Problème. — Soit, par exemple

f[sp = X et Xp=::y) = 0

» une équation algébrique exprimant la relation qui lie [Jig. i36) les » ordonnées xp aux abscisses correspondantes sp, d'une courbe, en pre- » nant les droites fixes Y|^Y', X.vX' pour axes de coordonnées rectangu- » lalres ou obliques, ayant leur intersection commune s pour origine. » Supposons encore que l'on parte de la situation actuelle des coordonnées » variables sp et px, soumises à l'équation algébrique ci- dessus. On de- » mande quel sera le lieu des points x, et comment on pourra le construire » au moyen de cette équation. »

.le donne à sp successivement toutes les valeurs possibles depuis zéro

jusqu'à l'infini. L'équation ci-dessus fournira pour sp des valeurs ou racines correspondantes, parmi lesquelles je n'en considère qu'une seule que je suppose essentiellement réelle et positive , afin d'éviter de prime abord toute difficulté relative à l'interprétation des signes; il est naturel et ra-

tionnellement permis de porter ces valeurs, de p en x, sur les parallèles à l'axe .V Y, et cela au-dessus de l'axe *X, c'est-à-dire dans la région YaX; au moins cela peut-il résulter d'une convention explicitement admise dans l'énoncé de la question ; car on pourrait tout aussi bien convenir de porter les valeurs positives obtenues algébriquement pour px, au-dessous de l'axe X'^X.

On obtiendrait donc ainsi une série de points x situés tous dans l'angle X.vY et correspondants à la série de positions distinctes, mais consécutives, que l'on peut attribuer à /? le long de l'axe iX, en s'écartant d'un mouvement continu de l'origine fixe .v. Or, il y a lieu de se demander tout d'abord : 1° si la succession des points x fournis par une même valeur algébrique de xp, conjuguée à l'abscisse sp, constitue une courbe ou branche de courbe elle-même continue; %" le point/? ayant ainsi parcouru une portion plus ou moins grande de l'axe XX' vers la droite de l'origine .v des abscisses, à quels points x ou à quelle ligne ou branche de courbe pourraient correspondre. les diverses positions de p situées à gauche de l'origine s des abscisses sp.

Ici il y a vraiment lieu d'être fort embarrassé si l'on ne veut pas admettre à priori la règle des signes de position et l'hypothèse de la continuité. Voici comment on s'y prend d'ordinaire pour résoudre ces difficultés, non toutefois sans admettre tacitement cette hypothèse de la continuité. Puisque l'équation /(.sy^, xp) = o exprime, pour la position actuelle des axes ^X, .vY, la relation entre les abscisses et les ordonnées de la courbe, on ne changera rien à la généralité ni à la nature de cette courbe, si on la rapporte à une nouvelle origine s, et à un nouvel axe d'ordonnées H', situés à gauche des précédents, et pour lesquels on a, relativement à chacune des positions de xp,

sp:=SyP — ss^\

substituant donc pour sp cette valeur dans l'équation primitive, rien ne

a48 111'= CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

sera changé et il viendra

Ce raisonnement est jusqu'ici très-exact, c'est-à-dire tant qu'on suppose aux ordonnées px la situation qu'elles ont actuellement d'après l'hypothèse, c'est-à-dire encore tant qu'on suppose p à droite de l'origine .v; mais il cesse de l'être dès que, au contraire, on le prend en p^ à gauche du point s.

En effet, on n'aura plus alors

sp = A\p — si\ , mais bien sp^ = s.s\ — s^p^ ;

de sorte que pour toutes ces positions /^, à gauche de s, on devrait avoir

très-différente de celle qui précède.

Pour admettre que l'équation /(^'i/^ — .v.y,, px) = o pût s'appliquer à la fois aux points p situés à droite de l'origine comme aux points y-», situés à gauche, il faudrait supposer que, dans l'équation primitive f{.fp, px) =o, sp pût recevoir à priori un signe négatif, ce qui revient à admettre la règle des signes de position, soit comme pure convention, soit par analogie avec ce qui se passe dans des courbes déjà connues par leurs propriétés géométriques. En prenant donc pour équation unique du lieu des points x rapportés à la nouvelle origne a- :

on étend véritablement le sens attribué à l'équation primitive; on admet, à priori, qu'elle s'applique à toutes les positions du point y^», moyennant les changements de signes convenus; en un mot, on invoque le principe de continuité et l'analogie. N'est-ce pas effectivement parce que, dans la relation simple

sp = sj) — ss^,

on a déjà observé le changement de signe que doit subir sp quand p passe en /?, à gauche de .v, afin que cette relation demeure applicable géométriquement à la nouvelle position, que l'on est induit à supposer qu'il doit en être ainsi, en général, des abscisses et ordonnées qui entrent dans l'équation f{sp, px) = o de la courbe à construire ou à étudier? Or, cette manière de raisonner n'est nullement acceptable en principe.

Admettons toutefois que la nouvelle équation /(.v,/.» — .va-,, px) = o ne dise ni plus ni moins que la première, et qu'elle s'applique indistinctement aux points y-» et/^,; pour avoir reculé l'origine, on n'aura pas reculé

la difBculté; car la nouvelle équation n'a une signification claire et précise que pour les seuls points situés à droite de l'origine a\ et non pour ceux qui le sont à gauche ou en deçà. A fortiori, en sera-t-il ainsi de l'équation dont on est parti. A la vérité, on peut reculer l'origine a\ à une distance arbitraire de .v, mais, quelle que soit cette distance, on pourra toujours concevoir des points et des ordonnées de courbe au delà, vers la gauche, et pour lesquels, par conséquent, la difficulté restera la même; car rien n'empêche que la courbe à construire ne s'étende indéfiniment de ce côté de l'origine .v, auquel cas, pour admettre les conséquences cidessus sans restriction aucune, il faudrait imaginer l'origine s\ et l'axe H' transportés à une distance infinie de l'origine primitive, ce qui détruit t(|utes les notions géométriques claires et précises qu'on s'est formées antérieurement.

83. Conséquences du précédent examen. — Concluons de ces raisonnements :

1° Que la règle des signes de position n'est, en toute rigueur, ni démontrable ni démontrée pour les équations algébriques entre les abscisses et ordonnées ordinaires des lignes courbes, c'est-à-dire pour les relations purement algébriques non déduites de considérations géométriques établies sur les données mêmes d'une figure;

2° Que, en admettant pour ces équations la loi des variations de signes qui s'observe dans les relations métriques élémentaires de la Géométrie, on agit par pure analogie sans y être suffisamment autorisé par les règles d'une saine el rigoureuse logique;

3° Qu'enfin, et à la vérité, on peut bien adopter à priori, pour les équations algébriques, la règle ci-dessus des signes comme une convention particulière dont il résulte, par le fait, des lignes continues ou non dans toutes leurs parties; mais qu'alors aussi il faut bien se garder de les confondre, sans discussion ni vérification préalables, avec les lignes courbes de même équation, déduites de considérations purement géométriques, à moins de prouver que celles-ci sont toutes assujetties aux règles convenlionnellement adoptées.

Admettre, à priori, l'identité parfaite des deux genres de courbes, c'est, je le répèle, supposer sans discussion et sans preuve que les relations métriques des figures, en général, sont assujetties à la loi de continuité et des signes de position ; c'est admettre, notamment, que les portions distinctes

25o m*' CAHIER. — SUR LA LOI DES SIGNES

d'une courbe ou d'une surface représentée par une équation entre les coordonnées x, y, z, limitées aux axes ou plans respectifs de ces coordonnées, se raccordent parfaitement les unes avec les autres, sans coudes ni jarrets ; qu'elles y ont les mêmes coefficients différentiels de tous les ordres, etc.; ce qui certainement n'est pas un axiome évident en soi, comme on a dû s'en apercevoir d'après tout ce qui précède.

Ainsi donc, il y a une distinction très-grande à faire entre les équations purement algébriques ou qu'on se donne à priori comme représentant des lignes ou des surfaces dans le système de Descartes, et celles qui se déduisent, à posteriori, de considérations purement géométriques : pour que les premières signifient une chose unique et distincte, il faut les assujettir à des conventions tirées de l'analogie et vérifiables seulement par les applications ultérieures; tandis que les autres sont assujetties à des règles invariables et sûres déduites de faits conformes à l'essence même des êtres géométriques. De là d'ailleurs naissent toutes les difficultés qui résultent de la comparaison et du rapprochement entre ces manières de raisonner de deux sciences en apparence si distinctes.

