II

338 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES ce haut degré d'évidence que porte avec lui, dans les circonstances semblables, le principe de continuité, on ne doit pourtant pas oublier que, même alors, son admission est purement gratuite ; car si les figures dérivées restent en corrélation absolue et réelle, quant aux parties dont elles se composent explicitement, avec la figure d'où elles proviennent, elles ne le sont souvent pas, quant aux auxiliaires qu'il faut y introduire pour parvenir, par le simple raisonnement, aux relations définitives; il arrive, en effet, que ces auxiliaires, par lesquelles on a dû passer, ne laissent plus aucune trace dans ces relations définitives.

Quoi qu'il en soit, il n'y a évidemment aucune difficulté à admettre le principe pour tous les étals réels et absolus d'une figure; or, il résulte de là même qu'il ne saurait y avoir de contradiction à l'y admettre, au moins idéalement, pour tous ceux des états de cette figure où certains objets seraient devenus impossibles, pourvu qu'on ait soin de ne rien prononcer, avant un examen exact et rigoureux, sur l'existence et la nature de ces objets et de ceux qui en dérivent d'après les lois du système. Car si, après un tel examen, on a reconnu qu'en effet certains objets ou certaines grandeurs ont cessé d'être d'une manière géométrique, on sera par là même averti que l'existence qu'on leur supposait est purement hypothétique, et que la relation qui les concerne est elle-même idéale à l'égard de ces objets.

Ainsi le principe de continuité n'exprime dans sa généralité rien que de relatif : en prononçant sur la permanence des relations, il ne prononce nullement sur la nature et l'existence absolue des objets ou des grandeurs que ces relations concernent. Cependant, ces relations cessant d'exprimer quelque chose de réel quand certains objets ont perdu leur existence géométrique, on ne voit pas quel sens on devra leur attribuer ni comment il faudra les interpréter d'une manière rationnelle dans les applications. Or, je dis qu'alors même elles ne sont devenues ni absurdes ni insignifiantes, et qu'elles servent encore à caractériser et à déterminer la véritable nature du système auquel elles s'appliquent, par l'incompatibilité des dépendances qu'elles expriment entre les objets demeurés réels et ceux qui, au contraire, ont perdu toute existence géométrique individuelle.

43. Considérons, en effet, une figure quelconque jouissant d'un certain nombre de propriétés métriques ou descriptives, que nous supposerons n'exprimer actuellement rien que de bien réel et de bien intelligible (41) : on pourra évidemment regarder ces propriétés comme propres à définir et à caractériser la dépendance graphique qui lie entre elles les parties du système que ces propriétés concernent, et, en particulier, on pourra les regarder comme propres à construire numériquement ou graphiquement celles de ces parties qui doivent précisément perdre leur existence géométrique en vertu du passage de la figure actuelle à celles qui lui sont corrélatives, et par conséquent regarder ces parties elles-mêmes comme les inconnues d'un problème.

Pour la figure primitive, ces relations ou propriétés étant par hypothèse concordantes, les objets qu'on suppose inconnus seront définis et construits d'une manière absolue par elles ; dans les figures corrélatives, au contraire, ces relations pourront devenir incompatibles entre elles en ce sens que les constructions correspondantes, cessant de concorder dans leur détermination graphique supposée, manifesteront l'impossibilité actuelle des objets inconnus, ou, si l'on veut, leur non-existence géométrique. Les relations qu'on examine sont donc encore vraies, en ce sens qu'elles expriment l'état véritable du système, et qu'elles servent à caractériser la nonexistence même des objets,

44. Considérons, par exemple, une circonférence de cercle et le système de deux tangentes à cette circonférence ; on sait que leur ensemble jouit de cette propriété que le centre du cercle, le point de concours des deux tangentes et leurs points de contact sont distribués sur une autre circonférence de cercle, ayant la distance des deux premiers points pour diamètre; or, cette propriété cesse d'être absolue quand le point de concours des deux tangentes passe du dehors au dedans du cercle ; les deux tangentes correspondantes deviennent en effet impossibles. Cependant, cette propriété n'est pas, pour cela, devenue absurde ou insignifiante ; car, en considérant la dépendance graphique qu'elle exprime comme propre à construire les points de contact et leurs tangentes, lorsque le cercle et le point

34o IV CAHIER. — CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES de concours de ces tangentes sont donnés, on voit que cette dépendance est encore vraie quand le point de concours est renfermé dans la circonférence du cercle, en ce sens qu'elle cesse naturellement de construire, d'une manière réelle, les points de contact correspondants. En effet, alors les deux circonférences qui doivent les contenir simultanément se trouvent renfermées l'une dans l'autre, et ne sauraient par conséquent s'entrecouper d'une manière effective.

La même chose se dirait de la relation connue entre l'ordonnée et l'abscisse du cercle, et, en général, de toutes les relations descriptives ou métriques qui appartiennent aux figures ; la raison en est encore que, d'après la nature même de ces relations, elles ne cessent d'exprimer quelque chose de possible, qu'en même temps que les grandeurs qu'elles sont propres à construire deviennent imaginaires, en sorte qu'elles demeurent toujours d'accord avec l'état véritable de la figure; ainsi, il n'y a ni erreur ni contradiction à admettre, dans tous les cas, ces relations comme propres à définir et à caractériser la nature vraie de cette figure.

45. Remarquons cependant que, quand plusieurs relations sont nécessaires pour déterminer et construire certain objet qu'on regarde actuellement comme inconnu dans la figure, il peut fort bien se faire qu'individuellement ces relations ou propriétés n'expriment rien d'absurde ni d'impossible: c'est ce qui arriverait, par exemple, dans la proposition ci-dessus examinée si, faisant abstraction du cercle donné, on ne considérait que celui qui, passant par le centre de ce cercle et par le point de concours des tangentes, doit contenir les points de contact de ces mêmes tangentes, car ce cercle ne cesserait jamais de subsister : dans ces circonstances, les relations ne deviennent incompatibles que dans leur simultanéité, et, sous ce point de vue, elles n'en sont pas moins propres à caractériser la nature véritable du système.

On arriverait à des paradoxes fort étranges si, au lieu de considérer le système complet des relations qui définissent et construisent d'une manière directe la figure qu'on examine, on n'avait égard seulement qu'à quelques-unes d'entre elles; car ces relations sembleraient établir des dépendances tou-

jours réelles entre les objets de celte figure, et seraient ainsi en contradiction manifeste avec ce qui se passe en effet.

46. Considérons, par exemple {fig. i48 et i49, p. 3o7), le système d'un cercle 0 et de deux sécantes SA et SC rencontrant ce cercle en A et B, G et D respectivement : on a, comme on sait, SÂ.SB = SC.SD; or, celte relation demeure toujours réelle dans sa forme et dans son énoncé, même quand l'une SC, des deux sécantes, vient à ne plus rencontrer le cercle, ce qui paraît au premier abord contradictoire et absurde; mais cela ne l'est pourtant pas, si l'on considère que la rel^ition examinée ne sufflt pas à elle seule, pour définir et construire les deux points C et D, car il y a deux inconnues SC et SD.

