II. \'i

aux lignes ; car, si l'axe reciiligne considéré avait, par exemple, accompli une demi-révolution dans l'espace par rapport à sa position première, il est visible que le sens de droite sera devenu celui de gauche et inversement, sans même que la position relative des points ait changé. Alors donc, comme dans toutes les circonstances où il pourrait y avoir incertitude sur le véritable sens des signes et des distances, on fera bien de recourir à des repères extérieurs tels que ceux A et B (fig. loi à io6), situés à une distance assez grande des points du système, pour indiquer nettement, l'un le côté droit, l'autre le côté gauche sur l'axe mobile, et qui permissent en même temps de suivre, au moins par la pensée, le sens de son propre mouvement de rotation et de translation ( * ).

15. La difficulté relative au signe de la sécante des arcs supérieurs à 200 degrés, si obscurément discutée et résolue par MM. Carnot et Gaudin, provient essentiellement d'une confusion de cette espèce, qui ne saurait se produire dans le système des axes coordonnés de notre illustre Descartes : là, en effet, l'origine et le point fictif vers l'infini à droite, servent de repères naturels aux autres points et aux dislances variables comptées, de l'origine commune, sur ces axes respectifs censés immobiles. Néanmoins, comme ces distances et ces points ne sont (|ue la représentation, la projection géométrique de ceux de la figure variable à considérer dans l'espace, les mêmes difficultés se reproduisent dans l'interprétation du résultat final des calculs algébriques sur la figure transformée ou corréla-

{*) En généralisant cette considération et l'étendant à des lignes et ;i des surfaces quelconques mobiles dans l'espace absolu, on conçoit qu'il se passe ici des choses analogues à celles qui ont lieu pour les mouvements relatifs des systèmes invariables, sinon quant au temps, aux vitesses, aux accélérations totales ou résultantes, du moins quant aux déplacements mutuels des parties et des points dont les distances peuvent d'ailleurs varier suivant des lois quelconques. Ces considérations se rattachent, comme on voit, à ce qu'on nomme, en général, la transformation des coordonnées dans l'espace absolu ou relatif, problème dont nos grands géomètres algébristes nous ont déjà offert de belles solutions, sans néanmoins soulever entièrement le voile et résoudre les difficultés qui tiennent à la loi de continuité et des signes de positioa.

live, ainsi que nous en verrons plus lard des exemples remarquables. C'est pourquoi il me semble utile d'insister ici encore sur divers éclaircissements.

16. Pour suivre avec une entière facilité la loi de là mutation des signes dans les figures corrélatives d'un système quelconque de points en ligne droite, on pourra écrire pour la figure type ou primitive, à la suite les unes des autres, les lettres qui désignent le système des points variables à considérer dans l'ordre même où ils se présentent en cheminant de la gauche vers la droite, c'est-à-dire dans le sens supposé positif et progressif à priori : soit {fig: 106, p. 176) dans l'ordre

Alors si, pour une nouvelle position du système, l'ordre est devenu

ce sera une preuve évidente que les dislances ôc?, be, cd, ce, de, par exemple, ont changé à la fois de sens et de signe en passant par zéro ou par l'infini, c'est-à-dire, en d'autres termes, sont devenues inverses ou rétrogrades, tandis que les distances ab, ac, ad, ae, bc sont restées directes dans l'ordre progressif, non-seulement pour toutes les relations de positions linéaires primitives, mais aussi pour toutes celles qui en seraient déduites algébriquement.

Pareille chose aura lieu encore pour des relations particulières quelconques mais non identiques, lorsque, d'après les données de la figure et les conditions du problème, elles seront soumises à la loi de continuité et des signes de position : telles sont, par exemple, les relations qui définissent, sur une droite fixe, la proportion ou moyenne harmonique selon Platon et Pappus (*), ainsi que la plupart des relations qui nous

(*) Serait-il vrai qu'Euclide et Apollonius, et à leur suite Legendre dans sa Géométrie élémentaire, se fussent trompés dans leurs écrits sur cette relation si élégante et si simple, en la privant de tout signe symbolique et conventionnel? Je le pense d'autant moins que la Géométrie analytique, celle des coordonnées de Descartes, ne saurait justifier en aucune

i8o IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

ont occupés dans le II* Cahier de ce volume, et qui, d'après ce qu'on a vu, prennent leur source et leur point d'appui nécessaire dans les propriétés mêmes des racines ou des coefficients des équations algébriques.

