CY

Mais, en abaissant de l'un quelconque A des deux points donnés les coordonnées Aa, Ab sur les axes CX, CY, on a, par les triangles semblables AaX, AbY, CXY :

d'où l'on tire

On aurait de mémo

et, de plus,

AX A'x /ex\^ bb' /cx\%, ^''^"^" Tï*ât=VcyJ'w=^Vcy}^'

et par conséquent ). = ±: 4 / — ^,.

De ces deux valeurs, l'une appartient évidemment au point P que l'on considère, et l'autre au point Q, puisque ces deux points doivent jouir des mômes propriétés. D'après cela, on a tout ce qu'il faut pour déterminer les éléments des courbes, lieux des centres des coniques proposées; car, en ne considérant que l'une d'entre elles, puisqu'elle passe par l'origine son équation sera de la forme

On exprimera qu'elle touche la droite CP (Annales, t. IX, p. i3i), en écrivant

et, comme elle doit de plus passer par le point K, milieu de XY, et avoir son centre au milieu O de C/, on aura encore

Ax'" -f- Cy'" + A'=o, Bf" + Cx"' + B'=o.

Remplaçant donc a:', y\ x"\ y"' par leurs valeurs trouvées ci-dessus, ces trois dernières deviendront

[a-a'Y{ab'-bn')A-.^[b-b')[a-a'YA'+{b-b'y{ab'-ba')£ ^/î{a-a'){b~b'YB'-^z(a-a')(b-b'){ab — ba')C=o,

{a + n')A + {b-{-b')C + ^A'=o, {b-hb')B+{a-i-n')C + /iB' = o;

if

Il ^

Pour rapprocher ces résultats de ceux obtenus t. XI, p. SgS des Annales^ il ne s'agit plus que de rgultiplier par ordre les deux équations qui précèdent; car, si tout est exact de part et d'autre, on devra obtenir une équation du quatrième degré qui ne pourra différer, au plus, que par un facteur fonction des données de celle à laquelle on est parvenu au même endroit. Cette opération est nécessairement très-longue et t.'-ès-laborieuse ; néanmoins nous avons eu le courage de l'entreprendre, et le plaisir d'en voir ressortir une vérification complète des raisonnements géométriques ci-dessus, qui s'étendent^ comme on le voit, au cas où les points donnés sont imaginaires et où la droite XY, qui passe par ces points, est une sécante idéale commune à toutes les sections coniques proposées.

En multipliant, en etfet, nos deux équations entre elles, développant et observant que les diverses fonctions

fta'{b + h'Y~hb'[a + a')\ aa' [h — b'Y — bh'[n — a')\

aa'{b^ + b'^)-~bb'{a' + a'-), -{ab -a'b')(ab' - ba'),

{a + a'y[b~bJ-[b + b'Y{a-a'Y 4 ^ '

sont équivalentes entre elles, on trouvera que tous les termes de l'équation résultante sont exactement divisibles par la quantité constante

/^[[a + a'Y[b-b'Y-[b + b'Y{a-ay^ a a'

Supprimant donc ce facteur, on parviendra à l'équation du quatrième degré

[b~b'Yx'-/i[a + a')[b-\-b'Y[b-b']x''x—^{a + a'){b+\b'Y{a-a')x)' + {a- a'ff +\Z[o- aY {b- b'Y+^aa' [b -b'Y + ^bb' [a- a'Y\x\r'' + ^{a + a')[b - b'Yx'' — ii[a + a'){iaa' [b — b' Y — Ijh' [n- a'Y^jny^ + /i[b-\-b')[a~a'Yf—^[b + b'){'xbb'[a — a'Y — aa'{b — b'Y^x^y -^ l\aa'laa' [a-a'Y — bb' [b — b'Y^y'+ I^bb'{bb'{a — a'Y - aa' [b — b'Y^x^ = o\

or, c'est à cela que revient exactement l'équation de la p. SgS du t. XI des Jnnales, en la développant et l'ordonnant comme celle-ci. Ainsi, cette équation est décomposable en deux facteurs représentant chacun une section conique, conformément à ce qui avait été annoncé.

