étrangères; car : i° ils ne sont pas insigniâants, comme nous venons de le faire voir; 20 ils ne sont pas toujours inutiles , comme nous pourrions aussi en montrer plusieurs exemples; 3° enûn, ces facteurs sont liés d'une manière intime aux équations d'où l'on est parti, et en sont de véritables solutions, quoiqu'elles ne paraissent pas l'être de l'énoncé verbal lui-même.

La théorie de ces sortes de facteurs, quand elle sera perfectionnée,

(*) Il n'est pas Inutile de faire observer que, en suivant la même marche pour le cas général d'une courbe quelconque, on parviendrait, avec autant de facilité, à trouver les diverses valeurs des tangentes tabulaires des angles formés par les asymptotes sur l'axe des x. On voit, de plus, que le nombre de ces asymptotes serait, en général, égal à celui qui marque le degré de cette môme courbe. Dans le cas où l'équation obtenue aurait des racines égales, les groupes de ces racines correspondraient évidemment aux divers systèmes d'asymptotes parallèles, etc., etc.

En transportant les mêmes considérations dans l'espace, on obtiendrait sans peine l'équation do la surface conique parallèle à la surface dévelpppable asymptotique d'une surface donnée.

Ces remarques nous seront utiles pour ce qui va suivre. (Note de 1817.)

[**) Voir la Note additionnelle à ce IIIe Article, p. 000.

498 Vr CÂ1I1EH. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

ourra répandre un grand jour sur la marche de l'Analyse, et, si je ne me trompe, contribuera à ni hâter d'une manière inattendue le progrès, devenu si indispensablement nécessaire.

XVIII, D'autre part, si l'on veut connaître jusqu'à la raison pour laquelle le facteur (c) se trouve être solution du problème dont il s'agit, il faudra de toute nécessité remonter aux équations d'où Ton est parti pour faire l'élimination. On voit très-bien d'abord ce que signifient les équations (.y) et (a) : l'une est celle de la courbe donnée que parcourt le pôle ou ommet mobile (a, (•>), l'autre représente la tangente de la courbe cherchée, relative à une position particulière de ce pôle; il n'y a donc que 1' équation (b), qui a servi à l'élimination avec les deux autres, dont l'interprétation puisse souffrir quelque difficulté.

En la mettant sous celle, nouvelle forme

//r-t-Vj?4V ùfi -f- coL-yc

et remarquant que ses deux membres sont respectivement les expressions des tangentes tabulaires des angles que forment, avec Taxe des .r, les tangentes en (*r, r), («, (3) aux courbes (.*') et (s), mais prises avec des signes contraires, on en conclura, comme on Ta déjà fait ci-dessus à l'égard de l'équation (c), que cetto équation, en y regardant x et y commo les coordonnées courantes, et a, p comme constantes, représente un diamètre de la courbe (s), dont le conjugué fait avec Taxe des x un angle précisément égal à celui que forme, avec ce mémo axe, la tangente en (a, (3) de la courbe (s) ; c'est donc l'intersection de ce diamètre avec la tangente (a) à la courbe réciproque cherchée qui donne le pointde contact de cette tangente avec cette môme courbe. Or, quand le point (a, p) vient passer à l'infini sans quitter la courbe [s), le diamètre et la tangente dont il s'agit se confondent évidemment dans toute leur étendue (XYH), et ne donnent aucun point déterminé d'intersection appartenant à la courbe cherchée, ou plutôt donnent à la fois pour points d'intersection tous ceux du diamètre même dont il s'agit. Donc, l'équation finale devant donner simultanément les points qui appartiennent au système des équations (a) et (b), elle doit donner aussi tous ceux de ce même diamètre, et renfermer par conséquent l'équation de ce diamètre en facteur.

