PQ

Celte quantité est l'expression du paramètre du diamètre en question. Qu'on divise PQ également en Q', et qu'on élève Q'R

Fig. 76. '

perpendiculairement au demi-diamètre PC, il rencontrera la normale au centre de courbure R; abaissez la perpendiculaire CK du centre C de la conique sur la normale Vq, les triangles CKP et PQ'R seront semblables et l'on aura

PR:PQ'::PC ou a':PK,

d'où l'on tire, conformément à un théorème dû à M. Dupin,

*^ ?, PK "~PK'

expression très-simple dans laquelle PK = CI est la distance de la tangente en P au centre C. On peut la traduire ainsi :

« Dans toute conique, le rayon de courbure en un point » donné, est une troisième proportionnelle au demi-diamètre » parallèle à la tangente en ce point, et à la distance de cette » tangente au centre de la courbe. »

Remarques. — Au sommet du grand axe, le rayon de cour-

bure étant égal au rapport de 6' à a, demi-paramètre de cet axe, on voit qu'à partir de ce sommet le diamètre b' augmente et la distance PK diminue, en sorte que la fraction ci-dessus, qui représente le rayon de courbure PR, augmente sans cesse, jusqu'au sommet du petit axe; elle décroît ensuite suivant la même loi : les rayons de courbure aux deux sommets sont donc les plus grands et les plus petits possibles (*).

Le cercle osculateur rencontre en général la conique en un second point distinct du point de contact et pour lequel {Jig. 75) PQ=:P^; or on a, en général,

b' et a' étant les demi-diamètres parallèles à P^ et à la tangente en P ; donc on doit avoir a' = b', ce qui n'a lieu que pour deux droites également inclinées sur les axes principaux de la conique.

DES COURBES GÉOMÉTRIQUES DÉFÎMES, A LA MAMÈRE DE MACLAURIX, PAR DES ÉQUATIONS ENTRE DEUX SOMMES DE RÉCIPROQUES DE SEGMENTS INTERCEPTÉS SUR UNE TRANSVERSALE ARBITRAIRE.

Transformation algébrique de l'équation fondamentale, à deux termes, entre produits de segments.

En considérant (^g", 77) une courbe géométrique de degré quelconque m, comme transversale d'un triangle abc, nous savons, d'après le théorème fondamental de Carnol, que

{ap) (br) [cq) = [bp] {cr] [aq).

(*) M. Mannheim, dont les recherches originales, relatives aux rayons de courbure en des points divers des lignes géométriques, sont aujourd'hui bien appréciées, et quia eu l'obligeance de relire les manuscrits de ce volume avant leur impression, m'a remis sur ce même sujet, une Note qu'on trouvera à la fin du présent Cahier, et dont l'élégante simplicité m'a paru mériter assez l'attention des lecteurs de cet ouvrage, pour y trouver place au risque de lui faire perdre beaucoup par la comparaison, si l'on venait à oublier la différence des dates et le développement récent des idées géométriques.

ii8 IF CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Soient tracées les droites rq, r'q', r" q" , jusqu'à leurs rencontres respectives en k, h' , h", avec le côté ah opposé au sommet c, point de concours des droites qq'q" et rr'r" ; en considérant successivement chacune des premières droites comme transversale à l'égard du triangle abc, on aura

transversale r q, bk . aq . cr =ak .cq.br,

» r'q', bk' .aq'.cr'=ak' .cq' .bt^,

'q", bk\aa".cr"~ak" . cq" . br'\

Multipliant ces équations par ordre et le produit par la première, on obtiendra la relation plus simple,

{bk)iap) = {ak)(bp),

ce qui constitue une proposition analogue à celle que nous

Fig. 77.

avons trouvée pour le cas du quadrilatère inscrit à tme conique et coupé par une transversale quelconque (*)•

(*) Ceci se rattache à ce que, dans mes publications postérieures à 1812, j'ai nommé, par extension, imolutionàe m points, et dont, comme on voit, j'étais en possession dès 1816.

Mais on a ici, en posant ab = rf,

afi = bk -\- ab = bl( + d, ak' = bk' + nb — bk' + r/,

ap = bp -\- ab =^ bp -\- <-/, ap' = bp'-+- ab = bp' -\- d.

Substituant dans l'équation ci-dessus, il viendra

[bp] {bk+d){bk'-^d)(bk''+d) = {bk) (bp + d) [bp'+d] {bp"-j-d).

Cette équation a lieu et conserve la même forme analytique, quel que soit le degré de la courbe ; en l'ordonnant par rapport à d, observant que le terme qui en est indépendant disparaît de lui-même, ainsi que celui qui renferme d\ divisant ensuite par d, il viendra

d'[{bp)-{bk)]+d[{bp){bk + bk'+bk'')-{bk){bp + bp' + bp")]

.bk'-hbk.bk''+bk'.bk") — {bk)[bp.bp'-i-bp.bp"+bp'.bp") = (

d'[{bp)-{bk)]+d[[bp){bk + bk'+bk'')-{bk){bp + + {¥) {bk.bk'-hbk.bk''+bk'.bk") - [bk)[bp.bp'-\-bp.bp"

Cette équation doit avoir lieu quelle que soit la grandeur de d ou de ab. De plus, on doit remarquer que si l'un quelconque des points k, k', etc., X- par exemple, se trouvait situé d'un côté différent du point b, origine des segments par rapport aux autres intersections de la transversale, le signe de bk devrait nécessairement changer, en sorte qu'on aurait

ak = d — bk. . .