Supposons qu'il s'agisse de rechercher, parmi toutes les sections coniques qui, passant par les différents points A, A' touchent les droites données ex, CY, celles d'entre elles qui sont en même temps des hyperboles équilatères , ces hyperboles pouvant faire partie de l'une ou de l'autre série de sections coniques proposées. Supposons, pour plus de simplicité encore, qu'on se borne à celles dont les cordes de contact avec la droite

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5a3

donnée passent toutes par le point fixe P. D'après ce qui précède, ces hyperboles devront avoir leur centre quelque part, sur une section conique, passant par C, I, K, ayant la droite CI pour diamètre et CQ pour tangente à l'extrémité C de ce diamètre; de telle sorte que la parallèle IL à CQ sera tangente à l'autre extrémité I de ce diamètre. Pour résoudre entièrement la question, il ne s'agit donc plus que de trouver une seconde ligne qui renferme également les centres des hyperboles équilatères; car on aura tout ce qu'il faut pour les déterminer d'une manière complète (Théor. VI, p. 73).

Nous avons vu ci-dessus, que la droite CQ n'était autre chose que la polaire du point P, par rapport à toutes les sections coniques passant par A, A' et touchant les deux droites données; donc elle est aussi la polaire de ce point par rapport à chacune des hyperboles que l'on cherche; mais, d'un autre côté, I est le point milieu de la corde AA', commune à ces hyperboles; donc

« Si, par chacun des points I, P, on mène une parallèle à la polaire ou » à la corde qui passe par l'autre, le cercle qui contiendra ces deux » points et celui où le coupent les parallèles, passera aussi par le centre w des hyperboles cherchées (Théor. III, p. 69).

Il résulte évidemment de là que le cercle qui passe par I et P et touche la parallèle IL à la polaire CQ de Pdoit renfermer les centres des hyperboles équilatères cherchées; de sorte que ces centres doivent se trouver à l'intersection de ce cercle et de la section conique déjà construite, ayant IL pour tangente commune avec lui au point I.

Le point I ne pouvant être évidemment le centre d'une hyperbole équilatère satisfaisant aux conditions du problème, il s'ensuit que, relativement à la série de sections coniques que l'on considère, et dont les cordes de contact passent par P, le problème ne peut avoir que deux solutions au plus, et par conséquent quatre solutions seulement, quand on le considère dans toute sa généralité. On peut d'ailleurs éviter entièrement le tracé de la section conique auxiliaire lieu des centres, en observant que tout consiste à rechercher les points d'intersection du cercle correspondant avec la sécante commune à ce cercle et à la section conique auxiliaire.

Dans un ouvrage que je ferai paraître incessamment, je donnerai le moyen de construire directement la sécante commune au système de deux sections coniques qui se touchent sur un plan, sans recourir au tracé des deux courbes. Il serait trop long de développer ici le principe de cette construction; c'est pourquoi je me bornerai à indiquer la solution appliquée au cas particulier qui nous occupe. On sait d'ailleurs construire les deux points P, Q (Mémoire cité de Brianchon) : tout consiste, en effet, à faire passer un cercle quelconque par les points donnés A, A'; menant ensuite des points X, Y, deux paires de tangentes à ce cercle, et joignant deux à deux, par des droites, les points de con-

tact qui n'appartiennent pas à une même paire de tangentes, ces quatre droites donneront évidemment, par leur croisement mutuel, les deux points P, 0 dont il s'agit.

Cela posé, soit G le second point d'intersection de CI et du cercle qu. renferme les centres des hyperboles équilatères que l'on considère en particulier : en menant PG, cette droite ira rencontrer la droite CK en un premier point x de la sécante commune ; menant ensuite la tangente au point G du cercle, cette dernière droite ira rencontrer CQ en un second point jr de la sécante commune^ qui se trouvera ainsi complètement déterminée, et coupera, en général, notre cercle en deux points qui seront les centres des hyperboles demandées.

On voit, d'après cela, en quoi consiste l'inadvertance commise dans l'énoncé du Théor. X, p. 79 du IV article : on n'y a considéré qu'un seul cercle, au lieu de deux qu'il fallait envisager, et l'on a appliqué à ce cercle unique les propriétés qui lui appartenaient en commun avec l'autre. Voici donc le nouvel énoncé à substituer au premier :

Les centres de toutes les hyperboles équilatères, au nombre de quatre au plus, tangentes à deux droites et passant par deux points don nés , sont situés sur deux circonférences de cercle distinctes^ aux intersections respectives de ces circonférences et de deux droites faciles à déterminar.

