Réponse à la précédente lettre, par M. Terquem

(Paris, la janvier 1820.)

« Mon cher, nous nous étions flattés longtemps de l'espoir de vous posséder à Paris ; c'est ce qui m'avait engagé à retarder la réponse à votre dernière lettre : votre présence aurait sans doute été très -favorable à l'exécution de vos projets typographiques. Comme, à ce qu'il parait, votre voyage est différé, il ne s'ensuit pas que vos projets doivent en souffrir; j'ai parlé à M. Bachelier, libraire, qui m'a donné les renseignements portés dans la Note ci-jointe. Nous sommes convenus de réunir en un volume les deux Mémoires, avec ce titre : Nouvelles propriétés des courbes, précédées de consi fié rations sur le principe de la continuité dans in Géométrie.

» Nous attendons vos observations sur le titre, que nous croyons propre à attirer des chalands; car c'est à cela qu'il faut viser lorsqu'on s'adresse au public. C'est une maxime de libraire, qu'il n'est pas prudent de négliger. Si vous aviez encore quelque chose de préparé, il serait bon de l'envoyer afin de faire paraître tout à la fois. Vos Mémoires seront imprimés tels que vous les avez rédigés, sauf quelques légères corrections dont je me charge ainsi que de la révision des épreuves. Vous pouvez compter que M. Servois et moi ne négligerons rien en ce qui concerne les soins et la correction typographique. M. Servois a lu votre second Mémoire et il en parait très-content. Des occupations multipliées ne m'ont pas encore permis de me livrer à cette lecture, qui doit être faite avec attention; mais je sanctionne de confiance la décision servoisienne; je ne doute pas qu'elle ne soit portée en connaissance de cause. J'ai lu avec plaisir vos observations en réponse aux nôtres sur votre premier Mémoire, Nos remarques subsistent; je crois toujours que votre Mémoire gagnerait non-seulement en intérêt, mais même en clarté, s'il était réduit à des dimensions moindres, au quart par exemple. Voilà un langage qu'on ne tient pas ordinairement aux auteurs, d'accord; mais qu'on devrait toujours tenir aux amis dont on estime le caractère, dont on admire le talent et dont on désire sincèrement le succès. Votre très-dé\oué ami et compatriôle. »

EXAMEN CRITIQUE DES OPINIONS ET DU JUGEMENT ÉMIS PAB H. CAUCHY DANS SON RAPPORT SUR LE MÉMOIRE INSÉRÉ AU Ve CAHIER.

Observations préalables.

Le Rapport à l'Académie des Sciences do Paris, mentionné ci-dessus, a été imprimé une première fois en septembre i8.*o, dans les anciennes Annales de Mathématiques , avec des Annotations du rédacteur qui n'étaient guère propre» à relever les doctrines de YEssai sur les coniques de l'état de discrédit où l'avait plongé le Rapporteur, qui jouissait alors de toute l'influence accordée à sa brillante renommée scientifique. Néanmoins les annotations de M. Gergonne, partant d'un esprit philosophique, bien que parfois aventureux, ne pouvaient être entièrement défavorables au principe de continuité ; et c'est ce que prouve le passage suivant de la note insérée à la p. 73 du t. XI des Annales : « 11

• faut employer le principe de M. Poncelet, ainsi que le tour de démonstration

• introduit par Monge, à peu près comme on employait le calcul différentiel

• lorsqu'on n'en voyait pas bien encore la métaphysique, c'est-à-dire unique- » ment comme instrument de découverte; mais ce n'en seront pas moins des

• instruments trés-précieux, car le plus souvent, en mathématiques, découvrir » est tout; ce ne sont pas d'ordinaire les démonstrations qui embarrassent

• beaucoup. •

Plus tard il est vrai, en 1827, M. Gergonne, moins indulgent, s'exprime ainsi dans une note de la p. 1 35 du t. XVIII des Annales:

« Je persiste à penser que M. Poncelet a gravement compromis ses doctrines » en mêlant au classique que tout le inonde admet, le romantique que, pour » ma part, je suis fort loin de repousser, mais sur lequel enfin on discute encore, » et que MM. les Commissaires de l'Académie eux-mêmes, au jugement desquels » M. Poncelet déclare attacher beaucoup de prix, ont traité assez sévèrement. •

M. Gergonne confond ici, comme s'il eût ignoré les usages académiques pourtant bien connus, le texte du Rapport de M. Cauchy avec les conclusions favorables à mon Mémoire de 1830, conclusions débattues, arrêtées et signées par MM. Arago et Poisson, puis approuvées par l'Académie. J'ai donc pu témoigner une respectueuse déférence pour le jugement des Commissaires, sans néanmoins adopter les opinions personnelles du Rapporteur, contre lesquelles je viens aujourd'hui protester, quoique tardivement, comme je l'ai déjà fait dans une discussion relative aux pertes de forces vives pendant le choc et au théorème de Carnot. Dans cette discussion M. Cauchy, coutumier du fait, revendiquant des droits de priorité mal acquis ^t. XLIV des Comptes rendus, année 1857) et à bout d'arguments, n'a pas craint, en présence d'un nombreux auditoire, de me taxer d'ingratitude, parce que je lui avais reproché son peu de sympathie pour les théories géométriques en général, et les miennes en particulier, à peu prés comme l'avait fait 3o ans auparavant, le rédacteur des anciennes Annales de Mathématiques , dans une circonstance analogue et en termes non moins pénibles pour l'amour-propre où le persiflage tenait lieu de justice et de raison. Or, je ne puis consentir à rester indéfiniment sous le coup des publiques et

554 Vil* ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

absurdes récriminations que contenait la dernière lecture de M. Cauchy, dont je n'avais point jusqu'ici voulu rappeler le souvenir, et que l'Académie des Sciences, à mon grand regret, à mon préjudice peut-être, n'a pas permis qu'on imprimat dans ses Comptes rendus; car il m'eût été facile alors d'en rétorquer les singuliers arguments et les illusions venant d'une fausse interprétation puisée dans la lettre d'envoi et dans quelques passages pleins de déférence, du Traité des Propriétés projectiles dont, en 1822, j'avais adressé un exemplaire au savant Rapporteur du Mémoire de 1820.

Quant à la discussion sur les pertes de forces vives, on peut consulter le volume cité des Comptes rendus dont j'ai fait tirer à part, en 18Ô7, la partie qui concerne cette discussion et que le lecteur trouvera à la librairie même de ce Recueil, afin de montrer que, dès l'époque précitée, je ne craignais pas de dire publiquement et de son vivant l'entière vérité à mon ancien Rapporteur. En réimprimant pour la seconde fois, en tète du Traité des Propriétés projectives, le Rapport de M. Cauchy, j'avais l'espoir que les nombreuses applications qui y étaient faites du principe de continuité et de la doctrine des projections, pourraient ramener l'opinion des savants et celle du Rapporteur lui-même, à de plus justes appréciations sur la portée et l'exactitude mathématique des théories par lesquelles je mettais les amateurs de Géométrie pure en état, sinon de créer , de suppléer le "véritable génie d 'invention, du moins de trouver, démontrer ou généraliser sans calcul ni contention nouvelle de l'esprit, une multitude de propositions et corollaires, tout en passant du fini à l'infini, du réel à l'imaginaire, ou réciproquement.

Mon attente ayant été en majeure partie déçue, et M. Cauchy, dans un insignifiant et tardif Rapport de février 1828, sur la théorie des polaires réciproques, ayant, à propos du principe de continuité, persisté dans ses opinions antiphilosophiques, dont la reproduction ne pouvait pas ajouter au tort que m'occasionnaient quatre années d'un silence pour moi bien fâcheux ; je pris la courageuse mais très-pénible résolution d'ajourner jusqu'à l'époque de ma retraite, le soin de publier l'ensemble de mes travaux antérieurs à 18-12; et c'est pourquoi je réimprime aujourd'hui pour la troisième et dernière fois, le Rapport dont il s'agit, avec des observations critiques qui, prématurées et dangereuses, peut-être, lors de la publication du Traité des Propriétés projectives* mettront, je l'espère, en plus parfaite évidence que dans les précédents Cahiers, le caractère qui distingue l'esprit du calcul algébrique de celui de la Géométrie pure.

Au surplus, pour expliquer la circonspection et l'extrême réserve de ma conduite scientifique au début de ma carrière, il faudrait encore évoquer les tristes souvenirs de l'état d'abaissement et d'intimidation où nous avaient plongés, aux époques antérieures à i83o, des passions réactionnaires, morales ou politiques, qui ont exercé plus d'influence qu'on ne le suppose sur l'avenir des sciences. Mais c'est ce dont je me garderai bien par respect pour la dignité des questions dont nous devons nous occuper exclusivement ici; car la Géométrie n'a rien à voir dans les humiliations imposées à quelques-uns de ses anciens représentants, infimes ou illustres. Qu'il me suffise de déclarer que, depuis l'époque d'avril 1820 où je venais, non sans appréhension, présenter mon premier Mémoire nu jugement de V Académie royale des Sciences, j'ai d'autant plus apprécié la promptitude d'un Rapport, dont il est vrai, la faveur m'a été reprochée en iS."»-;, que je me trouvais infiniment mieux traité qu'Abel de

Christiania victime du silence et de l'oubli; déni de justice qui prouve que, même dans le sanctuaire de l'Académie des Sciences, il est indispensable d'avoir des amis et des protecteurs influents.

Rapport à V Académie royale des Sciences, sur un Mémoire relatif aux propriétés projectiles des sections coniques (Séance du 5 juin 1820).