17. Mais si, au contraire, les relations métriques données à priori et étrangères à celles qui définissent la position respective des points ci-dessus d'une manière indépendante de toute convention particulière, si ces relations métriques et algébriques ne sont point, par elles-mêmes ou par les hypothèses du problème, assujetties à la loi de continuité et des signes de position, leur combinaison avec les premières ne pourra évidemment^ conduire à des résultats soumis à cette même loi, et par conséquent d'une interprétation géométrique facile; notamment si, parmi ces équations, il en existe une seule de ces formes toutes géométriques,

k.cd = ah , cd= — „i ah

ou, algébriquement, de celles-ci

A étant une constante linéaire, xz=cd, f = ab des indéterminées ou variables arbitraires; dans des cas pareils, disonsnous, l'interprétation des résultats de l'élimination ou des transformations algébriques pourra offrir des difficultés véritables, des paradoxes même dont on verra, dans la suite de cet écrit, divers exemples choisis parmi ceux qui ont déjà exercé la sagacité des géomètres, et qui se reproduisent aussi bien en

manière et par aucun artifice de calcul ou de raisonnement, cette introduction à priori du signe négatif dans une égalité à deux termes; introduction inopportune, et qui ne tend à rien moins qu'à obscurcir, oblitérer même, le sens géométrique des adeptes, en s'adressent exclusivement à leurs yeux et à leur mémoire; méthode permise seulement dans les basses classes de nos institutions scientifiques, dans les écoles commerciales et industrielles, où il s'agit moins d'exercer le jugement que d'enseigner des faits et des vérités pratiques.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i8i

Géométrie, en Mécanique, en Physique, en Astronomie, etc., qu'en Algèbre ou en Analyse pure.

18. La plus simple de toutes les relations métriques qui peuvent appartenir à une série de points a, b, c, d, e, situés en ligne droite, et dont les déplacements mutuels restent soumis à la continuité, se rapporte, sans contredit, aux relations d'abord examinées qui expriment la somme algébrique linéaire des distances consécutives entre ces points. Or, d'après ce qui précède, on ne sera jamais embarrassé de lire et d'énoncer géométriquement une telle somme pour toutes les figures corrélatives et dans toutes les situations possibles des points, en cheminant, je suppose, dans le sens positif de gauche à droite. Mais, pour éviter la faligbte de l'esprit, abréger, généraliser tout à la fois le discours et l'écriture, on peut considérer géométriquement cette somme comme représentant la projection orthogonale ou oblique du contour d'un certain polygone ouvert ou fermé, plan ou gauche, sur l'axe dont il s'agit, et le long duquel un mobile cheminerait continûment dans le sens positif ou progressif primitivement adopté, en allant de l'une à l'autre des extrémités de ce polygone.

19. On a un célèbre exemple d'une telle considération géométrique, dans la composition des forces ou des vitesses appliquées à un même point, ici représentées par des droites, des chemins respectivement parallèles aux côtés du polygone et dirigés dans le même sens. De pareilles considérations, trèssimples, sont en effet généralement familières aux intelligences tant soit peu exercées en Géométrie: les premiers linéaments, si je ne me trompe, en sont dus à Varignon ( Nouvelle Mécanique, i685), esprit philosophique et généralisateur trop oublié de nos jours, et dont les aperitus géométriques, nés d'un théorème célèbre de Leibnitz relatif à la résultante et au centre de gravité des extrémités de forces appliquées à un même point, sont, en quelque sorte, complétés par les études de MM. Lhuilier (de Genève) et Carnot, relatives à la projection orthogonale des polygones et des polyèdres sur un axe rectiligne ou un plan fixe arbitraires; projections dans la dernière desquelles les aires des faces polyédrales correspondent aux moments mêmes des forces concourantes d'abord mentionnées.

i82 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

20. Les additions et soustractions indiquées par les signes -h el — dans les sommes géométriques à considérer en projection sur un axe fixe rectiligne, peuvent d'ailleurs s'opérer suivant les règles algébriques ordinaires, c'est-à-dire dans un ordre tout à fait arbitraire, comme la construction même des côtés successifs du polygone des forces, des chemins ou droites convergentes de la figure (*).

