POLAIRES RÉCIPROQUES ET DE RÉFLEXIONS SUR L'ÉLIMINATION

(t. VIII des Annales, i^*" janvier i8i8.)

Quel est le lieu du sommet d'un angle mobile, de grandeur invariable, perpétuellement circonscrit à une section conique ? Quelle est la courbe

(*) Je supprime ici les j-é flexions que l'article précédent de philosophie a suggérées à M. Gergonne, et dans lesquelles, pour établir la supériorité des méthodes algébriques sur celles de la Géométrie pure, il rappelait ses élégantes solutions des problèmes relatil's aux cercles et aux sphères tangents à d'autres donnés à volonté sur un plan ou dans l'espace. Mais , outre que ces solutions avaient été précédées par d'autres purement géométriques qui, sauf le manque de généralité , n'étaient point dénuées d'un certain mérite , le savant rédacteur des Annales aurait dû ne pas oublier que le succès de ses méthodes trigonométriques est principalement dû à l'heureux mélange qu'il a su faire des considérations géométriques avec celles de l'Analyse algébrique. Moi-même, je dois le reconnaître, j'ai eu le tort grave de ne pas déclarer que j'avais mis en usage la méthode des coordonnées de Descartes, pour établir les bases premières des théories et solutions géométriques énumérées dans le précédent Article, comme on peut s'en assurer à la lecture du t. I""^ de ces Applications.

{**) Ces deux problèmes avaient été proposés à la p. 36 du même volume des Annales, Cahier d'août 1817; j'ai saisi la circonstance toute naturelle de

enveloppe de la corde de contact, variable de grandeur, de cet angle mobile ?

Ce problème, comme on le voit par l'énoncé, se partage en deux autres très-distincts, et qu'il convient de traiter séparément : je commencerai par le premier, qui paraît le plus facile, c'est-à-dire par celui où il s'agit de trouver le lieu du sommet de l'angle mobile et invariable de grandeur, constamment circonscrit à une section conique.

I. Supposons, afin d'embrasser tous les cas, que la courbe donnée soit rapportée à l'un de ses sommets comme origine; les axes des x et des j se confondant, l'un avec l'axe principal, l'autre avec la tangente à son extrémité. L'équation sera, comme on sait, de cette forme :

(i) r^+Ax^ + nx== o.

Appelons a, p les coordonnées variables du sommet de l'angle constant circonscrit à la courbe; désignons par w, m' les tangentes tabulaires des angles que forment, avec l'axe des .r, les deux côtés de cet angle, et soit enfin k la tangente tabulaire de l'angle donné que doivent faire ces deux côtés l'un avec l'autre, nous aurons, d'après l'énoncé du problème, cette première équation de condition :

(2) ,= n, ou ni — m ~ A (i ■+- mnt) .

Parmi les divers moyens de faire trouver n?, m' en fonction des coordonnées a, p, il n'en est point de plus simple que celui employé par M.Lefrançois, à la p. io5 de son Essai de Géométrie analjrtique. Nous le rappellerons ici en peu de mots, en l'appliquant au cas qui nous occupe.

Qu'on imagine une droite quelconque passant par le point (a, p), et ayant par conséquent une équation de cette forme :

elle rencontrera, en général, la section conique en deux points, dont on obtiendra les abscisses en combinant son équation ( 3 ) avec l'équation ( i )

leur solution, pour obtenir plus aisément du rédacteur la rare faveur de faire imprimer un extrait des recherches, qui m'avaient dès lors occupé, sur la théorie des polaires réciproques , et dont, plus tard, M. Gergonne et d'autres ont su habilement tirer un si avantageux profit, sans jamais avouer ni vouloir reconnaître l'emprunt fait aux méthodes et aux idées du présent Mémoire; procédé scientifique peu honorable sans doute quand il est calculé, volontaire mais qui, en revanche, permet, au dernier survenu, de passer de son vivant pour un esprit original et inventif, tout en accordant d'ailleurs une scrupuleuse justice aux médiocrités du jour et des temps passes.