L'Académie nous a chargés, MM. Arago, Poisson et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Poncelet sur les propriétés projectiles des sections coniques. L'auteur appelle ainsi les propriétés relatives aux cordes communes, aux points de concours des tangentes communes, et beaucoup d'autres semblables qui, étant indépendantes des dimensions attribuées aux courbes que Ton considère et de leurs paramètres, subsistent lorsqu'on projette ces courbes sur de nouveaux plans, à l'aide de droites qui concourent vers un môme point; c'est-à-dire, en d'autres termes, lorsqu'on met ces courbes en perspective; ce qui a également lieu pour le cas où, le point de concours s'éloignant à l'infini, les projections deviennent orthogonales. Nous allons d'abord indiquer les moyens que l'auteur emploie pour établir les propriétés dont il s'agit.

Lorsque plusieurs courbes, qui composent une seule classe ou famille, possèdent en commun diverses propriétés, une des méthodes les plus expéditives pour la démonstration de ces mêmes propriétés consiste à les établir d'abord pour les courbes les plus simples de la classe dont il est question, et à les étendre ensuite aux autres courbes de la même classe, par la comparaison de celles-ci avec les premières. Cette méthode peut même servir à la recherche des propriétés d'une courbe donnée. Veut-on connaître, par exemple, celle d'une ellipse? on commencera par supposer les deux axes égaux; ce qui réduira cette ellipse à une circonférence de cercle. On remarquera que la surface du cercle est égale au carré du rayon multiplié par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre ; que deux rayons qui se coupent à angles droits sont parallèles aux tangentes menées par leurs extrémités ; que, ces mêmes rayons comprennent entre eux une surface constante; que la somme de leurs carrés est égale à la somme des carrés de leurs projections sur un diamètre quelconque; que les tangentes des angles aigus qu'ils forment avec un même diamètre, étant multipliées l'une par l'autre, donnent l'unité pour produit; enfin, que la perpendiculaire élevée sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments adjacents. Si maintenant on considère une ellipse dont les deux axes soient inégaux, on décrira sur le grand axe de cette ellipse, pris pour diamètre, une circonférence de cercle, dont l'ordonnée, comptée perpendiculairement au grand axe, aura un rapport constant avec celle de l'ellipse. Cela posé, si l'on appelle diamètres conjugués de l'ellipse ceux dont les projections sur le grand axe coïncident avec les projections de deux

556 VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE ,

diamètres du cercle qui se coupent à angles droits, on conclura immédiatement des remarques faites à l'égard du cercle que la surface de l'ellipse est égale au produit des deux demi-axes par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre; que, dans la même courbe, Jes tangentes menées aux extrémités de deux diamètres conjugués, sont parallèles à ces diamètres; que deux demi-diamètres conjugués comprennent entre eux une surface constante; que les sommes des carrés de leurs projections sur le grand axe et sur le petit axe sont respectivement égales aux carrés des demi-axes, et que, par suite, la somme des carrés des deux demi-diamètres équivaut à la somme des carrés des deux demiaxes; enfin, que le rapport de ces deux derniers carrés mesure à la fois le produit des tangentes des angles aigus formés avec le grand axe par deux diamètres conjugués et le rapport du carré d'une ordonnée aux segments correspondants de ce même grand axe. Au reste, pour obtenir le cercle auxiliaire dont nous venons d'indiquer l'usage, il suffit de chercher dans l'espace un cercle dont l'ellipse donnée soit la projection orthogonale, et de rabattre ensuite le plan de ce cerole sur celui de l'ellipse, après avoir fait tourner le premier autour du diamètre parallèle au second. Plus généralement, on peut considérer une ellipse, une hyperbole ou une parabole comme la perspective ou projection centrale d'un cercle quelconque, et déduire, des propriétés de ce cercle, celles de la projection. Tel est, en effet, le moyen employé par M. Poncelet pour détermi- * ner les propriétés projectives des sections coniques. 11 appelle centre de projection le point où se trouve placé dans la perspective l'œil du spectateur. Ce point' est le sommet d'une surface conique du second degré qui a pour base la courbe proposée. Il est bon de rappeler, à ce sujet, que. si l'on coupe une surface conique quelconque par deux plans parallèles, les deux sections seront toujours semblables entre elles. 11 y a plus, si, d'un centre de projection pris à volonté dans l'espace, on mène des rayons vecteurs aux différents points d'un système composé de peints, de lignes ou de surfaces quelconques, et que l'on fasse croître ou décroître à la fois tous les rayons vecteurs dans un rapport donné, on obtiendra un second système de points, lignes ou surfaces, semblable au premier et semblablement placé, en sorte que les droites et les plans menés dans les deux systèmes, par des points correspondants, seront toujours parallèles. Le centre commun, vers lequel convergent tous les rayons vecteurs, est ce qu'on peut appeler le centre de similitude des deux systèmes. Pour deux cercles, tracés sur un même plan, ce centre de similitude ne peut être que le point de concours des tangentes communes, extérieures ou intérieures. M. Poncelet expose ses diverses propriétés, dont un grand nombre dérivent immédiatement de la définition même que nous venons d'en donner. Outre la considération des projections centrales, M. Poncelet emploie encore, dans son Mémoire, ce qu'il appelle le principe de ta continuité. L'admission de ce principe en Géométrie consiste à supposer que, dans le

cas où une figure composée d'un système de lignes droites ou courbes conserve constamment certaines propriétés, tandis que les dimensions absolues ou relatives de ses diverses parties varient d'une manière quelconque, entre certaines limites, ces mômes propriétés subsistent nécessairement lorsqu'on fait sortir les dimensions dont il s'agit des limites entre lesquelles on les supposait d'abord renfermées ; et que, si quelques parties de la figure disparaissent dans la seconde hypothèse, celles qui restent jouissent encore, les unes à l'égard des autres, des propriétés qu'elles avaient dans la figure primitive. Ce principe n'est, à proprement parier, qu'une forte induction, à laide de laquelle on étend des théorèmes établis, a* abord à la faveur de certaines restrictions, aux cas où ces mêmes restrictions n'existent plus. Étant appliqué aux courbes du second degré, il a conduit fauteur à des résultats exacts. Néanmoins, nous pensons quil ne saurait être admis généralement et appliqué indistinctement à toutes sortes de questions en Géométrie, ni même en Analyse. En lui accordant trop de confiance, on pourrait tomber quelquefois dans des erreurs manifestes. On sait, par exemple, que, dans la détermination des intégrales définies, et par suite, dans dévaluation des longueurs, des surfaces et des volumes, on rencontre un grand nombre de formules qui ne sont vraies qu'autant que les valeurs des quantités qu'elles renferment restent comprises entre certaines limites.

Au reste, nous distinguerons soigneusement les considérations de M. Poncelet sur la continuité de celles qui ont pour objet les propriétés des lignes auxquelles il donne le nom de cordes idéale* des sections coniques. Comme ces propriétés nous paraissent mériter d'être remarquées, et qu'elles fournissent à l'auteur un troisième moyen de résoudre les questions relatives aux courbes du second degré, nous allons donner à ce sujet quelques développements.

Si, après avoir mené, par le centre d'une hyperbole, un diamètre iA qui rencontre les deux branches, on fait passer, par les points de rencontre des tangentes à l'hyperbole et par le centre, une parallèle à ces tangentes; puisque l'on cherche à déterminer, par l'Analyse, les coordonnées des points où cette parallèle rencontre la courbe et les distances respectives de ces points au centre, on trouvera, pour l'une et l'autre distances, en faisant abstraction du signe, une expression imaginaire de la forme B yj— i; et par conséquent, pour la distance entre les deux points, une autre expression de la forme %B^~ i. Le coefficient de y/— i , dans cette dernière, ou la longueur iB, qui est une quantité réelle, peut se construire géométriquement; et, comme la considération de cette longueur peut être utile dans la recherche des propriétés de l'hyperbole, on lui a donné un nom, en disant que iB représente le diamètre conjugué au diamètre, iA. On sait qu'étant donné le diamètre %B, avec sa direction, on peut facilement en déduire le diamètre %A\ en coupant les asymptotes par une sécante parallèle à la direction donnée, la ligne menée du

centre au milieu de la sécante indiquera la direction du diamètre *J; et le rapport de cette dernière ligne à la moitié de la sécante sera précisément égal au rapport -=r •

Supposoas maintenant que Ton cherche, par l'Analyse, les points d'intersection, non plus d'un diamètre, mais d'une droite quelconque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux points, ou, en d'autres termes, la corde qui les unit ; lorsque la droite ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l'Analyse deviendra imaginaire, et sera de la forme 2 C /— 1; tandis que le point milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. Il devient alors utile de substituer à la corde imaginaire, qui n'existe pas, une corde fictive a C, comptée sur la droite proposée, et dont le milieu coïncide avec le point dont nous venons de parler.

C'est à cette corde fictive qu'on pourrait appliquer la dénomination de corde idéale, par laquelle M. Poncelet désigne tantôt la droite indéfinie que l'on considère, et tantôt la corde imaginaire interceptée par la courbe, puisqu'il appelle centre de la corde idéale le point réel que l'Analyse indique comme étant le milieu de la corde imaginaire. Le sens dans lequel Fauteur emploie le mot idéale se trouverait ainsi modifié de telle manière que les longueurs idéales resteraient des longueurs réelles et constructibles en Géométrie. Ainsi, par exemple, dans une hyperbole, dont le grand axe rencontre la courbe, la longueur idéale du diamètre, perpendiculaire au grand axe, serait le petit axe lui-même. Si, en adoptant cette manière de s'exprimer, on construit, pour une section conique quelconque, toutes les cordes idéales parallèles à une direction donnée ; les extrémités de toutes ces cordes se trouveront sur une nouvelle section conique, que l'auteur appelle supplémentaire de la première, relativement à la direction dont il s'agit.

