Pour le but particulier et élémentaire que nous clier

(*) La note ci-après justifiera l'addition au texte, de ces rapprochements si naturels fondés sur d'anciens souvenirs; pour être complets, ils devraient s'étendre au système polaire des appliquées parallèles relatives à Vascc des ordonnées dans le système ordinaire, impliquant un second

chons ici à atteindre, il suffit de remarquer que, dès qu'il

est convenu qu'une relation métrique telle que ax = /rS ax = ±lf ou ses analogues tirées d'équations algébriques relatives à un axe fixe AB (Jig. loi, p. 169), impliquent l'existence de longueurs partant d'un même point, mais opposées de sens et de génération continue, il est bien entendu que la même convention peut être admise, en général, pour un axe mobile suivant une loi quelconque (14), et, en particulier, pour une droite S^ pivotant autour d'un point fixe S, et qui emporterait, dans sa rotation continue et uniforme, l'axe AB des abscisses, passant alors par ce pôle S, distinct ou non de l'origine a des abscisses.

Or, le pivotement du rayon vecteur S^' pouvant lui-même s'opérer dans un sens rétrograde, il en résulte une double indétermination de signe, qu'on ne peut éviter qu'en fixant, une fois pour toutes, le sens positif de la rotation de S^'; de sorte que l'origine a, si on la supposait relativement fixe à l'égard du pôle S, parcourrait une circonférence de cercle, tandis que l'extrémité x de l'abscisse variable ax, décrirait ellemême une ligne continue distincte de cette circonférence, et qui, dans l'hypotbèse particulière de la relation ci-dessus

ax = lf'', soit x=zt:/t-, ou plus généralement dans le cas où le point a, situé lui-même à une distance variable du pôle, serait assujetti à demeurer sur une courbe ou surface directrice donnée, parcourrait une autre ligne ou surface jouissant de propriétés étroitement liées à celles de la directrice, et dont les plus simples avaient déjà occupé les Anciens (*).

pôle et la droite qui, l'unissant au premier, représente tous les points à l'infini de ce dernier système. Pour le cas de trois coordonnées, on aurait trois pôles et un plan polaire à considérer, etc.

(*) Cette classe fort étendue comprend non-seulement la condioïde de Nicomède, la cissoïde de Dioclès, la spirale de Conon et d'Archimède, mais un grand nombre d'autres lignes à circonvolutions simples ou multiples, dont je me suis occupé avec une sorte de persévérance exclusive, pendant mon séjour en 1808 et 1809 à l'École Polytechnique, à propos des recherches sur la projection des courbes de séparation d'ombre et de lumière de la vis, mentionnées aux pages 447 à 460 du lorae P'" de ces Jpplicntwm ; courbes dans lesquelles le pôle fixe des rayons vecteurs et

a56 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Mai^ laissant là ces généralités, revenons à l'objet de nos précédentes études relatives à la détermination, à priori, des points appartenant à une droite mobile autour d'un pôle fixe.

90. Les discussions et les exemples qui se rapportent à cette détermination, nous ont naturellement amenés à examiner les problèmes indéterminés de la Géométrie sous le point de vue le plus général possible. Cependant nous étions partis de l'hypothèse, toute particulière, où les objets donnés de la

des appliquées pivotantes est, selon les circonstances, un point singulier multiple, de rebroussement, isolé ou conjugué, etc., dans lequel diverses branches bouclées et leurs appliquées pivotantes, réelles ou imaginaires, se trouvent confondues avec le pôle. Ces faits, que l'Analyse algébrique des coordonnées laisse difficilement et confusément apercevoir, la Géométrie de l'espace, ou, plus spécialement, la projection des courbes à double courbure et des intersections de surfaces, dont on s'occupait beaucoup dans l'École de Monge, en donnait une intuition très-claire, qui ne pouvait d'ailleurs comprendre les points d'inflexion à changement de sens ou de signe de la courbure des lignes, lequel constitue une sorte de rebroussement dans la direction angulaire et l'inclinaison variable des tangentes aux lignes continues.

La discussion des courbes planes à point polaire multiple, par l'examen attentif du mouvement graduel d'un point générateur mobile sur une droite tournant elle-même continûment soit dans un sens, soit dans le sens contraire non moins utile à considérer dans la génération de certaines courbes transcendantes, cette discussion, dis-je, m'avait beaucoup préoccupé dès l'époque de 1808, et sans aucun doute, je dois à ce genre épineux d'exercices les premières notions un peu nettes, que j'aie acquises sur la loi et le principe de continuité dont je me suis depuis occupé d'une manière toute spéciale dans le Cahier ci-après.

Quant à une longue note que j'avais anciennement écrite sur les coordonnées polaires en usage, je me borne à faire remarquer qu'elle avait principalement pour but de montrer qu'en réduisant, comme l'a fait autrefois M. Cauchy et, avant lui, M. Biot [Géométrie analytique), la discussion des équations polaires de l'ellipse et de l'hyperbole, à l'examen des angles de rayons vecteurs compris entre o et 200 degrés, on rompait toute continuité dans la description de ces courbes par le pomt générateur; ce qui arriverait à fortiori pour les lignes à évolutions multiples dont j'ai précédemment parlé, et à l'égard desquelles on doit non-seulement considérer une rotation de 400 degrés du rayon vecteur, mais encore une infinité de rotations pareilles dans le sens positif et négatif.

figure seraient constants de grandeur et de position; mais il est évident, quand bien même les constantes en question seraient supposées mobiles, que rien ne serait changé dans les conséquences relatives aux signes de position. En effet, pour un même système, les quantités constantes, quelles que soient les positions qu'elles prennent, ne pouvant devenir ni nulles ni infinies, conservent nécessairement le même signe implicite, ou ne sauraient devenir inverses par elles-mêmes, de sorte que rien n'est changé dans les conséquences dont il s'agit, les variables auxiliaires qui déterminent chacune des positions du système et les variables réellement inconnues qui s'en déduisent pouvant seules devenir inverses et changer de signe et de sens avec le changement de position. Cependant il peut se faire encore que certaines constantes soient inconnues de situation; dans ce cas on pourrait éprouver des difficultés dans l'interprétation des signes des résultats algébriques; c'est ce qui arriverait en particulier si l'une des constantes était la distance comprise entre deux points inconnus et mobiles. Éclaircissons ceci par un dernier exemple.

91. Problème. — On demande [fig. iSy) « le lieu des points x Qi y n situés deux à deux sur des droites ^D, passant par un pôle ou point

Fig. 187.

» fixe S de la droite immobile et indéfinie AB, ce couple de points x et > » remplissant d'ailleurs les conditions suivantes

xj=sf — sx = K, sa:.sx= sX.sB. »

De ces équations on tire séparément,