Qu'on abaisse en effet, du centre 0, la perpendiculaire OK sur la sécante SC, on aura la nouvelle relation

2SK = SC-hSD,

qui exprime, il est vrai, comme la première, une dépendance toujours réelle, mais qui, étant incompatible avec elle pour toutes les circonstances où la sécante SK sort du cercle, sert par là même à caractériser et à définir l'état du système, et lui demeure ainsi applicable dans tous les cas possibles.

47. De ce que certaines relations appartenant à une figure donnée sont individuellement réelles, on ne peut donc pas affirmer que les objets auxquels elles correspondent et qu'elles servent à construire, soient eux-mêmes toujours possibles ; pour le faire avec certitude, il faut que ces relations soient en nombre suffisant pour les définir et les déterminer d'une manière complète; ainsi, de ce que l'on a trouvé, art. 44, que les points de contact des tangentes examinées doivent se trouver sur une circonférence de cercle toujours constructible et toujours réelle, il ne suit nullement que ces points et les tangentes qui leur appartiennent soient eux-mêmes toujours réels ; et, en effet, ces points devant se trouver simultanément sur cette circonférence et sur la proposée, cesseront d'avoir une existence géométrique toutes les fois que l'une d'entre elles se trouvera entièrement enveloppée dans l'autre. Or, de cette simple remarque il résulte réciproquement que, de ce qu'un objet est actuellement impossible, ce n'est pas une rai-

342 IV^ CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES son pour croire que les relations ou les signes qui en dépendent et qui le construisent doivent parla même cesser d'avoir une existence effective : ainsi, dans l'exemple déjà cité, quoique les deux tangentes issues d'un point intérieur au cercle donné soient inconstructibles, le cercle dont la circonférence renferme avec la proposée leurs points de contact n'en est pas moins toujours réel et possible, et il peut en être évidemment de même pour d'autres circonférences de cercle ou d'autres lignes propres à construire ou à définir ces deux points de contact et leurs tangentes.

Les considérations préliminaires de l'art. 14 nous ont déjà offert l'exemple d'une figure où, certaines parties devenant impossibles, d'autres qui en dépendent d'une manière directe, sont pourtant demeurées réelles; nous pourrions, dès à présent, présenter un grand nombre de circonstances toutes semblables; mais il suffit à notre objet actuel d'en avoir fait la remarque d'une manière générale, et d'avoir ainsi signalé et détruit un préjugé géométrique, à la vérité fort naturel, mais qui n'a aucun fondement exact : l'admettre en principe, ce serait borner le champ des découvertes, et s'exposer volontairement à des difficultés, à des contradictions continuelles.

48. Nous pouvons conclure de ces diverses réflexions que, quand les relations ou propriétés qu'on examine sont en nombre suffisant pour construire et déterminer les objets auxquels elles se rapportent, et qui peuvent devenir impossibles dans les figures corrélatives, il ne saurait jamais exister de difficultés véritables à les interpréter et à les admettre; car alors elles indiqueront, soit séparément, soit simultanément, la non-existence des objets de la figure, et serviront ainsi, par leur incompatibilité, à définir et à caractériser, dans tous les cas possibles, le véritable état de cette figure. Les difficultés ne naissent qu'alors que, cessant d'avoir égard à l'ensemble des relations qui définissent directement la figure, on les envisage en elles-mêmes et d'une manière tout à fait individuelle ; en ce cas seulement elles peuvent paraître inintelligibles, et ne plus conserver qu'une signification purement hypothétique et idéale, comme les objets mêmes qu'elles concernent et qui ont perdu leur existence géométrique.

49. La répugnance qu'on éprouve, dans des circonstances semblables, à admettre le principe de continuité, vient uniquement de ce qu'on fait usage du sens de la vue pour aider la mémoire et guider le fil des idées et du raisonnement géométrique; il en résulte en effet, fort souvent, que la nonexistence de certaines parties de la figure devient manifeste, indiscutable, et qu'alors, n'ayant plus aucun moyen de se les représenter à l'imagination, ni aucun terme qui puisse les rappeler à la mémoire, le discours et les idées s'arrêtent indépendamment de la volonté. Celte répugnance cesse d'avoir lieu toutes les fois que la figure se complique ou que les rapports qui en lient les parties se multiplient, parce qu'il n'est plus possible alors de discerner, au simple coup d'oeil, si ces rapports entraînent ou n'entraînent pas la non-existence de certaines de ces parties. C'est cette circonstance qui arrive en particulier quand ces parties sont l'objet d'une recherche faite sur la figure, c'est-à-dire quand elles sont précisément les inconnues d'un problème qu'on se propose sur cette figure (38). C'est encore ce qui a lieu quand la figure n'est pas décrite, et c'est là sans doute une des causes de la généralité des conceptions de cette Géométrie qui considère les objets dans l'espace, et dont noire illustre Monge peut, à de si justes titres, être appelé le vrai créateur.

50. En Algèbre, comme nous l'avons déjà fait voir (29), la difficulté d'admettre dans chaque cas le principe de continuité est entièrement nulle, parce que la non-existence des grandeurs conserve naturellement un signe dans le calcul, et cela indépendamment même de la volonté de celui qui l'emploie; cette non-existence s'exprime et se présente presque toujours sous les mêmes signes explicites que la grandeur absolue et réelle;

car a — 6, -; — -j-, s/a — b peuvent indiquer indistinctement

des grandeurs absolues, idéales ou imaginaires; de là vient la possibilité, la nécessité même, d'employer les êtres de raison comme les êtres réels, et de les soumettre aux combinaisons du calcul et aux formes logiques du raisonnement ordinaire.

51» Ce que nous venons de dire ici de l'Analyse algébrique

344 IV' CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES s'étend évidemmeni ou peut s'étendre à la Géométrie rationnelle, lorsqu'on ne considère que des relations purement métriques; car, dans ces circonstances aussi bien qu'en Algèbre, les diverses grandeurs sont représentées par des lettres, signes ou caractères abstraits, incapables en eux-mêmes de rappeler la grandeur absolue des objets qu'ils concernent. A la vérité, ces grandeurs se rapportent à une figure mise actuellement sous les yeux ; mais on peut toujours faire abstraction, par la pensée, de cette figure, et considérer les relations examinées en elles-mêmes, et indépendamment des objets figurés auxquels elles s'appliquent. Dans celte supposition particulière des propriétés métriques, on peut donc continuer mentalement et d'une manière naturelle l'existence de ceux de ces objets qui cessent d'être constructibles et géométriques, par cela précisément qu'ils sont représentés à l'aide de signes abstraits, et • il n'y a interruption, ni dans la conception des relations examinées, ni dans l'expression de ces relations.

52. Pareille chose n'a plus lieu à l'égard des propriétés purement descriptives : là les termes sont l'expression des objets figurés eux-mêmes; ils les rappellent continuellement à l'esprit et à l'imagination, et il n'est pas facile de les abstraire par la pensée, de les détacher de ces objets, et, encore moins, de les combiner entre eux, quand ces objets cessent d'exister d'une manière absolue et géométrique.