D'après ce qui vient d'être dit sur le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par deux points et à toucher deux droites données, on pourrait penser que le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par trois points et à toucher une droite donnée, qui se présente, comme le premier, sous la forme d'une courbe du quatrième degré, doit aussi être le système de deux sections coniques, et que, conséquemment, le premier membre de l'équation du quatrième degré qui exprime ce lieu doit être décomposable en deux facteurs du second degré. Mais si, considérant, comme ci-dessus, une des sécantes communes à toutes les sections coniques proposées qui renferment, deux à deux, les trois points donnés, on suit la figure en projection sur un nouveau plan, de manière que toutes ces sections coniques deviennent des cercles, les centres de ces sections coniques se trouvant toujours représentés sur le nouveau plan par les pôles d'une droite quelconque relatifs aux cercles dont il s'agit, on aura à considérer dans la projection :

« Quel est le lieu des pôles d'une droite donnée, par rapport à une » suite de cercles touchant une autre droite quelconque, et passant en » outre par un point fixe aussi donné de position. »

Or, tandis que, dans la première question pos^e ci-dessus, la suite des centres des cercles se trouvait sur deux droites distinctes, on voit qu'ici, au contraire, la suite de ces mêmes centres est sur une parabole ayant le point donné pour foyer et la droite tangente aux cercles pour direc-

trice ; de sorte que tous ces cercles ne forment qu'une seule et unique série non décomposable en deux autres distinctes, une section conique quelconque pouvant être considérée comme représentant le système de deux lignes droites non séparables ; il est donc naturel de croire que, quand le centre du cercle variable considéré parcourt une parabole, le lieu des pôles de la droite donnée n'est plus simplement le système de deux sections coniques distinctes, mais une courbe essentiellement du quatrième degré.

Au reste, quand le point par lequel passent tous les cercles est sur la tangente commune donnée, c'est-à-dire quand le foyer de la parabole est sur la directrice, cette parabole se confond doublement avec son axe, et la question revient à se demander « le lieu des pôles d'une droite don- » née, sur le plan d'une suite de cercles ayant un" point de contact cora- » mun, ou, plus généralement, ayant une sécante commune ». Or, il est facile de prouver, soit géométric^uement, soit d'une manière algébrique, qu'alors le lieu des pôles est une section conique, comme cela a été établi à la p. SgS du t. XI des Annales.

11 résulte aussi de cette dernière remarque que le lieu des centres des sections coniques assujetties à passer par (piatre points donnés sur un plan, est également une autre section conique passant d'ailleurs par les points de concours des deux diagonales et des directions des côtés opposés du fjuadrilatère qui a pour ses sommets les quatre points dont il s^agit; proposition quia été simplement énoncée à la p. aig du t. XI des Annales., et démontrée algébriquement à la p. 396 du même volume.

En réunissant ces considérations sur le lieu des centres des sections coniques variables suivant certaines lois, à celles qui concernent le cas particulier où les sections coniques touchent à la fois quatre droites données, ou n'en touchent que trois seulement en passant d'ailleurs par un point donné, problèmes traités à la p. 109 du t. XII des Annales., on aura, comme l'on voit, une solution complète et purement géométrique du problème proposé à la p. 228 du t. XI. Il serait bien inutile d'examiner les moyens de construire les différents lieux des centres })ar la connaissance des points particuliers par où ils passent, cette tâche se trouvant déjà parfaitement remplie à la p. 379 de ce volume. D'autre part, on voit que ces différentes questions, relatives au lieu des centres des coniques variables, assujetties à quatre conditions données, conduisent immédiatement, par les principes de projection mis en usage dans ce qui précède, à celles où, au lieu des centres, on substitue celui des pôles d'une droite donnée sur le plan des sections coniques ; de sorte que les solutions doivent être les mêmes de part et d'autre, quant au degré de ces lieux. Enfin, au moyen de la Théorie des pôles et polaires réciproques, p. 3i, on est immédiatement conduit à la solution des questions analogues, sur les lieux qu'enveloppent les polaires d'un point donné, sur le plan d'une suite de sections coniques, assujetties aux mêmes conditions

526 Vr CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

de passer par des points donnés ou de toucher des droites données. