Réponse de M, Poncclet aux deux lettres précédentes

(Metz, le M octobre 1819.)

a Monsieur et cher compatriote, j'ai reçu avec reconnaissance la lettre pleine d'intérêt que vous m'avez fait l'honneur de nVécrire au nom de trois personnes que j'estime et que j'aime également; je suis on ne peut plus flatté de l'attention qu'elles ont bien voulu donner à une faible production d'un de leurs disciples dans la science de l'étendue, et vous prie

d'être auprès d'elles à la fois l'interprète de mes inaltérables sentiments.

» Pour reconnaître, autant qu'il est en moi, la bonté et l'indulgence qu'elles me témoignent, je crois ne pouvoir mieux faire que de répondre avec une entière franchise aux observations qu'elles ont daigné me transmettre, en me dépouillant, s'il se peut, de tout amour-propre d'auteur. Puissent-elles au moins reconnaître dans cette réponse le vif besoin que j'éprouve d'obtenir leurs suffrages et leur approbation !

» Je m'occuperai d'abord des réflexions et des observations générales, de celles qui sont comme le résultat de l'examen de mon écrit, parce que ce sont celles-là qui me tiennent le plus au cœur; je tâcherai ensuite de répliquer, le moins mal que je pourrai, aux observations particulières qu'on m'a faites. Je m'abstiendrai , du reste, de parler de celle des opinions émises ( Brianchon ) qui m'est tout à fait favorable, parce qu'il est fort naturel et fort simple qu'en ma qualité d'auteur j'en trouve les conséquences à mon gré; quant aux corrections que cette même opinion indique, je répondrai que, non-seulement je les approuve, mais qu'encore je souhaiterais qu'on daignât rayer impitoyablement toute expression, toute phrase inconvenante, obscure ou trop ambitieuse. Par exemple, si j'avais donné à entendre quelque part que je déduirai des principes renfermés dans mon écrit, de fertiles et d'utiles applications, de celles qui sont d'un intérêt général, j'aurais mal expliqué ma pensée, et j'aurais contre mon gré, donné sujet moi-même à l'application de la fable de la Montagne qui enfante une souris. Je déclare donc que je ne refuse pas d'effacer, de corriger, et qu'on me rendra un grand service en usant largement de celle faculté.

» J'insiste beaucoup là-dessus, parce qu'il me semble qu'on s'est mépris sur le but véritable de mes recherches, et qu'on en a conçu une opinion beaucoup trop avantageuse ou trop relevée, et à laquelle je me sens incapable de répondre. Ainsi, mon objet n'a pas été d'attaquer des idées reçues, de créer une théorie nouvelle pour l'opposer à l'ancienne, je n'ai pas formé le chimérique espoir de dissiper les ténèbres qui nous enveloppent de toutes parts, quand npus voulons remonter aux premiers principes des sciences. J'ai voulu simplement mettre en évidence un fait, un axiome devenu familier à la plu part des géomètres analystes, sans qu'ils s'en soient rendu explicitement un compte bien clair et bien déterminé, puisque s'ils l'ont fort souvent admis, ils l'ont plus souvent encore repoussé, lorsqu'il conduisait, dans les applications, à des difficultés, à des conséquences étranges ou paradoxales.

» M. Carnot, lui-même, rejette ces conséquences, quoique tacitement il s'en soit appuyé pour établir sa théorie de la corrélation des figures; c'est une contradiction continuelle, qui jette du louche dans cette théorie, et principalement sur les exemples dont elle s'appuie. Si je ne l'ai pas signalée, c'est par respect pour le grand homme; j'ai pourtant remarqué, à

dessein (art. 6 de mon Mémoire), qu'on ne devait pas confondre la corrélation de signes avec la corrélation de situation des figures, sans justification préalable ; or, c'est ce que M. Carnot fait souvent d'une manière purement implicite.

» Après ces éclaircissements sur l'axiome ou principe de continuité considéré en Géométrie, j'ai voulu montrer qu'il n'avait pas mieux sa raison en Analyse, et en déduire cette conséquence qu'il doit être admis sans restriction dans la première de ces deux sciences, de môme qu'il l'a été naturellement, et en quelque sorte forcément, dans l'autre. Telle est la conclusion comme le but véritable de mon écrit; ce que j'ai ajouté dans le troisième paragraphe ne concerne proprement que des applications générales, et forme ainsi un complément utile, mais non indispensable, des deux premières parties.