L'usage et l'habitude de l'Analyse algébrique pendant deux siècles ont heureusement tranché la difficulté, en introduisant et en consacrant, dans le langage ordinaire de la Géométrie, certaines expressions qui rappellent et caractérisent les êtres de non-existence, et font même considérer ces êtres fictifs comme des objets réels dans le raisonnement et la conception. C'est ainsi que l'on a déjà reçu en Géométrie les infiniment grands et les infiniment petits , dont l'existence est purement hypothétique; car, lorsqu'on admet, par exemple, que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini, on donne idéalement une existence indéfinie à leur point commun d'intersection, et par là aussi on établit l'idée de la continuité dans le mouvement possible de ce point. D'un autre côté, le mot infini rappelle la non-existence géométrique de l'objet dési-

gné, et indique que l'existence supposée est purement idéale. 11 est vrai que ces notions ont encore quelque chose de naturel, et répugnent moins que celles des imaginaires ; mais cela provient purement de l'habitude, et la preuve en est que certains géomètres, peu accoutumés aux nouvelles méthodes, refusent encore de les admettre, quelque simples et rigoureuses qu'elles puissent d'ailleurs paraître.

53. Il importe extrêmement, pour l'admission du principe d.e continuité en Géométrie, d'y recevoir les expressions figurées qui peuvent servir à caractériser les êtres de nonexistence ; car l'application de ce principe se bornerait, comme nous l'avons déjà fait observer, aux états réels du système que l'on considère; il existerait des lacunes, des situations particulières, où l'on ne pourrait l'admettre même idéalement, puisque l'on manquerait à la fois d'images dans la conception et de termes dans le discours pour s'exprimer.

D'ailleurs, le but de cette admission est uniquement d'introduire l'idée de la continuité ou permanence indéfinie des lois de la grandeur figurée, continuité qui, pour être souvent fictive, n'en est pas moins propre à caractériser et à faire découvrir les lois véritables et absolues de cette grandeur.

54. C'est évidemment dans les phénomènes de la conjonction réciproque des lignes et des surfaces courbes qu'il faut aller chercher les divers caractères de la non-existence des grandeurs géométriques, et chacun de ces caractères se trouve nécessairement dans le mode par lequel s'est opérée la nonexistence, l'accident qui a précédé et accompagné cette nonexistence. Les expressions figurées naissent, à leur tour, de la nécessité de distinguer ces différents caractères afin de ne pas les confondre; car, de même qu'on a des noms pour exprimer les divers modes d'existence qu'on veut comparer, il faut aussi en avoir pour exprimer ceux de la non-existence, afin de donner à la fois de la justesse et de la précision à la langue du raisonnement géométrique. Enfin, les notions métaphysiques elles-mêmes ont leur source véritable dans la persévérance qu'on a d'appliquer l'idée de la continuité à un état purement idéal d'un système, et d'y étendre les conceptions

et les lois qui n'apparlenaienl qu'à l'état primitif et réel de ce

système.

D'après ces idées, on voit comment il faudrait s'y prendre pour parvenir à tracer le tableau fidèle et complet de toutes les notions métaphysiques qui appartiennent à la grandeur figurée; mon intention n'est pas de l'entreprendre, il faudrait plus de hardiesse et de talent que je n'en possède pour oser livrer un tel travail au jugement de la critique sévère des géomètres: il me suffira d'avoir indiqué à de plus habiles que moi la route certaine à suivre, et d'y avoir fait les premiers pas. Je me bornerai en conséquence, dans l'impuissance de mieux faire, à présenter, à la place de ce tableau, quelquesunes des généralités dont il se compose, afin d'offrir au moins des exemples qui puissent éclairer les idées qui précèdent, et leur servir d'appui et de complément nécessaire. C'est par ces exemples que je terminerai cet écrit, dont le but spécial était l'examen du principe de continuité considéré dans son origine, dans sa nature et dans les conséquences diverses auxquelles il entraîne par son admission ouverte en Géométrie.

55. Considérons, en premier lieu, le système de deux lignes droites situées dans un même plan, et admettons (41) que, dans leur position actuelle, elles se rencontrent en un point réef ; si l'on vient à écarter une de ces lignes droites de sa position primitive, en lui imprimant un mouvement progressif Qi continu, toujours dans le même sens et dans le plan primitif, il arrivera bientôt que le point de leur intersection commune, après s'être écarté de son origine à une distance plus grande que toute distance donnée, finira par cesser tout à fait d'être, circonstance qui aura lieu quand ces deux droites seront devenues parallèles; pour conserver, malgré cela, à ce point un signe dans le discours, qui caractérise en même temps le mode de sa non-existence géométrique, on dit qu'il est à y infini sxxv le plan des deux droites; or, de là dérive aussi cette notion si généralement admise :

« Le système de deux droites parallèles a son point de con- » cours placé à l'infini ; elles convergent à l'infini. »

Cette notion s'étend également à un faisceau quelconque de

droites parallèles situées ou non dans un même plan; ainsi, « le faisceau de plusieurs droites parallèles, situées ou non » dans un même plan, a son point de concours placé à » l'infini. »

Par la même raison on dit, on conçoit que la distance du point de concours à un point quelconque donné dans l'espace est infinie, et cette distance se mesure évidemment sur une autre parallèle.

Ainsi, en vertu du principe de continuité, on applique ou l'on étend aux systèmes de droites parallèles, dont l'intersection n'est qu'idéale, les mêmes notions que celles qu'on a reconnues appartenir aux droites qui concourent en un point réel. Mais ce n'est pas tout : puisque, dans le cas examiné de deux droites situées dans un même plan, le point de leur intersection réelle est toujours unique, il faut aussi admettre, pour la continuité, qu'il est encore unique quand ces deux droites deviennent parallèles, et de là dérive cette conséquence paradoxale, mais pourtant nécessaire :

« Les deux extrémités d'une droite indéfinie se rejoignent » et se confondent à l'infini. »

56. Substituons aux deux lignes droites précédentes, le système de deux plans quelconques qui se pénètrent d'abord selon une droite réelle; en imaginant, de même, que l'un de ces plans se meuve suivant une loi quelconque, mais continue, de façon qu'il s'écarte sans cesse de sa position primitive, il arrivera un instant où la droite de son intersection avec le plan fixe, aura perdu son existence géométrique, après s'être transportée tout entière à une distance plus grande que toute dislance donnée; les deux plans étant alors devenus parallèles et leurs points d'intersection ayant passé à l'infini, il en résulte que « le système de deux plans parallèles a tous ses » points de concours distribués sur une ligne droite à l'in- » fini. »

La même notion s'étend évidemment au système d'un nombre quelconque de plans parallèles.

