II. 3i

Je remarque d'abord que la corde dont il s'agit n'est autre chose que la polaire du sommet mobile (a, ^), et que, de plus, la courbe que parcourt ce sommet est déjà connue par ce qui précède , d'où il suit que la question se trouve naturellement ramenée à celle-ci :

Le pôle (Pane section conique étant assujetti à parcourir une courbe donnée, quelle sera la courbe enveloppe de la polaire de ce point, dans toutes ses positions ?

On trouve facilement, par la théorie des pôles, que^ pour la courbe (i), la polaire qui répond à un point (a, p) a pour équation

(5) 'i.^y+{-i.AoL + B)x + Boi^o,

Dans cette équation, p est une fonction de a, en vertu de l'équation (4) ; or, d'après la théorie des enveloppes, quand une ligne varie en même temps qu'un certain paramètre^ qui entre dans son équation, on obtient une nouvelle relation appartenant au point correspondant de l'enveloppe, c'est-à-dire appartenant au point oii cette ligne la touche, en différentiant l'équation, par rapport à ce paramètre comme variable, et regardant les coordonnées courantes comme constantes. Différentiant donc l'équation (5) par rapport à a, et laissant x bi y constantes, il viendra cette nouvelle équation

dp •i.-^Y-\-'i.Ax-\-B=o, da

qui servira , conjointement avec celle ci-dessus , à calculer les coordon-

dS nées x^ y d'un point de l'enveloppe, quand a, ^ et ~ seront connus.

dS On obtiendra la valeur de -p en différentiant l'équation (4) par rapport à a et p, ce qui donnera

dp lAoL + B P [4^(P'-4-a')-l-4^«— ^'] - o^B^ da" ip ■^/?-^[4^(6^H-a^)-4-4i?a-^']-2B="

Substituant cette valeur dans l'équation trouvée ci-dessus, elle deviendra

/ {'î.Ao^^B)\P[^\A[rf + ai') + /^Boi-B^\--i.B'\y

(6) ) ■xAp\AP[^A[''^-'+a?) + ^BoL-B''']-'i.B^\x (- ^p)^Â'[4^(^=+a^)4-4^a-^=]-2J5=|=:o.

Cette dernière équation et l'équation (5) devant, d'après ce qui précède, donner conjointement un point [x, y) de la courbe cherchée, quand on y mettra, pour a et [3, des valeurs qui conviennent à l'équation (4), il s'ensuit que, en éliminant a et ^ entre ces trois équations, on obtiendra, en X et j, l'équation même de cette courbe.

IV. A ne consulter que le degré de chacune de ces équations, on voit

que l'équation finale pourrait s'élever jusqu'au Sa* degré ; et, en supposant que l'équation linéaire (6) ne se comporte que comme une équation du i" degré, ce qui est assez probable, on voit que cette équation monterait encore au 16'= degré. Il serait, à ce que je crois, long et pénible d'effectuer en toutes lettres cette élimination, à cause des facteurs étrangers qui, nous le verrons plus tard pour un cas particulier, compliquent nécessairement le résultat final auquel on doit parvenir. J'avoue que je n'ai pas eu le courage de l'entreprendre , quelle que fût d'ailleurs ma bonne volonté de le faire.

Cependant, comme c'est une question fort intéressante en elle-même que celle de trouver, en général, quel est le degré de la courbe sur laquelle roule la polaire d'une section conique, quand le pôle parcourt une courbe de degré donné, et réciproquement, j'ai été entraîné à faire les recherches suivantes, qui, je l'espère, pourront dédommager en partie le lecteur de l'attention qu'il aura bien voulu accorder à l'ébauche infructueuse, que je viens de lui offrir.

Théorie des polaires réciproques.

V. Avant d'entrer en matière, j'exposerai, pour l'intelligence de ce qui va suivre, ce théorème général, qui résume en lui-même toute la théorie des pôles et polaires :

Si un certain point est situé sur une ligne droite tracée dans le plan d'une section conique , sa polaire passera par le pôle de cette droite.

Soit a le pôle d'une certaine droite, assujetti à parcourir une courbe quelconque tracée sur le plan de la section conique qui sert de directrice ou A' intermédiaire ; si l'on suppose que ce pôle a se déplace infiniment peu de sa position primitive sur la courbe parcourue, c'est-à-dire sur celle qu'il est assujetti à décrire, il n'aura pas quitté la tangente au point correspondant de cette courbe; d'un autre côté, sa polaire, d'après le théorème qui précède, n'aura pas quitté non plus un certain point fixe, qui est le pôle même de la tangente en question. Or, ce point est précisément celui oh la polaire de a touche la courbe enveloppe, puisqu'il est, par hypothèse, le point d'intersection de deux tangentes consécutives de cette courbe; donc, de même que chaque point de la courbe parcourue par le point a peut être considéré comme le pôle d'une certaine tangente de l'enveloppe ; pareillement, chaque point de cette dernière peut, à son tour, être considéré comme le pôle d'une certaine tangente à la courbe parcourue par le point a.

Il résulte de là que les deux courbes dont il s'agit jouissent de propriétés réciproques à l'égard de la section conique qui leur sert d'intermédiaire ou de directrice commune; c'est-à-dire que la courbe des points a peut être considérée à son tour, comme enveloppe commune des polaires des divers points de l'autre, et vice versa; on peut donc appeler l'une de

484 VP CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE JSÉOMÉTRIE

ces courbes la réciproque de l'autre; et, comme chacune d'elles peut être considérée comme le lieu des pôles des éléments de sa réciproque, on peut, pour plus de précision encore, l'appeler sa polaire réciproque. Cette dénomination permet d'exprimer ainsi, d'une manière très-abrégée, les conséquences des remarques qui précèdent:

La polaire réciproque (Pune courbe donnée sur le plan d'une section conique, est à la fois le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette première courbe, et l'enveloppe de l'espace parcouru par les polaires des points de cette même courbe.

