II. I I

i62 IF CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

que l'on peut écrire

Cb"

Décrivons une circonférence passant par les points a', a", b', et dési gnons par Q le point où elle coupe le côté BC; désignons de même par

Fig-99-

Q' le point d'intersection du même côté BC avec une circonférence contenant les trois points <■', r, b". On a alors

BQ--g^, CQ-^p-

Introduisant BQ et CQ' dans la relation (2), il vient

(3) Aa.Aa' .Aa" .Bb.Bb" .CQ' .Ce" ^ Ac.Ac' .Ac" .Cb.Cb' .Bn.BQ.

Nous allons transformer cette relation de manière à faire disparaître quelques-uns des segments qui ne sont pas comptés sur le côté BC. Pour cela considérons le triangle ABC coupé par la transversale ("aD;

on a

A«.BD.C6" = Ac".CD.B^/,

d'où

Aa.Cc" CD

Ac".B«~BD' substituant dans la relation (3), il vient

(4) CD.Ar/.A«".B/;.B//'.CQ'=Af.Ac'.BD.GZ'.C^'.BQ.

Supposons actuellement qu'on déforme le triangle ABC de manière que «', n" et b' se confondent en un seul point B de la courbe, et que c', c

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i63

et b" se confondent de même en un point C de la courbe; le côté AB devient alors la tangente dont le point de contact est B, AC la tangente en C et les deux circonférences a'a"b'Q et c'cù"Q' deviennent les cercles osculateurs en B et C (*).

La relation (4), en supprimant les facteurs C// et B^" qui deviennent égaux, donne alors

(5) CD.ÀB\Bb.CQ' = ÂC.BD.Cb.BQ.

Désignons par o le rayon de courbure de la courbe en B et p' le rayon de courbure en C :

BQ = 2p.sinABC, CQ'= ap'.sinBCA, d'où

BQp^ sinABCp AC CQ'~p'^sinBCA~p*AB*

Portant cette valeur dans la relation (4), on en tire

p Ib'.cd.b^