II I

Tk'^W'^W'

~ ITT ^~ aTT" + 17" ' '

bk, ' bk'.

bk".

quelle que fût d'ailleurs la direction de la transversale abk

Si les deux sécantes ar et aq venaient en outre à se confondre, ainsi que «/•, et «</,, les droites rq, r'q'^ etc., ^,(7, , /•',(/,, etc., deviendraient

Fig. 80.

des tangentes à la courbe, et l'équation ci-dessus subsisterait toujours, conformément à la remarque déjà faite plus haut.

Enfin, si, dans les hypothèses générales de la figure primitive 77, à laquelle seraient jointes les nouvelles transversales ««7, et ar^ de lay%-. 80, on suppose que le sommet b du triangle transversal abc se confonde avec c sans que le côté bc coïncide avec ac comme ci-dessus, les droites rq, r'q',... [fig. 81), sans devenir pour cela des tangentes de la courbe, jouiront toujours de la propriété exprimée par la relation

i^'+ b^^ bp''^ bp"'

j de quelque manière d'ailleurs que l'on joigne deux à deux les points d'in-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. laS

tersection /•, r',...q,q\..., des transversales a/^', aq", ap\ avec la courbe ^ Fig. 8i.

proposée, à la condition de ne pas faire de double emploi ou de fausse combinaison des diagonales ; telles sont, par exemple, rq', r'q'\ etc.

Application des nouvelles relations aux problèmes déjà résolus par la précédente méthode, pour l osculation des courbes par les coniques.

« t*ROBLÈME. — Une courbe d'ordre quelconque étant décrite » sur un plan, déterminer pour un de ses points donné la » position de la parabole ou, plus généralement, de la conique » osculatrice du 3^ ordre en ce point. »

Lemme général. — Soit pp' (Jig. 82) une conique quelconque , touchant la courbe donnée aux points p' et p"; traçons la corde de contact p'p", elle coupera de nouveau la courbe aux points />,.... Soit cr une autre transversale quelconque, rencontrant la même courbe aux points r, r', r", et la conique en a et b; qu'on trace de plus les tangentes aux points p,p' ,..., etc., elles viendront couper la transversale crr' aux points k, k\ k", etc. Les tangentes p'k' et p" k" sont évidemment communes aux deux courbes; or, d'après le théorème ci-dessus de Maclaurin, on a à la fois

cr"

ck"

ck'

ck" '

124 n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

de là on lire l'équation de condition suivante

'cr'

pour exprimer que les deux courbes se touchent aux points p' et //' à la fois.

Cette dernière équation étant indépendante des segments ck' et ck", elle aura lieu quelles qu'en soient les valeurs parti-

Fig. 83.

culières. Par exemple, si l'on conçoit que la transversale cp tourne autour du point c, jusqu'à devenir tangente à la courbe proposée, auquel cas les deux points de contact p' et p" se

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. laS

confondront en un seul P {fig. 83), cette équation exprimera aussi que la section conique a, avec la courbe géométrique, quatre points confondus en un seul en P, et qu'elle lui est par conséquent osculatrice du 3^ ordre en ce même point ; elle pourra donc servir à déterminer par le calcul la position de cette section conique.

Solutions par le calcul. — Le point P étant donné ainsi que la transversale crr' , il ne restera d'inconnues dans l'équation ci-dessus que les quantités ca et cb. L'une d'elles sera évidemment arbitraire; mais quand une fois on l'aura choisie, l'autre sera donnée par l'équation même; donc on peut mener une infinité de sections coniques osculatrices du 3^ ordre en un point donné d'une courbe géométrique. Du reste, il n'est pas difficile de voir qu'en se donnant un seul point a arbitrairement, la courbe entière est parfaitement déterminée et peut se construire par points.

En effet, qu'on trace à volonté [fig. 84) une autre transver-

Fig. 84.

sale r, r\ r\ , qui coupe ch en d et Vp en c', on aura, en considérant le triangle cdc' comme transversal de la section conique,

cP *, c' a' .c'b'.da.db = c' p' . da' . db' .ca.cb.

%%a IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Mais on a, comrne cMessus,

c a c b' cri c r, ck^

Ces deux équations, avec l'analogue de celle-ci déjà obtenue, suffiront pour calculer les valeurs de da' et db', puisque, par hypothèse, ca est donnée, et que da'=c'a'-i-c'd, db'=c'b'-\-c'd.