» Voilà, Monsieur, ce que j'ai déjà eu l'honneur de vous mander dans ma première lettre (novembre 1818), qui renfermait comme l'analyse démon Mémoire actuel et d'un autre, qui pourra le suivre un jour, sur l'application de l'Algèbre en général à la Géométrie. Je vous suppliais, dans cette même lettre, de me donner votre avis sur le degré d'intérêt que pourraient présenter ces idées aux yeux des géomètres; c'est-à-dire si elles vous paraissaient neuves, si elles valaient la peine d'être écrites : j'attendais avec impatience votre réponse pour m'y conformer dans la rédaction de ce Mémoire. Celle que vous me files parvenir (en janvier 1819) n'était que provisoire et ne dissipait nullement mes incertitudes; cependant l'hiver s'écoulait, et avec lui, le court moment de loisirs que nous laisse le service militaire; c'est alors que notre ami Brianchon fixa mon irrésolution en me conseillant de faire imprimer, à part et à mes frais, la partie métaphysique de mon travail, jugeant avec raison qu'elle figurerait mal avec l'autre, et qu'elle l'allongerait désagréablement aux yeux des géomètres qui, ainsi que vous le dites vous-même dans votre dernière missive, aiment avant tout les applications solides et utiles. J'ai donc rédigé mon deuxième Mémoire et vous l'ai envoyé, afin de profiter de l'offre obligeante que vous m'avez faite de le relire et de le faire imprimer.

» Avec plus de talent dans l'art d'écrire, j'aurais pu sans nul doute m'exprimer en moins de mots, l'aurais-je fait avec autant de clarté pour tout le monde? Voilà ce qui, selon moi, n'est pas très-certain. Que des savants, qui ont beaucoup réfléchi sur la marche de la Géométrie et de l'Analyse algébrique, conçoivent, du premier jet, des idées qui leur sont déjà devenues familières par l'usage autant que par la méditation, cela ne me parait pas du tout surprenant; mais je doute que les développements que j'ai donnés à certaines d'entre elles paraissent superflus au grand nombre de ceux qui, n'étant pas aussi bien initiés par eux-mêmes, connaissent pourtant le Discours préliminaire et la première Section de la Géométrie de position ; les principes exposés dans cet immortel ouvrage 11. 35

no sont pas tous tellement évidents, qu'ils n'aient été déjà combattus à diverses reprises par des géomètres, d'ailleurs estimables et d'une excellente réputation. Enfin, il ne me paraît pas du tout clair et hors de doute que mes idées rentrent assez dans celles de M. Carnot, pour qu'il paraisse inutile de les énoncer sous une nouvelle forme, et, peutrètre même, inconvenant de ne lui en pas faire un hommage ostensible et complet.

n Cet illustre géomètre recherche la mutation des signes qui peut survenir dans une formule pour la rendre applicable aux figures corrélatives de celle à laquelle elles s'appliquent; il se sert pour cela, mais sans l'énoncer ni l'examiner explicitement, du principe de la continuité, et, ainsi que je l'ai déjà dit, c'est encore avec des restrictions qu'il en fait usage implicitement, comme d'un axiome évident par lui-même. Or, il n'est clair et évident que pour les états absolus ou réels du système de la figure, pour ceux où la corrélation est simplement directe ; aussi l'auteur ne l'a-t-il admis que mentalement, et comme malgré lui, dans les cas les plus compliqués.

» Pour faire voir la contradiction qui résulte de là dans les conséquences de ses principes, il suffit de se rappeler (n° 2, Sect. I ; n° 78, Sect. II, Dissertation préliminaire y p. xxvil) qu'il nomme figures corrélatives celles qui naissent de la figure donnée, en vertu d'une transformation opérée par degrés insensibles, et par conséquent continue, ce qui suppose forcément qu'elle ait lieu d'une manière absolue et réelle, possible géométriquement. Qu'arriverait-il néanmoins si quelqu'une des grandeurs du système devenait impossible? Faudra-t-il multiplier son expression dans les formules primitives par les signes \/—i, =fci, etc., comme l'auteur semble le dire, n0" 6 et 543. En un mot la corrélation sera-t-elle imaginaire^ complexe ou simplement indirecte ? Voilà ce qu'on ue saurait résoudre affirmativement à l'aide des principes posés; il est môme évident qu'on serait en droit de conclure, d'après ces principes, qu'il faudrait multiplier l'expression dont il s'agit par /— i ou son carré par — i, cV qu'on peut démontrer être ici vraiment faux et absurde. Il manque donc quelque chose à cette théorie, et elle n'est pas aussi claire qu'on pourrait le désirer. Enfin, notre célèbre auteur ne s'occupe nullement des modifications qui arrivent, non dans les propriétés métriques, dans les formules, mais dans les propriétés descriptives, dans l'état des grandeurs figurées et décrites. Mon Mémoire, au contraire, a pour objet d'examiner l'axiome de la continuité en lui-même, sans s'occuper des règles et des signes ou opérations algébriques, mais seulement des grandeurs figurées ou décrites, en un mot, des notions abstraites et des expressions de langage qui appartiennent aux divers états d'un système géométrique dans ses transformations diverses par degrés insensibles.

» En voilà assez, je pense, pour montrer que mes idées ne se rapprochent pas, autant qu'on pourrait le croire, de celles de M. Carnot, et pour prouver que, si elles ont semblé aux yeux de savants et estimables géo-

mètres être empreintes d'an certain air de famille, elles n'en valent pas moins la peine d'être énoncées d'une manière formelle et entièrement explicite. Je dois, bien plus, me féliciter d'avoir ainsi fondu en quelque sorte mes idées dans les leurs, et d'avoir par là obtenu pour elles à l'avance une approbation certaine, sinon complète. Le jugement que ces savants ont porté sur les deux premières parties de mon Mémoire, me confirme tout au moins dans la conviction que je n'ai pas erré, et que les conséquences auxquelles je suis arrivé, tout étranges qu'elles puissent paraître en Géométrie pure, ne me seront pas contestées. Mais, au lieu de conclure avec eux que ces deux parties doivent être réduites à quelques pages, je m'en appuie, au contraire, pour me renforcer dans l'opinion intime et profonde qu'elles doivent être conservées en entier, sauf les corrections qu'on pourra juger à propos d'y faire et que j'ai déjà réclamées comme une faveur exceptionnelle.

» Ce jugement me rappelle celui de M. Badelle (mon ancien professeur de mathématiques au lycée de Metz ep 1806 et 1807), à une époque déjà bien reculée ; depuis lors j'ai eu le temps de réfléchir, de méditer la Géométrie de position, de me convaincre enfin que mes efforts pour éclairer la métaphysique de la simple Géométrie n'étaient pas tout à fait inutiles. Cette réflexion, qui arrive d'une manière toute naturelle, me fait ressouvenir à son tour que M. Badelle est en ce moment à Paris, et que je lui dois un souvenir d'estime et d'amitié, dont je vous prie, Monsieur, d'être auprès de lui l'interprète à la fois fidèle et officieux.

» Il me reste maintenant à répondre à quelques objections que vous m'avez adressées dans votre lettre ; leur solution ne me paraît pas, à beaucoup près, aussi difficile et aussi délicate que celle des questions qui viennent de m'occuper. En effet, je suis d'accord avec vous que l'Algèbre n'est pas purement la science des grandeurs numériques, mais la science des opérations algorithmiques, c'est l'avis de Lagrange, et je m'y range formellement dans mon Mémoire ; je n'en conclus pas pour cela qu'il y ait en Algèbre detuc sortes d'impossibilités, les unes métriques, les autres algorithmiques; je dis au contraire qu'il n'y en a que d'une seule espèce, savoir : les impossibilités métriques. Si l'on demande, par exemple, la décomposition d'un polynôme, de a* + b* je suppose, en facteur du iw degré, on trouve qu'il y a impossibilité numérique, car ces facteurs sont

mais il n'y a évidemment aucune impossibilité algorithmique, puisqu'on a rigoureusement

a'+b* = (a + b)/~i) (a- bi/=ï)\ ' et il en est de même des autres impossibilités algébriques ; ainsi

log (— l) = (2/11 -fi) Try/^T

est impoisible numériquement et possible sous le |>oint de vue algorithmique; c'est aussi ce qui porte à regarder log (— i) comme un symbole, une expression qui n'est pas tout à fait illusoire, et de la résulte Vantir/nmic que présentent en général les êtres de non-existence a l'entendement.