Deux plans quelconques ne pouvant jamais se pénétrer qu'en une seule droite réelle, il faut bien aussi admettre, pour la continuité, qu'elle demeure encore unique quand les deux

348 IV CAHIER. — CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES plans deviennent parallèles; mais, comme chacun de ces plans renferme tous les points qui sont à l'infini sur l'autre, il en faut nécessairement conclure que, de même que les extrémités d'une droite se rejoignent et se confondent à l'infini, pareillement aussi les extrémités d'un plan indéfini se trouvent distribuées sur une seule et unique ligne droite à l'infini; mais il y a cette différence ici que cette droite, quoique regardée comme unique, a une situation entièrement arbitraire et indéterminée sur le plan que l'on considère; car, quelle que soit la direction d'une droite donnée sur ce plan, on peut toujours concevoir qu'elle se transporte d'un mouvement continu et parallèlement à elle-même jusqu'à une distance infinie et sans quitter le plan; or il faudra bien admettre alors qu'elle se confond avec la précédente ; ainsi

. a Tous les points situés à l'infini sur un plan doivent être » considérés, d'une manière idéale, comme distribués sur » une seule et même ligne droite, dont la direction est d'ail- » leurs entièrement indéterminée. »

57. Maintenant, si l'on considère qu'une surface plane a pour principal caractère d'être toujours coupée par un plan arbitraire suivant une seule et unique ligne droite, située à une distance donnée ou infinie, il faudra également conclure des notions qui précèdent, et toujours par suite de l'admission du principe de continuité en Géométrie, que

« Tous les points à l'infini de l'espace doivent être considé- » rés, d'une manière idéale, comme distribués sur une seule et » unique surface plane située à l'infini, dont la direction est » d'ailleurs entièrement indéterminée. »

Quelque étranges et paradoxales que paraissent ces dernières notions, comme elles découlent, d'une manière nécessaire, de l'admission du principe de continuité en Géométrie, elles doivent inévitablement se reproduire dans toutes les recherches particulières où l'on invoque ce principe, et influencer par conséquent les résultats et les conséquences qu'on en peut déduire. Nous aurons,- par la suite, occasion de justifier ces notions au moyen de considérations tirées de la perspective et par des exernples nombreux déduits d'une manière directe de la simple Géométrie.

58. Pour passer à des considérations et à des notions nouvelles, examinons, toujours sous le point de vue qui précède, le système d'une ligne droite et d'une courbe quelconque continue (*), situées l'une et l'autre sur un même plan; supposons encore (41) que, dans leur position actuelle, elles se coupent suivant le plus grand nombre possible de points tous réels et distincts : si l'on vient à écarter la ligne droite de sa position primitive par un mouvement progressif et continu, mais d'ailleurs quelconque, il pourra arriver que, si la courbe a des branches illimitées, un certain point d'intersection, après s'être écarté sans cesse des autres, finisse par s'en trouver à une distance plus grande que toute distance donnée; alors ce point aura passé à l'infini et la droite sera devenue parallèle à la branche correspondante de la courbe. Cette circonstance rentrant, pour le fond, dans celle déjà examinée pour le cas de deux lignes droites, il devient inutile, de s'en occuper de nouveau ; faisons-en donc, pour un instant, abstraction, et reprenons l'examen qui nous occupe.

59. Par suite du mouvement imprimé à la ligne droite, il pourra arriver aussi que deux quelconques d'entre les points d'intersection réels se rapprochent continuellement et finissent par se confondre, en cessant par conséquent d'être distincts; leur distance mutuelle se sera alors évanouie et aura perdu toute existence géométrique. Pour lui conserver, malgré cela, une existence au moins idéale, et, par suite, pour rendre les deux points d'intersection correspondants distincts dans la conception, comme ils l'étaient auparavant, on dit et l'on conçoit qu'ils sont à une distance plus petite que toute distance donnée, à une distance infiniment petite; la droite qui les renferme a alors un élément infiniment petit en commun avec la courbe proposée, elle lui est tangente, ou, ce qui re-

(*) Par ligne continue on entend, en général, une courbe dont tous les points sont soumis à un même mode de génération, c'est-à-dire à une môme loi, et dont tous les éléments se succèdent sans intervalle fini et sont par conséquent contigus. Du reste, cette courbe peut se composer de la réunion de deux ou de plusieurs branches distinctes, également continues. La même définition s'étend aux surfaces courbes.

[Note de i8i8.)

35o IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

vient au même, elle la touche, Voscule, ou a un contact du

premier ordre au point considéré.

Pour chaque point individuel et chaque branche distincte de la courbe proposée, il existe évidemment, en général, une tangente unique, dont la position est assignée encore par la loi de continuité.

60. Notre ligne droite étant devenue, dans sa position actuelle, tangente à la ligne courbe correspondante, si l'on vient à supposer qu'elle continue à se mouvoir en s'écarlant toujours de sa position primitive, il pourra arriver que les deux points d'intersection que l'on considère en particulier, après s'être rapprochés à une distance infiniment petite, perdent tout à coup et simultanément leur existence géométrique, parce que la droite se sera détachée de la portion de courbe correspondante; alors, pour leur conserver une existence de signe, au moins idéale, dans le discours et dans la conception, on dit que « ces deux points sont devenus à la » fois imaginaires, aussi bien que les distances qui les sépa- » rent de tout point réel donné; » et ainsi s'établit l'idée d'une continuité indéfinie dans la commune intersection des deux lignes.

Le système des deux points examinés pourra rester dans cet état imaginaire pendant un intervalle plus ou moins considérable, et par conséquent pour lîne série de positions successives de la droite mobile qui les porte, jusqu'à ce qu'enfin elle redevienne tangente à la courbe, puis de nouveau sécante, et ainsi de suite d'une manière périodique. Cependant, il peut arriver que cette droite passe tout entière à l'infini : dans ce cas tous les points de son intersection avec la courbe sont évidemment eux-mêmes à l'infini ; du reste, elle pourra alors être tangente à la courbe, avoir des points imaginaires en commun avec elle, tout comme les sécantes qui sont à des dislances données, et cela résulte immédiatement encore de l'admission de la continuité (*).

(*) Quoique les points à l'infini cessent véritablement d'exister d'une manière géométrique, il est pourtant essentiel de ne pas confondre ceux qui d'abord étaient réels avec ceux qui, au contraire, étaient imaginaires. Les premiers se distinguent des autres en ce qu'ils retiennent encore

SDR LE PRINCIPE.de CONTINUITÉ. 35 1

Si la sécante, au lieu de passer tout entière à l'infini, prend une situation telle, que deux des points réels de son intersection avec la courbe, après s'être rapprochés sans cesse, finissent par se confondre en passant à la fois à l'infini, elle sera devenue tangente à cette courbe à l'infini, elle sera ce qu'on appelle une asymptote à cette courbe.

61. Il ne peut arriver évidemment d'autres accidents que ceux reconnus dans ce qui précède, en raison de ce que, par l'hypothèse de la continuité, les points d'une même branche de courbe sont nécessairement contigus; on peut donc conclure qu'un point d'intersection d'une ligne courbe et d'une droite ne peut perdre son existence individuelle et géométrique que par trois modes entièrement séparés et distincts, mais d'ailleurs susceptibles de se combiner entre eux : ou parce qu'il se rapproche d'un autre point d'intersection d'un mouvement continu, en finissant par se confondre avec lui, ou parce qu'il s'en écarte, au contraire, en demeurant réel à une dislance infinie, ou enfin parce que, après s'être confondu avec le précédent en un seul, il perd, ainsi que lui et pendant un certain intervalle, toute existence géométrique absolue, c'est-à-dire physique et mathématique.

On voit par cette discussion, que, pour établir l'idée de la continuité dans la conjonction de la droite et de la courbe pendant toute la durée du mouvement de cette droite, on est obligé de conserver aux points de leur intersection commune une existence individuelle et purement hypothétique, toutes les fois qu'ils viennent à cesser d'être d'une manière absolue.