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(le cette courbe. En exprimant ensuite que les deux racines de l'équation à laquelle on sera parvenu sont égales, on obtiendra une équation de condition, qui indiquera évidemment que la droite en question est devenue tangente à la courbe; et cette équation étant en a, p, m et des .constantes, donnera précisément, pour l'expression algébrique de m, les valeurs cherchées m, m'.

Éliminant donc/ entre les équations (i, 3), puis écrivant que les deux racines de la résultante en x sont égales, il viendra, toutes réductions faites,

. En désignant donc par m, m' les deux racines de cette équation, on aura

Aoi^-\-Ba. Acr-\-Bc/.

retranchant la seconde de ces équations du carré de la première, il viendra, en extrayant la racine,

Aot? + Ba. ' on aura en outre

I 4- mm' — ^ — . I ^2 , p X ;

substituant à leur tour ces valeurs dans l'équation (a) et carrant, il vient

D'après les conditions du problème, k est une quantité constante et donnée. L'équation qui précède fournira donc le système des valeurs de a et p qui répondent aux sommets des angles égaux circonscrits à la section conique, et sera par conséquent l'équation même de la courbe cherchée (*).

( * ) Je supprime ici une longue note du rédacteur des Annales dans laquelle il^prouve, sur l'exemple de l'ellipse, que l'équation (4) est en elle-même indécomposable en facteurs du 2^ degré. Par contre, je ferai observer que la courbe à deux branches distinctes, représentée par cette équation et symétrique autour du centre de la proposée, mériterait une étude spéciale qui se rattache à la théorie des signes de position et des constantes mobiles dont nous nous sommes occupés dans la dernière partie du IIF Cahier. Qu'il me suffise de dire que cette courbe, d'une construction géométrique facile et rapide, jouit de cette singulière propriété d'être coupée par chacune des tangentes à l'ellipse directrice, en quatre points réels et distincts, susceptibles d'être déterminés par des opérations graphiques qui ne dépendent que du second degré, c'est-à-dire de la règle et du compas. (Cette note et les trois précédentes datent de i863.)

II. Cette courbe est, comme on le voit, du quatrième degré, et il est aisé de s'assurer, par un simple déplacement de l'origine sur l'axe des .r, qu'elle est concentrique avec la proposée ; mais c'est à quoi nous ne nous arrêterons pas, non plus qu'à discuter son cours et ses propriétés. Nous nous bornerons à parcourir, d'une manière succincte, les cas particuliers déjà connus où son équation s'abaisse au second degré, et représente par conséquent une section conique ( * ) :

1° Si l'angle mobile circonscrit est nul ou égal à deux droits, ce qui arrive lorsque ses deux côtés se confondent, la constante k est nulle aussi, et l'équation ci-dessus devient

c'est-à-dire l'équation même de la section conique, ce qui d'ailleurs est évident à priori (**).

a" Si la courbe donnée est une circonférence de cercle , ^ sera égal à l'unité, et l'équation (4) deviendra, en développant et ordonnant par rapport à P'-l-a^+ ^ S

i&P{^' -i- u' + £^j^y - SB' [1+ P) ip' + ol' -h Bec) -h PB' = o;

d'où l'on tire

^^ + a='H-^a=^(i±:v/7TÂ^)^;

équation qui représente le système de deux circonférences concentriques avec la proposée, comme cela était facile à prévoir.

3° Si l'angle invariable est droit, X- sera infini, et l'équation (4) deviendra

iJ(p'+o^')-h^Bx-B' = o;

c'est l'équation d'une circonférence de cercle, concentrique à la section conique donnée. En supposant que ^ soit nulle dans cette équation, auquel cas l'équation ( i) de la section conique donnée devient y + Bx— o, et représente une parabole, elle se réduit à cette forme encore plus simple,

c'est évidemment l'équation de la directrice même de cette parabole.

(*) Voir un Mémoire de Lahire, dans le volume de Y Académie rcQrale des Sciences, de Paris, pour 1704. (Note de 1817.)

(**) Dans le cas où A est nul, on satisfait encore à l'équation (4) en posant

4>^(/3»-+- a')-+- 4iîa - fi'= 00 ;

c'est l'équation d'une circonférence concentrique avec la section conique, ayant un rayon infini. C'est qu'alors les deux côlés de l'angle invariable circonscrit sont parallèles. (Note de M. Gergonne.)