Théorème de Maclaurin. — Q\iQd= ab soil nul, ou, si l'on veul> supposons que la droite bcrr' ... tourne autour du pointe,

jusqu'à ce qu'elle se confonde avec ac, comme le montre la fig. 78, les droites r^, r'ç',. . ., deviendront des tangentes à la

courbe, et les dislances ak ou bk conservant des grandeurs finies et déterminées, l'équation ci-dessus deviendra

[bp] {bk.bk'-h bk.bk"+bk'.bk") = [bk] ibp.bp'+ bp.bp"-^ bp' . bp").

Dans celle équation {bp) est le produit de tous les segments bp, bp',... formés par la courbe, [bk) celui de tous les segments bk, bk',..., formés par les tangentes, et bk .bk' ->r bk .bk" -\-..., bp.bp'-i- ... est la somme des produits deux à deux de ces mêmes segments. En divisant celle équation par [bp) et par (bk), elle deviendra

<k ^ bk'^ bk"~^

~ bp^ bp' ~^ Fjy'

on obtient ainsi le théorème de Maclaurin (*), soumis à la loi ordinaire des signes de position pour les divers segments. On voit donc que, quand la sécante br vient à varier autour du point b, la somme des réciproques des segments/*^, bk' . . . formés par les tangentes sur la transversale fixe bpp' . . ., reste constante quel que soit le degré, de la courbe géométrique considérée.

La manière dont nous avons démontré ce théorème a cela de remarquable qu'elle n'oblige pas à recourir aux notions du calcul différentiel, comme l'a fait Maclaurin, et c'est là un des avantages que procure l'emploi de l'anal^'se des transversales.

Corollaires et généralisations. — Si t/ devient infini dans

[*) A Treatise of Algebra, by Colin Maclaurin, Appcndix : De linearum geoinetricarum proprietatibiis generalihus Tractatus ; 1748. J'ai déjà dit dans une précédente note, que je devais à l'amitié de mon ancien professeur M. Français, de Metz, la connaissance de ce précieux ouvrage, qu'il voulut bien me prêter au printemps de 1816; j'ajoute que je m'empressai d'en faire, pour mon usage particulier, une translation exacte du latin en français, sans commentaires, interprétations ni mutilations quelconques, comme il convient quand il s'agit d'une production en elle-même aussi correcte et remarquable d'un grand géomètre : cette traduction littérale est demeurée, jusqu'à ce jour, entre mes mains, dans un état qui en permettrait la publication immédiate, si le goût des sérieuses études géométriques venait à se propager davantage.

l'équation transformée (a), ce qui suppose ac {fig. 77) parallèle à ab, comme le montre \^fig. 79, bcrr' . . . restant fixe, on obtient la nouvelle relation

c'est-à-dire que le produit des segments bk, bk' ,..., est simplement égal à celui des segments bp, bp',

Or, chose bien digne de remarque, la même relation subsiste sans modification essentielle, même quand on vient à supposer que, à son tour, la droite acq ... de la fig. 79 passe

Fig- 79-

entièrement à l'infini; ce qui conduit à divers autres corollaires relatifs aux branches infinies et aux asymptotes des courbes géométriques.

Si, par les points a et b de la Jlg. 77, comme on le voit [fig- 80) où a et b sont censés réunis en un seul, d'après l'hypothèse de ^afig. 78 où rf= o, on menait deux nouvelles sécantes arbitraires bcj^q\ . . ., bf\r\ . . ., qu'on traçât ensuite les cordes r,*/,, r', ^', ,. . . , qui leur correspondent et déterminent sur la direction fixe quelconque de la transversale indéfinie ab k/i' ... de nouvelles intersections /■,, A'', , Â-'^,..., analogues à celles /•, X', A",..., on aura, d'après l'équation («),

d'[{bp) - {bA-^)-]-^d[{bp){bA-^ + bA\+bU[)- [bk;)[bp + bp'+bp")-] ■^[bp)[bk^.bk\+bk^.bk\+bk\.b¥^)-bli^ {bp.bp'+bp.bp"-hbp'.bp") = o.

Cette équation, soustraite de [a), après les avoir préparées toutes deux ,

laa IP CAHIER. — MÉTHODE DES TRANSVERSALES

d'une manière convenable, donne

• bk + bk' + bk" bk, + bk\-hb//\ \

'im-vk-y<-

[bk'

i II I I I

bk^ bk'^bk" bk. bk'.

bk".

relation indépendante des segments bp, bp\ etc., et qui subsiste ainsi même quand le triangle transversal s'évanouit.

En particulier, si cl devenait nul, c'est-à-dire si a se confondait avec b {fig. 80), on aurait