XIX. L'interprétation que nous venons de donner du facteur (c), pour le cas particulier de l'exemple qui précède, nous fait voir que, si la même courbe donnée ( *), au lieu d'être une section conique, était en général du degré //i, le nombre des points situés à l'infini sur cette courbe étant alors en général /w, il y aurait un même nombre de diamètres do la courbe (s1) qui appartiendraient à la solution analytique du problème; l'équation finale se trouverait, par là, affectée d'un facteur étranger du de-

gré w, qui la multiplierait inévitablement sans qu'il fût possible de l'en délivrer à priori par aucun procédé d'élimination , à moins de changer la forme même des équations primitives, c'est-à-dire la mise an équation, ou de le supprimer d'une manière implicite dans le résultat final. Ainsi, notamment, dans le cas particulier qui nous occupe, si, après avoir substitué les valeurs trouvées pour a, p dans l'équation (.v), au lieu de réduire de suite, comme nous lavons fait, tout au même dénominateur, on eût réuni séparément les numérateurs des termes ayant D1 pour dénominateur commun, et qui sont les seuls où x et y paraissent entrer au delà de la seconde puissance, on eût trouvé que D entre aussi comme facteur dans ce numérateur, et alors, en le supprimant, on serait nécessairement retombé sur l'équation (s"), à laquelle nous sommes déjà parvenus. Mais on voit qu'en opérant ainsi on aurait réellement et à posteriori supprimé un facteur de l'équation ûnale. Il n'y aurait de différence entre cette manière do procéder et celle d'abord employée, qu'en ce qu'on aurait supprimé ce même facteur d'une manière implicite, et sans s'en être rendu aucun compte préalable, comme nous l'avons fait dans l'autre des deux cas tlont il s'agit.

Si, présentement, on fait attention qu'il peut très-bien arriver quo le facteur supprimé, par l'effet des opérations intermédiaires, représente précisément la véritable solution du problème, on devra comprendre que, s'il est des manières de procéder qui abrègent le calcul de l'élimination, ii en est aussi qui peuvent par là conduire à des espères d'absurdités, en faisant manquer le but réel qu'on se propose d'atteindre.

Dans les procédés généraux de l'élimination, les réductions partielles dont il vient d'être question ne peuvent plus avoir lieu d'une manière immédiate, et alors il arrive que les équations finales renferment d'une manière implicite les facteurs singuliers qui les compliquent inévitablement. On attribue à l'opération elle-même d'avoir introduit ces facteurs soi-disant étrangers, tandis que, comme on vient de le faire voir, ce n'est, au contraire, que par l'effet d'opérations particulières que ces facteurs peuvent disparaître fortuitement du résultat final, dont ils font nécessairement partie sous le rapport purement analytique. Si l'on s'attachait à bien étudier les équations do départ, on pourrait peut-être parvenir à connaître à l'avance le degré et la forme même de ces facteurs, et alors rien ne serait plus facile que de les supprimer après coup, s'ils no répondaient pas immédiatement à l'énoncé verbal de la question proposée.

XX. Il résulte clairement do tout ce qui précède, que le résultat de l'élimination entre les équations (4, 5, 6) de l'art. 111 doit renfermer, conformément à ce qui a été annoncé (IV ), un facteur étranger qui complique nécessairement son expression, et qu'il est impossible de supprimer à priori, c'est-à-dire autrement que dans l'équation finale elle-même; que ce facteur est du quatrième degré, et représente le système de quatre droites

5oo VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

particulières; qu'enfin on peut obtenir à l'avance l'expression de ce facteur en agissant conformément à ce qui a été dit (XVI, XVII, XVIII), c'est-à-dire en recherchant les diamètres de la section conique ( v') qui ont pour pôles les points situés à l'infini sur la courbe donnée (4). et multipliant leurs équations entre elles.

Si, au lieu de considérer des lignes planes comme dans ce qui précède, on considérait des surfaces courbes abitrairement situées dans l'espace, la surface directrice (.v') étant toujours du second ordre, on trouverait (Note de l'art. XVI) que le facteur étranger représente une seule et unique surface conique, ayant son sommet au centre même de la surface (s') qui sert de directrice, et dont les génératrices rectilignes seraient respectivement parallèles à celles de la surface tlêvehppnble mymptotiqiœ de la proposée. Mais c'est assez s'arrêter sur les conséquences de l'analyse qui précède.