» La question, si longtemps débattue, de savoir si log (—1) était réel, revient a demander si l'équalion ci-dessus renferme ou donne toutes les valeurs, toutes les racines de celle expression. Or, d'Alembert a présenté ce doute, qu'Euler a laissé subsister en son entier, savoir : que

quand * = - dans l'équation / = a', on avait algébriquement

jr=±[ay ou -=.Log^=Log(±v/n),

de sorte qu'il semble que les irrationnels négatifs ne soient pas compris dans la règle ci-dessus.

» Au reste, je n'ai pas la prétention de prononcer, c'est une réflexion qui me vient a l'occasion de la vôtre. Les factorieltes, les différentielles, les logarithmes, les intégrales à indices fractionnaires ^— 1 sont-ils des imaginaires absolus, algorithmiques ou métriques? Je répondrai À votre doute en disant qu'il est possible, et peut-être permis, de supposer que le, contraire ait lieu: car, ainsi que je l'ai dit, la question n'est pas plus absurde que tant d'autres, et la solution ne dépend que des progrès qu'on pourra faire faire, par la suile, k l'algorithmie. Je dirai plus, j'ai vu quelque part que les coefficients didérentiels à indices fractionnaires répondent à des interpolations véritables.

n D'ailleurs, Monsieur, je n'ai émis qu'un doute, et ce doute, qui ne fait rien à la théorie de mon Mémoire, ne peut pas être combattu par un autre doute; si j'ai dilou supposé que les impossibles géométriques répondent exactement aux imaginaires algébriques, je n'ai fait que me conformera l'opinion généralement admise, que toutes les fonctions imaginaires se ramènent à la forme a ± b v — 1 ; je ne crois pas avec vous que cela porte atteinte à ma théorie.

» On me fait à cette occasion l'objection suivante : Une droite et une

courbe étant dans un même plan, leurs points d'intersection seront en

effet tour à tour réels, imaginaires ; mais si l'on vient à supposer que lu

droite se détache tant soit peu du plan, toutes les intersections ttevien-

drorrl impossibles ; à quelle impossibilité algébrique correspondra cette îih-

i géométrique ? La réponse est toute simple : je demande, en ef-

deux états du système sont comparables, homogènes et peuvenl

nétriquement comparés? Sont-ils assujettis a la même iié[>en-

la même loi, au même mode de génératiun? Le principe, la loi

uilé ne sont-ils pas violés, puisqu'il y a chringement d'hypoihèse.

tinn, ou plutôt anéantissement des condition* primitives? Or.

dans toute recherche, les conditions essentielles et constitutives du système doivent rester les mêmes ; ce qui fait qu'il n'y a pas seulement ici impossibilité, imaginante, mais bien absurdité absolue, c'est qu'il faut une condition distincte pour qu'une ligne soit sur un plan, et qu'on la viole ou qu'on change la question, en la supposant ensuite dans l'espace : les imaginaires véritables ne tiennent qu'au simple changement de grandeur relative ou absolue des parties, et non au changement des conditions ou relations constitutives.

Si l'on me demande cependant comment l'Algèbre répond à l'absurdité d'une question ainsi présentée, il me suffira de poser les équations de deux lignes, l'une sur le plan des xy et l'autre dans l'espace; je trouverai une équation entre les constantes qui m'indiquera qu'il faut une condition particulière pour que l'intersection ait lieu, de sorte que la question est entièrement illusoire, si cette condition est violée ou non remplie. Au surplus, je remarque que la question revient, en dernière analyse, à trouver les intersections de celle des deux lignes qui est sur le plan des jcjr, avec un certain nombre de points également situés sur ce plan; question non moins illusoire en apparence que celle de demander l'intersection mutuelle de deux points, et qui ne peut avoir de sens rationnel et géométrique qu'autant qu'on supposerait ces points représenter des courbes fermées infiniment petites, par exemple des cercles, des ellipses, etc.