11 y a plus, ces projections, s'opérant par des ordonnées parallèles à un second axe fixe quelconque, sur lequel, à son tour, le polygone peut être projeté par d'autres parallèles au premier axe, il en résulte un système de coordonnées tout à fait analogue à celui de Descartes, et auquel on peut appliquer des remarques pareilles à celles des n°' 14 et suiv., relatives aux lignes et distances du plan ou de l'espace rapportées à trois axes coordonnés fixes arbitraires issus d'un même point d'origine. Quant aux ordonnées, aux appliquées parallèles des divers sommets du polygone et des extrémités des chemins convergents, bien qu'elles soient, à d'autres égards, indépendantes entre elles et distinctes dans leurs positions respectives, il n'en est pas moins vrai qu'elles sont soumises

{*) Dans des leçons du soir faites, en 1827, aux ouvriers messins, pendant une convalescence longue et pénible, j'avais pris pour base de la Mécanique la notion, pour ainsi dire intuitive, de la composition des chemins issus d'un même point et des projections du polygone qui sert à construire le dernier côté ou chemin résultant. Ainsi, par exemple, afin de démontrer que, pour tout déplacement virtuel, fini ou infiniment petit, du point commun d'origine de ces chemins représentant autant de forces concourantes, la somme des moments ou des travaux virtuels de ces forces est égale au moment ou au travad virtuel de leur résidtante, il suffisait de multiplier le déplacement arbitraire du point général d'application dont il s'agit par la projection de la résultante géométrique, c'està-dire par la somme algébrique des projections des forces sur la direction indéfinie du même déplacement. Or, cette proposition capitale conduit, par une voie toujours simple et intuitive, à la composition des travaux et des moments des forces en général. ( I" Cahier lithographie du Cours de Mécanique industrielle ; édition de 1827, rédigée par le capitaine du génie Gosselin, d'après des leçons orales qui n'étaient qu'une rapide et simple émanation de celles que^ à partir de janvier iSaS, j'avais été chargé de professer aux élèves de l'Érole d'applicalion de Metz.)

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. \&i

aux mêmes lois de signes que leurs projections sur chaque axe respectif.

Ainsi les considérations précédemment exposées (17) pour les sommes algébriques des segments de points rangés sur une même droite leur sont directement applicables, et les principes de continuité et de corrélation relatifs aux signes dans les équations algébriques transformées, n'ont lieu qu'autant qu'il n'existe aucune relation métrique exprimant des conditions étrangères à la loi des signes de position et à la génération continue des grandeurs que l'on considère.

A l'égard des lignes polygonales en particulier et des chemins convergents qu'elles représentent, il est à remarquer que ces chemins ne comportent par eux-mêmes aucun signe algébrique ou géométrique de position, s'ils ne dérivent d'un mode unique de génération qui, pour ainsi dire, se transporte hypothéliquement et d'une manière indépendante, d'une direction rectiligne à celle qui lui est contiguë par voie de continuité; tout comme il arrive, par exemple, pour les attractions planétaires, la chute des graves, etc., ou, simplement, pour les sécantes du cercle, dont les signes de position ne peuvent être que relatifs à la direction tournante du rayon (15), signes non convenus à l'avance ni imposables à priori.

Seulement, comme, dans le cas de chemins convergeant ou rayonnant autour d'un même point et projetés sur un axe fixe, le rapport numérique de chaque ordonnée au chemin correspondant n'est autre que ce qu'on nomme en Trigonométrie, selon les cas, le siniix et le cosinus de l'angle formé par la direction propre du chemin avec l'axe fixe dont il s'agit, il en résulte que ces lignes trigonoraétriques, ces ordonnées ou projetantes suivent encore la loi des 'signes de position, à l'exclusion des distances elles-mêmes ou des chemins projetés (*).

21. En terminant l'examen intéressant qui concerne les sommes algébriques des segments relatifs aux points rangés en

(*) J'ai joint ces derniers développements aux considérations géométriques de l'ancien texte, ici beaucoup trop laconique eu égard à leur généralité et à leur importance dans les applications en Géométrie et en Mécanique, et cela avec d'autant plus de motifs qu'ils sont entièrement d'accord, si je ne me trompe, avec les opinions généralement admises à notre époque sur la loi des signes des distances, selon qu'elles sont obliques les unes par rapport aux autres, ou qu'étant parallèles, l'intervention de lignes trigonoraétriques auxiliaires cesse d'être indispensable ; car on peut alors recourir à la projection ordinaire des distances sur un axe fixé, lui-même parallèle à ces ordonnées, en se laissant d'ailleurs guider par les considérations du texte, relatives à la génération continue des lignes delà ligure dans un sens déterminé, aux lois du calcul algébrique et a la projection polygonale qui tend à supprimer tout vague et arbitraire dans les applications à chaque cas particulier.

i84 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

ligne droite, je ne veux point passer sous silence un fait trèsimportant, c'est que les relations d'identité géométriques et linéaires auxquelles elles se rapportent subsistent, à cause de leur grande généralité, dans les perspectives de cette droite sur un plan ou un axe arbitraire, et qu'.elles jouissent ainsi, quoique sous une autre forme, du caractère qui appartient à toutes les relations entre segments formés sur des transversales reciilignes quelconques, qui nous ont occupés dans le 11^ Cahier de ce volume. Or, je crois devoir prévenir, dès à présent, que les relations métriques de ce genre, même celles qui concernent la simple juxtaposition des distances rangées sur une droite, peuvent être facilement transformées en relations directement projectives par des opérations géométriques très-simples, pour ainsi dire évidentes (*).