84. A l'égard de la démonstration à priori ci-dessus de la règle des signes de position dans la théorie des coordonnées de Descartes, elle est conforme notamment à celle qui a été exposée par M. Biot (Essai de Géométrie analytique, i^ édition, i8o5, p. i6 à 20), d'après les doctrines de M. Carnot, sans discussion ni vérification préalable, si ce n'est pour le cas de la ligne droite et du cercle. Quant à la convention toute gratuite, relative aux signes de position généralement admise et que ce dernier savant combat lui-même, mais à un autre point de vue, dans sa Géométrie de position (p. xxi, aS, 72, etc.), cette convention et sa prétendue démonstration impliquent, je le répète, la notion métaphysique de la continuité et de l'infini, repoussée des Anciens et non jusqu'ici adoptée avec une entière franchise par les modernes. Je défie notamment qu'on démontre, sans invoquer cette notion, l'exact raccordement de deux arcs de ligne courbe appartenant à des angles différents des axes coordonnés et à des signes différents des abscisses ou des ordonnées sous les conditions

ci-dessus indiquées. Cela suffit pour expliquer la répugnance que de sévères et profonds géomètres tels que Huygens, Newton, etc., éprouvaient à se servir de l'Analyse des coordonnées, qui venait à peine d'être découverte par Descartes, et dont l'usage fut si longtemps à se généraliser, à se répandre en Europe.

85. Parallèle entre la géométrie des Anciens et celle de Descartes. — Les conventions relatives aux signes de position dans le système de coordonnées ordinaires, dont il vient d'être parlé, ne peuvent donc être admises que comme les conséquences et les résultats à posteriori de nombreuses vérifications et d'une expérience antérieurement acquise, si l'on ne veut pas suivre la marche ascendante et progressive des Anciens, la seule véritablement rationnelle, dont je me suis constamment efforcé de me rapprocher dans ce qui précède, et en l'absence de laquelle les ingénieux tableaux de corrélation imaginés et partiellement réalisés par M. Carnot, aussi bien que la théorie des quantités directes et inverses, sont sans fondement véritablement logique.

A coup sûr, la règle des signes de position, admise conventionnellement dans l'Analyse des coordonnées, suffit pour déterminer la position d'un point sans ambiguïté ni incertitude, mais elle ne suffit pas pour prouver que ce point appartient à la ligne ou à la surface qu'une équation donnée doit représenter (*).

Dans l'immortelle Géométrie de Descaries, où se trouvent pour la première fois, tentées la description et la classification des courbes aujourd'hui improprement nommées algébriques,

(*) Les conventions et notations algébriques abréviatives qui servent à soulager la mémoire sans fortifier le jugement ou l'enlendement, n'ont de valeur effective qu'autant qu'elles dérnent de la nature intime des choses et s'y accommodent exactement, comme c'est le cas présent; mais elles peuvent devenir un abus regrettable et une source d'obscurité, d'erreur même et de confusion inextricable dans toute autre circonstance, comme quelques écrits de notre époque en montrent de fâcheux exemples; obscurité, confusion dont le système des coordonnées de Descartes et celui des coordonnées polaires ne sont nullement exempts, malgré leurs ingénieuses notations algorithmiques.

a52 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

à peine entrevue par les Anciens dans le célèbre problème de Pappus : Jcl quatuor Une as ; dans celle Géométrie, Descartes indique très- bien la correspondance qui existe entre la position des indéterminées x e\ y eX les signes positifs ou négatifs qu'elles portent dans les équations des courbes ; signes dont le dernier appartient aux ordonnées et abscisses au-dessous de zéro ou de rien, comme le dit l'auteur d'après l'usage d'alors, ce qui signifie simplement au-dessous des axes à partir desquels elles se mesurent. Mais, cela ne l'empêche nullement, dans sa théorie subséquente des équations numériques, d'appeler /îrm^ie^ les racines négatives de ces équations dont pourtant il avait en main l'interprétation géométrique [*].

86. Descartes n'avait certainement pas entrevu la fécondité et la portée de sa méthode, qui, dans les derniers temps, entre les mains d'Euler, de Clairaut, mais surtout de Lagrange et de Monge, est devenue un instrument général de démonstration et de découvertes, une langue géométrique pour ainsi dire universelle; avantage qu'elle doit non-seulement à la simplicité de son algorithme et de ses notations, mais surtout à son système métrique de représentation des éléments droits ou courbes des figures, par la projection, véritable transformation linéaire ou rectiligne de ces derniers éléments, qui n'altère pas le degré, les affections et les propriétés essentielles des lignes, et ne sort point, en apparence, des voies de l'Algèbre pure, justement ici nommée Analyse indéterminée.

