AC .BD.C
Telle est l'expression cherchée : elle ne contient que les tangentes à la courbe issues des points B et C et limitées à leur point de rencontre A, et des segments comptés sur la ligne qui joint les deux points B etC.
La marche que nous venons de suivre s'applique à une courbe de degré quelconque. Dans le cas d'une conique on retrouve une relation connue que l'on'peut du reste déduire de (6). En effet, si notre courbe du 3* ordre se décompose en une droite et une conique , les points D et ^ se confondent en un seul , et il vient simplement
^' Âc'
De là le théorème connu : Les rayons de courbure en deux points quelconques cVune conique sont entre eux comme les cubes des tangentes issues de ces points et limitées à leur point de rencontre.
Les courbes du 3^ ordre donnent lieu au même rapport lorsque les points B et C sont sur une droite passant par un point d'inflexion.
(*) Nous ne ferons pas une nouvelle figure. Il est facile de supposer que le triangle ABC a ses côtés tangents en B et C à la courbe donnée. Q et Q' représentent alors les points d'intersection avec le côté BC des cercles osculateurs à la courbe en B et C.
i64 IP CAHIER. - METHODE DES TRANSVERSALES
Lorsque les points B et C viennent se confondre au point double 0 de la courbe, la relation (6) paraît illusoire.
On peut pourtant en tirer l'expression du rapport des rayons de courbure des deux branches passant au point double; mais il est plus simple d'opérer directement cette recherche. C'est ce que nous allons faire.
Reprenons la relation (i) et écrivons-la de la manière suivante :
Art^A^^'g^ g^, g^,,^^ç^.,^^„^AM£;^^^ç^,^^„ g^ g^^,^ ^ ^ ' Ac" Aa
Décrivons une circonférence passant par les points c, c\ a et désignons par P' le point où elle coupe le côté AB; désignons de même par P le point d'intersection du côté AC avec une circonférence contenant les points c", a\ a". On a
Aa'.Aa". Ac.Ac' ^p,
c" Aa
Introduisant AP et AP' dans la relation (7), il vient
(8) AP.B6.Bè'.B^".Cc.Cc'.Cc" = AP'.C&.C6'.Cè".Bfl'.B«'.B«".
Supposons que le triangle ABÇ soit déformé de manière que c", a\ a" soient confondus en un seul point 0 et que a, c', C soient aussi le même point 0 ; les côtés AB et AC sont alors les tangentes en 0 aux deux branches de la courbe, et les circonférences c"a'a" et ac'c sont osculatrices de la courbe en 0 (*).
La relation (8) devient
(9) ■ OP.B^>.Bè'.BZ'".CÔ' = OP'.Cè.Cè'.C^'".BÔ'.
Désignons par p le rayon de courbure de la branche c"a'a" et par f/ le rayon de courbure au même point de l'autre branche ; on a
0P=2psinC0B, 0P' = 2p'sinC0B,
dôu ÔP'^p'"
Portant cette valeur dans la relation (9), on en tire
P OC .B^.Bé'.Bô"
(*) Nous ne ferons pas une nouvelle figure. P et P' représentent maintenant les intersections des côtés OC et OB avec les cercles osculateurs de la courbe en O.
APPLIQUÉE AUX COUBBES GÉOMÉTRIQUES. i65
On peut écrire cette expression sous une autre forme : joignons 0 aux points b, b', b"; appelons p, p', p" les angles de ces droites avec OB, et 7, 7', 7" les angles que font les mêmes droites avec OC. Il est facile de voir qu'on a alors
p sin 7 . sin 7' . sin 7"
p' sin p. sin p'. sin ^''
Lorsque la droite BC est tout entière à l'infini, cette formule subsiste et l'on a le rapport des rayons de courbure au point double en fonction des sinus des angles que font les tangentes en ce point avec les directions asymptotiques. On peut du reste donner à ce rapport des formes très-diverses.
Lorsque une courbe du 3* ordre est à la fois inscrite et circonscrite à un triangle ABC, le produit des rayons de courbure correspondant aux sommets A, B, C est égal au cube du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
Considérons [Jig. 100) un triangle ABC et une courbe du 3' ordre.
Fig. 100.
Le théorème de Carnot nous donne une relation que nous écrivons tout de suite ainsi :
ka.ka' B^>.B^>' Ce. Ce' A^'.Ac.C^'',C^>.B«'.Ba ^'^ Ac" ^ Ba" ^ Ce" ~ Afl".Bi".Cc"
Par les points o, c\ a' faisons passer une circonférence qui coupe AC eu Q; de même la circonférence qui contient b', a", b coupe AB en Q' et la circonférence qui contient b\ c. c\ coupe CB en Q". On a
. Afl.Ar/' ^b.W „„ Ce. Ce'
AQ=-^^, BQ=.-g^, CQ = -^^.
i66 IP CAHffiR. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES, ETC.
Introduisant AQ, BQ', CQ" dans la relation (i), il vient
.^ ..^, r^r^n Ac'.Ac.C^'.C^.Bfl'.Brt
(.) AQxBQ'xCQ"= A.".-B6".Cc"
Supposons maintenant que le triangle ABC soit à la fois inscrit et circonscrit, -nos circonférences sont alors osculatrices. En désignant toujours par Q, Q', Q" les points de rencontre de ces circonférences avec les côtés du triangle et supprimant les facteurs communs, la relation (2) devient-
(3) AQxBQ'xCQ" = ABxBCxCA.
Appelons p, p', p" les rayons de courbure correspondant aux sommets A, B, C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC :
AQ = '2psinA, BQ' = ap'sinB, CQ" = 2p"sinC.
On a donc
8pp'p"sinA.sinB.sinC = AB.BC.CA,
BCxCAxAB .,
d ou p.p. '' — 7T—- i ^~n ^~~n — " •
' • 8sinA.smB.smC