Aussi l'Analyse algébrique donne -t-elle, dans cette hypothèse, une réponse toute simple et naturelle, à cause que l'idée de la continuité et de l'homogénéité subsiste entre le cas général et le cas particulier. En effet, ces points, ces cercles infiniment petits, ont évidemment pour équations

en les retranchant l'une de l'autre, on obtiendra d'abord

2(a — tï)x -+- 2{b — b')y -+- a" — a1 -h *" — b% = o,

équation de la corde idéale commune, qui n'est autre chose que la perpendiculaire élevée sur le milieu de la distance des deux points.

On obtiendra ensuite entre les constantes, par l'élimination de x ou de jr, les deux équations suivantes :

\(a-ay+(b-b'y][!i(x-ay-4(a-a')(x-a)+(a-a'y+{b-b'y]=iot

auxquelles on peut satisfaire simultanément par l'équation de condition unique

qui exige la coïncidence des deux points proposés; mais elles peuvent encore, être satisfuites, indépendamment de l'égalité à zéro du facteur qui leur est commun, en posant les équations

lesquelles donnent les coordonnées des points d'intersection imaginaires dos deux cercles.

55o VIP ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

Ainsi l'analyse répond encore par des imaginaires a l'impossibilité géométrique de la question, telle qu'elle vient d'être posée. On voit que, pour le cas général des deux courbes quelconques dans l'espace, on obtiendrait des résultats semblables, en substituant, comme il est rationnel de le faire, des surfaces canaux infiniment minces à là place de ces deux courbes, la question cesserait en effet, alors, de devenir entièrement illusoire et absurde, quand on viendrait à détacher l'une des deux courbes de son plan, mais l'Analyse n'en donnerait pas moins la condition au moyen de laquelle on peut rendre la solution tout à fait raisonnable ou réelle : savoir que les deux courbes étant planes doivent être situées dans le môme plan.

» Je n'insisterai pas davantage sur cette difficulté, qui me semble suffisamment éclaircie, et terminerai là cette discussion (beaucoup trop longue, sans doute, pour le degré d'importance du Mémoire qui en est l'objet), en en tirant la conclusion naturelle : que je me crois autorisé à persévérer dans l'intention de le faire imprimer, soit à mes frais, soit à ceux d'un libraire qui voudra bien s'en charger aux conditions énoncées dans ma précédente lettre. Â cet effet je vous supplierai, Monsieur, si ce n'est pas trop vous causer d'importunités, de me servir d'intermédiaire auprès de celui des libraires de la capitale avec lequel vous avez des relations plus particulières et plus immédiates. En usant aussi librement de l'offre obligeante que vous m'avez faite, je vous donne une preuve sincère de l'inaltérable confiance que j'ai dans vos bontés. Comme je vous laisse toute la latitude possible pour les conditions du marché, que je m'engage formellement à remplir telles que vous les aurez fixées, je ne pense pas qu'il puisse y avoir aucun obstacle, ni aucune sérieuse difficulté ; toutefois, si le contraire avait lieu, ou que vos occupations ne vous permissent pas de vous en occuper, j'entrerais, s'il le faut, en correspondance directe avec le libraire, ou bien M. Brianchon, qui me doit une lettre, aurait la complaisance de m'en donner avis par occasion. J'oublie d'ajouter que je suis définitivement décidé à ce que mon Mémoire soit imprimé sous format grand in-8°, toujours avec beau papier et beau caractère selon le goût moderne.