(*) Voir l'observation placée au bas de la page 69, ainsi que les Notes sur quelques principes généraux de transformation des relations métriques des figures, insérées par moi, dans la Correspondance mathématiciue et physique de Bruxelles, l.^W.^ p. 118, i4i, i43, 146, 149, i5i, i53, 167, art. I à VIII (octobre i83i) ; mais plus particulièrement ce dernier article, p. 157,. dans lequel les identités géométriques relatives aux sommes de distances mutuelles de points en ligne droite et à celle de produits similaires et homogènes sont rendues projectives coniquemcnt, en y introduisant en facteurs les segments relatifs au point à l'infini de l'axe des distances. L'intervention de ce point, considéré comme origine d'abscisses ou segments, et qui prend en projection sur le nouvel axe une position quelconque />», conduit à des transformées d'autant plus remarquables, que leurs différents termes ou produits peuvent être mis sous la forme

pb pa) \pd pc) \pj pe

où il n'entre que des réciproques de segments comptés de l'origine commune p, et analogues, par conséquent, aux réciproques dont on s'est occupé dans le précédent Cahier; or cela constitue un autre mode de transformation souvent mis à profit depuis la publication de mon Mémoire de i83i, et qui, dans les endroits cités de la Correspondance de Bruxelles^ se trouve appliqué à des identités géométriques dignes d'intérêt.

DE POSfriON EN GÉOMÉTRIE. i85

Examen de la loi des signes de position et du principe de continuité dans les relations métriques des figures de la Géométrie élémentaire.

22. D'après les remarques faites, en général (n"* 1 et suivants), sur la correspondance intime qui existe entre les arcs, les angles et les distances, il est évident que ce qui a été dit des sommes algébriques de segments restera applicable aux sommes d'arcs sur un même cercle ou d'angles contigus autour d'un même point, si ce n'est qu'ils ne peuvent devenir inverses en passant par l'infini, mais seulement en passant par zéro ou un multiple quelconque de 4^o degrés; néanmoins il n'y a pas lieu alors de construire directement les sommes dont il s'agit par la projection ou le tracé du polygone des chemins rectilignes. Enfin il ne faut, en aucun cas, perdre de vue (n"^ 14 et suiv.) le renversement possible de sens du au déplacement relatif et au transport des lignes dans l'espace toujours censé fixe et absolu.

23. Après les relations fondamentales qui appartiennent à un système de points rangés sur une droite ou un cercle, et à des droites rayonnantes autour d'un même point, viennent successivement les diverses propriétés élémentaires de la Géométrie plane, qui servent de base essentielle à toutes les autres:

1° La propriété des angles d'un triangle ou, plus généralement, des angles formés deux à deux par trois droites qui se coupent à des distances finies ou infinies;

2" La propriété des triangles semblables et des lignes proportionnelles ;

3° La mesure des angles par les arcs dans les figures inscrites à la circonférence du cercle ;

4° La mesure des aires triangulaires.

Les autres propriétés métriques des figures, même celles des aires, ne sont que des corollaires de celles-là et de celles déjà examinées pour les simples distances. C'est ce qu'on vérifiera sur quelques exemples exposés ci-après.

Nous allons préalablement et successivement examiner chacune des relations élémentaires, afin de constater qu'elles

i86 III" CAHIER. - SUR LA Lof DES SIGNES

subsislenl et s'éiendenl à toutes les positions possibles des parties qu'elles concernent, quand on tient compte des valeurs et des signes de position, par voie de continuité.

24. Soit abc [Jig. 107) un triangle rectiligne quelconque servant de type primitif, et dans lequel les angles sont tous mesurés intérieurement.

On a, comme on sait, d'après les notations proposées par M. Carnot,

abc + ocb + bac = 200" ou b + c -\- a =^ 200 .

Cela posé, je dis que, quel que soit le déplacement relatif de la direction indéfinie des côtés de ce triangle, l'équation ci-dessus lui demeurera toujours applicable en ayant égard aux signes de position ou de corrélation, selon la dénomination adoptée par le môme auteur.