11 suit de là que le nombre de ces points d'intersection réels ou fictifs est toujours regardé comme le même dans quelque position qu'occupe la droite qui les porte, ce qui s'étend, comme nous l'avons vu, au cas même où la droite passe tout entière à l'infini. Ce nombre invariable, qui marque aussi le

quelque chose des propriétés qui appartiennent aux points géométriques et absolus. Pour ne pas créer un nouveau terme, nous disons que ce sont des points réels à Vinfini et que les autres, au contraire, sont des points imaginaires à V infini. [Note de i8i8.)

plus grand nombre possible de points d'inlerseclion réels, est

ce qu'on nomme le degré de la courbe (*).

62. Nous .pouvons, dès à présent, faire sentir l'utilité et la justesse des notions qui précèdent, en présentant quelquesunes des conséquences générales qui en découlent, et en faisant voir leur liaison avec des vérités déjà connues et reçues des géomètres algébristes; parla nous jetterons quelque jour sur ces notions abstraites, et nous ferons voir comment, considérées même dans l'Analyse, elles doivent leur origine à l'admission du principe de continuité.

Soit une ligne courbe continue quelconque tracée sur une surface plane, d'après l'art. 57, tous les points à l'infini sur cette courbe doivent être regardés idéalement comme distribués sur une ligne droite unique, et, d'après l'article qui précède, le nombre de ces points est égal à celui qui marque le degré de la courbe, pourvu que l'on conserve une existence distincte, au moins hypothétique, à ceux de ces points qui sont confondus ou imaginaires. Or, il résulte immédiatement de là que si, d'un point donné sur le plan de la courbe, on conçoit des droites qui passent respectivement par ceux de ces points qui sont à l'infini, ces droites, qui seront parallèles à ses diverses branches et dont la position est assignée par la loi de continuité, se trouveront être en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe, proposition qui dérive immédiatement aussi des principes reçus dans l'Analyse des coordonnées.

Pareillement, si l'on conçoit une tangente ou asymptote en chacun de ces points à l'infini, le nombre de ces asymptotes sera encore égal à celui qui marque le degré de la courbe; mais, de ces asymptotes, les unes seront imaginaires, les autres réelles et géométriques, d'autres enfin placées entièrement à l'infini; les premières correspondront à des branches entièrement fermées ou tout à fait imaginaires, les secondes à des branches hyperboliques, et les troisièmes à des branches /?amboliques.

(*) Quand ce nombre est infini, la courbe est dite transcendante; elle est simplement géométrique dans le cas contraire. [Note de i8i8.)

..Wl

Le nombre de ces dernières sera évidemment égal à celui des asymptotes qui sont tout entières à l'infini; or, on doit alors considérer idéalement ces asymptotes comme réunies en une seule (57), avec la droite qui renferme tous les points à l'infini du plan; donc le nombre des branches paraboliques sera précisément égal à celui des points de contact distincts de la courbe avec cette droite; chacun de ces points devant compter pour deux, leur nombre total sera, au plus, moitié de celui qui marque le degré de la courbe.

D'après ces notions, les courbes du second degré ne peuvent avoir, au plus, que deux asymptotes; ainsi elles ne sauraient offrir que ces trois caractères distincts : deux asymptotes réelles ou deux points distincts et réels à l'infini, deux asymptotes imaginaires ou deux points imaginaires à l'infini, enfin deux asymptotes réunies en une seule à l'infini ou deux points consécutifs à l'infini.

Ce que nous disons ici d'une courbe unique peut s'appliquer aussi au système de plusieurs courbes situées sur un plan : ainsi, par exemple, deux paraboles ordinaires, situées sur un même plan, peuvent être regardées idéalement comme ayant une tangente commune à l'infini.

Ces notions cadrent parfaitement avec celles que l'on peut déduire de l'Analyse des coordonnées; leur avantage est de rapprocher entre elles les diverses affections qui appartiennent aux courbes d'une même famille, et de déterminer, à l'avance, les caractères spécifiques qui les distinguent entre elles.

En terminant, nous ferons remarquer que nous avons fait abstraction, dans l'examen qui précède, de tous les accidents particuliers qui peuvent avoir lieu dans le cours de la courbe, comme il arrive aux points à' inflexion et de rebroussement , aux points multiples et conjugués; mais ces points ayant des positions singulières et distinctes, rien n'est changé aux conséquences générales qui précèdent, et une nouvelle discussion serait, sinon inutile, au moins peu nécessaire (*).

(*) Cette discussion serait d'ailleurs facile, car le caractère de chacun des points singuliers peut se déterminer d'une manière tout à fait directe à l'aide du principe de continuité. Ainsi, un point conjugué n'est autre H. ?.3

63. Si au lieu de considérer, comme dans^i'examen qui précède, le système d'une droite et d'une ligne courbe, on considérait le système de deux lignes courbes quelconques continues, situées à la fois sur une même surface plane ou courbe et se pénétrant d'abord dans le plus grand nombre de points possibles, les circonstances déjà examinées se reproduiraient évidemment de la même manière et dans le même ordre, lorsque l'on viendrait à faire varier l'une des deux courbes de position ou de forme à l'égard de l'autre, par un mouvement progressif et continu, et sans en changer la nature, ni par conséquent le degré et les propriétés. Ainsi, certains points d'intersection, d'abord réels, pourraient passer à l'infini, se confondre en un seul, ou devenir simultanément et deux à deux imaginaires. Mais il peut arriver, en outre, dans le cas actuel, que la courbe variable, après être devenue tangente à ia courbe fixe, lui demeure encore tangente pendant un certain intervalle, au lieu de s'en détacher brusquement, comme dans le cas qui précède, et qu'alors un troisième, un quatrième point... d'intersection vienne, par un mouvement progressif et continu, à se rapprocher de ceux confondus au point de contact jusqu'à une distance infiniment petite; les deux courbes acquièrent alors, en ce dernier point, deux, trois,... éléments consécutifs en commun, elles ont un contact ou une osculation du second, du troisième ordre, et ainsi de suite, j)0ur un nombre quelconque de points réunis en un seul.

chose qu'une branche de courbe fermée, qui a acquis des dimensions infiniment petites; un point de rebroussement, une portion de branche de courbe terminée d'abord par un point multiple ou par la rencontre des deux côtés de la branche, en forme de nœud ou de boucle, et qui a acquis ensuite des dimensions infiniment petites, etc. [a).

{Note de 1818.)

(rt) Plus tard, lorsque je me proposai d'approfondir davantage l'étude des propriétés projectives des courbes et surfaces géométriques, je rédigeai un assez long article sur ce sujet, qui devait faire partie de l'introduction à un Traité d'ensemble, pour ainsi dire exclusivement fondé sur l'intuition géométrique et le principe de continuité; mais faute de loisirs indispensables à l'accomplissement d'une pareille œuvre, je fus contraint d'y renoncer, et me bornai à l'occasion, comme on peut le voir dans mon Mémoire souvent cité de i83o, à offrir quelques aperçus ou tentatives éparses de cette espèce. ( Noie de i863.)

64. Deux courbes qui ont en commun un nombre pair d'éléments consécutifs se croisent évidemment en même temps qu'elles s'osculent, et elles s'enveloppent, au contraire, aux environs du contact, quand le nombre de ces éléments est impair : cela résulte immédiatement de la continuité; or, il est visible que, dans cette dernière circonstance, les deux courbes pourront se détacher entièrement l'une de l'autre aux environs du contact, en sorte qu'il y aura un nombre pair de points qui deviendront imaginaires, tandis que, au contraire, dans l'autre circonstance, elles ne pourront se détacher d'une manière absolue; l'un des points confondus au point de contact devra évidemment demeurer réel. Il y a donc toujours un nombre pair de points qui deviennent imaginaires, soit que ces points perdent leur existence par groupes de deux, quatre, etc., points, soit que ces groupes deviennent imaginaires à la fois ou isolément, dans les diverses régions des deux courbes.

Il n'en est pas ainsi des points réels qui perdent leur existence géométrique en passant à l'infini : ces points peuvent indifféremment être en nombre pair ou impair. Si l'on suppose, par exemple, que le point d'osculation qui précède vienne à s'écarter sans cesse de sa position primitive sur la courbe fixe, par un mouvement progressif et continu, jusqu'à s'en éloigner à une distance infinie, il n'y aura évidemment aucune distinction à faire entre le cas où le nombre des points qu'il représente est pair ou impair.

Quand deux courbes ont ainsi plusieurs points communs à l'infini, réunis en un seul, elles sont ce qu'on nomme asymptotiques du premier, du second... ordre, selon que ces points sont au nombre de deux, de trois, etc., etc.

Du reste, il est visible que, puisque tous les points à l'infini de l'espace doivent être regardés idéalement comme sur un plan (58), il est impossible que le nombre de ceux de ces points qui appartiennent en commun aux deux courbes, soit plus grand que celui qui marque le degré même de ces lignes courbes.

65. La position d'une courbe qui devient osculatrice ou asymptotique d'une autre n'est pas entièrement arbitraire et

356 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES indéterminée ; car il faut qu'elle remplisse autant de conditions distinctes qu'il y a de points qui se sont réunis en un seul, et ces conditions sont assignées à l'avance par la loi de continuité ; les points d'osculation étant donnés, ces conditions sont, en effet, que la courbe variable passe par un certain nombre de points infiniment près du premier, tous placés sur la courbe, et dont la position est par conséquent déterminée: c'est ainsi que par trois points consécutifs d'une courbe on ne peut faire passer qu'une seule circonférence de cercle, qui par conséquent est osculatrice du second ordre à la courbe proposée, de même que par deux points consécutifs de cette courbe on ne peut également mener qu'une seule ligne droite qui lui soit tangente ou osculatrice du premier ordre. Quant à la détermination effective, à la construction de la courbe osculatrice, elle ne peut s'obtenir qu'au moyen d'une propriété •appartenant simultanément au système général des points d'intersection des deux courbes, lorsque ces points sont séparés et distincts, puis étendant ces propriétés à l'état particulier que l'on considère au moyen du principe de continuité.

66. En général, si trois ou un plus grand nombre de courbes se coupent en plusieurs points communs, tous actuellement réels, leur système jouira dans cet état de certaines propriétés métriques ou descriptives, et ces propriétés seront propres, à leur tour, à exprimer l'état particulier du système, elles seront la définition de ce système; or, il résulte du principe de continuité que ces propriétés demeureront applicables à toutes les figures corrélatives de la première (6), que cette corrélation demeure d'ailleurs réelle ou idéale ; il n'y a donc pas de distinction à faire entre le cas où les points d'intersection commune sont réels et ceux où ils sont confondus en un seul, imaginaires ou placés à l'infini, soit en tout, soit seulement en partie; la conception de l'un et de l'autre de ces systèmes demeure la même, sous le point de vue idéal, et pareille chose a lieu évidemment pour les surfaces courbes. Ainsi, par la raison que trois courbes, osculatrices d'un certain ordre, peuvent être regardées comme ayant un certain nombre de points communs réunis en seul, ou séparés les uns des autres par des distances infiniment petites, on est en droit

d'affirmer que, dès l'instant où deux quelconques de ces courbes sont osculatrices d'un ordre quelconque à la troisième, elles sont nécessairement osculatrices du même ordre entre elles, et jouissent par conséquent, deux à deux, sous ce rapport, des mêmes propriétés.

Pareillement, de ce que trois.surfaces sphériques, qui s'entrecoupent d'une manière réelle, sont telles, que les trois plans de leur section mutuelle concourent en une même droite, on est en droit d'affirmer la même chose de trois sphères qui cesseraient de s'entrecouper en tout ou en partie, et cette conséquence du principe de continuité, quoique au premier aspect étrange et paradoxale, suffit pour prouver que les plans de section idéale n'ont pas cessé de subsister et d'être constructibles ; car, si l'on considère deux sphères entièrement isolées, et qu'on les coupe à la fois par une même troisième, les deux plans de section réelle donneront, par leur pénétration, une ligne droite qui, d'après ce qui précède, devra appartenir au plan de la section idéale des deux sphères données; et, comme il en serait de même à l'égard d'une nouvelle sphère prise à volonté, le plan de cette section idéale se trouvera entièrement déterminé.

67. Quand une fois on a reconnu et déterminé les divers caractères et les notions abstraites ou figurées que peut présenter la conjonction des lignes, on s'élève, sans beaucoup de peine, à ce qui peut concerner celle des surfaces courbes situées à volonté dans l'espace.

Considérons, en effet, deux surfaces quelconques, mais assujetties dans leur cours à la loi de continuité : elles se pénétreront, en général, en plusieurs branches de lignes courbes, appartenant à leurs diverses nappes, et que je supposerai actuellement être réelles et distinctes; or, si l'une des deux surfaces vient à varier de forme et de situation dans l'espace à l'égard de l'autre, par un mouvement continu qui n'en change ni la nature, ni les propriétés primitives, il pourra se faire que l'une des branches d'intersection s'étendant sans cesse , finisse bientôt pas passer tout entière à l'infini ; alors les nappes correspondantes seront devenues parallèles dans leur cours illimité, elles pourront être regardées idéalement comme

358 IV CAHIER. - CONSIDÉ HATIONS PHILOSOPHIQUES

ayant en commun une section plane à l'intini (58), mais dont

la situation, bien qu'unique, est arbitraire et indéterminée.

Si l'on suppose, au contraire, que la branche examinée se rétrécisse sans cesse et finisse par se réduire à des dimensions infiniment petites, les deux surfaces auront au point correspondant un élément plan touj entier en commun, et seront tangentes ou osculatrices du premier ordre en ce point.

La surface variable, continuant à se mouvoir dans le même sens, finira bientôt par s'isoler, aux environs du contact, de la surface restée fixe, et alors la branche devenue d'abord infiniment petite cessera tout à coup de subsister d'une manière géométrique ; elle deviendra entièrement imaginaire, et continuera de rester telle pendant un cerlain intervalle et pour une série de positions successives de la surface variable.