Note additionnelle aux il09 XV et XVI \ relative à la détermination des asymptotes, au lieu des points à l'infini de l'espace, etc. (i8G3).

Avant de nous occuper de ce dernier objet, remarquons que les numéros dont il s'agit donnant analytiquement l'inclinaison des asymptotes d'une courbe plane, on a, par cela même, un moyen d'en déterminer la position absolue, en recourant aux considérations relatives aux polaires de contact, rapidement ébauchées dans l'art. IV du IIe Cahier (p. ifo k 161). Par exemple, pour les simples coniques, il suffit de mener parallèlement aux directions obtenues, autant de lignes droites passant par le centre de la courbe, pâle de la droite à l'infini du plan et que détermine immédiatement, pour la conique (s), le système des équations linéaires

a' y •+• b'x -+-</' = O, Vy H- c'x -+- «' = 0.

Quant aux courbes planes et aux surfaces géométriques d'ordre quelconque, on comprend que la solution relative à la détermination des droites ou developpables asymptotes no saurait dépendre d'éléments aussi simples, et qu'il serait nécessaire de recourir aux considérations géométriques de l'art. IV cité où la transversale recti ligne et le plan qui, à l'infini, contiennent les points de contact des tangentes asymptotiques, seraient pris pour directrice des [>o*les ou points de convergence p, des faisceaux de tangentes à la courbe ou surface considérée. Mais il ne saurait en être question dans cette Note additionnelle , et je préfère insister sur quelques points des indications rapides des nos XV a XX du texte ci-dessus imprimé en 181 7, qui, à cette époque, n'ont pas suffi pour attirer l'attention, peut-être à cause de l'usage que j'y faisais de l'Analyse infinitésimale, aujourd'hui encore bannie de nos collèges et 'très-imparfaitement suppléée par la doctrine des dérivées, malgré le vœu formel des plus éminents professeurs, qui apprécient les avantages inhérents à l'admission de la continuité et de l'infini. En réalité, depuis un certain temps, l'enseignement public en France est livré à une sorte d'anarchie provenant du mélange des méthodes, du décousu des programmes et de l'arbitraire, de l'esprit d'indépendance des professeurs, des examinateurs et même dos colleurs dont la délicate profession était fort peu connue de nos ancêtres.

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5oi

Quant à l'objet dont il s'agit, il me semble inutile de se livrer u de profondes méditations et à de longs calculs pour apercevoir que les nos XV et \VI et les notes qui les accompagnent contiennent implicitement la justification analytique des principes, d'apparence métaphysique, démon très géométriquement dans le Ve Cahier de ce volume et dans le Traité des Propriétés projectiles des figures. Car, d'après les considérations analytiques de ces numéros, les droites qui, parlant d'un point donné quelconque (soit l'origine même des coordonnées), vont aux différents points à l'infini d'une courbe ou d'une surface continue, forment un faisceau convergent dont les diverses tangentes tabulaires d'inclinaison par rapport aux axes ou aux plans coordonnés, sont soumis à des conditions algébriques analogues à celles do l'équation

déduite de l'équation (s) de la courbe considérée dans le cas particulier du texte, par un mode d'opérer qui, en remplaçant à son tour dans l'équation

ainsi transformée k par — » redonne la première partie,

{g) afi% -i-36«/3 -*-«*• = o,

de la proposée (s); c'est-à-dire précisément celle qui se compose de la somme des termes de plus haute puissance en ce et fi, et qu'on eut obtenue de suite, en observant que les points à coordonnées variables a et fi, dont on s'occupe, étant situés à l'infini, les termes de puissances ou de produits inférieurs des mêmes variables sont comme nuls et doivent disparaître par rapport à ceux de puissances supérieures, selon un principe généralement admis parmi les géomètres algébristes qui n'ont pas absolument horreur de la notion abstraite de l'infini.