Supposons, par exemple [fig. 107), que le côté ac prenne la direction ac] le triangle abc devenant abc\ l'angle bnc passera seul par zéro en rétrogradant vers la gauche, et sera seul inverse ou négatif, tandis que, des deux autres angles, l'un acb se sera changé en l'angle «t'B extérieur àac'b, et l'autre abc dans son propre supplément abB ou abc' à '200 degrés; de sorte qu'ayant pour le triangle ainsi transformé

/X /\ yCy

n= — bac', c =z 200° — ac'b, b = 200° — abc\

il vient pour ce triangle, toutes réductions faites,

bac' -\- ac'b -\- abc' = 200°.

en remplaçant les anciens angles par leurs valeurs corrélatives ci-dessus; ce qui confirme à la fois la règle des signes et la généralité du théorème fondamental ; car tous les autres changements que pourrait éprouver le triangle type ou la position de ses sommets conduiraient à des vérifications analogues du principe de continuité (*).

(*) Considérez, par exemple, le cas où le sommet a passe graduellement audessous de la base opposée hc, les angles intérieurs en i et c deviendraient simplement inverses ou négatils, tandis que l'angle pareil on a, se changerait en un angle extérieur pour lo nouveau triangle. Donc, en substituant algébrique-

On peut d'ailleurs démontrer la chose d'un seul coup, en partant d'un théorème de Géométrie, plus fondamental encore, tiré de la théorie des parallèles. Soit abc [Jig. 108) un triangle quelconque; par l'un de ses sommets a concevez une parallèle h'c' au côté opposé bc\ les angles externes bac\

Fig. 108.

i-ab' étant respectivement égaux à leurs alternes-internes abc et acb intérieurs au triangle abc, on aura identiquement, n'importe la grandeur et le signe des angles du triangle corrélatif,

bac' + bac -\- cab' = 200",

relation qui, étant entre les angles formés autour d'un même point, est en effet applicable (22) à toutes les positions de leurs côtés, en tenant compte de la valeur algébrique ou de position des angles de la figure dérivée, que l'on ne doit jamais perdre de vue, dans le passage gradué de ces angles par zéro, etc.

25. Les diverses autres relations d'angles pouvant se déduire de la précédente, puisque les théorèmes élémentaires relatifs à la somme des angles adjacents, alternes-internes ou correspondants, ont lieu pour tous les cas possibles (*), ces relations restent soumises à la loi de continuité des signes et des règles algébriques, n'importe la situation du triangle.

ment ces trois derniers angles aux anciens, dans l'équation type a-i-fe-f-c=: 200°, puis, remplaçant l'angle extérieur par sa valeur, supplément à 400 degrés de l'angle intérieur correspondant du nouveau triangle, on retomberait encore sur le théorème ordinaire de la Géométrie. {Note de 1816.)

(*) En effet, quelle que soit [fig- 108) la position de bc par rapporta ab, on aura toujours ang.âic = 6flc'. Que le, par exemple, devienne by en traversant la position de 6a, sa parallèle ac', menée par a, étant a-/, l'angle abc, changé en aby, sera devenu inverse et négatif; mais il en sera évidemment ainsi de son correspondant alterne bay, qui aura dû aussi coïncider avec «6; donc on aura, algébriquement et identiquement.

— aby ::=

bay'.

aby

ba-

<y=^uay ,

sans signes de corrélation; inutiles ici puisqu'ils disparaissent comme dans toutes les relations à deux termes de la Géométrie.

i88 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Pareillement tout polygone rectiligne étant partageable en triangles de même sommet, d'ailleurs arbitraire, par lequel on ferait passer un axe invariable comme ci-dessus, les relations d'angles qui lui appartiennent s'en déduiront, et seront applicables également aux diverses grandeurs ou situations des figures qui eu dérivent par voie de continuité. Mais il sera plus général et plus simple de mener directement, par ce point ou sommet commun arbitraire, des droites égales, parallèles aux côtés successifs du polygone et dirigées dans le sens progressif (19).

26. Revenons un instant au cas élémentaire du triangle abc [fig. 107), dont la base bc et l'angle au sommet bnc deviennent inverses et négatifs (24) pour le triangle transformé ah''c' , et remarquons qu'il en est ainsi encore de son aire comparée à celle du triangle primitif abc^ mesurée par -bc.ap; le facteur ap étant la hauteur commune aux deux

triangles. Rappelons, en outre, que, d'après les définitions et conventions généralement admises, on a, dans le triangle rectangle acp,

ap . ^^ cp /^ pa

-J- — sm.«f/>, -^ = COS. «Ci», - — = tang.«c/?, etc.,

ac ■* eu ' pc

relations purement numériques dont on ramène le calcul aux tables bien connues, et qui donnent aussi pour l'aire du triangle abc,

-bc.ap = -sm.acp.ac.be (*).