■ 68. On retombe ainsi sur les divers caractères de non-existence que nous avons déjà reconnus appartenir à la mutuelle intersection des lignes, et l'on ne peut évidemment en obtenir d'autres en poursuivant l'examen qui nous occupe; la raison en paraîtra toute simple, si l'on considère que l'une et l'autre des deux surfaces données peuvent, à chaque instant, être regardées comme engendrées séparément par les traces de deux lignes courbes variables situées dans un même plan, mobile de situation dans l'espace. C'est d'après de semblables considérations que l'on dit que deux surfaces quelconques sont osculatrices d'un certain ordre en un point donné, lorsque les sections planes, faites par ce point dans ces surfaces, sont elles-mêmes respectivement osculatrices de cet ordre. Pour le cas du contact du premier ordre, cette notion coïncide évidemment avec celle qui résulte de l'examen qui précède; on peut faire voir la même chose pour les contacts des ordres supérieurs au premier.

Supposons, en effet, que l'une des branches d'intersection communes aux deux surfaces étant devenue infiniment petite et s'étant évanouie au point de leur contact mutuel, une autre branche d'intersection se rapproche de ce point en restant d'une grandeur finie, jusqu'à n'en être éloignée, vers une certaine portion de son cours, qu'à une distance infiniment petite : il est visible que les deux surfaces seront devenues mu-

luellemenl osculalrices du 2« ordre dans le sens même de la définition qui précède; car, toute section plane faite dans les deux surfaces par le point de contact commun donnera nécessairement deux lignes courbes, ayant d'abord deux points communs réunis en un seul au contact, puis un troisième point à une dislance infiniment petite des deux autres, résultant de la pénétration du plan qui renferme les deux courbes et de la seconde branche dont, par hypothèse, le cours passe à une distance infiniment petite du point de contact que l'on considère.

Si la seconde branche, au lieu de passer simplement par le point de contact ou à une distance infiniment petite de ce point, se rétrécissait sans cesse et finissait par avoir des dimensions infiniment petites et par se confondre tout à fait avec la première au point de contact, les sections planes faites par ce point deviendraient évidemment osculatrices du 3" ordre, et il en serait de même des deux surfaces qui les renferment. En faisant intervenir successivement d'autres branches de l'intersection commune des deux surfaces, on s'élèverait sans peine aux contacts des ordres supérieurs.

69. Nous pourrions ici reproduire, pour les surfaces, les diverses notions que nous avons vues se rapporter aux simples lignes continues, mais cette discussion deviendrait fastidieuse par sa longueur, et il sera très-facile d'y suppléer; nous terminerons en conséquence par faire observer que, si deux branches, au lieu de s'évanouir, demeuraient finies en se rapprochant dans toute l'étendue de leur cours jusqu'à se confondre, ou, si l'on veut, jusqu'à se trouver à une dislance infiniment petite, les deux surfaces acquerraient par là un contact du i*"" ordre suivant toute une ligne courbe ; elles deviendraient osculalrices du 2^, du 3^... ordre, suivant la même ligne, si une, deux. . . branches venaient, par un mouvement continu, se réunir aux deux premières. Si, dans ces diverses circonstances, les lignes de contact passaient tout entières à f infini, les surfaces correspondantes deviendraient asymptotiques du i", du 2% du 3^ ordre. .. , elles s'osculeraieni suivant toute une section plane qui leur serait commune à l'infini (58).

36o IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

70. Dans l'examen rapide que nous venons de faire des objets de non-exislence, nous n'avons point rencontré les quantités inversés ou négatives; la raison en est toute simple, c'est que ces êtres, qui appartiennent proprement au calcul algébrique, n'expriment que des modifications réelles arrivées dans l'état du système, tenant à un simple changement d'ordre des grandeurs absolues, ou de disposition des objets qui composent ce système, et non pas à l'impossibilité de construire et de représenter géométriquement ces objets. Car, de ce que, en vertu des changements arrivés dans une figure, un point aura passé de la droite à la gauche d'une ligne ou d'un autre point du système, il n'y a pas là de modification assez essentielle pour qu'on ne puisse étendre la conception des relations purement métriques du premier système à celui qui lui est corrélatif, et les regarder l'un et l'autre comme un âeul et même système réel, considéré dans des positions différentes.

Toutefois, si ces modifications n'influent que très-légèrement sur la co|iception géométrique du système, et qu'il soit inutile d'y avoir égard quant aux relations descriptives, elles n'en sont pas moins très-importantes quant aux relations purement métriques, puisqu'en vertu de ces modifications de telles relations peuvent cesser d'être immédiatement applicables au nouvel état de la figure; certaines grandeurs qui y entrent devant elles-mêmes changer de signe, et passer d'un état positif à un état négatif.

71. Les notions dont l'examen vient de nous occuper, combinées entre elles, conduisent à un grand nombre de conséquences également abstraites qu'il serait peut-être intéressant de parcourir et d'énumérer; notre but, comme nous l'avons déjà dit, n'a été que d'en donner une esquisse fort légère, afin de faire voir, d'une manière générale, comment elles découlent sans peine et naturellement de la seule admission du principe de continuité en Géométrie.

Au reste, la plupart de ces notions ne sont, à proprement parler, que des définitions de mots imprimés aux divers caractères que peut présenter la conjonction des formes géométriques; elles ne peuvent actuellement servir qu'à rapprocher

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 36i

entre eux ces différents caractères, et à les présenter à la conception sous un même point de vue, sous une unité d'origine; elles demeureraient éternellement stériles si on ne les appliquait, au moyen du principe de continuité, à des propriétés déjà connues, à des lignes ou à des surfaces dont la loi métrique ou descriptive, et par conséquent la définition génétique, fussent à l'avance bien connues.

Néanmoins, ces notions peuvent conduire à des vérités générales et nouvelles appartenant à toutes les formes possibles de l'étendue, et qui deviennent par là très-propres à comparer ces formes entre elles, et à ramener ainsi l'étude de celles qui sont compliquées à la contemplation de celles qui sont élémentaires et déjà bien connues. Les écrits géométriques de nos jours sont pleins de ces vastes et utiles vérités; j'en citerai un seul exemple, pour montrer comment elles se rattachent toutes aux notions qui viennent de nous occuper :

«f Lorsque deux surfaces ont dans toute l'étendue d'une » ligne courbe un contact de l'ordre m, un plan tangent à » cette courbe, et qui coupe les deux surfaces, y produit deux » sections qui ont un rapprochement de l'ordre im-]-i au » point de contact. »

En effet, par le point dont il s'agit et que j'appelle T, concevons un plan quelconque qui coupe de nouveau la courbe de contact aux points T', T",..., il coupera aussi les deux surfaces suivant deux lignes passant par les mêmes points T, T', T",..., et ayant, en chacun d'eux, un contact de l'ordre m, ou /n-+-i points communs réunis en un seul (70). Cela posé, concevons que le plan , d'une direction d'abord arbitraire tourne autour de T, de manière que le point suivant T' s'en rapproche sans cesse par un mouvement continu, jusqu'à se confondre avec lui en un seul, auquel cas le plan dont il s'agit sera évidemment devenu tangent à la courbe de contact; les deux intersections faites dans les surfaces par ce plan, qui, d'après ce qui précède, ont m + i points communs confondus en un seul, soit en T ou en T', en auront acquis 2(m-|-i) en commun au point de contact du plan, et seront par conséquent osculatrices de l'ordre 2(w-h«) — i en ce point.

Si le point T" venait à se réunir aux deux premiers, c'està-dire si le plan sécant devenait osculateur de la courbe de

362 IV* CAHIER. - CONSIDERATIONS PHILOSOPHIQUES contact, ses deux intersections avec les surfaces données auraient évidemment 3{m-\-ï) points communs réunis en un seul, elles seraient osculatrices de l'ordre 3(mH-i) — i.

Enfin, les mêmes raisonnements prouvent que, si au plan on substitue une surface coupante quelconque ayant au point T un rapprochement de l'ordre n avec la courbe de contact, elle déterminera, dans les surfaces données, deux lignes d'intersection qui seront osculatrices de l'ordre {m -h i){n ■+ i) — i au même point T (*).

72. Dans ce qui précède, nous nous sommes efforcé de nous élever à toute la hauteur des notions abstraites qui découlent de l'admission du principe de continuité en Géométrie; nous avons cherché parla à donner une idée générale et précise de l'influence qu'il exerce dans toutes les recherches où on l'emploie, et de l'importance qu'il peut un jour acquérir s'il est admis dans la Géométrie rationnelle, sans aucune restriction et dans toute l'étendue des conséquences qui lui sont propres. Dans un travail que nous nous proposons de faire paraître à la suite de cet écrit, et qui était d'abord destiné à en faire partie, nous chercherons à présenter des vérités plus particulièrement utiles;, en faisant usage des conséquences du principe qui vient de nous occuper, nous tâcherons, autant que possible, de ne pas abandonner la marche du raisonnement ordinaire ; nous éviterons surtout de nous jeter, dès les premiers pas, dans les considérations métaphysiques des imaginaires, auxquelles l'esprit ne saurait s'accoutumer que peu à peu et par une gradation insensible dans les idées. Par là nous ne risquerons pas de devenir inintelligible; nous imiterons la prudence et la circonspection des algébristes, qui n'adoptèrent qu'à la longue, et après bien des tentatives et des succès, les conséquences abstraites du principe de continuité.

(*) DupiN, Développements de Géométrie, pages 226 à 282. {Foir à la page suivante, une heureuse application de ce genre de considérations à la théorie de la courbure des surfaces.)

ADDITION AU IV« CAHIER PAR M. MOUTARD (i863;

Nous aurions pu joindre à la démonstration du n° 71, page 36i , celle de plusieurs autres théorèmes tirés de l'ouvrage de M. Dupin, ou d'anciennes Notes manuscrites; mais cela eût été d'une faible importance scientifique et .aurait inutilement surchargé ce volume; il m'a paru bien plus profitable pour les lecteurs amis de la nouveauté, d'insérer à la suite de ce Cahier, l'extrait d'une lettre beaucoup trop modeste, que M. Moutard a bien voulu m'autoriser à publier, et qui aurait encore gagné en intérêt si l'état avancé de l'impression et de la mise en pages, lui avait permis d'en développer davantage les remarquables conséquences géométriques.

« Frappé, dit notre savant professeur, de la simplicité avec laquelle » vous démontrez, à l'aide de notions uniquement basées sur la continuité, » le théorème de M. Charles Dupin, relatif à deux surfaces qui ont dans » toute l'étendue d'une ligne courbe un contact d'ordre m, j'ai essayé « d'appliquer les mêmes notions à l'étude du contact d'un ordre quel- » conque de deux surfaces en un point unique, et, en suivant pour ainsi » dire pas à pas votre mode de démonstration (p. 36i), je suis parvenu » aisément à retrouver un théorème qui me paraît digne d'intérêt et » que j'avais précédemment rencontré à l'occasion d'autres recherches.

» Considérons deux surfaces qui aient en un point A un contact d'or- » dre m, et concevons qu'un plan sécant mobile se rapproche indéfini- » ment du point A. Parmi les points communs à ce plan et à la ligne » d'intersection des deux surfaces, il y en a w + i qui viennent à la li- » mite se confondre en A, puisque les sections des deux surfaces par les » plans qui contiennent A ont, en général, un contact d'ordre m.

» Ceci étant vrai pour toutes les directions du plan sécant, on en con- » dut que la ligne d'intersection des deux surfaces a, en général, /ii + i » branches réelles ou imaginaires qui se croisent en A.

» Imaginons maintenant qu'un plan passant par A tourne autour de ce » point jusqu'à ce que l'une de ses intersections avec l'une des m + 1 » branches vienne à se confondre avec lui ; il est clair que l'ordre du » pontact des sections que ce plan détermine dans les deux surfaces se » trouvera élevé d'une unité, et sera par conséquent /« + i. Dans sa » situation finale, ce plan contient la tangente en A à l'une des branches » de la courbe d'intersection, et n'est d'ailleurs soumis à aucune autre » condition.

» Enfin, faisant tourner de nouveau ce plan autour de cette tangente » jusqu'à ce qu'il devienne osculateur de la branche correspondante, un

» nouveau point d'intersection des deux courbes, suivant lesquelles ce )) plan coupe les surfaces, viendra se confondre avec A, et l'ordre du » contact encore élevé d'une unité sera devenu /« + 2.

» En résumé, nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

» Lorsque deux suifaces ont, en un point A, un contact de Perdre m, » elles se coupent en général suivant une ligne gauche dont m -\- i bran- » ches réelles ou imaginaires se croisent en A. Un plan quelconque, con- » tenant l'une des tangentes menées en K à ces m + 1 branches, coupe » les deux surfaces suivant des courbes dont le contact en A est d'un » ordre immédiatement supérieur /« + 1 ; enfin , parmi tous les plans » sécants qu'on peut mener par l'une de ces tangentes, il en existe un, » à savoir le plan osculateur de la branche correspondante, pour lequel » les sections ont un contact d'un ordre encore plus élevé m-\-%.

» Parmi les nombreux corollaires que l'on peut déduire de ce théorème » général en y joignant quelques autres considérations, je me bornerai à » citer les suivants :

» Si autour d'une tangente quelconriue menée à une surface en un » point A, on fait tourner un plan, et que dans cliacune de ses positions » on construise la conique qui a en k avec la surface un contact du » 4^ ordre, il existera en général deux positions, réelles ou imaginaires, » du plan sécant, pour lesquelles le contact montera au 5" ordre. L'en- » semble de toutes ces conicfues forme d'ailleurs une surface du 2" ordre, » en général, simplement osculutrice h la proposée.

» Par chaque point d'une surface continue , il est en général possible y. de mener 27 coniques, ayant avec la surface , en ce point , un contact » du 6* ordre.

» Dans le cas particulier m. la surface donnée est du 3" degré, les po- » sitions singulières du plan sécant mené par une tangente quelconque, » pour lesquelles le contact avec une conique peut monter au 5" ordre, » sont celles qui contiennent les asymptotes de l'indicatrice relative au » point où la tangente considérée perce de nouveau la surface. On peut » ajouter que le plan tangent en ce dernier point contient la courbe d'in- » tersection de la surface osculatrice formée par toutes ces coniques avec » la polaire du 2'' degré du point A par rapport à la surface du 3^ ordre » donnée.

» Ces derniers énoncés ont besoin de quelques modifications pour » s'étendre aux surfaces algébriques de degré quelconque, mais ce n'est » pas le lieu d'insister sur ce point. »