De là, d'ailleurs, il résulte, chose vraiment digne d'attention, que l'on se surprend, après un certain temps d'exercice, à confondre les êtres géométriques véritables avec leur représentation ou traduction algorithmique par des équations entre les ordonnées et les abscisses, qui ne sont pourtant que de purs auxiliaires du raisonnement logique. De là aussi, se croit-

(*) Ces remarques et celles qui suivent sont un rapprochement naturel, un résumé de divers passages, de Notes toutes fort anciennes, que j'ai dû supprimer à cause de leur étendue ou des répétitions, des disparates qu'elles offraient dans l'ordre et la filiation des idées, mais dont l'entière suppression eût entraîné de véritables lacunes dans l'exposition de cette partie épineuse de mes recherches.

on fort souvent en droit, dans la solution des problèmes de Géométrie analytique, de faire abstraction de la figure à laquelle cette représentation fictive s'applique, et de l'influence que peut avoir sur les résultats, la position attribuée primitivement, lors de la mise en équation, aux parties dont cette figure se compose. Or, ne l'oublions pas, ce n'est point là une conséquence rigoureuse de vérités géométriques antérieurement établies, mais bien un simple rapprochement, une vérification à posteriori, de laquelle on ne pourrait déduire aucune conséquence nouvelle, indiscutable et applicable à tous les cas possibles; à moins d'admettre qu'il soit permis de conclure du particulier au général par voie d'analogie, ou d'adopter ouvertement le principe de continuité, qui suppose l'existence de la loi des signes de position dans les équations ou relations métriques des figures.

87. Considérations générales. — En rapprochant ce que nous venons de dire des problèmes indéterminés, de ce qui a été précédemment établi sur les problèmes déterminés relatifs au cas où les données et les inconnues appartiennent à une droite fixe, il est aisé de reconnaître que les mêmes réflexions, les mêmes difficultés concernant les équations de condition étrangères ou indépendantes de la loi des signes de position, les constantes fixes ou mobiles, la séparation de divers systèmes distincts de solution, se reproduisent dans tous les cas possibles, même dans celui où l'on se sert du système des coordonnées linéaires de Descartes, le plus remarquable de tous par son universalité.

Ainsi les considérations relatives à la mise en équation des problèmes déterminés qui nous ont occupés dans les n"^ 51 et suivants, subsistent dans l'application de ce dernier système, et il n'y a d'exceptions que pour les seuls cas où les relations métriques et descriptives qui se rapportent aux hypothèses faites sur la figure type ou primitive, satisferaient naturellement au principe de continuité et à la loi des signes de position; ce qui arriverait notamment s'il s'agissait de figures, de relations métriques et de propriétés aptes à construire géométriquement ou organiquement d'une manière continue, des lignes, des surfaces tout entières et partant soumises elles-mêmes à la

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loi des signes de position dans leurs propriétés diverses. Il est évident en effet, d'après nos principes, que les résultats déduits algébriquement de ces premières relations, par l'Analyse des coordonnées de Bescarles , jouiront du même caractère de généralité et de continuité. Or il est à remarquer que cela arriverait encore pour chaque système de solution distinct, dans l'hypothèse de la séparabilité des résultats due à des conditions de grandeurs constantes et indépendantes de la situation ; ce dont le problème des n°* 65 et suivants offre un exemple remarquable, en ce que l'aire du triangle ASC [Jig. 126), bien que donnée à priori, étant inconnue de position, amène avec elle une ambiguïté de signe d'où résultent une indétermination correspondante et des différences caractéristiques dans les divers modes de solutions.

88. Système d'appliquées polaires ou rayonnantes. — Au surplus, le système ancien des ordonnées parallèles, appliquées à un axe fixe des abscisses et concourant en un point situé à l'infini, n'est qu'un cas particulier de celui des lignes convergentes ou polaires [Jîg. loi, n° 2), dont la considération a servi de point de départ aux études de ce IIP Cahier; car les droites AB ou «B, et Srt perpendicu'aire ou oblique à AB, y représentent des axes fixes; ab, ac, ax,.. ., des abscisses; S6, Se, 'èx des lignes rayonnant autour du pôle S, et qui portent les rayons vecteurs égaux ou circulants S6', Se', S^, . .., et les distances variables appliquées à l'axe AB des abscisses.

Cet ensemble, où les abscisses sont des fonctions purement linéaires des tangentes trigonométriques des angles polaires ou des arcs circulaires correspondants, peut être considéré comme la projection centrale du système de coordonnées ordinaires, et il offre l'avantage de permettre l'introduction immédiate des segments ou distances rayonnantes infinies, disparues de ce dernier système, etc. (*).