27. Pour généraliser et élucider encore mieux la question relative aux signes de corrélation, supposons {fig. 109) que le triangle abc ait pris,

(") Ces formules et équations à deux termes, ici purement géométriques, ne comportent aucun signe, ou plutôt les auxiliaires trigonométriques n'y ont pour signes que ceux des rapports mêmes qui les définissent dans les figures corrélatives, dérivées d'un mode de génération continue et convenue. Voilà ce qu'il est nécessaire de répéter aujourd'hui, où l'on s'est familiarisé avec l'emploi, à priori, des notations et conventions de la Trigonométrie analytique. Ainsi, par exemple, si l'on suppose l'angle en c obtus dans le triangle type ahc, la perpendiculaire ap tombant en dehors de la base bc, l'angle acp, au lieu de rester égal à l'angle intérieur acb de ce triangle, se confond avec son supplément extérieur dont le sinus reste positif.

Il n'en serait plus de même si, raisonnant algébriquement, on voulait conserver l'angle intérieur ac6 ou c dans les équations ci-dessus; alors il conviendrait d'avoir égard aux règles des signes trigonométriques et de positions relatives, qui rendant simultanément sine et cp inverses ou négatifs quand l'angle c est obtus, tendent par là encore (note de la p. 1S7), à faire disparaître ces signes dans les équations à doux termes dont il s'agit.

(hans le système dérivé, la position ren\ersée b'ac\ correspondante à l'angle opposé au sommet bac du triangle primitif.

Cela posé, j'observe que, dans la translation continue de bc en b'c\ les côtés ab', ac\ bc' sont devenus tous les trois inverses en passant par le sommet commun a, où, s'évanouissant simultanément, ils changent aussi de signe dans les relations métriques qui leur correspondent, ce qui sem-

blerait, à première vue, devoir avoir lieu également pour l'angle b' ac' opposé par le sommet à bac, de môme que pour l'aire du triangle ab'c' qui, dépendant du rectangle de deux de ses dimensions linéaires devenues inverses et négatives simultanément, reste cependant positive; car, par exemple, on a, pour l'expression de cette aire,

-sinrt ( — nb'] (— ac') = -sma.ab' .ac':

résultat auquel on arrive aussi par la considération de la mesure purement géométrique de la surface des triangles, puisque la hauteur c' p', entre autres, est devenue aussi inverse et négative par rapport à sa parallèle cp.

Quant aux angles mêmes du triangle transformé, leurs grandeurs et leurs signes algébriques de corrélation dépendent, comme on l'a vu (24), de la manière même dont on suppose que s'est opéré le déplacement de bc en b'c'\ ce que l'on reconnaîtra toujours par les moyens précédemment indiqués, qui deviennent d'ailleurs superflus s'il s'agit simplement des angles intérieurs, dont la somme n'est point susceptible de changements de signes de position.

28. Les résultats concernant les triangles abc, ab'c ou abc' des^g. 109 et 108 seraient évidemment tout autres, si l'on supposait, comme dans

jgo III" CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

^âjig. 1 lo ci-dessous, que la direction indéfinie de la hasebc du triangle primitif fût passée en //<•', à gauche du sommet a^ dans le supplément h' ne' de l'angle i^ac; le sommet h' restant du côté de h sur ab^ et ab' par conséquent direct ou positif, tandis que ac' est devenu inverse en passant

par zéro en «, ou par Tinfini au moment où sa direction est rendue parallèle à celle de ac ; enfin b'c' devenant lui-même inverse en passant par zéro en a, ou par l'infini si b'c', dans sa rotation, traverse la position de parallélisme par rapport à ce'. Dans ces circonstances, d'ailleurs, les angles en rt et f du triangle primitif se sont changés, l'un dans le supplément bac' de bac, l'autre dans le supplément extérieur de l'angle en c'du triangle ab'c'. Quant à l'angle en b, changé en l'angle intérieur ob'c de ce dernier triangle, il est devenu inverse en passant par zéro. Enfin il en est ainsi encore de l'aire du triangle nb'c' corrélatif de abc; circonstances dont on se rendrait plus aisément compte en imaginant, comme au n° 24, une parallèle passant ici par le sommet b. D'après cela, rien n'est plus facile que de prévoir à l'avance les mutations de signes et de grandeurs qui pourront s'effectuer par le passage graduel de la figure (rkà la figure ab'c', dans les relations métriques et les formules supposées obtenues pour la première.