En langage ordinaire, cette proposition s'exprimerait ainsi : Une courbe quelconcjue étant donnée sur le plan d'une section coniciue., celle sur laquelle roule y dans son mouvement , la corde de contact de V angle mobile et variable circonscrit à cette section conique dont le sommet parcourt constamment la courbe donnée, est aussi celle c^ue devrait décrire le sommet d'un autre angle mobile et variable, circonscrit à la section conique, pour que l'enveloppe de l'espace parcouru par sa corde de contact fût la première courbe elle-même,

VI. Supposons actuellement, afin de reconnaître quel est le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée, que l'on trace arbitrairement dans son plan un© ligne droite quelconque; cette droite la rencontrera, en général, comme l'on sait, en autant de points que son degré renfermera d'unités. Or, d'après ce qui précède, chacun de ces points est le pôle d'une certaine tangente à la courbe donnée ; et, par la théorie des pôles (V), cette tangente passe nécessairement par le pôle de la droite arbitraire; donc cette dernière rencontrera la polaire réciproque en autant de points que, par son pôle, on pourra mener de tangentes à la courbe donnée. La question se trouve ainsi ramenée à celle-ci :

VII. Combien, d'un point arbitrairement donné., sur le plan d'une courbe quelconque, peat-on mener de tangentes à cette courbe?

Dans le cas où la courbe est transcendante, on sait qu'en général on peut lui mener, d'un point donné, une infinité de tangentes réelles ou imaginaires; donc, la polaire réciproque qui lui correspond sera susceptible d'être coupée en un pareil nombre de points réels ou imaginaires, par une droite arbitrairement tracée dans son plan (VI), et sera par conséquent transcendante elle-même comme la proposée ; mais ce n'est pas là le cas qui nous intéresse. Passons donc à celui où la courbe proposée est purement algébrique.

Dans ce cas, en désignant par m le degré de la courbe dont il s'agit, le nombre des tangentes possibles, parlant d'un même point, sera fini; et, suivant Waring (*), il ne saurait surpasser le carré de m. Mais nous allons faire voir que le nombre effectif de ces tangentes est, en général

(*) Miscellanea analjtica, p. loo. ;

et au plus /»{/«— i) ; ce qui diminue de m le nombre indiqué par ce géomètre.

Supposons, en effet, qu'on mette en perspective la courbe et le point donnés, de manière que ce point soit situé à une dislance infinie; les tangentes, au lieu de concourir, deviendront alors parallèles; de plus, le degré de la courbe n'aura pas varié, non plus que le nombre des tangentes, puisque chacune des tangentes de la figure primitive se trouvera remplacée par sa perspective. Il suffira donc de démontrer le théorème énoncé pour le cas particulier où les tangentes doivent toutes être parallèles à une même droite donnée.

d Y Le coefficient différentiel du premier ordre ~- d'une courbe plane

quelconque étant l'expression même de la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec l'axe'des x, la tangente au point correspondant de cette courbe, il suffira, dans le cas actuel, d'écrire que cette expression est égale à une quantité donnée et constante (*) ; ce qui fournira une équation de condition, exprimant la relation qui doit exister entre les coordonnées des points de contact cherchés, et servira par conséquent, con-

(*) En proposant, dans des notes annexées à cet alinéa, de simplifier davantage encore la démonstration en prenant pour axe des x la droite à laquelle les tangentes doivent être parallèles, ce qui dispense de considérer le dénominateur de l'expression algébrique du coefficient différentiel, le Rédacteur des Annales me paraissait avoir parfaitement saisi l'esprit et la rigueur géométrique de ce mode abréviatif de démonstration. Comment donc se fait-il qu'après s'y être associé, en 1817, pour établir la vérité du théorème ci-dessus relatif aux m{in — i) tangentes à une courbe plane du degré m, issues d'un point donné, M. Gergonne ait complètement oublié ou méconnu ce théorème en 1826, et qu'il ait fallu mes avertissements réitérés et ceux de Bobillier, qui en reportait faussement d'ailleurs le mérite à M. Vallès, pour que l'auteur d'une fictive dualité revint de ses absurdes prétentions à l'encontre d'une théorie asse» largement ébauchée dans le présent Article des Annales pour que les conséquences en devinssent d'une évidence palpable aux esprits non imbus de billevesées métaphysiques? On le concevra facilemerft si l'on réfléchit que le théorème en question faisait crouler un vaste échafaudage philosophique; enté sur un principe tiré lui-même d'une incomplète analogie, et dont l'erreur, le manque de généralité obligaient l'inventeur à substituer au mot degré celui de classe, en cela averti, guidé par mes propres critiques et les observations que contenait déjà le n" VIII du texte ci-dessus. Mais cette tardive rectification de mots n'a point modifié les prétentions de M. Gergonne et de ses admirateurs intéressés, qui se gardèrent bien de reconnaître ostensiblement mes droits, évidents pour tout géomètre nourri des doctrines de l'École de Monge, à la priorité de l'invention du principe de réciprocité polaire, du moins quant aux propriétés descriptives ou de situation des figures, les seules dont M. Gergonne et ses adeptes se fussent occupés. Je n'^avais alors, il est vraij rien public de bien, explicite sur la dualité des relations métriques projectives. (Note de 1864.)

jointement avec celle de la courbe donnée, à déterminer tous ces points de contact. Or, l'expression du coefficient différentiel d'une courbe du degré m est une fonction dont le numérateur et le dénominateur ne sont évidemment que du degré m — i ; donc l'équation de condition dont il s'agit sera elle-même du degré m — i, et l'élimination de x ou de jr, entre elle et la proposée, du degré m, conduira à une équation finale qui s'élèvera, tout au plus, au degré m[m — ï), comme cela résulte des théories connues. Donc, finalement, on ne saurait mener à une courbe de degré m plus de m{m-—i) tangentes par un point quelconque de son plan.

Dans la démonstration qui précède, nous n'avons fait usage des considérations de la perspective que pour abréger ; il ne serait pas difficile de démontrer le principe établi, d'une manière directe et tout à fait algébrique; mais cela nous aurait entraîné dans quelques calculs que, bien qu'ils soient fort simples, nous avons préféré épargner au lecteur.

VIII. L'équation de condition dont il a été question ci-dessus, étant en général du degré /// — i entre les coordonnées .r et j des points de contact, représente évidemment une courbe de ce degré qui coupe aux mêmes points In courbe proposée. Si, par exemple, celle-ci est une conique, on aura w — 1 = 1 ; d'où il suit que les points de contact, au nombre de deux seulement, se trouveront sur une certaine droite, qui sera évidemment la polaire du point de départ des tangentes. Si la courbe donnée était du troisième degré, le nombre des points de contact serait ivx, et la courbe qui couperait la proposée en ces points serait une section conique. Ces deux courbes, la proposée et celle qui la coupe suivant les points de contact des tangentes issues dun môme point, jouissent en général de propriétés nombreuses et remarquables ; mais ce serait sortir du sujet qui nous occupe que de les faire connaître ici (*).

IX. Nous venons de voir que, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique du degré /«, on ne peut mener plus de

(*) Ceci se rapporte aux théories géométrico - analytiques qui terminent le III* Cahier de ce volume (p. i49 etsuiv.), rédigé dans l'hiver de i8i5 à i8i6.- Ces mêmes théories ont été reprises et développées avec succès, en 1827, par Bobillier, esprit intelligent et singulièrement actif, déjà cité dans le premier volume de ces Jpplications, et qui, après avoir épousé les idées de M. Gergonne, voulut bien enfin reconnaître sa propre injustice à mon égard, dans une correspondance et des relations particulières datant de 1.828 à 1829; époque où il se lia d'une amitié sincère avec moi par l'intermédiaire de M. Bardin, professeur à l'École régimentaire d'artillerie de Metz, et bien au fait de mes anciens travaux de Géométrie. Certainement, la réciprocité polaire et d'autres grands principes de Géométrie, découverts dès avant 1824 et dont on a déduit, sans prononcer mon nom, tant de théorèmes et de corollaires évidents, mais

/7/(w — i) tangentes à celte courbe ; donc (VI) la polaire réciproque d'une courbe donnée, de degré /«, ne pourra être rencontrée, à son tour, en plus de m (/« — i ) points, par une droite quelconque, tracée arbitrairement sur son plan ; et tel sera par conséquent, en général, le degré de cette même courbe.

Prenons pour exemple particulier le problème qui fait le sujet de cet article. Nous avons vu (I) que le sommet mobile de l'angle constant, perpétuellement circonscrit à une section conique donnée, parcourait, dans toutes ses positions, une courbe du quatrième degré ; donc, dans ce cas, le degré de la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact ne saurait être au plus que 4(4 — i ) = 12 : ce degré pourra d'ailleurs être moindre, attendu que la courbe parcourue par le sommet de l'angle n'est pas la plus générale de son degré ; mais, vu la complication des éliminations à effectuer (IV), c'est déjà quelque chose que d'avoir prouvé que la courbe enveloppe ne saurait être d'un degré plus élevé encore.

Quoique la réciproque d'une courbe donnée soit en général du degré m{m~\), quand le degré de celle-ci est /m, on ne peut cependant lui mener, d'un point pris arbitrairement sur son plan, que m tangentes au plus; bien qu'il semble (VII) que le nombre des tangentes possibles, pour une courbe de ce degré, soit w (/« — i ) [/«(/« — i ) — 1 ]. Mais c'est que cette courbe n'«>st pas générale, c'est-à-dire qu'elle est d'une espèce particulière parmi toutes celles du même degré, et qu'une courbe du degré m n'a pas toujours et nécessairement m {m— i ) tangentes possibles concourant en un même point, pris à volonté sur son plan. La parabole cubique, par exemple, n'a au plus que trois tangentes, soit réelles, soit imaginaires, passant par un point arbitraire, quoiqu'une courbe du troisième degré puisse en général en avoir six, comme nous l'avons vu cidessus. On peut s'assurer toutefois que, même dans ce cas particulier, la courbe de contact est encore une section conique, comme dans le cas général ; mais sa nature et sa situation sont liées à celles de la parabole cubique de manière à ne couper .celle-ci qu'en trois points au plus.

étrangers au but général que je cherchais à atteindre; certainement ces principes sont devenus aujourd'hui l'objet d'une infinité de démonstrations géométriques ou algébriques, élégantes et faciles; mais, envisagés comme point de départ d'autant de doctrines philosophiques et de duplication des vérités connues, ils ont acquis une universalité d'application et une portée que l'on nierait en vain, et qui est entièrement comparable à celle de la doctrine des projections centrales ou de l'homologie, dont Jacobi et quelques esprits d'élite ont fait comprendre l'influence, même pour les progrès ultérieurs de l'Analyse algébrique Ceci me dispense de revenir sur leur extrême importance, et répond à bien des dénigrements, d'injustes dédains, ou à des insinuations obliques, qui, pour l'époque actuelle, ont été l'origine de tant de confusion, de méprises et d'oublis plus ou moins volontaires. {Noie de iBti^-

X. La dépendance intime entre une courbe donnée et sa polaire réci-. proque est extrêmement remarquable, comme on a pu le voir par tout ce qui précède; nous ajouterons de plus, pour compléter ce rapprochement, que : i° les points d'inflexion de l'une correspondent aux points de rebrousscment de l'autre, et réciproquement; a° les points situés à l'infini sur l'une correspondent aux points de contact de l'autre avec les tangentes partant du centre de la section conique directrice; 3° ces points de contact sont précisément les pôles des asymptotes de la première, et ces mêmes tangentes les polaires des points situés à l'infini oii ces asymptotes la touchent; 4° quand la proposée a une ou plusieurs branches /<«raholiques^ c'est-à-dire une ou plusieurs branches dont les asymptotes sont entièrement à l'infini, la réciproque a un même nombre de branches passant par le centre de la section conique directrice ; 5° celte réciproque est ouverte ou fermée, suivant que de ce centre on peut ou ne peut pas mener des tangentes à la courbe dont il s'agit; et le nombre de ses branches infinies est précisément égal au nombre de ces tangentes possibles; 6° les points multiples de la courbe donnée sont les pôles des tangentes communes à la fois à plusieurs branches de la réciproque, et précisément à un nombre de branches marqué par l'ordre de multiplicité des points dont il s'agit. Les points de contact de ces sortes de tangentes sont des points singuliers très-remarquables dans les courbes, en général ; et l'on voit qu'ici ces points de contact sont les pôles des tangentes aux points multiples de la courbe primitive ; 7" etc.

Toutes ces conséquences découlent naturellement des n"' V et VI qui précèdent, et il me paraît inutile de m'y arrêter davantage. Je terminerai ce que je me proposais de dire sur les polaires réciproques, en faisant connaître, au moyen d'un exemple particulier, assez remarquable, le parti qu'on en peut tirer pour la recherche ou la démonstration géométrique de certaines affections des lignes courbes, en général. Voici cet exemple :

XI. Deux courbes géométriques, furie du degré m, et P autre du degré n, étant tracées sur un même plan, le nombre des tangentes fjui leur sont communes est en général et au plus mn (m— i)(n — i)(*).

(*) Qui ne voit nettement, dans cette simple et originale application, la manifestation d'un principe, non de c?f/a/j>e universelle, vague et indéfinie, mais de réciprocité polaire, rigoureuse, générale et embrassant l'ensemble des propriétés descriptives ou de situation, c'est-à-dire indépendantes de toutes grandeurs absolues et déterminées, en un mot caractérisées par l'épithète de projectiles ; Jes seules, je le répète, envisagées par M. Gergonne et ses fervents disciples? Qui ne voit encore que cette doctrine s'étend tout aussi bien au cas de l'espace qu'à celui du plan, puisque Monge, proclamé devant un savant auditoire, immortel par l'immortel Lagrange, a non-seulement défini géométriquement

EXTRAITS DES ANNAtES DE MONTPELLIER. ^Sç^

î*oQr le prouver, traçons dans le plan de ces deux courbes une section conique quelconque, et regardons-la comme la directrice commune aux polaires réciproques qui correspondent aux deux premières ; ces polaires seront(IX), en général, l'une du degré /« (w — i), et l'autre du degré //(«-»i) ;

le plan polaire d'un point, Vaxe polaire conjugué on réciproque d'une droite quelconque par rapport à utie surface du second degré, mais qu'il a également établi, cette fois par des équations algébriques, les théorèmes relatifs, soit au cône du degré m (m — i), circonscrit à une surface donnée de degré /«, soit à sa courbe de contact située sur une surface polaire de degré /n— i seulement; théorèmes d'une généralité admirable, dont quelques esprits étroits, d'ailleurs fort peu doués du sens analytique, ont vainement contesté la rigueur de démonstration? [Annales de Montpellier, t. XV, 1824 à iSaô, p. i33.)

De telles objections, si peu fondées au point de vue de la philosophie des sciences, et quelques autres inspirées par la lecture du Rapport de M. Cauchy sur la Théorie des propriétés projectives {-voir VF et VII^ Cahiers), n'ont-elles pas servi de moyen d'excitation et d'encouragement à la pédantesque mais tardive manifestation (t. XVI et XVII des Annales, 1826 et 1827) du principe métaphysique de dualité? Or ce principe, en dehors de la théorie géométrique des pôles et polaires réciproques, ou des autres procédés de démonstration algébriques imaginés depuis 1827, c'est-à-dire longtemps après mes démonstrations propres, ce principe constituait-il, je le demande encore, autre chose qu'une simple induction, tirée du rapprochement d'un petit nombre de théorèmers particuliers parmi lesquels on distinguait ceux de Brianchon, dont l'énoncé remarquable était restreint aux figures hexagonales entièrement détachées de la directrice des pôles et polaires? L'exposé, en double colonne, des applications de cette dualité dans les endroits cités des v^/z««/e^, manquait donc totalement de rigueur pour les courbes et les surfaces de degré quelconque ; aussi, dans son état d'abstraction métaphysique, avait-il réellement besoin d'être rectifié, traduit et justifié par les procédés connus de l'Analyse ou de la Géométrie.

Mais, si cette dualité douteuse et ses énonces à double colonne réclamaient une telle contre-épreuve, il n'en était nullement ainsi de la réciprocité polaire, fondée à priori sur l'intuition et le raisonnement géométriques; d'autant plus que la loi des signes de position et le principe de continuité sur lesquels la méthode de Descartes repose inévitablement, constituent de véritables pétitions de principe dès qu'on prétend bannir la notion de l'infini, et ont eux-mêmes, comme le témoignent une foule d'écrits modernes, besoin d'être justifiés, ou tout au moins discutés d'une manière logique et sérieuse. C'est ce que j'ai tenté dans les IIl* et IV^ Cahiers de ce volume, d'une date antérieure à celle de«i8i7, où j'adressai le présent Article aux Annales de Mathématiques.

D'après cela, n'est-il pas évident que la prétendue découverte et les démonstrations analytiques diverses du principe de dualité données depuis 1827, n'ont rien pu ajouter de bien essentiel aux doctrines dont il s'agit ici, et qui se trouvent suffisamment développées dans mes publications de 1822 et 1824, peutêtre déjà trop souvent citées, mais que des discussions où la vérité n'a point toujours été respectée, ont rendu indispensables après tant d'années de silence ol)ligé, de ma part?

4go YI" CAHIER. - ARTICLES' DIVERS DE GÉOMÉTRIE

donc CCS courbes se couperont, en général, en mn[m — i) {« — i ) points. Or, chacun de ces points, en tant qu'il appartient à l'une des réciproques, est (V) le pôle d'une certaine tangente à celle des courbes données qui lui correspond, et en tant qu'il appartient à l'autre de ces mêmes réciproques, il est aussi le pôle d'une certaine tangente à la seconde des courbes données; donc, un même pôle ne pouvant avoir qu'une seule et unique droite polaire, ce point d'intersection des deux réciproques sera précisément le pôle d'une tangente commune aux deux courbes proposées. De plus, il est visible qu'à son tour toute tangente commune à ces courbes est nécessairement la polaire d'un certain point commun aux deux réciproques; d'où il suit que le nombre de ces tangentes communes sera précisément égal à celui des points d'intersection des deux réciproques, c'est-à-dire mn[m — \)[n — \)^ comme on s'était proposé de le démontrer.

Quant aux courbes polaires elles-mêmes, bien qu'elles soient d'un degré plus élevé que leurs correspondantes, elles ne sauraient évidemment avoir plus de mn tangentes communes, puisque leurs réciproques primitives, étant respectivement des degrés m et «, ne sauraient se couper en plus de nin points.

Nous pourrions transporter les généralités qui précèdent dans l'espace, mais il sera plus convenable de descendre de ces mêmes généralités au cas particulier où la courbe donnée est une section conique, comme la directrice; parce qu'il se rattache au second des problèmes qui ont été l'occasion sinon l'objet principal de cet article. Nous termineions par rechercher, d'une manière générale, l'équation de la polaire réciproque, pour ce cas particulier, tant parce que cet objet n'a point encore été rempli d'une manière purement algébrique, que pour faire connaître la cause de la complication des équations du problème général qui nous a occupés dans le 11° III.

XII. Nous avons vu ci-dessus (VI) que le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée est, en général, égal au nombre des tangentes que l'on peut mener d'un point quelconque à celte dernière; or, dans le cas actuel d'une section conique, le nombre de ces tangentes est visiblement (leiùv; et il n'oot pas besoin, pour cela, de recourir à l'art. VII; donc la polaire réciproque d'une section conique donnée est elle-même une autre conique ; ce qu'on peut aussi ( V ) énoncer en cette manière :

Si le pôle dune section conique se meut sans cesser (F appartenir à une autre section conique, sa polaii'e ne cessera pas non plus de toucher une troisième conique, différente des deux premières.

Et réciproquement.

Si la polaire cPune section conique se meut, sans cesser (Vetre tangente h une autre section conique, son pôle ne <iuittera pas non plus une troisième conique, différente des deux premières.

Ces deux théorèmes rentrent pour le fond, comme nous l'avons assez, fait voir, dans une proposition unique, qui ne diffère pas de celle citée à la p. 4<>4 de ce volume. Le raisonnement qui précède en fournit une démonstration nouvelle, purement géométrique, et qui me parait au?si directe que simple ; elle s'étendrait avec facilité au cas où les sections coniques seraient remplacées par des surfaces du second ordre, situées arbitrairement dans l'espace, ce qui donnerait lieu au beau théorème démontré pour la première fois par M. Brianchon, à la p. 3o8 du XIIP Cahier du Journal de t Ecole Polytechnique.

XnL D'après ce qui a été dit ci-dessus (X), la polaire réciproque d'une section conique donnée sera ouverte ou fermée, selon que, du centre de la section conique directrice on pourra ou on ne pourra pas mener des tangentes à la section conique donnée. 11 suit de là que celle polaire sera une ellipse^ une parabole ou une hyperbole., suivant que le centre de, la directrice sera situé au dedans, sur ou bien^n dehors de la section conique donnée. En remarquant en outre, d'après le même article, que les points de contact dont il vient d'être question sont précisément les pôles des asymptotes de la polaire réciproque de cette même section conique, on en pourra conclure que la corde de contact qui joint ces deux points est, dans tous les cas possibles, la polaire même du centre de la réciproque à la courbe proposée.

Déplus, si l'on fait attention ( V ) que deux sections coniques étant réciproques, les points de l'une sont les pôles des tangentes de l'autre, par rapport à la conique directrice, on en conclura aussi que ceux où l'une d'elles coupe cette dernière conique indiquent précisément sur cette courbe, les points de contact des tangentes qui lui sont communes avec l'autre.