Ces considérations, étant applicables, mot pour mot, aux courbes et aux surfaces algébriques de tous les degrés, il devient permis d'en tirer des conséquences générales et rigoureuses, sans être obligé de recourir à des artifices de calcul, et de renoncer à la méthode classique des coordonnées de Descartes.

Remarquons d'abord que l'équation (f) on son analogue dans le cas général d'une courbe plane de degré m, donnant, par sa résolution au moins implicite, les m. valeurs réelles ou imaginaires de l'inclinaison k du faisceau des parallèles aux asymptotes issues de l'origine des coordonnées, cela prouve que le nombre des points à l'infini sur la courbe est le même que celui du degré m de cette courbe, et suppose évidemment que les points à l'infini de son plan sont sur une certaine droite indéterminée de situation dans ce plan, ainsi qu'on l'a démontré géométriquement dans le Ve Cahier de ce volume.

Donc aussi, l'équation (g)t ou son analogue dans le cas général, est l'équation même du faisceau convergent des parallèles aux asymptotes, c'est-à-dire le produit des équations linéaires des diverses droites de ce faisceau , ayant iei chacune la forme y3 — ■ A a = o.

Supposant, comme exemple très-particulier, que l'équation (s) soit celle d'un cercle de position quelconque, on aura a = ct b = o; ce qui réduit les équations (/) et (g) aux deua suivantes :

i'-r-isso, flt-i"A* = 0} d'où k=±z^7f jl — ±:x.^—

5o* VIe CAH1RR. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

et par la fait connaître algébriquement les points où le cercle est rencontré par la droite à l'infini de son plan. De plus, comme on parvient à des résultats entièrement identiques pour d'autres circonférences de cercle quelconques situées sur le même plan, il en résulte la vérification algébrique à posteriori du n° XXXIV de l'énoncé du précédent Cahier (p. 3<p); énoncé qui, d'après ce qui précède et un autre théorème d'Analyse bien facile à démontrer, s'étend évidemment à des systèmes de coniques ou de courbes algébriques d'ordre quelconque, semblables et semblablement placées sur un plan.

Quant au cas de l'espace, la méthode algébrique et ses principales conséquences restent les mêmes, u cela près que les équations comportent alors trois coordonnées indépendantes xty, z9 ou a, /9, 7, et que ces équations sont doubles ou triples pour chacune des parallèles mis asymptotes et des lignes courbes proposées ou données. Ainsi, par exemple, pour fixer les idées, dans la cas très-particulier encore d'une surface du second degré, où l'équation (») serait remplacée par la suivante:

Aa1 -+- B£» -+• Cy1 -h D*0 -H Eccy -f- Ffiy -h G oe . . . = Of

et l'équation unique de la parallèle aux nappes infinies ou asymptotlques, par les deux équations

les équations (/) et (g), ci-dessus, seraient elles-mêmes changées en celles-ci :

Att + B*» + C-+-DiA-f-Ei-»-FA-i-Gr... = o, A a* -h B p -t- C •/ -+- D ufi H- E «y -h F/Sy = O,

dont la dernière représente un cône à double nappe indéfinie, réelle on Imaginaire, parallèle h la développable conique et asymptote de la surface proposée (Moxgs). Ce cône ayant ici pour sommet l'origine des axes coordonnés, et pour section (réelle on Imaginaire) par on plan quelconque parallèle à celui des a/3, une courbe semblable et semblablement placée par rapport à la section correspondante de la surface proposée, il est clair que ces deux sections vont se superposer rigoureusement à l'infini sur le cène, c'est-à-dire pour la valeur y = *> . Or, ceci ayant lien pour des surfaces algébriques d'ordre) et en nombre quelconque, démontre à posteriori que tous les points à t infini de t espace peuvent et doivent, aussi an point de ▼ne analytique, être smppesét sur un plan, etc.