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4° Si, enfin, sans rien statuer sur la valeur de /•, on suppose, comme dans le cas précédent, que la courbe donnée soit une parabole, et que, par conséquent, A soit égal à zéro, l'équation générale (4) deviendra, en l'ordonnant,

équation d'une hyperbole {*) dont le grand axe se confond, pour la direction, avec celui de la parabole donnée, et qui, de plus, a l'un de ses foyers en commun avec cette parabole, comme cela a été énoncé à la p. i3 du présent volume des Annales (t. VIII).

Pour prouver cette assertion, proposons-nous do rechercher les foyers de l'hyperbole dont il s'agit.

On sait qu'un des caractères du foyer d'une section conique, quand elle est rapportée à son grand axe comme axe des abscisses, est que sa distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle et entière de l'abscisse correspondante. Nommant donc /la distance inconnue de ce foyer à l'origine, on aura, en faisant attention à l'équation ci-dessus de l'hyperbole, pour la distance de ce point à un point quelconque (a, ^) de cette même courbe.

Cette expression ne peut être rationnelle, à moins que la quantité sous le radical ne soit un carré parfait; /doit donc être telle, qu'on ait

(*) Si, comme le prouve M. Gei-gonne, la courbe que représente l'équation (4) est réellement du 4^ degré, on peut se demander ce qu'est devenue la seconde branche de cette courbe, distincte de l'hyperbole. Or, k n'entrant qu'au carré dans les équations de l'une et l'autre courbes et représentant la tangente tabulaire. d'un angle constant, il est évident qvi'au point de vue géométrique, cet angle peut recevoir, dans le tracé de la courbe lieu du sommet mobile, toutes les ouvertures qui correspondent en général à une même valeur, positive ou négative de k: tel est un angle aigu donné et son supplément, etc. Dès lors, il y a lieu de considérer deux angles circonscrits et distincts comme le suppose la première des notes ci-dessus, et par conséquent, pour chaque tangente de la parabole directrice, quatre sommets d'angles circonscrits dont deux sur l'hyperbole et deux à l'infini, appartenant à une branche conjuguée à l'hyperbole, doublement rectiligne, elle-même à l'infini; ce qui prouve que tous les mystères de la Géométrie analytique ne sont point jusqu'ici entièrement éclaircis. (Note dé i863.)

ou, en développant et ordonnant,

d'où l'on tire pour / ces deux valeurs

dont la première est évidemment l'abscisse du foyer de la parabole donnée. Donc, en effet, ce foyer est aussi un de ceux de l'hyperbole qui nous occupe.

Pour compléter le rapprochement entre ces deux courbes, nous allons faire voir qu'elles ont une directrice commune, correspondant précisément au foyer ci-dessus.

La directrice d'une section conique, répondant à l'un de ses foyers, n'est autre chose, comme on le sait (Brianchon), que la />o/<7//e même de ce foyer ; ce caractère la distinguant de toute autre droite tracée sur le plan de cette courbe, il paraît convenable de la désigner par l'expression de polaire focale^ qui en rappelle la nature d'une manière plus complète et plus absolue que le mot commun et générique de directrice, et c'est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre. Afin de déterminer cette polaire dans le cas actuel de l'hyperbole trouvée, soient x', j' les coordonnées d'un point quelconque, considéré comme pôle; l'équation de la polaire qui lui correspond sera évidemment (*)

B^ Si l'on substitue pour y' et x' les valeurs o et — j-, qui appartiennent,

comme nous l'avons vu ci-dessus , au foyer de l'hyperbole commun à la parabole donnée, cette égalité deviendra

équation qui appartient précisément à la polaire focale de la parabole dont il s'agit; comme on s'était proposé de le démontrer.

III. Passons maintenant à la solution de la seconde partie du problème proposé, celle où il s'agit de trouver la nature de la courbe enveloppe de la corde de l'angle mobile et constant, circonscrit dans toutes les positions de cet an2;le.

(*) Ici, comme dans tout ce qui va suivre, je suppose que l'on ait une connaissance parfaite de la Théorie analytique des pôles, exposée par M. Gergonne, à la page 29.3 du t. 111 de ce Recueil. {Note de 1817.)