Cela posé, il est facile de voir que deux sections coniques supplémentaires Tune de l'autre, relativement à une direction donnée, sont nécessairement ou deux paraboles ou une hyperbole et une ellipse. Dans le premier cas, les deux paraboles ont le même paramètre, avec une tangente commune, parallèle à la direction donnée, et un diamètre commun passant par le point de contact. Dans le second cas, les deux courbes peuvent aisément se déduire lune de l'autre, d'après la condition à laquelle elles se trouvent assujetties d'avoir en commun deux diamètres conjugués, dont l'un est parallèle à la droite donnée, tandis que l'autre rencontre à la fois les deux courbes qui se touchent ainsi par ses extrémités. Dans le même cas, toutes les fois que l'ellipse se réduit à un cercle, l'hyperbole devient équilatère, et a pour axe transverse le diamètre du cercle. Enfin, Ton prouve aisément que, si deux courbes sont supplémentaires l'une de l'autre, relativement à une direction donnée, indiquée par une certaine droite, leurs projections sur un plan parallèle à cette droite jouiront de la même propriété.

En vertu de ce qui précède, si Ton donne une section conique quelconque, avec un centre et un plan de projection, il deviendra facile de déterminer, pour la section conique projetée : i° l'angle formé par deux diamètres conjugués, dont l'un serait parallèle au plan de la section conique proposée ; i° le rapport de ces mêmes diamètres. En effet, si l'on conçoit d'abord que la section conique projetée soit une hyperbole, un plan quelconque, parallèle au plan de projection, coupera le cône qui a pour case la courbe proposée, et pour sommet le centre de projection suivant des hyperboles semblables et comprises entre des asymptotes parallèles. Par suite, si le plan coupant passe par le sommet du cône, la section se trouvera réduite à deux arêtes parallèles aux asymptotes dont il s'agit. Comme d'ailleurs le même plan coupera évidemment la courbe donnée suivant une certaine corde terminée à ces deux arêtes, il en résulte : i° que l'angle cherché sera équivalent à celui que forme la corde en question avec la droite qui joint son milieu et le sommet du cône; 20 que le rapport cherché sera celui qui existe entre la longueur de cette droite et celle de la demi-corde. Lorsque la courbe projetée sera une ellipse, le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection ne rencontrera plus la courbe proposée ; mais sa trace sur le plan de cette dernière sera toujours une droite réelle, à laquelle correspondra une certaine corde idéale de la courbe donnée. Dans la même hypothèse, on appliquera les raisonnements que nous avons employés ci-dessus, non plus à la courbe proposée, mais à la section conique supplémentaire de cette courbe, relativement à la corde idéale dont nous venons de parler ; et Ton en conclura : i° que l'angle cherché est équivalent à celui que forme la corde idéale avec la droite qui joint le milieu de cette corde et le centre de projection; 2° que le rapport cherché est celui qui existe entre la longueur de cette droite et la demi-corde. Lorsque la courbe projetée se réduit à un cercle, tous ses diamètres conjugués sont égaux et se coupent à angles droits. Par conséquent, dans ce cas particulier, la droite menée du centre de projection au milieu de la corde idéale de la courbe donnée doit être perpendiculaire sur cette corde et égale à sa moitié.

La question que nous venons de résoudre n'a pas été traitée directement par M. Poncelet; mais la solution que nous avons déduite des principes qu'il a établis fournit le moyen <le simplifier et de génértttiser, tout à la fois, celles de plusieurs autres problèmes dont nous parlerons ciaprès.

Considérons à présent deux sections coniques tracées sur un même plan. Il peut arriver ou qu'elles se coupent en quatre points, ou qu'elles se coupent en deux points, ou qu'elles ne se coupent pas. Si Ton cherche, par l'Analyse, les abscisses des points d'intersection, on trouvera que ces abscisses sont les racines d'une équation du quatrième degré à coefficients réels, et que cette même équation a quatre racines réelles dans le premier cas, deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées

56o VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

dans le second, enfin quatre racines imaginaires conjuguées deux à deux dans le troisième. De plus, comme, en combinant les équations des deux courbes, on peut en déduire une troisième équation du second degré, qui ne renferme l'ordonnée qu'au premier degré seulement, il en résulte que l'Analyse indique seulement quatre points d'intersection, et que, pour chacun de ces points, on peut exprimer l'ordonnée en fonctions rationnelle et réelle de l'abscisse. Par suite, si l'on trouve, pour un point d'intersection, une abscisse réelle, l'ordonnée le sera également; et si l'Analyse fournit, pour deux de ces points, deux abscisses imaginaires conjuguées, les ordonnées correspondantes seront elles-mêmes imaginaires et conjuguées. Considérons, en particulier, deux points de cette dernière espèce. Comme, pour transformer les coordonnées de l'une en celles de l'autre, il suffira de remplacer 4- \'-~ i par — \T~\y il est clair que toutes, les équations et quantités diverses qui, étant rationnelles par rapport à ces ordonnées, ne devront pas être altérées par leur échange mutuel, seront nécessairement des équations réelles et des quantités réelles. Par exemple, l'équation de la droite qui passe par les deux points sera réelle, ainsi que le carré de leur distance mutuelle, ou, en d'autres termes, de la corde qui les unit, et il en sera de même des coordonnées du milieu de cette corde. Toutefois, comme, par hypothèse, les deux points ne sont pas réels, le carré de la corde en question ne pourra être qu'une quantité négative, dont la racine, abstraction faite du signe, sera une expression imaginaire de la forme 7.C y/—i-

Pour déterminer le coefficient réel aC, dans cette expression, il suffira évidemment de chercher la corde idéale qu'on obtient en considérant la droite réelle qui passe par les deux points imaginaires comme sécanle idéale de l'une ou de l'autre des deux courbes proposées. Par conséquent, la longueur a C sera celle d'une corde idéale réellement commune à ces deux courbes. Cela posé, si l'on passe successivement en revue les trois hypothèses que l'on peut faire sur le nombre des points réels communs aux deux courbes proposées, on trouvera que ces deux courbes ont, en général, ou six cordes communes, passant par quatre points réels, ou deux cordes communes, dont une idéale, ou deux cordes idéales communes. Toutefois, pour deux hyperboles semblables, ou du moins comprises entre des asymptotes parallèles, ainsi que pour des ellipses semblables et semblablement placées, une seule corde commune naturelle ou idéale subsiste, tandis qu'une autre s'éloigne à l'infini. C'est ce qui a lieu, en particulier, pour deux circonférences de cercle. De plus, il peut arriver que deux cordes communes viennent à se confondre, et alors, si ces cordes ne sont pas idéales, les deux courbes se toucheront évidemment en deux points réels. Ajoutons que, si l'on projette deux sections coniques, situées dans un même plan sur un nouveau plan, parallèle à une corde idéale qui leur soit commune, la projection de cette corde sera elle-même une corde idéale commune aux projections des deux sections

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. 5Gi

coniques. Par suite, si les deux courbes proposées étaient dissemblables entre elles, auquel cas elles avaient nécessairement plusieurs cordes réelles ou idéales communes ; pour rendre leurs projections semblables et semblablement placées, il faudra faire en sorte qu'une des cordes communes s'éloigne à Tin fini. On remplira cette condition en plaçant le centre de projection partout où Ton voudra, pourvu qu'ensuite on prenne le plan de projection parallèle à celui qui passera par ce centre et par l'une des cordes communes aux deux courbes données.

Dans ce qui précède, nous avons déduit de l'Analyse la notion des cordes idéales des sections coniques ; mais on peut arriver au même but par des considérations géométriques.

Par exemple, lorsqu'une ellipse ou une hyperbole se trouve coupée en deux points réels par une sécante quelconque, le milieu de la corde interceptée coïncide avec le point où la sécante est rencontrée par le diamètre conjugué à sa direction, et la corde elle-même est équivalente au double produit du rapport entre le diamètre parallèle et le diamètre conjugué, par une moyenne proportionnelle entre les distances du point que l'on considère aux extrémités du diamètre conjugué. Si Ton détermine, d'après les mêmes conditions, la corde et son milieu, dans le ces où la sécante devient idéale, on obtiendra ce que nous avons nommé la corde idéale relative à cette sécante.

Considérons encore deux cercles non concentriques et situés dans un même plan. Si, par ces cercles, on fait passer deux sphères qui se coupent, le plan d'intersection des deux sphères rencontrera le plan des deux cercles suivant une certaine droite; et cette droite, si les deux cercles se coupent, passera par les deux points qui leur sont communs. Si, au contraire, les deux cercles ne se coupent pas, cette droite sera précisément la sécante idéale, dont la direction coïncide avec celle de la corde idéale commune, et le point d'intersection de cette sécante avec la droite des centres sera le milieu de la même corde. La construction précédente, en donnant un moyen facile de fixer la direction de la corde idéale commune à deux cercles, sert en même temps à Caire connaître ses principales propriétés. Par exemple, si d'un point pris sur cette sécante on mène une suite de tangentes aux deux sphères, elles seront évidemment égales aux tangentes menées par ce même point à leur cercle d'intersection : il en résulte immédiatement que les quatre tangentes menées à deux cercles par un point pris sur la direction de la corde commune sont égales entre elles. Cette propriété était déjà connue des géomètres. On avait remarqué la droite à laquelle elle appartient; et M. Gaultier, auteur d'un Mémoire inséré dans le XVIe Cahier du Journal de V École Polytechnique, a particulièrement considéré les droites de cette espèce, auxquelles il a donné le nom d'axes radicaux.