» Je vous envoie ci-joint, Monsieur, le Mémoire que je vous ai depuis longtemps annoncé {Propriétés pmjectives des sections coniques) ; je le soumets comme l'autre à votre critique sévère et impartiale, ainsi qu'à celle de MM. Servois et Brianchon; j'ose vous supplier, ainsi qu'eux, de lui accorder lu mémo faveur et la même attention qu'au précédent, supposé toutefois que ce ne soit pas trop compter sur votre indulgence et votre bonté. J'ai rédigé ce Mémoire dans l'hypothèse où l'autre serait déjà publié, mais non encore généralement connu des géomètres; j'ai en conséquence admis que le lecteur ne serait pas parfaitement familiarisé avec l'emploi du principe de continuité, en sorte que je reviens souvent sur les mêmes idées, alin de les éclairer peu à peu et d'une façon naturelle. Il m'eût été beaucoup plus facile do traiter les choses d'un point de vue plus élevé et

par un procédé entièrement direct; j'aurais pu ainsi réduire mon Mémoire à un petit nombre de pages; mais je me suis assuré, par un premier essai de rédaction, que j'aurais beaucoup risqué de perdre du côté de la rigueur et de la clarté; j'ai donc tâché de le rendre facile et intelligible au grand nombre de ceux qui cultivent la Géométrie, et ce sera là toujours le but de mes recherches ultérieures. Si cette manière de traiter la science offre moins d'éclat, elle est plus utile, ce me semble, et prouve au moins qu'on sait faire, jusqu'à un certain point, le sacrifice de l'amourpropre.

» C'est pour cette même raison notamment que je rappelle et démontre, chemin faisant, toutes les propositions auxiliaires ou lemmes qui ne sont pas généralement connus, et qui, étant indispensables à ma théorie, sont susceptibles d'en rerevoir une extension facile et naturelle. C'est dans cette situation particulière d'esprit que je vous prie, Monsieur, d'avoir lu bonté d'accueillir et d'examiner ce nouveau Mémoire auquel j'avais joint d'abord un discours préliminaire où, en disant à peu près les mêmes choses, je rendais hommage aux savants qui, à diverses époques, ont envisagé sous un point de vue analogue les propriétés des sections coniques ; j'y rappelais aussi mon Mémoire sur le principe de continuité, en prévenant que c'est, en partie, sur son admission que s'appuient mes recherches; je terminais enfin par annoncer les deux Mémoires qui doivent renfermer proprement les applications du précédent; mais j'ai supprimé cet Avant-propos, et ne le livrerai à l'impression que quand le sort des deux premiers aura été fixé. '

» Ceux-ci, au surplus, ont le désavantage regrettable de ne renfermer que des principes généraux ; le temps me manque pour rédiger de suite les deux autres, et j'en sens toute la conséquence et la fatalité; je compte toutefois me dédommager avant le printemps prochain, le plus difficile est de commencer. Je pense, en outre, que rien n'empêche qu'on ne publie, dès à présent, ceux qui sont terminés; une cinquantaine de pages de métaphysique ennuyeuse, ajoutées aux nombreux volumes qui existent déjà sur ce sujet, n'influenceront guère, j'ose l'espérer du moins, la bonne ou la mauvaise opinion qu'on pourra se former de mes autres recherches, et qu'on les oubliera si elles ne valent pas la peine, en effet, d'être conservées : ce qui ne sera un grand malheur ni pour moi, ni pour ceux qui auront eu la patience de les lire et de les méditer.

» Je viens de m'expliquer, dans tout ce qui précède, avec franchise et sans crainte, parce que je connais toute l'indulgence des savants géomètres auxquels j'ai osé m'adresser; je croirais avoir manqué aux égards et au respect que je dois à leur façon de voir et de juger, si je ne leur avais pas dévoilé tout le fond de ma pensée ; j'ai cru devoir, pour obtenir et mériter leurs suffrages, discuter et combattre de tous mes moyens l'opinion défavorable qu'ils ont conçue des deux premières parties de mon Mémoire, et pense avoir par là prouvé combien je suis inconsolable de

55* VIIe ET DERN1EU CAHIER. — CORRESPONDANCE,

n'avoir pas obtenu leur approbation tout entière. I) ne me reste plus maintenant, pour terminer, comme je le dois, cette longue et pénible lettre, que de leur demander des excuses sur les embarras et les peines que je leur cause malgré moi, en leur témoignant toute la reconnaissance que j'éprouve de leurs bontés et les priant de me faire la grâce de me les continuer, comme par le passé.

9 Daignez, je vous prie, Monsieur, me recommander au souvenir de notre savant et respectable conservateur du Musée d'Artillerie, etc. »