Quoique ces calculs soient très-simples à exécuter, puisque l'un et l'autre des segments c' a' et c'b' seraient fournis par les racines d'une équation unique (*) du rz" clegré, cependant il vaut mieux déterminer l'osculatrice par des conditions particulières tirées des équations générales ci-dessus; ce qui offrira en même temps l'avantage de faire connaître d'une manière plus intime, la dépendance mutuelle des doux courbes.

Occupons-nous d'abord des osculations du second ordre.

Problème. ^ — Trouver, pour un point donné d'une courbe géométrique, la direction du diamètre de la conique osculatrice du 2^ ordre en ce point.

Lemme général. — Supposez que, dans les conditions des fig. 82 et 83, on fasse tourner la transversale cb autour du point c devenu C {fig. 85), comme pôle fixe, et qu'on prenne sans cesse sur cette droite une longueur Co moyenne harmonique entre Ca et C6, c'est-à-dire telle que

Cô "^ Câ "^ C6 ~ C7 "^ C7' "^ CT^' ■^' ■ ■"" Cl ~' ■ * '

la suite de tous les points o, o',... relatifs à la section conique, sera, comme on sait, sur une même^ droite polaire de C passant par le point de contact P. Or, cette polaire sera déterminée et pourra être tracée sans que l'on connaisse l'oscula-

(*) Je supprime ici cette équation assez complexe, peu susceptible de calcul numérique ou d'une interprétation géométrique, et que, pour ce motif, je rangerai volontiers au nombre de ces avortements, de ces résultats stériles" qui viennent inutilement surcharger le bagage déjà si encombré des mathématiques.

Irice; car l'équation ci'dessus donne la valeur de Co en fonction de Cr, Cr',.,., C/r, Ck', etc., qui sont connues. On pourrait donc aussi en conclure, sans plus faire attention à la conique osculairice, que si, « autour d'un point fixe G quelconque de

Fig. 85.

» la tangente Vp, on fait tourner la transversale Cr rencon- » trant la courbe géométrique en r, r', r", . . . , et ses tangentes » correspondantes à ^... aux points /r, k',. . ., et qu'on prenne » sans cesse sur la ligne pivotante Cr'A, »

la suite de tous les points 0,0',..., ainsi obtenus, se trouvera ne former qu'une seule et même droite, passant par le point P de contact de la tangente CP.

Remarques diverses. — Cette proposition se rattache à une autre de Cotes et Maclaurin, en observant que l'on peut remplacer les tangentes pk, ..., qui répondent aux signes négatifs, par des droites parallèles et placées symétriquement à l'égard du pôle C, sauf à prendre dans la nouvelle équation les segments qui les concernent avec les signes qu'ils doivent naturellement avoir par rapport à leurs positions correspondantes de part et d'autre du pôle C.

ia8 II" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Si le point C de la tangente Vp était situé à l'infini, c'est-àdire si les tranversales Cr'A' devenaient parallèles à cette tangente, la droite oo',. . ., polaire de C, se confondrait, comme on sait, avec le diamètre de la section conique osculatrice au point P; mais, dans ce même cas, l'équation précédente, sous sa forme actuelle, ne ferait plus connaître la position des points o, o',..., parce qu'alors Co deviendrait infini pour toutes

les sécantes cr, cr', Cependant il n'en résulte nullement

que la suite de tous les points o, o',. . ., cesse d'être située dans la région finie de la courbe, puisqu'elle constitue le diamètre même de la conique osculatrice. C'est ce dont, au surplus, on peut s'assurer par une analyse directe.

Pour déterminer alors la position des points o, o',. • -, il est nécessaire de mettre l'équation (i) ci-dessus sous une autre forme, en remplaçant l'origine C, qui s'éloigne à l'infini, par une autre qui soit absolument indépendante de cette circonstance particulière { * ) .

Transformation de la dernière équation. — k une distance connue de P, soit pris sur la direction de la sécante mobile C/-', le point A comme origine des segments, alors on aura

Co=:AC — Ao, Cfl = AC — A«, Cb = kC — kb, Cr^AC-A/-, C/''=^AC-A/-', CA- = AC- A/?. . .

Substituant dans l'équation (i) ci-dessus, il viendra

AC-Ao~AC-Ar+AC-A/''"'"AC-Ar"'^*- AC -AX- AC-A/i'

ou , en réduisant au même dénominateur,

2(AC-Ar)(AC-Ar')...(AC-AA-)(AC-Ay?-')...

p (AC-A/-')(AG-AO-.-(AC-A>?-)(AC-A>?-')...~l = (AC-A«) +(AC-Ar)(AC-Ar")...(AC-A/-)(AC-AX-').-- I