Après avoir entretenu l'Académie des méthodes employées par M. Poncelet, nous allons présenter une indication sommaire des applications il. 36

5Ga VIT ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

qu'il en a faites. Son Mémoire est divisé en trois paragraphes : le premier est relatif aux cordes idéales des sections coniques, et renferme leur définition ainsi que leurs propriétés générales, déduites de considérations purement géométriques. L'auteur y remarque également que le point de concours des tangentes menées à une section conique, par les extrémités d'une même corde, ou ce qu'on appelle communément le pôle de cette corde, est un point réel, lors même que les tangentes deviennent imaginaires. Il montre la relation qui existe constamment entre ce pôle et le milieu de la corde, et s'en sert pour construire le pèle idéal correspondant à une corde idéale donnée.

Dans le second paragraphe, M. Poncelet s'occupe des cordes idéales, considérées dans le cas particulier de la circonférence du cercle, et démontre plusieurs propositions relatives, soit aux cordes réelles ou idéales, soit aux pôles de ces mêmes cordes, soit aux centres de similitude et aux cordes communes de deux ou plusieurs cercles situés sur un même plan. On pourrait déduire un grand nombre de ces propositions des propriétés que possèdent deux points choisis sur une droite et sur son prolongement, de manière que leurs distances aux extrémités de la droite soient entre elles' dans le même rapport. Parmi ces propriétés, Tune des plus remarquables consiste en ce que la circonférence décrite sur la droite comme diamètre coupe orthogonalement toutes celles qui passent par les deux points en question. On doit distinguer, dans le même paragraphe, une solution très-élégante du problème dans lequel on demande de tracer un cercle tangent à trois autres.

Dans le troisième paragraphe, l'auteur établit les principes de projection centrale ou perspective à l'aide desquels on peut étendre les théorèmes vérifiés pour le cas du cercle à des sections coniques quelconques. Par exemple, voulant démontrer que les propriétés projectives du système de deux cercles, situés dans un même plan, subsistent pour le système de deux sections coniques, il a seulement à faire voir que le premier système peut être considéré, en général, cpmme la projection du second. Il recherche, à ce sujet, tous les points de l'espace susceptibles de projeter deux sections coniques suivant deux cercles, et prouve que tous ces points appartiennent à des circonférences décrites avec des rayons perpendiculaires sur les milieux des cordes idéales communes aux deux courbes données, et respectivement égaux aux moitiés de ces cordes. Au reste, on est conduit directement au même résultat par la solution du problème que nous avons traité plus haut. On pourrait même, en s'appuya nt sur cette solution, déterminer tous les points de l'espace susceptibles de projeter deux courbes quelconques du second degré, suivant deux autres courbes du même degré, mais semblables entre elles, pour lesquelles le diamètre, parallèle au plan des deux premières courbes, formerait, avec son* conjugué, un angle donné, et serait à ce même conjugué dans un rapport donné. On trouverait que ces points sont situés sur des

circonférences de cercles décrites par des rayons vecteurs qui, aboutissant aux milieux des cordes naturelles ou idéales communes aux deux courbes proposées, forment avec ces mêmes cordes l'angle donné, et sont à leurs moitiés dans le rapport donné. Plusieurs autres questions du même genre, traitées par Fauteur, dans ce troisième paragraphe, se résolvent d'après les mêmes principes.

D'après le compte que nous venons de rendre du Mémoire de M. Poncelet, on voit qu'il suppose dans son auteur un esprit familiarisé avec les conceptions de la Géométrie et fécond en ressources, dans la recherche des propriétés des courbes, ainsi que dans la solution des problèmes qui s'y rapportent.

Nous pensons, en conséquence, que ce Mémoire est digne de l'approbation de l'Académie ; et nous proposerions de l'insérer dans le Recueil des Savants étrangers, si l'auteur ne le destinait à faire partie d'un ouvrage qu'il se propose de publier sur cette matière.

Signés : Poisson ; Arago ; CTauchy, rapporteur.

Remarques critiques et réflexions diverses à propos du précédent Rapport,

Maintenant je reviens à cette Géométrie intuitive, soi-disant métaphysique, qui remonte à Descartes, à Desargues, à Pascal, à Monge dans les temps modernes, mais que Descartes lui-même, écrivant au père Mersenne, prétend avoir été mise en usage par Archiraède; à cette Géométrie que le Rapporteur de l'Académie, grand calculateur algébriste, appréciait si peu à l'époque de 1820, et même à celle de 1824 où, pendant de si longues et pour moi si pénibles années, il retint entre ses mains les deux autres grands Mémoires sur les centres de moyennes harmoniques et la théorie de» polaires réciproques, dqnt j'ai souvent, trop souvent peut-être, déjà parlé dans ce second volume des applications.

Je remarque, tout d'abord, que les premières pages du précédent Rapport, non-seulement confirment ce que je viens avancer relativement à l'insuffisance de son rédacteur au point de vue géométrique, mais montrent aussi que M. Cauchy, indifférent à de pareilles études, ne semblait nullement connaître ou avoir compris et goûté les divers Articles publiés par moi de 181 7 à 1819, dans les anciennes Annales mathématiques (VIe Cahier de ce volume); c'est par ces motifs, sans doute, et d'autres que j'ignore, qu'il a été amené à me traiter aussi légèrement qu'il l'a fait dans le texte de son Rapport. J'aurais donc volontiers supprimé à l'impression plusieurs des pages de cet écrit peu digne de la haute renommée scientifique de l'auteur, si je n'avais craint qu'une telle suppression ne devint pour quelques lecteurs, un motif de doutes, de reproches même, au sujet des opinions tranchantes que je viens d'émettre, en paraissant ne prendre aucun souci de les justifier explicitement. A plus forte raison, ne saurais-je garder le silence sur ce que le Rapporteur affirme relativement à ce que, dans mon Mémoire de 1820, j'appelais laconiquement : principe de la continuité, parce que je sous-entendais, pour la brièveté du discours, les mots : ou permanence des relations métriques et descriptives des figures. Pour M. Cauchy, on le voit, ce principe n'était qu'une forte induction susceptible de conduire à

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des erreurs manifestes, etc.; mais ce jugement sévère n'est appuyé d'aucun exemple, d'aucune preuve quelconque; ce n'est là qu'une assertion vague, par conséquent irréfutable logiquement, et qui prenait sa source dans des opinions préconçues sur la continuité algébrique.

Avec un peu plus d'expérience des affaires académiques et d'après les vaines tentatives que j'avais faites pour obtenir une audience du savant Rapporteur, ainsi que par les mots bienveillants, mais discrets, échappés à mes anciens et illustres maîtres, Ampère, Arago, Lacroix, Poinsot et Poisson, peu soucieux d'intervenir dans la discussion, j'aurais dû comprendre que l'opinion de M. Cauchy n'était pas favorable à la tendance de mes idées philosophiques. Redoutant, avec raison, que dpuxe années de travaux et de méditations persévérantes ne devinssent pour moi un sujet de déception et peut-être même de ridicule aux yeux de mes supérieurs, de mes camarades et du public géomètre, assez indifférent et peu indulgent en général, je parvins, lors d'une dernière démarche, à atteindre mon inflexible juge à son domicile, rue Serpente, n° 7, au moment où il le quittait pour se rendre à Saint-Sulpice; mais durant ce rapide et trop court trajet, je m'aperçus promptemçnt que je n'avais aucun droit acquis à ses ménagements, à son estime scientifique, et qu'il me serait même impossible de m'en faire comprendre. Aussi me bornai -je, en humble et timide solliciteur, à le prévenir respectueusement que les objections et les difficultés qu'il croyait apercevoir dans l'adoption du principe de continuité en Géométrie, tenaient essentiellement à l'insuffisante attention jusquelà accordée à la loi des signes de position, loi dont je m'étais préoccupé dès 181 3, en Russie, mais surtout depuis mon retour en France en 181 4» et dont la discussion mathématique aurait précédé ma communication à l'Académie, si d'estimables savants (voir p. 1 3o et siiiv.) ne m'en avaient détourné. Mais, sans me permettre d'en dire davantage, il me quitta brusquement en me renvoyant à la future publication de ses Leçons à l'École Polytechnique où la question devait, selon lui, être convenablement approfondie.

Ces Leçons parurent, en effet, l'année suivante (182 1), sous le titre de Cours d'analyse (Ire partie, en un volume in-8° de 570 pages); or, je fus grandement désappointé de n'y rencontrer que des théorèmes et problèmes de synthèse algébrique, exposés sous une forme de rigueur tout au moins apparente, c'està-dire à la manière d'Euclide, de Legendre, etc.; synthèse où se trouvent accumulées les nombreuses difficultés ou objections auxquelles avait donné lieu jusqu'alors l'application du calcul numérique à certaines formules de l'Analyse algébrique qu'il prétendait soustraire à tout reproche, à toute pétition basée sur ce que j'avais nommé principe de continuité. Quant à ce principe et à la loi des signes do position considérés en eux-mêmes, en Géométrie ou en Analyse, on en chercherait en vain des traces explicites dans co volume de 18? 1. Pourtant l'auteur y admet, avec certaines restrictions il est vrai, même pour les fonctions simples, l'existence de la loi de continuité dont Lagrangc et Ampère évitaient, d'une manière plus apparente que réelle, l'emploi dans leurs leçons d'Analyse algébrique (1807 à 1809); leçons auxquelles, pour ce motif, j'ai toujours préféré celles de notre ancien et vénérable professeur Lacroix, et de son spirituel successeur à l'École Polytechnique, Poinsot, qui auraient, sans mil doute, repoussé cette définition hybride mais fort commode au point de vue algébrique (Cours d'Analyse, p. V\ et suiv.) : une fonction réelle et simple qui devient infinie entre deux limites données est une fonction discontinue. De sorte que,

notamment, la tangente et la sécante trigonométriques d'un arc de cercle compris entre zéro et un arc supérieur à deux quadrants étant considérées comme discontinues par M. Cauchy, il devait en être ainsi, à fortiori, des arcs, des aires, etc., compris entre deux points appartenant à des branches opposées de l'hyperbole, bien que contigus a une même asymptote : néanmoins, au point de vue géométrique, ces branches sont nécessairement soumises à un même mode de génération continue.