Deux sections coniques étant données, rien ne sera plus facile, comme on le voit, que de déterminer les quatre tangentes qui leur sont communes. 11 suffira, en effet, de regarder l'une d'elles comme la diiectrice par rapport à l'autre, puis de chercher sur celte directrice les points où la coupe la réciproque de la première, et ces points seront ceux où elle egt touchée par les tangentes en question. On pourra d'ailleurs tracer la polaire réciproque dont il s'agit, soit en en recherchant le centre et les asymptotes, s'il y a lieu, au moyen de ce qui a été dit ci-dessus, soit en en déterminant cinq points, à volonté, avec la règle seule, puis en traçant ensuite, au moyen de \ hexagone mystique de Pascal, la section conique qui passe par ces cinq points.

Réflexions sur l'élimination, à propos des problèmes de la p. 476. .

XIV. Nous avons fait connaître (II) les cas pour lesquels la courbe parcourue par le sommet d'un angle mobile, mais constant, perpétuellement

circonscrit à une section conique donnée, se réduisait elle-même à une autre section conique. Il résulte de ce qui précède que, dans les mêmes cas, la courbe enveloppe de l'espace parcouru par la corde de contact de l'angle mobile se réduira aussi à une conique.

Examinons, en particulier, le cas où la section conique donnée est une parabole ; nous avons vu qu'alors le lieu de tous les sommets est une hyperbole, dont l'axe principal se confond, pour la direction, avec celui de cette parabole, et qui a un de ses foyers et la polaire focale correspondante confondus avec ceux de cette même courbe.

Puisque la courbe parcourue dans le cas actuel n'a aucune de ses tangentes passant par le centre de la parabole qui lui sert de directrice, c'est-à-dire n'a aucune tangente parallèle à l'axe de cette parabole, on en conclut de suite (XIII) que la polaire réciproque correspondante est entièrement fermée, et ne saurait, par conséquent, être qu'une ellipse. Je dis de plus, que cette ellipse a un de ses foyers et la polaire focale correspondante en commun avec les deux premières.

En effet, si l'on se rappelle que, dans une section conique quelconque, la droite qui passe par l'un des foyers et celle qui joint le pôle de cette droite avec le même foyer, sont perpendiculaires entre elles, quel que soit d'ailleurs celui des systèmes de ces droites qu'on ait choisi en particulier, on pourra en conclure, pour le cas actuel, que, si d'un point pris, à volonté, sur la polaire focale commune à la parabole et à l'hyperbole proposées, on mène à ces courbes quatre tangentes, deux pour chacune, les quatre points de contact seront situés, à la fois, sur une seule et même ligne droite, passant par le foyer correspondant, laquelle sera évidemment la polaire de ce même point. Cela posé, appelons T le point de la polaire focale d'où partent les tangentes (*); P, P' les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c'est-à-dire à l'hyperbole; D, D' ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c'est-à-dire à la parabole; F le foyer commun à ces mêmes courbes; enfin, E, E' les points où la droite PP' rencontre la courbe enveloppe, c'est-à-dire l'ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point E de l'enveloppe est le pôle de la tangente TP à l'hyperbole; et par conséquent, que le point P de contact est, à son tour, le pôle de la tangente en E à l'enveloppe; or, le point P d'une droite PP' a nécessairement pour polaire (V) une droite passant par le pôle T de la première ; donc la tangente au point E de l'enveloppe passe par ce même point T; et, comme pareille chose peut se démontrer à l'égard de son correspondant E', il s'ensuit que, par rapport à la section conique enveloppe, considérée en ellemême et indépendamment des deux autres, le point F est précisément le pôle de la droite qui sert de polaire focale commune à celles-ci.

(*) Le lecteur est prié de suppléer la figure.

Maintenant, si l'on se reporte à l'observation d'où l'on est parti dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que, relativement à la section conique enveloppe, le point F est tel, que la droite EE' qui passe par ce point, et celle TF qui joint le pôle de celte dernière au même point, sont perpendiculaires l'une à l'autre, quelle que soit d'ailleurs la droite EE' qu'on ait choisie en particulier; or, il n'existe, comme l'on sait, sur le plan d'une section conique donnée, d'autres points que les foyers mêmes de cette courbe qui jouissent d'une semblable propriété (*). Donc le point F est en effet le foyer de l'ellipse enveloppe ; et par conséquent, cette ellipse a ce même foyer et la polaire focale qui lui correspond, en commun, avec les deux autres sections coniques.

La première de ces deux conséquences a été avancée d'une manière gratuite, à la p. 464 de ce volume; et nous avons été bien aise d'en donner en passant la démonstration, sans faire usage d'autres principes que ceux déjà exposés dans le présent Article, et sans même sortir du sujet principal qu'on s'y propose. Au reste, on pourrait démontrer, en suivant à peu près la marche qui précède, qu'en général la section conique réciproque d'une autre ne saurait avoir même foyer avec elle et avec celle qui leur sert de directrice commune, à moins que ces dernières n'aient, à la fois, même polaire et même foyer, comme ci -dessus.

XV. Proposons-nous maintenant, pour terminer d'une manière conforme à ce qui a été annoncé, de démontrer d'une manière purement algébrique le théorème du n" XII, afin de faire connaître, par un exemple particulier, en quoi consiste la difficulté que nous avons rencontrée (III, IV) au sujet du degré de l'équation finale.

Appelons, comme nous l'avons déjà fait dans ces mêmes articles, a, p les coordonnées courantes de la section conique donnée dont on veut trouver la polaire réciproque, afin de les distinguer de celles de la section conique qui sert de directrice, désignées à l'ordinaire par a:, j.

(*) Cette propriété du foyer offre une parfaite analogie avec une propriélé bien connue du centre du cercle, et me paraîtrait, pour celte raison, devoir être substituée aux définitions peu naturelles d'où partent les auteurs de Géométrie analytique pour parvenir à la détermination de ce point remarquable des sections coniques. Elle présente d'ailleurs l'avantage de permettre d'aborder la question d'une manière générale, purement algébrique, et de faire parvenir ainsi, dans tous les cas possibles, à la détermination directe de ce foyer. En suivant cette marche, on trouve qu'il existe quatre points semblables, remplissant également les conditions demandées, situés deux à deux sur les axes de la courbe; mais il arrive que l'un de ces deux couples, qui correspondent respectivement à ces axes, étant réel, l'autre de ces deux couples est par là même imaginaire, et par conséquent inconstructible; conséquence remarquable, et bien différente de celle à laquelle on parvient par les voies ordinaires. (Note de 1817.)

Puisque l'une et l'autre de ces deux courbes sont du second degré, nous pourrons représenter, en général, l'équation de la première par

{s) ap''+iba.p-i-coL''-\-2.(ïp + iex-i-f—o,

et celle de la seconde par

{ .y' ) a'j^ -\- 2. b' xj -^t- c'x^ + 2 f/ ' r + 2 f'x -|-/' = o.

D'après les conditions du problème, la réciproque de la courbe donnée {s) doit être telle, que chacime de ses tangentes ait précisément pour pôle un point (a, B) de cette dernière; mais on trouve facilement que l'équation de la polaire d'un point (a, p), par rapport à la section conique directrice (a'), est

j(«'P+6'a+r/') +a:(^»'pH-c'a + <7')4-^13 + 6''a+/' = o, ou

(a) p{a'j-hb'x+d') + oL{b'j + c'j:-he') + dy-\-e'x+f=o;

telle est donc aussi celle d'une tangente à la courbe cherchée.

En la différenliant par rapport à a et p seuls (*), et laissant x et y constants selon la théorie des envelopi>es (III), la nouvelle équation

^{a'j-\-b'x + (r)-hb'y+c\v-he'=o,

ainsi obtenue, appartiendra, avec la première (a), au point où la droite

que celle ci représente touche la courbe cherchée. Substituant ensuite la

dS valeur de -rji tirée de l'équation (,î), il viendra

(b) {bp + cx + e) {a'y+ b'x-\- d') — [np-Jt- èy.)+(l){hy+€'x + e') = 0.

Le système des équations (a), (b) représentant un point quelconque de l'enveloppe ou réciproque, quand on attribue à a et [3 des valeurs qui conviennent à l'équation {s), il est visible qu'on obtiendra l'équation même de cette courbe, en éliminant a et ^ entre ces trois équations. En faisant, pour rendre celte élimination plus facile,

(*) On pourrait, dans le cas actuel, se passer aisément du secours du calcul différentiel, en faisant attention que le point de contact cherché est précisément (V) le pôle d'une tangente correspondante de la courbe donnée ; mais nous avons préféré nous rapprocher de la marche suivie au n° III, afin de rendre immédiatement applicables au cas général de cet article les observations que nous aurons à faire, dans le cas particulier qui nous occupe.

{Note ^e 1817.)

celles (a) et (b) deviendront respectÏTement, en les ordonnant,

pp-^q(x-\-r= o, (bp — aq) & + [rp — bq) a.-h ep — clq = o. On tire de là

__ p[fIq-\-br— ep) — aqr q[dq-+-br — rp) + r{cp—'i.bq)

^ ~ ' cp'^~% bpq + aq^ ' ^ ~ Cfj' — i bpq -{- aq^

ce qui donne, en posant de nouveau, pour abréger,

dq + br—ep = B, cp^ — ibpq -\- aq^ — D ^ pB — aqr , q B-\-r{cp — ibq)

Substituant ces expressions à la place de a et p dans l'équation [s], chassant les dénominateurs, développant en particulier les termes non affectés de D, les ordonnant par rapport à £, observant enfin que l'expression cp^ — ù.bpq + aq'^ peut être remplacée par D, il viendra

£\D — iibr£.D + acr^D+'i.d[r{ibq — cp) — £q'\D + ie [Bp — aqr] D +fD'' = o.

Observant que cette équation est décomposable en deux facteurs dont l'un est D, égalant séparément à zéro chacun de ces facteurs, et remettant pour B et D les quantités qu'elles représentent, on aura enfin, pour les équations de solution du problème,

\ [e'-cf)p'-i[bd-ae)qr+[cP-nf)q^ ^-^ ' \—'i.[be — cd)pr+{b^-ac)r''—i{de — bf)pr=^o,

(c ) cp"^ — 1 bpq -f aq' = o.

La première de ces équations représente évidemment, en général, une section conique; car les quantités /?, q, r, qui n'y entrent qu'au second degré, sont linéaires en x et y. Quant à la seconde, on peut s'assurer sans beaucoup de peine, qu'elle représente le système de deux droites. Si l'on y suppose, en effet, q= — mp, elle prendra la forme

(d) am^-'ribm + c — o^

et donnera par conséquent pour m deux valeurs toutes connues en «, b,c\ en les substituant donc dans (7 = — tvp, qui remplace la proposée (c), et y mettant ensuite pour p Qiq leurs valeurs en x et y, on aura

(e) b'y + c'x->re'— — m[a'y-\-b'x + d'),

équation qui, en y attribuant à m les valeurs constantes ci-dessus, re-

présentera évidemment le système de deux lignes droites, comme on l'avait annoncé.

D'autre part, si Ton fait attention que la ligne cherchée ne saurait être une droite que dans des circonstances tout à fait particulières, puisqu'elle doit être en général l'enveloppe de l'espace parcouru par une autre ligne droite, on en conclura que l'équation (.v") représente seule la véritable courbe satisfaisant pleinement aux conditions du problème. Donc cette courbe est une seule et même section conique, conformément à ce qui a déjà été démontré (XII) d'une manière purement géométrique.

XVI. Nous pourrions ici passer en revue, au moyen de l'Analyse, les diverses conséquences auxquelles nous sommes déjà parvenus (XII), relativement à la dépendance qui existe entre les trois courbes (.v), (s'), [s") ; mais cela serait d'un trop faible intérêt, et il vaut beaucoup mieux, pour l'objet que nous avons en vue , nous occuper de l'interprétation géométrique des facteurs étrangers auxquels la précédente analyse nous a conduits d'une manière presque inévitable.

Nous venons déjà de voir, par ce qui précède, que l'équation (c), mise sous la forme (e), représente, en y attribuant à m les valeurs constantes déduites de l'équation (d), le système de deux lignes droites particulières, et, en apparence, tout à fait étrangères à l'objet réel du problème ; on peut s'assurer, en outre, d'une manière trop facile pour qu'il soit convenable de s'y arrêter, que cette équation représente précisément un diamètre de la courbe {s'), dont le conjugué fait avec l'axe des .r un angle qui a m pour tangente tabulaire, ou, si l'on veut encore, qu'elle représente un diamètre de cette courbe dont les tangentes extrêmes sont parallèles à une droite d'inclinaison donnée par m. Il ne reste donc maintenant, pour obtenir l'interprétation complète de l'équation (c) ou plutôt (e), qu'à rechercher la signification de m, et pour cela il faut recourir à l'équation (d), d'où elle tire sa valeur.

On aperçoit d'abord, à la simple inspection de cette équation (d), que m ne dépend absolument que des constantes a, b, c, qui appartiennent en propre à la courbe {s). Je dis, de plus, que cette équation ne représente autre chose que les valeurs des tangentes tabulaires des angles formés avec l'axe des x, par les asymptotes de (.s).

Afin de trouver les tangentes dont il s'agit, supposçns, en effet, par l'origine des coordonnées, une droite parallèle à l'une quelconque de ces asymptotes et concourant par conséquent à l'infini avec elle : cefte droite renfermera le point de contact de cette asymptote avec la courbe (.v) ; donc les coordonnées a et 6 correspondant à ce point, bien qu'elles soient infinies, n'en conservent pas moins entre elles un rapport fini et donné, lequel est précisément égal à la tangente tabulaire de l'angle que formé avec l'axe des x, la droite et l'asymptote dont il s'agit. Si donc, dans, l'é-

quation (,v) de la courbe, on remplace le rapport - par une constante inconnue /-, ou, ce qui revient au même, si l'on y substitue /a pour p, puis qu'on y suppose ensuite a infini après avoir préparé convenablement l'équation, on en obtiendra une autre qui donnera précisément les diverses valeurs des tangentes tabulaires cherchées (*). En opérant ainsi sur l'équation (.v), on obtient

équation qui est absolument de même forme que celle (d), et qui donne par conséquent pour /• les mêmes valeurs que celle-ci pour w; donc, en efïet, comme il s'agissait de le prouver, la quantité m de l'équation (e) n'est autre chose que la tangente tabulaire de l'angle que forme, avec l'axe des x, l'asymptote correspondante de la courbe (.v) (**).

XVII. Maintenant, si l'on fait attention que le pôle d'un diamètre d'une section conique est situé à l'infini sur une droite parallèle au conjugué de ce diamètre, on pourra conclure de tout ce qui précède, que l'équation de condition (c) n'est autre chose que celle du système de deux diamètres de la courbe (.v'), ayant précisément pour pôles les points de la courbe (.s), situés à l'infini, et que, par conséquent, ces points étant singuliers par rapport à (a), l'équation (c) n'est au fond qu'une solution particulière, purement algébrique, du problème proposé.

On aurait tort toutefois de rejeter sans un examen préalable, les facteurs qui correspondent à ces sortes de solutions étrangères; car : i" ils ne sont pas insignifiants, comme nous venons de le faire voir; a" ils ne sont pas toujours inutiles , comme nous pourrions aussi en montrer plusieurs exemples; 3° enfin, ces facteurs sont liés d'une manière intime aux équations d'où l'on est parti, et en sont de véritables solutions, quoiqu'elles ne paraissent pas l'être de l'énoncé verbal lui-même.

La théorie de ces sortes de facteurs, quand elle sera perfectionnée,

(*) Il n'est pas inutile de faire observer que, en suivant la même marche pour le cas général d'une courbe quelconque, on parviendrait, avec autant de facilité, ù trouverles diverses valeurs des tangentes tabulaires des angles formés par les asymptotes sur l'axe des x. On voit, de plus, que le nombre de ces asymptotes serait, en général, égal à celui qui marque le degré de cette même courbe. Dans le cas où l'équation obtenue aurait des racines égales, les groupes de ces racines correspondraient évidemment aux divers systèmes d'asymptotes parallèles, etc., etc.

En transportant les mêmes considérations dans l'espace, on obtiendrait sans peine l'équation de la surface conique parallèle à la surface déi-eloppable asymptotique d'une surface donnée.

Ces remarques nous seront utiles pour ce qui va suivre. (Note de 1817.)

(**) Voir la Note additionnelle à ce III" Article, p. 5oo.