Par exemple, on aurait pour le système transformé

Surf.^//r' = - s'ma.a'b' {—ac') = - an' [— bc').

sinfl étant essentiellement positif, ainsi que ab par hypothèse, et la hauteur ap' comme la hauteur ap du triangle primitif, qui ont des directions distinctes non parallèles, restant sans signes de corrélation (20), etc. (*).

(* ) Ce sont là, d'ailleurs, des formules de substitution, de transformation de coordonnées purement algébriques en quelque sorte et dans lesquelles Siu'î. ah'c' esl une inconnue à déterminer par l'expression du second membre, en valeur et en signe; là en effet, tout antagonisme doit forcément disparaître au point de vue géométrique, puisque le triangle lui-même s'évanouit avec ses deux côtés

29. Passons maintenant aux lignes proportionnelles et à la similitude

des triangles.

Soit dh' [Jig. m) une parallèle à la base ab d'un triangle snb: on

démontre en Géométrie, pour la position actuelle, l'exactitude rigoureuse

des proportions ou égalités de rapports,

sa

sa

ab a'b'

sans signes de position. Mais si, dans le mouvement des lignes de la figure, la parallèle a' b' passe de la droite à la gauche du sommet .v en ap, les côtés ou segments .va. .v^, a^ changent à la fois de sens et de signe par rapport à leurs homologues, parce que a^ aura passé par le sommet v

ou par l'infini du plan, mais «a, b'^ conserveront leur sens primitif de «'«', hb', ou, selon l'expression admise par M. Carnot, ils resteront directs. Donc, en remplaçant, dans les équations ci-dessus, les anciens segments ou côtés par les nouveaux avec leurs signes, ces signes allant par couple dans chaque rapport se détruiront algébriquement; ce qui est conforme aux données de la Géométrie élémentaire, qui ne fait ici aucune acception des changements de position et de grandeur des côtés ou des angles ni, par conséquent, des signes; car ils n'entrent pour rien dans les démonstrations, de môme qu'ils se neutralisent algébriquement.

Les mêmes circonstances arrivent généralement pour les triangles semblables, considérés dans des situations arbitraires, mais assujettis à des conditions analogues; car des longueurs quelconques ne peuvent changer

variables ac', bc' .Carnot (Géométrie de position. Dissertations préliminaires, p. xvj) n'hésite pas à considérer comme fausses les équations à deux termes

cos(7r-t-a) = — sin/i, sin (27i-<-a; = — sino,

qui, ajoute-t-il, « ne peuv£nt être employées que comme de simples formes » algébriques, propres, parla même qu'elles sont fausses, à redresser une pre-

» mière erreur commise; elles la redressent en eftet dans certains cas Os

» expressions, telles que — sinn. sont ce que je nomme des valeurs de corréla- » lion, etc. »

de signes et de sens ou devenir proprement inverses que si elles appartiennent à la même ligne droite ou à des directions parallèles (20). D'autre part, toutes les relations métriques déduites algébriquement de celles qu'on obtient par des considérations géométriques sont nécessairement exactes et rigoureuses mathématiquement.

30. Soit, comme exemple particulier, abc [Jig. na) un triangle rectangle en b\ du sommet b soit abaissée sur l'hypoténuse r/r, la perpendi-

culaire bd\ les trois triangles abc, abd, bdc seront respectivement semblables, et l'on aura, en les comparant deux à deux.

ab ad

bd

bc cd bd

ab ad bd

ac ab

^Tc'

ac ~ bc nb^

bc bd cd

on, ce qui, revient au même,

«/;' = ac . ad, ab .bc = ac . bd, ad. bc = ab. bd,

bc = ac.cd, ab.bc = ac.bd, cd.ab = bc.bd,

bd = ad. cil.

En vertu de ce qui précède, ces relations appartiennent tout aussi bien aux triangles rectangles «èc', «^'c" construits sous des conditions entièrement analogues, et de plus, comme on a l'identité géométrique

ac = ad -+- cd

qui ne peut changer de signe, puisque le pied de la perpendiculaire bd sur ac, tombe nécessairement entre a et c, les 'combinaisons algébriques de ces diverses équations, par exemple celles-ci

ab -f- bc = ac.ad -\- ac.cd = ac {ad-{- cd) = ac ,

sont applicables sans signes de position, dans toutes les hypothèses possibles relatives à la direction et à la grandeur de ab et ab' {*).

31. Il est assez remarquable, d'ailleurs, que, dans toutes les relations élémentaires à deux termes jusqu'ici examinées, les changements de position n'influent en aucune manière sur les signes explicites; cela lient, comme on l'a vu, à ce qu'un facteur quelconque dans ces relations purement géométriques ne peut, par suite d'inversion, prendre un signe négatif dans l'un des deux membres, sans qu'il en existe dans l'autre un pareil qui détruise algébriquement le premier. Or c'est là un fait général applicable à toutes les équations géométriques à deux termes, quelle que soit la manière dont elles aient été déduites de relations et de théorèmes élémentaires par voie exacte et rigoureuse.

Les relations à deux termes composés de segments linéaires, tels qu'en présente, en général, la Théorie des Transversales ( IP Cahier), sont évidemment dans le cas dont il s'agit, et c'est ce dont on peut se convaincre directement pour le cas élémentaire des figures rectilignes, en recourant au beau Mémoire de Carnot sur cette matière (1806), dans lequel les équations dont il s'agit se trouvent démontrées par la simple considéra-

C) On se jetterait dans des contradictions et des difficultés inextricables, si l'on prétendait repousser ces conséquences. Ainsi, par exemple, si, à priori, l'on voulait considérer le triangle abc' {fig. 112), comme dérivé ou corrélatif du triangle ahc, parla rotation continue de l'hypoténuse ac autour du sommet a, resté fixe ainsi que le sommet h et la direction de ac', on trouverait que les lignes bc' , d'c', bd' seraient devenues inverses et négatives en passant par zéro en i, limite infranchissable où ac atteint sa valeur minimum, ce qui offre un désaccord complet avec les notions de similitude, puisque ces distances ne sont nullement les homologues de bc, de et bd, et ne peuvent ainsi leur être comparées dans les équations et les proportions ci-dessus. 11 en serait de même évidemment du triangle ab' c'" opposé par le sommet au précédent, et si l'accord subsiste pour les triangles abc, ab'c", cela provient, en réalité, de ce que le premier peut se déduire du second par la simple translation parallèle du côté bc et l'inversion, le changement simultané des signes de toutes les distances homologues.. Enfin, si Ton est conduit à des interprétations faciles et non contradictoires, pour le cas où l'on supposerait le sommet b du triangle type abc placé symétriquement au-dessous de l'hypoténuse ac, cela vient de ce que toutes les longueurs y conservent des signes invariables, sauf bd qui entre deux fois et similairement ou au carré dans les équations à deux termes ci-dessus, dont ainsi le signe négatif disparaît d'après les règles algébriques.

ir. i3

194 ni' CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

tion des théorèmes relatifs à la similitude des triangles et aux lignes proportionnelles. Quant aux relations métriques et géométriques à plusieurs termes, elles peuvent varier dans les signes de position de ces termes, comme le théorème relatif au carré de l'un des côtés d'un triangle oblique, connu des Anciens, en montre un exemple très-simple.

32. D'après la remarque faite d'une manière générale dans le n" 22, le principe de continuité et des signes de position doit s'appliquer à une somme d'arcs de cercle et d'angles au centre, consécutifs ou juxtaposés dans un ordre quelconque, en entendant le mol somme dans le sens algébrique ou géométrique déjà adopté pour le cas de la ligne droite; et, comme les angles inscrits à la circonférence ont pour mesure la moitié des arcs positifs ou négatifs (directs ou rétrogrades) qui les sous-tendent, c'est-à-dire des angles au centre correspondants, il en résulte que les projetantes ou droites rayonnantes qui partent d'un point fixe quelconque de cette circonférence et vont aux extrémités de divers arcs, forment entre elles des angles dont la somme algébrique est assujettie aux mêmes lois. Or cela permet d'étendre le sens de diverses propositions de Géométrie élémentaire, relatives aux angles simples ou aux angles des polygones inscrits à la circonférence de cercle, tout en abrégeant beaucoup les énoncés.

Par exemple, on peut dire que la somme des angles à la circonférence d'un quadrilatère inscrit quelconque, et qui sont opposés l'un à l'autre et par conséquent s'appuient aux mêmes extrémités d'arcs, équivaut à deux droits ou 200 degrés, quelle que soit la forme du quadrilatère ; toute la question, en général, étant de reconnaître la grandeur et le signe de position des arcs ou des angles, ce qui oblige de recourir au procédé indiqué n° 16 ou à celui des tableaux de corrélation de Carnot, chose toujours délicate et pénible. Cela explique comment les Anciens évitaient soigneusement de pareilles généralisations , à cause des difficultés et des discussions épineuses qu'elles amènent, mais dont l'absence, plus apparente que réelle dans l'Analyse moderne, empêche néanmoins de lire clairement dans les formules géométriques qui en dérivent.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. igS