Cette définition, jetée au début d'un Traité (V Analyse algébrique, est à coup sûr, je le répète, un moyen commode d'en éluder les difficultés, mais non de les résoudre et de les aborder avec franchise. De plus, une pareille manière de procéder, qui rappelle sans avantage celle des Anciens, accorde une trop grande prépondérance aux faits particuliers sur les faits généraux : elle rompt la liaison des théories et des idées, pour y substituer une série d'énoncés, de recettes pour ainsi dire, dont la science des nombres discrets, jusqu'ici encore soustraite à toute loi de continuité malgré les travaux de Dirichlet, offre un très-remarquable exemple. Évidemment, on ne pourrait s'imposer pour modèle une telle manière sans oublier le but véritable des Mathématiques, et sans courir la chance de nous ramener à la scolastique du moyen âge, dont l'esprit étroit et difficultueux ne s'est, comme j'en ai déjà fait la remarque, que trop propagé dans l'enseignement de nos lycées et collèges, à dater de l'époque où régnait l'examinateur baron Rcynaud, puissant personnage à la ville et à la cour, grand faiseur d'objections et de subtiles questions dont il était l'inventeur satisfait; du reste commentateur obscur et ampoulé de Bezout, le plus lucide, avec Lacroix, de nos auteurs de Traités de Mathématiques élémentaires, parce qu'ils ne repoussaient pas l'axiome de la continuité, et s'attachaient plus à l'esprit des méthodes qu'à la solution impromptue de petits problèmes qui eussent embarrassé le modeste Lagrange, et sont propres seulement à avertir les professeurs et à préparer les examens de l'année suivante.

I^es procédés de démonstration et d'exposition épineux et décousus, dont je viens de parler, étaient, sans nul doute, l'origine et la base du jugement si légèrement prononcé contre le principe de continuité par M. Cauchy, qui, à mon sens, oubliait trop que la continuité en elle-même est un fait, un axiome indémontré, indémontrable algébriquement, et qu'elle doit se manifester non pas seulement dans les fonctions simples et primitives, mais dans toutes leurs dérivées des divers ordres, comme le témoignent les belles séries de Taylor, de Maclàurin et d'autres développements illimités : employés, en effet, dans des conditions de calcul et d'approximation purement numériques, par conséquent restrictives et étrangères à la Géométrie ou à l'Analyse en général, ces développements sans limites ni restes complémentaires, seraient susceptibles de conduire à des conséquences absurdes ou contradictoires (voir le contenu du n° III qui suit).

Or, ces circonstances singulières, qui exercent aujourd'hui encore la sagacité des calculateurs, ne me préoccupaient nullement dans un Mémoire de pure Géométrie, exclusivement destiné à l'étude des propriétés projectives des figures; car elles ne prouvent rien contre le principe de continuité, comme on l'a établi dans le IIIe Cahier de ce volume; ce principe ne cessant de subsister que lorsqu'il y a antagonisme entre les signes des relations métriques primitivement soumises à des conditions incompatibles et étrangères à la situation relative des divers éléments Gxes ou mobiles d'une ligure géométrique. C'est bien

là, si je ne me trompe, un fait irrécusable que le célèbre Rapporteur de l'Académie royale des Sciences ne pouvait connaître, faute d'une préalable et suffisante étude de la matière : la forme algébrique, l'expression générale des résultats ne pouvant changer d'une manière absolue avec les hypothèses primitives que dans ces cas d'antagonisme, dont je pourrais citer des exemples, même dans les machines, indépendamment de ceux qui sont offerts par les formules de l'attraction des sphéroïdes, etc., où les forces et les distances peuvent suivre des lois indépendantes par rapport aux signes Je position, et que Lejeune- Dirichlet, l'illustre ami des Crelle et des Borchardt, des Jacobi, des Steiner, des Liouville et le mien propre, a ramené au principe de continuité par un heureux artifice de calcul appliqué à l'intégration des fonctions différentielles dépendante de ce qu'on nomme le potentiel.

Ces observations générales me semblent, quant à présent, devoir suffire pour montrer que les scrupules, les objections tranchantes de M. Cauchy, relatives su principe de continuité, étaient sans fondement logique; et ce qui le prouve, c'est que Jacobi et d'autres illustres géomètres étrangers, en citant le Traité des Propriétés projectiles, ne se sont nullement arrêtés à ces malencontreux scrupules. D'ailleurs la Ire Partie du Cours d'Analyse, si volumineuse à cause des nombreux développements sur le calcul des formes imaginaires, est restée sans suite immédiate, et il m'a fallu franchir l'intervalle de 1824 à 18-26 où parut le tome Ier des Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la Géométrie (Imprimerie Royale), pour voir comment M. Cauchy abordait, dans la théorie des courbes algébriques, le passage délicat du fini à l'infini, qui dans tous les temps a offert de si grandes difficultés aux esprits philosophiques incapables de déguiser la vérité par des artifices de calculs ou de langage conventionnels et sophistiques.

Or, je le déclare sans détour, je n'y ai rien trouvé concernant la loi des signes de position, renvoyée sans doute aux Traités de Géométrie analytique élémentaires; rien sur la continuité des courbes, admise à priori et sans réserve pour le premier ordre d'infiniment petits ou d'infiniment grands, mais soigneusement évitée dans les autres ordres, grâce à un mode de démonstration d'une apparente rigueur, emprunté au philosophe Gergonne {Annales, t. IX, 1818), qui , blâmant hardiment les doctrines de LeibniU et de Newton, n'admettait pour légitimes que celles des dérivées de Lagrange, critiquées, non sans raison, par Wronski au point de vue de l'Algorithmie et de l'infini.

De là aussi, de la part du Rapporteur académicien, ces reproches adressés au principe de continuité, si embarrassant pour ceux qui ont une aveugle confiance dans les résultats du calcul algébrique, dont l'apparente rigueur fait illusion à beaucoup de jeunes néophytes, qui confondent les formules, les équations de la Géométrie de Descartes avec celles de l'Arithmétique proprement dite; Géométrie qu'on débarrasse ainsi de toutes les difficultés inhérentes à l'Analyse en général, aux signes algorithmiques des fonctions et à la position relative des grandeurs ; je veux dire aux signes afférents au mode d'existence propre de ces grandeurs. C'est à tel point, que ces impitoyables et crédules ennemis de la continuité géométrique en sont venus à affirmer nettement, même dans les courbes simplement algébriques, l'existence effective de points d'arrêt brusques, de points saillants , etc., dont M. Cauchy, d'ailleurs assez mal affermi dans sa voie comme j'en ai déjà apporté des preuves, emprunte sans examen suffisant la doctrine à un Mémoire de i8*>4 présenté à l'Académie des Sciences par M. Roche.

Au surplus, bien que de telles erreurs se soient propagée» dans d'autres écrits recommandables à certains titres, je ne veux pas insister ici sur l'imparfaite ébauche de M. Cauchy, datée de 1826 et qui prouve tout au moins que ses idées sur la continuité des fonctions et des équations algébrique* n'étaient pas dés lors parfaitement arrêtées dans son esprit, et qu'il faut descendre jusqu'en 1828 (Calcul intégral) et 1829 (Calcul différentiel), pour les voir se rapprocher de plus en plus de celles d'Eu 1er, de Lagrange, d'Ampère, de Lacroix et de Poinsot, relatives aux différentielles, aux dérivées, aux limites et aux infiniment petits prescrits par le programme de i8i3 ; mais dont l'exposition, d'une rigueur apparente, se trouve complétée par le calcul' des imaginaires, déduit de conventions à priori très-peu propres à infirmer le prin» cipe de continuité, que, pourtant, le Rapporteur du Mémoire sur les polaires réciproques niait encore si obstinément dans cette même année 1828.

Après ces réflexions générales sur la manière vague et imparfaite dont le savant Rapporteur de mon Mémoire de 1820 entendait le principe de continuité, je puis, sans entrer dans des détails inutiles aux lecteurs instruits des progrès récents de l'Analyse appliquée à la Géométrie, me permettre d'insister quelque peu sur la manière tout algébrique dont il a plu à M. Cauchy de traduire, à son propre point de vue, mes idées relatives aux cordes idéales ou imaginaires communes à un système -de coniques sur un plan, et aux principes de projection centrale qui les concernent. Les personne* qui ont bien voulu lire avec quelque attention le Ier volume de ces applications, comprendront combien il m'a été pénible de voir interpréter et traiter avec un tel sans façon et si peu d'intelligence philosophique, des notions de Géométrie générale jusque-là, il est vrai, étrangères au Calcul algébrique, trop souvent, je le répète, confondu avec l'Arithmétique.

Par exemple, M. Cauchy, en s'appesan tissant pour le démontrer à sa manière sur les propriétés élémentaires d'un système de cercles dans un plan ou de sphères dans l'espace, ne s'est pas aperçu, n'a pas compris que, d'après les principes subséquents de mon Mémoire, ces propriétés, toutes projectiles et linéaires, s'étendaient à des systèmes de coniques et de surfaces du second degré quelconques, ayant en commun une sécante ou un plan de section. Il est vrai que j'avais laissé aux lecteurs iptelligents le soin de cette application, facile quand on prend garde que les cercles et les sphères dont il s'agit ont toujours des sections imaginaires communes à l'infini.

Malheureusement, des considérations de cette nature étaient comme non avenues pour le Rapporteur, auquel il eût été au contraire beaucoup plus aisé de mettre en évidence son incontestable supériorité algébrique, en essayant de démontrer par l'Analyse de Descartes, à laquelle je substituais le raisonnement géométrique, l'existence et le mode de construction des cordes idéales ' communes au système de deux coniques quelconques sur un plan, ainsi que la possibilité de projeter ces courbes suivant des cercles, auxquels le Rapporteur substitue des coniques semblables et semblablement placées sur un second plan à déterminer dans l'espace ; mais je ferai remarquer que ce problème, bien qu'en apparence plus général, est, par le fait, moins riche en conséquences utiles, puisque les propriétés relatives aux cercles et aux sphères,

568 VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE ,

étant plus élémentaires, plus abordables à l'universalité des esprits et étant aussi mieux connues, une telle généralisation allait précisément au rebours du but que je voulais atteindre.

Comment d'ailleurs M. Cauchy, qui ne craignait pas de montrer sa supériorité en fait de Géométrie, ne s'est -il pas aperçu que ses démonstrations à posteriori, ses prétendues généralisations des théorèmes établis dans mon Mémoire de 1820, étaient dénuées de tout mérite original après la découverte des relations intimes qui lient les cordes communes au système de deux coniques, aux centres et aux plans auxiliaires de projection? S 'était- il donc figuré que ces relations fussent le résultat d'une simple intuition ou improvisation géométrique, et qu'elles n'eussent donné aucun mal à acquérir, même par la voie de l'Analyse algébrique (voir t. Ier des applications, p. 99, 118, 287, 408 à 4°9)? N'estil pas décourageant au dernier point, de voir de nos jours que les découvertes géométriques les plus délicates sous le rapport de la philosophie de la science, soient ainsi travesties, rabaissées par des esprits légers, satisfaits, tout au moins inattentifs, et qui n'ont pas peu contribué à jeter dans l'enseignement le désordre et l'indiscipline dont j'ai déjà parlé? N'eût-il pas été beaucoup plus digne de la réputation de M. Cauchy, d'appliquer directement, sans préventions ni idées préconçues, son prodigieux talent d'algébriste à la recherche directe du lieu des sommets communs aux cônes projetants dont il a été parlé ? Ce problème, en effet, vainement tenté par d'autres avant ou depuis 181 3, et qu'à cette époque j'ai abordé directement par les voies de l'Analyse algébrique, dépend, comme on l'a vu, d'une équation du 12* degré, décomposable implicitement en six autres du 2 e, mais^ont les coefficients ou constantes dépendent à leur tour d'une équation du 60 degré, réductible au 3e, ce problème méritait bien, je crois, l'intérêt et l'attention du Rapporteur.

Peut-être qu'une pareille tentative eût rendu ce savant plus circonspect, moins dédaigneux envers l'auteur du Mémoire dont la Commission académique l'avait fait Rapporteur, sinon juge exclusif. Peut-être aussi qu'en y réfléchissant davantage, il se fût aperçu que la théorie des coniques supplémentaires, offrant la construction géométrique immédiate des six cordes idéales communes en général à deux coniques données, pouvait servir de point de cfêpart à de plus vastes doctrines concernant, sinon la représentation, du moins l'interprétation simple et naturelle des expressions imaginaires. C'est ce qui arrive, en effet, dans la recherche des propriétés de certaines intégrales périodiques que les géomètres algébristes ont, en dernier lieu, abordées par des méthodes assez peu satisfaisantes au point de vue géométrique, mais que M. Maximilien Marie, connu par de savantes et original es. publications, a remplacées par d'autres plus lumineuses, dans un remarquable Mémoire sur la théorie des fonctions de variables imaginaires, soumis en i854 au jugement de l'Académie, Mémoire que M. Cauchy aurait plus favorablement encore apprécié comme Rapporteur, s'il avait gardé un meilleur souvenir de mes écrits de 1820 et 1822. Or, j'insiste quoique bien à regret, M. Cauchy était peu apte à comprendre et goûter les doctrines de la Géométrie, ce dont on se convaincra en lisant le Mémoire sur la synthèse algébrique (t. XVI de nos Comptes rendus, p. 867 à 881, 967 à 976, 1039 à ioaa), où cet académicien reproduit un peu tardivement ( 1 8^3) les méthodes de son ami et affidé scientifique M. Gergonne, qui consistent à traiter, sans calcul ni éliminations laborieuses, certaines questions de Géométrie élémentaire, relatives aux contacts des cercles, des sphères, etc.

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVEBS. 56g

Que l'on consulte encore les divers Articles ou Notes non moins étendues, écrites à l'occasion d'un Rapport sur des Recherches géométriques de M. Arayot, et qui a donné lieu à de longues discussions et réclamations insérées dans le même volume des Comptes rendus de F Académie des Sciences (p. 828 à 833, 938 à 939, 9r(7 à 954, 110.) à 1112), devenues la cause, le motif stimulant des excursions de M. Cauchy dans le domaine de la Géométrie pure, et certes on ne pourra disconvenir avec moi, & part toute prévention morale et scientifique, que M. Cauchy, si puissant comme calculateur, si léger et superficiel dans ses jugements, manquait absolument du sens philosophique et géométrique, nécessaire pour généraliser les méthodes et franchir les bornes établies par ses illustres prédécesseurs.

Maintenant, on doit comprendre comment peu goûté, encore moins encouragé au dedans comme au dehors de l'Académie des Sciences, dans ma téméraire entreprise de* publication du Traité des Propriétés projectiles, j'ai du, faute de ressources pécuniaires et d'éditeurs bénévoles/recourir à une souscription publique, immédiatement couverte il est vrai, grâce au bienveillant intérêt de mes amis, de mes camarades et de mes chefs, parmi lesquels la reconnaissance me fait un devoir de citer avant tous, le digne et illustre général du génie Baudrand, membre du jury d'examen de l'École d'application de Metz.

On conçoit encore comment, après l'impression entière de ce volumineux ouvrage, en 1822, j'ai dû attendre avec résignation le jugement académique sur les théories générales du centre de moyenne harmonique et des polaires ré' ciproques que j'ai si souvent mentionnées, parce que, n'ayant obtenu que des Rapports aussi tardifs que peu encourageants et peu intelligibles au point de vue géométrique, ils sont devenus pour moi la source de nombreuses et pénibles déceptions scientifiques, au nombre desquelles on me permettra de rappeler ici l'injuste oubli des successeurs et vulgarisateurs auxquels j'avais donné de plus généreux exemples dans le Traité des Propriétés prejectivesy mais surtout l'hostilité flagrante des rédacteurs ou collaborateurs des Annales de Montpellier et du Bulletin des Sciences mathématiques (1826 à 1828), dont je n'ai pu combattre et vaincre le mauvais vouloir qu'à force de réclamations, cle sollicitations persévérantes, qui ne témoignent pas en faveur de l'impartialité de certains échos de la presse scientifique.

Enfin, on conçoit mieux encore comment, profondément humilié et contrarié de tant de retards et de dénis de justice, je me suis décidé, non sans un regret patriotique amer, à recourir à l'impartial Journal de Mathématiques, publié tout récemment alors (1826) à Berlin, par l'honorable et savant Dr Crelle, qui accueillit les Mémoires dont il vient d'être parlé, non il est vrai sans quelques timides réserves dictées par la crainte de déplaire aux rédacteurs alors toutpuissants, des Recueils scientifiques français que je viens de citer.

570 VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

RÉSUMÉ ANALYTIQUE DE DIVERSES NOTES OU SOUVENIRS ANTÉRIEURS A l820y AVEC QUELQUES DÉVELOPPEMENTS PLUS RÉCENTS.

Sur la continuité des courbes géométriques et transcendantes.

Envisagée dans le sens le plus général, la continuité, dont aujourd'hui encore on ose à peine invoquer le principe, est un fait mathématique qui ne saurait se démontrer à priori, ni en Analyse algébrique, ni en Géométrie, ni môme dans la Mécanique rationnelle et abstraite où, cependant, elle semble de toute évidence à l'égard du mouvement, puisque le mobile, quel qu'il soit, ne saurait s'anéantir à aucun instant. Dans la génération des courbes et des surfaces notamment, elle se manifeste par l'accord exact des faits avec les résultats déduits de son admission à priori et de l'application du calcul ou du raisonnement aux relations algébriques et géométriques qui définissent l'état, la conslitulion et le mode de génération des grandeurs que l'on considère.

J'ai déjà émis, dans diverses notes ou passages du texte (III" et IV" Cahiers), quelques idées relatives à la continuité des courbes ou des surfaces, idées qui remontent à l'époquo de mon séjour à l'École Polytechnique ; je ne saurais y revenir ici, mais je ne puis me dispenser de rappeler que, longtemps avant la présentation à l'Institut, en 1820, de Y Essai sur les Propriétés projectiles des sections coniques, j'avais écrit diverses Notes au sujet de la continuité des courbes; ces Notes, d'ailleurs fort incorrectes, sont trop étendues pour trouver place dans ce volume, outre que plusieurs sont perdues ou échappées partiellement de ma mémoire ; je me bornerai donc à en présenter ici un résumé succinct. J'y admettais à priori, d'après une multitude d'exemples plus ou moins connus, ta continuité des courbes dites algébriques, pourvu, comme je l'ai déjà expliqué en divers endroits, que Ton donne à leur définition génétique ou organique, à leur description par points ou enveloppements tangentiels, la généralité et le sens géométrique qui convient', dans chaque cas, d'après le principe même de continuité. Or cela est surtout indispensable pour ce qui concerne les affections multiples que ces courbes ou les surfaces présentent aux points singuliers divers de leur cours limité ou infini.

Dans une Note toute spéciale de 1818, relative aux courbes en général, considérant la continuité des lignes exprimées par de simples équations algébriques, comme entièrement hors de cause, je faisais des vœux pour que l'étude à priori en fût développée davantage par cette intuition géométrique dont l'École de Monge a offert de si beaux exemples. Quant aux courbes dites transcendantes , je citais divers exemples où la continuité semble cesser d'avoir lieu en des points pour lesquels leur

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. 5;i

cours éprouve un changement brusque tout au moins apparent ; mais ces cas se rapportent généralement à des lignes définies par des équations purement analytiques ou littérales, parmi lesquelles se distinguent, en nombre nécessairement illimité, celles qui renferment des fonctions logarithmiques ou exponentielles et certaines intégrales dé 6 nies, que Ton considère, à tort, comme autant de formules essentiellement arithmétiques et qui sont trop souvent dépourvues du caractère d'homogénéité inséparable du point de vue géométrique.

Au préalable, je dois rappeler que, dans la Note dont il s'agit, je regardais comme chose évidente en soi : i° que les courbes décrites par des procédés purement géométriques ou mécaniques, fussent-elles mêmes à évolutions multiples et comprises sous la dénomination de courbes transcendantes, telles que les spirales, les cycloïdes, sinusoïdes, épicycloïdes ou roulettes et développantes diverses ; ces courbes, qui 6e rapportent toutes aux fonctions simplement circulaires, doivent être considérées comme assujetties à un double mode de génération continue, directe ou inverse, progressive ou rétrograde, c'est-à-dire dans des sens contraires, positifs et négatifs, mais non pas exclusivement dans un seul de ces sens, comme cela se faisait d'habitude, sans doute pour la facilité des discussions ; 2° que c'est aussi à tort que, par une abstraction non permise, on sépare souvent les diverses branches d'une même courbe susceptibles en apparence de descriptions distinctes, mais, par le fait, inséparables et intimement liées entre elles d'après le principe de continuité, de permanence des relations métriques et descriptives des figures; car ces relations admettent aussi bien les points imaginaires que les points à l'infini dont, remarquons-le bien, les distances mutuelles peuvent demeurer limitées ou finies et devenir, dans certains cas, négligeables ou comme nulles, par rapport à celles qui sont essentiellement, infinies; 3° que les relations métriques, les équations qui définissent algébriquement de pareilles lignes courbes, doivent, n'importe les cas, être homogènes dans leurs termes divers, soit numériquement, soit géométriquement, c'est-à-dire que ces équations, purement littérales, doivent être telles, qu'en divisant chacune des grandeurs simples qui y entrent par l'unité concrète de sou espèce, indifféremment considérée comme positive ou négative, selon le sens progressif ou rétrograde qu'il plaît de leur supposer à priori, les diverses unités concrètes, mises ainsi en évidence, disparaissent naturellement comme facteurs communs à tous les termes de l'équation ; 4° en&n <lue> dans le cas où une telle unité, fût-elle la même pour tous les termes de l'équation, ne pourrait disparaître à la fois comme facteur commun, il serait indispensable de l'y laisser subsister d'une manière apparente et explicite, afin de conserver à cette même équation le caractère d'homogénéité géométrique sans lequel il est difficile de ne pas tomber dans des contradictions et des obscurités inextricables. En particulier, la question de savoir si les courbes exponentielles et logarithmiques dont les équa-

572 VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

tions les plus simples, d'ailleurs identiques et de la forme /=*x, x= logj, sont ou non assujetties dans toute leur étendue à la loi de continuité, cette question revient évidemment à étudier la marche même de la fonction ex, quand x y croît par degrés insensibles.

Or, on sait toutes les difficultés et les divergences d'opinion que cette discussion a fait naître parmi les anciens géomètres algébristes : Leibnilz, d'Alembert, Euler, Jean Bernoulli, etc. Ce sont ces difficultés, aujourd'hui non entièrement résolues sous le rapport géométrique, que j'ai tâché d'approfondir, sinon d'éclaircir parfaitement en 1818, dans une Note qui roule presque exclusivement sur l'opinion consistant à regarder les logarithmes des nombres négatifs comme les mômes que ceux des nombres positifs : cette opinion, on le sait, a été combattue par Léonard Euler, qui repoussait l'argument de d'Alembert fondé sur la prétendue exactitude des identités ou transformées algébriques

(-*)*= (4-flP = ar\ 2log(-<i) = 2log(4-«), log(-n) = log( + a),

à la dernière desquelles Euler a substitué, pour les nombres négatifs, cette autre plus générale et plus rigoureuse,

log(— a) = Loga-t-(am-+-i)* yf^î,

tandis que, pour la série des nombres positifs, on aurait simplement

lOg(-J-fl) ='L0gfl + 2/717Tv/^7,

Loga désignant un nombre tabulaire, par conséquent réel et absolu.

Euler, esprit essentiellement juste, n'admettait probablement pas la considération des valeurs multiples de y correspondant à des valeurs numériques fractionnaires do x dans l'équation y = <?*, du moins, s'en est-il tu dans sa réplique à d'Alembert, comme il s'est également tu à l'égard de l'objection de Bernoulli, relative à l'aire de l'hyperbole équilatère; chose regrettable au point de vue de la Géométrie analytique, ainsi qu'on le verra ci-après.

En particulier, si l'on substituait dans l'équation y — e* des valeurs de

la forme — ? m et n étant des nombres entiers quelconques, cette équation donnerait algébriquement

y = e2n = (cm)in) soit yu=em,

et conduirait, comme on sait, à in valeurs distinctes de r, dont les deux premières

a», an,—

y = + vV", "> = - y''"",

sont seules réelles, mais de signes contraires; les 1 (n — 1) autres étant

toutes imaginaires et égales au produit de yjc™ par les racines de l'unité, fourni par la formule connue

cosjj- 4-sin/?- y—t,

qui, émanées des théorèmes de Côtes, deMoivre, etc., donnent la division en parties égales de la circonférence du cercle; la lettre/; devant prendre toutes les valeurs entières comprises entre p = o et p — n.

Les géomètres algébristes admettront encore plus difficilement peutêtre, une autre considération avancée, non sans quelque réserve, dans la Note précitée de 1818, en vue d'établir la continuité des fonctions exponentielles et, savoir : que si l'on suppose l'unité 1 de la valeur de x divisée en un nombre inûni in de parties égales, chacune d'elles pourra être

représentée par une fraction de la forme — où le dénominateur m = »

est la limite infinie de nombres entiers positifs ; de sorte que la valeur

numérique de x serait ainsi exprimée par la quantité fractionnaire — ou

— • C'est ce qui arriverait, par exemple, dans le système de numération

où Ton voudrait rapporter tous les nombres à la fraction décimale infiniment petite de l'unité, en se rapprochant ainsi de l'idée qui a donné naissance à la doctrine des indivisibles de Cavalicri (i635), de Robcrval et d'autres géomètres initiateurs, auxquels il ne faut pas trop reprocher certaines absurdités qui ne sont que des vices de langage. L'exponentielle e* pouvant ainsi èlre représentée en général par l'ex-

pression ?*", cela fait retomber directement sur les solutions précédentes pour exprimer les valeurs numériques diverses de y\ seulement, ici, le nombre p étant infini, ses racines et les ordonnées correspondantes à x sont en réalité inassignables, à l'exception de celles qui répondent à p =0, p — n7 c'estrà-dire aux valeurs

Or cela assignerait directement à l'exponentielle y = c* ou, ce qui revient au même, à la logarithmique x = log r, une infinité de branches imaginaires conjuguées à un couple de branches réelles opposées, asymptotes par rapport à Taxe des x, et constituant à l'infini, du côté négatif de cet axe, un point de rebroussement auquel il servirait de tangente ; ce qui rétablit la continuité dans l'étendue entière de la courbe.

Ces raisonnements, tout au moins spécieux, supposant que l'unité de mesure de x soit un nombre absolu ou discret, ainsi que la constante e et l'ordonnée jr, cela ôte à la conséquence tout caractère géométrique relative-

574 VIIe ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE,

ment à la continuité des courbes exponentielles et logarithmiques. En outre le mode de démonstrations ci -dessus pour établir l'exactitude de l'équation^ = ± e* ne saurait pleinement satisfaire l'esprit sous le rapport de la rigueur mathématique, quoique notre sévère La grange {Leçons sur le calcul des fonctions i ae édition, 1806), dans son exposé algébrique des logarithmes des nombres, les considère (p. 35) comme dérivant de la racine infinitième de ces nombres, et comportant, par là même, une infinité de valeurs, de racines algébriques réelles ou imaginaires.

Je ne parlerai pas des autres tentatives que j'ai faites avant ou depuis l'époque de 1818, pour justifier la continuité de la logarithmique, soit en recourant au système analytique de projection de la courbe à branche unique, projection dans laquelle, selon l'ancienne hypothèse, les points à l'infini seraient représentés par des points d'arrêt brusque, sans raccordement quelconque ; encore moins parlerai-je d'essais infructueux de démonstrations algébriques ou trigonbmétriques, fondées sur des développements en série de sin*r, cosjt, etc., démonstrations analogues à celles qui ont été données par Legendre et dans lesquelles l'usage du binôme de Newton, tout au moins indispensable, peut autoriser l'introduction de l'ambiguïté =t. Car ces diverses tentatives algébriques, quoique rationnelles et établies dans l'hypothèse de la progression (ascendante ou descendante) des nombres discrets sans signes de position, ne m'ont conduit à aucune conséquence distincte de celles qui se concluent du mode analytique de démonstration généralement adopté depuis Euler, mode où l'on s'occupe exclusivement de la génération des nombres considérés dans Tordre direct ou positif, tandis qu'il conviendrait non moins, peut-être, de les considérer à priori dans l'ordre négatif, c'est-à-dire inverse ou rétrograde, comme cela se fait en Géométrie (IIIe Cahier, p. 169 et suiv.).

