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54 1er CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Supposons qu'on parte d'un point quelconque x' de la courbe (m), et que par ce point on mène le côté x'x" parallèlement à la droite fixe correspondante, il est visible que cette droite rencontrera la courbe (m) en m — i points .r" dif-

Fig. 38.

férents de x'. L'équation qui donnera les abscisses x" de ces points en fonction de x* et y ne sera donc que du degré m — i en x"; mais (*) je dis de plus que, dans le cas actuel où la droite xr x" doit être parallèle à une direction fixe, ce qui rend (/,) linéaire, l'équation dont il s'agit en x',yr et x" combinés, ne monte en effet qu'au degré m — i au lieu de i{m — i), c'est-à-dire que, dans tous les termes où ces coordonnées entrent, la somme de leurs exposants n'est jamais supérieure au nombre m — r.

Pour le prouver commençons par tirer y" de l'équation ( /,) de la droite x* x" : on aura

(*) Je supprime ici tout un passage dans lequel je cherchais à faire pressentir à l'avance les résultats du calcul algébrique par des raisonnements à priori, fondés sur des considérations analytiques analogues à celles qui m'avaient guidé dans les IIIe et IVe Cahiers du précédent volume pour le cas simple des directrices coniques. Mais ces raisonnements généraux, par là môme vagues et obscurs, ne pouvaient expliquer comment, dans le cas de pôles quelconques où les équations (/) cessent d'être linéaires, le degré des courbes engendrées par le sommet libre x du polygone mobile se trouvait généralement doublé.

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