D'autre part, comme les équations des surfaces algébriques semblables et semblablement placées ne diffèrent entre elles, à un facteur constant prés, que par les coefficients des termes de degrés inférieurs; cela justifie encore que de telles surfaces ont un même plan de section commune, réelle on imaginaire, à l'infini, etc., etc.

Lorsque, il y a près d'un demi -siècle, je m'occupai de ces démonstrations, plutôt analytiques que géométriques, je considérais, ainsi qu'on a pu s'en apercevoir, comme chose évidente, d'après les procédés des nM XV et XVI et les théories bien connues de l'Algèbre, que le nombre des points à l'infini d'une courbe plane étant précisément égal à celui qui en marque le degré, ces points devaient être supposés appartenir à une droite à l'infini, indéterminée de direction dans le plan ou l'espace. Pour s'en convaincre plus directement encore, soit

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5ii3

f(xifi) = 0 l'équation de la courbe et /3 = Aa, comme au n° XVI, celle d'une droite allant de l'origine des coordonnées à l'un quelconque des points à l'in fini de cette courbe; soit enfin /2 = Aa + B l'équation d'une transxersale arbi traire, il paraît évident que les équations

/(«,Aa + B)=o, /(«, Aa) = o,

provenant de la substitution des deux valeurs ci-dessus de £, seront identique si l'on y suppose simultanément B et a infinis, ainsi que

Aa-t-R = Aa ou k — A = — »

égalité susceptible d'être satisfaite, quelles que soient les valeurs attribuées

l'indéterminée — devenue -» quand la transversale â = A a -+- B passe tout en*

tière à l'infini ; A étant une constante, donnée entièrement arbitraire, et A une autre constante déterminée par le calcul, comme on l'a montré dans ce qui précède.

Or, ce genre de raisonnement qu'on pourrait développer davantage d'après l'exposé des pages précédentes, étant considéré comme admissible en Analyse algébrique et s' étendant au cas des surfaces, prouve, avec une rigueur désormais incontestable, la vérité du principe dont il s'agit, déduit des notions de la continuité et de l'infini considéré dans ses divers ordres hiérarchiques ou subordonnés de grandeur et de petitesse variables. Ces notions métaphysiques, mises en parfaite évidence dans les multiples et curieux phénomènes do la Géométrie descriptive, ont éclairci déjà bien des obscurités, des mystères de l'Analyse algébrique, et contribueront, par la suite, à en éclnircir bien davantage encore; notamment en ce qui concerne l'abaissement du degré des équations des courbes et surfaces par la disparition de certains termes, de certains coefficients ou paramètres, d'où résulte soit l'évanouissement même de certaines branches, soit leur transport à l'infini, en vertu desquels elles se changent en autant de points isolés ou en autant de lignes droites tantôt distinctes, tantôt confondues entre elles.

Le principe de Géométrie relatif aux limites idéales de l'espace, qui, en raison de ce qu'une portion déterminée et finie d'une surface sphérique do rayon infini doit algébriquement ou figurativement être supposée plane, ne contredit nullement l'apophtoegrae des Anciens, mentionné dans 1* note de la p. i/j6, oà je regrette de n'avoir pu mettre à profit le contenu d'une dissertation historique approfondie qu'a bien voulu me communiquer M. de Loménie, savant professeur de littérature au Collège de France et h l'École Polytechnique. Qu'il me suffise de joindre aux noms déjà cités dans cette note, ceux de Tirnée de Locres chez les Anciens, et, chez les modernes, de Rabelais qui avait probablement répété cet apophthegme plutôt au point de vue de la théologie qu'à celui des mathématiques. Toutefois la conception première d'une telle maxime me x semblerait bien plutôt devoir être attribuée à Platon, ce généralisateur du cône et des coniques, dont l'École est célèbre par ces mots : Nul n'entre ici s'il n'est géomètre, et auquel on doit probablement aussi l'épithète d'éternel géomètre, appliquée à Dieu, l'esprit générateur et organisateur de toutes choses, cause, force ou principe, dont nous étudions ici-bas les lois et les effets divers.

5o4 VP CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE