CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» ment général, une section conique qui sera différente pour » chaque intersection distincte. »

Remarque. — Dans le cas où les pôles des côtés mobiles ne seraient pas situés en ligne droite, le dernier sommet libre a ne parcourrait plus en général une conique, mais une courbe du quatrième degré (t. ï, p. 222). Cette courbe s'abaisse encore

Fig. 33.

au second degré, quand les pôles p et p* (fig. 33) des côtés de l'angle b af correspondant au sommet libre a sont sur la droite qui passe par les deux points où la conique (0) est touchée par celle qu'enveloppe le côté libre ag*

En effet, nous avons démontré ( Prop. IX) qu'on peut trouver avec la règle seule, les pôles P et P' des côtés ax> gx d'un triangle inscrit agx dont le côté libre, confondu dans toutes ses positions avec le côté ag du polygone inscrit abc. . .g, roule par conséquent sur la même section conique ; en sorte qu'on peut substituer à ce polygone abc. . .g\e triangle agx. Or on formera ainsi un quadrilatère axgaa dont le sommet libre a parcourra la même courbe que celui du polygone général abc. . ./a, c'est-à-dire une section conique (Prop. XX) quand les quatre pôles P, P', p, pr seront en ligne droite; les pôles p et p* des côtés b a et fa de l'angle étant alors situés sur la droite PP', qui renferme (Prop. IV) les deux points où la conique (0) est touchée par celle sur laquelle roule le côté mobile ag.

Comme il est facile de trouver P et P', on voit qu'il sera aussi très-facile de reconnaître les cas où le sommet a parcourt une section conique.

Remarque générale»

On pourrait déduire de tout ce qui précède divers corollaires en particularisant convenablement les données générales : en voici un exemple très-simple.

Nous avons vu entre autres, que si un triangle variable ac'a a ses côtés constamment parallèles et ses sommets a et c sur un cercle, le troisième sommet a décrit une ellipse qui a AB pour un de ses diamètres conjugués, l'autre étant parallèle aux

droites ai, a'ï. Soient a et a' deux points de cette ellipse; aac9 aaV les triangles qui leur répondent : puisque ces triangles ont leurs côtés respectivement parallèles, les trois droites ad , aa' et ce' qui joignent deux à deux leurs sommets homologues se coupent en un même point situé sur le diamètre AB prolongé. Quand les deux triangles se rapprochent indéfiniment, les droites ci-dessus deviennent respectivement tangentes au cercle et à l'ellipse; donc un diamètre AB de cette ellipse, la direction ai de son conjugué et l'un a de ses points étant donnés, on pourra mener facilement une tangente à la courbe en ce point, ainsi qu'il suit :

Tracez sur AB, comme diamètre, une circonférence de cercle; menez par a une ordonnée ai parallèle au conjugué de AB,

48 1er CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ce qui vous donnera le point i; élevez l'ordonnée ai perpendiculaire à AB, vous obtiendrez le point a par lequel vous mènerez la tangente aO au cercle, et le point 0 où elle coupera AB prolongée appartiendra à la tangente cherchée, en sorte que Oa sera cette tangente.

DES POLYGONES SIMULTANÉMENT INSCRITS A UNE CONIQUE ET CIRCONSCRITS A UNE OU PLUSIEURS AUTRES SUR UN PLAN.

Avant de parvenir à la démonstration de la Proposition XIX donnée plus haut, nous démontrions le théorème qui fait le sujet de cette proposition, à l'aide du lemme suivant qu'il ne sera pas inutile de rapporter ici. On en sentira facilement l'application à la proposition dont il s'agit.

Proposition XXI. — Lemme.

Soient [fig. 35) les coniques (0) et (o) se touchant en deux points réels ou imaginaires; abc un triangle inscrit dans la courbe (0), dont un des côtés bc touche (o) et dont l'autre ba passe par un point fixe p : quand on déformera ce triangle

Fïtf. 35.

en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, le côté libre ac roulera dans toutes ses positions sur une troisième conique touchant aussi (0) en deux points.

Deux sections coniques, qui se touchent en deux points, pouvant être regardées en général comme la perspective de

deux cercles concentriques, il suffira de démontrer la proposition pour ce dernier cas.

(O) et (o), fig. 36, étant les deux cercles en question, abc le triangle mobile inscrit dans le cercle (O); soit menée la droite Op qui joint le centre commun avec le pôle p, et par le point b une perpendiculaire bb' à Op coupant (O) en unse-

Fig. 36.

cond point b' ; soit enfin formé le triangle ab'c. Pendant que le triangle abc se mouvra, l'autre ab'c se mouvra aussi; or, je dis d'abord que son côté b'c restera constamment parallèle à lui-même. En effet, l'angle cb'b sera constant, puisqu'il aura toujours pour mesure un arc constant bBc; mais le côté bb' de cet angle reste parallèle à lui-même, donc il en sera ainsi de l'autre côté b'c de cet angle (*).

En second lieu, je dis que le côté ab1 du triangle mobile ab'c passera toujours par un même point P situé sur la droite

(*) On remarquera que c'est accidentellement que sur la^. 36, la corde AB est tangente au cercle (o).

il. 4

5o Ier CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Op. En effet, menez ad parallèlement à 66', tracez ensuite db' et db, il est visible qu'à cause de la symétrie db' passera par le point p et a'b par P. Or, en considérant le trapèze inscrit aa'bb', il n'est pas difficile de prouver que quand on fait varier la diagonale ab autour du pôle p, les côtés 66', ad restant constamment perpendiculaires à Ôp, les deux autres côtés ab' et db de ce trapèze se couperont aussi toujours en un même point P (Prop. II); donc, puisque le triangle inscrit ab'c a deux de ses côtés assujettis à tourner autour de pôles fixes, le côté libre ac (Prop. IV) se mouvra sur une conique doublement tangente au cercle (0).

Remarque. — Soient menées au cercle intérieur (o) les tangentes pk et/*B qui rencontrent respectivement le cercle (O) en A et D, B et C; soient joints A et C par une ligne droite : il est facile de voir, i° que AC sera la corde de contact de la section conique avec le cercle (0); 2° que cette corde passe par le point P; 3° qu'elle est parallèle à cb'. On peut remarquer aussi que les trois droites AB, tt\ CD sont parallèles entre elles, et qu'ainsi elles vont concourir à l'infini sur la corde commune aux deux cercles concentriques (0) et (o) [Principes de projection, t. I); donc, si l'on trace les droites qui leur correspondent dans la Jig. 35, projection 'centrale de celle-ci, ces droites, qui ne sont plus parallèles, iront se croiser en un même point k situé sur la corde de contact TT' commune aux courbes (0) et (o). Ceci démontre très-simplement l'exactitude de la construction employée à la fin de la Prop. XVI; car C et D peuvent être considérés comme deux points donnés sur la conique (0) doublement tangente à la courbe (o) censée décrite. On voit, en outre, que si le point p au lieu d'être intérieur à la courbe (0) lui était extérieur, on parviendrait à des conséquences analogues. Enfin, il est à remarquer qu'en raison de la symétrie qui existe dans layîg. 36, ou, plus généralement, à cause de la possibilité de mener du sommet b une seconde tangente distincte de ba au cercle ou à la conique (0), il existe nécessairement une autre section conique enveloppe, tangente à (0) en D et B.

Ces dernières remarques permettraient aussi de trouver la corde de contact idéale dç deux sections coniques décrites

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. 5i

quand elles n'ont aucun point commun, et cela en n'employant que la règle seule; la construction servirait en même temps à faire connaître si deux courbes données se touchent réellement, ou imaginairement en conservant néanmoins une sécante commune idéale de double contact.

Proposition XXII. — Théorème.

Si deux coniques (0) et (o), fig. 37, ont un contact double, réel ou imaginaire, et qu'ayant inscrit dans l'une (0), un polygone abcd..., dont tous les côtés, à l'exception d'un seul ad, touchent l'autre conique (o), on vienne à déformer ce polygone de toutes les manières possibles en l'assujettissant aux mêmes conditions, le dernier côté ad, demeuré libre, enveloppera dans toutes ses positions une troisième section conique qui touchera les premières précisément aux deux points où elles se touchent entre elles, c'est-à-dire ayant avec elles même corde de contact réelle ou imaginaire.

En effet, les deux courbes (0) et (o) peuvent être regardées comme les perspectives de deux cercles concentriques : or, il est visible que dans ce cas le dernier côté, perspective de ad, roule sur un troisième cercle concentrique aux deux premiers;

Fig. 37.

donc la proposition énoncée se trouve établie, puisque tout système de cercles concentriques est la perspective d'un système de coniques tangentes aux deux mêmes points.

5a r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Note pendant l'impression.

Les événements politiques et militaires du printemps de i8i5 m'ont contraint d'interrompre ici la rédaction de cette partie du Ier Cahier. Je ne me rappelle pas si, à cette époque, j'étais réellement en mesure de poursuivre, sous une forme synthétique, la démonstration des théorèmes concernant l'inscription et la circonscription simultanée des polygones aux sections coniques décrites sur un plan. Dans le fait, c'est seulement au n° d'octobre 1817 des Annales (le Mathématiques de Montpellier que, dans un article de Philosophie matfiématique, je me crus en droit d'appeler l'attention du public sur ce problème général et sur divers autres résultats qui font l'objet des Cahiers ci-après, auxquels j'étais dès lors parvenu à l'aide de procédés très-distincts de ceux jusque-là préconisés par M. Gergonne. Néanmoins, dans cet article, textuellement reproduit parmi ceux du VIe Cahier de ce volume, il n'est fait aucune mention explicite des tentatives par lesquelles, durant les loisirs qui, pour mol, ont succédé aux fatales catastrophes de 18 15, je me suis efforcé d'étendre les spéculations relatives à l'inscription ou à la circonscription des polygones aux courbes géométriques en général. Or, en m'occupant de ce dernier objet, je ne tardai pas à me convaincre que la question était d'un tout autre ordre, et c'est pourquoi, dans le paragraphe ci-après, j ai eu recours tout d'abord à la méthode analytique dont je m'étais déjà servi à SaratefT pour les courbes simples du ae degré, en essayant de généraliser les recherches faites en 1733 par Braikenridge sur le degré des lignes décrites par « le sommet libre d'un polygone dont les côtés pivotent » autour de pôles fixes, tandis que les autres sommets sont assujettis à » demeurer sur des courbes géométriques de degrés donnés dans son » plan. » Mais j'ai bientôt, comme on le verra, abandonné cette route laborieuse et pour moi infertile, afin d'y substituer des méthodes purement géométriques fondées sur le principe de continuité, et dont on voit le résumé rapide dans le Chapitre III, Sect. iv, du Traité des Propriétés projectives des figures.

SUR LES POLYGONES MOBILES INSCRITS AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES PLANES, DE DEGRÉS QUELCONQUES.

Proposition XXI11 . — Théorème.

Soient décrits sur un plan une courbe du degré m et un polygone dont tous les sommets, un seul excepté, sont assujettis

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