Ceci conduirait inévitablement à adopter pour les nombres, dans l'échelle rétrograde, une unité également affectée du signe de position — ; de sorte qu'à ce point de vue géométrique, en supposant que y et x fussent de véritables longueurs rapportées à leur unité de mesure propre 1, positive ou négative selon la région où on la considère, on devrait remplacer l'équation ordinaire y=e* par cette autre

t = e , y = te ; ce qui donnerait pour la logarithmique, non plus simplement x — logj%

mais bien - = log^-j x = i logr»

qui n'offre rien d'absurde quand on suppose à la fois x et i négatifs, et comporte ainsi implicitement le double signe de y et le signe toujours

positif et numérique de -•

Cela étant d'ailleurs admis, et quel que soit le parti ou système d'interprétation qu'on adopte, il restera toujours à résoudre les difficultés

inhérentes aux valeurs fractionnaires de - et aux bizarres conséquences

qui en dérivent pour le tracé par points de la logarithmique, jdès que Ton admet de telles valeurs et les longueurs réelles ou imaginaires correspondantes de l'ordonnée y de la courbe. Or ces difficultés disparaissent, comme on Ta vu, dans l'hypothèse de la continuité et d'une seconde branche réelle, raccordée à l'infini avec la première, raccordement impossible dans le cas d'une branche unique ; même quand on y adjoint toutes ses branches imaginaires en nombre infini.

N'est-il pas regrettable d'ailleurs que nos savants algébristes, cédant à une espèce de lassitude et d'entraînement scientifiques, aient, à l'aide d'une convention générale et tacite, abandonné l'éclaircissement géométrique de pareilles questions, sous le prétexte « qu'elles impliquaient l'in- » fini, et qu'il est difficile dans de telles circonstances de vérifier la loi » de continuité? » (Lacroix, Calcul différentiel et intégral, iii-4°, 1. 1, » p. i35.). Lacroix, mathématicien érudit et philosophe, a tort d'avancer que la discussion relative aux logarithmes négatifs est, par elle-même, sans importance; car les difficultés qui viennent du changement de signe de certaines fonctions algébriques, se reproduisent presque à chaque pas, dans les applications du calcul aux quadratures, aux intégrales définies, etc. ; les valeurs de la fonction sous le signe / étant susceptibles de passer par l'infini, en changeant ou non de signe algébrique, tout comme il lui arrive de passer par zéro dans des conditions analogues. C'est, en effet, ce dont on peut se convaincre même sur les exemples rapportés par notre ancien et vénérable professeur, en un autre endroit de son précieux et grand ouvrage (t. I, p. i56 et suiv.), où, reculant en présence de telles difficultés au lieu de chercher à les résoudre, il aboutit, de guerre lasse sans doute (t. Il, p. 161, n° 492), par se ranger à l'opinion d'Euler sur les logarithmes des quantités négatives, contre Jean Bernoulli, qui était pourtant aussi un grand géomètre algébriste, et alléguait l'exemple de la quadrature des espaces asymptotiques de l'hyperbole équilatère, dont, il faut bien le remarquer, l'équation algébrique xy = a3 est véritablement homogène dans le sens précédemment indiqué.

Or cette conclusion est d'autant plus surprenante que Lacroix ne conteste pas, au fond et d'une manière absolue, la continuité de la courbe exponentielle dans la loi de croissance ou de signes des ordonnées et des éléments d'aires, compris entre l'infini positif et l'infini négatif; que même il soupçonne, à propos de cette épineuse discussion, qu'il pourrait bien y avoir lieu de considérer deux ordres ou séries naturelles des nombres, les uns positifs, les autres négatifs. Mais Lacroix ne s'arrête nullement à cette idée, et finit par se ranger, non toutefois sans quelque hésitation, à l'opinion de Leibnitz et d'Euler contre Jean Bernoulli et d'Alembert, sous

576 VHe ET DERNIER CAfflER. - CORRESPONDANCE ,

le prétexte que la théorie algébrique d'Euler avait depuis longtemps reçu V assentiment des analystes les plus distingués, nonobstant les objections soulevées de part et d'autre, mais non entièrement résolues ; ce qui le porte à conclure :

« Que la marche du calcul ne lui permet pas toujours d'exprimer toutes » les circonstances qui se rencontrent dans les constructions géomé- » triques. . . ; ce calcul, ajoute-t-il, redevenant conforme au cours des » lignes lorsque ce qui tient à l'infini en est écarté. »

Toutefois, les hésitations et le jugement définitif de Lacroix, qui ont dû se propager dans les Écoles, sont mal fondés en principe, et tiennent, j'oserai le dire, uniquement à des difficultés relatives aux signes de position, que j'avais, comme le prouve le contenu du III" Cahier de ce volume, cherché à résoudre selon mes faibles moyens, et en m'efforçant d'éclairer la théorie dans ses applications les plus simples à des questions de Géométrie élémentaire.

Pour s'en convaincre, il suffit de se reporter à l'objection spécieuse et tout algébrique de l'endroit déjà cité de l'ouvrage de Lacroix (t. II, p. 161, n° 402), où ce célèbre professeur pose et discute les formules de quadrature des hyperboles de divers degrés pairs ou impairs, représentées par l'équation

et dont les aires, à partir de x = o, ont pour expression commune

Jo ^~J0 (i+*r «-iL i«+*r'J'

car les objections soulevées par le même savant sont plutôt algébriques que géométriques, et ne tiennent pas un compte suffisant de la loi relative aux signes de position, qui s'accorde parfaitement avec les règles ordinaires de l'intégration. Quant à l'objection relative au cas particulier de n = i , où la courbe se réduit à l'hyperbole équilatère du second degré entre des axes rectangulaires asymptotes, cette objection fondée sur ce que la fonction ci-dessus, qui représente en général les aires hyperboliques, n'est point de la même forme que la fonction log(i + x) représentative de cette hyperbole pour laquelle n = i, cette objection n'est d'aucune valeur. Car, en développant en série l'intégrale générale ci-dessus, d'après la formule du binôme, puis faisant n = i dans le résultat, cette intégrale cesse d'être indéterminée, et l'on obtient pour l'expression de l'aire hyperbolique correspondante la série indéfinie

convergente pour x < 1, et qui représente précisément la valeur réelle

et positive de log(i -h-x).

D'ailleurs Lacroix, qui redoute de se prononcer pour tous les cas où

les fonctions acquièrent explicitement des valeurs infinies, ne prend pas

garde que, dans ses calculs analytiques, en passant brusquement d'une

valeur positive à une valeur négative de a:, il franchit implicitement et

sans hésitation les intervalles où les coordonnées x et 7, les éléments

d'aires asymptotiques ydx, ainsi que les coefficients différentiels réci-

d'Y dx proques 7-) -7-1 qui mesurent les inclinaisons des tangentes de la courbe

par rapport aux axes coordonnés, deviennent eux-mêmes nuls ou infinis pour certaines valeurs de l'abscisse x.

Que conclure de coût ceci? C'est que le calcul algébrique, en ce qui concerne la discussion de certaines propriétés des lignes courbes, relatives aux aires ou quadratures, etc., n'a point encore, malgré les travaux des plus grands géomètres algébristes, acquis le degré de clarté et de rectitude désirable pour les applications aux sciences qui reposent sur la Géométrie : fait généralement reconnu par les esprits élevés et sérieux. Tout en applaudissant donc aux efforts multipliés et souvent heureux des modernes, relativement à la théorie des nombres, à la résolution des équations numériques, aux règles du calcul et du développement en séries des fonctions de quantités réelles, imaginaires, etc., je ne puis néanmoins m'empécher de remarquer que ces diverses théories ou méthodes, demeurées si imparfaites entre les mains de nos prédécesseurs, laissent encore beaucoup à désirer du côté de la rigueur, de la généralité et, par suite, de la clarté.

D'accord avec Lacroix (Calcul différentiel et intégral, t. H, p. 162), que a rien n'est plus facile que d'abuser de la métaphysique en mathé- » matiques (*), et de perdre ainsi en vaines subtilités un temps et des » moyens qu'on peut employer à perfectionner les méthodes et à aug- » menter l'édifice analytique, » je ne puis cependant approuver entièrement, si ce n'est comme simple exercice et en dehors des classes, cette profusion souvent stérile et nuisible au succès de la partie intellectuelle

(*) Je ne crois pas me tromper en supposant que Lacroix avait ici en vue quelques-uns des successeurs de d'Alembert, Carnot même, mais surtout Wronski et son précurseur Suremain-Misseri, qui, dans sa Théorie purement algébrique des quantités imaginaires (an IX, 1801), fondée en partie sur le calcul douteux des radicaux et des séries, combat la démonstration géométrique de Jean Bernoulli, sans la comprendre, sans tenir compte des signes de position, c'est-à-dire par des raisonnements inexacts et confus, en un mot, sans prendre garde que, pour convaincre l'esprit des hommes en général, et à fortiori celui dëB géomètres, il faut des affirmations logiques, et non des hésitations ou des doutes.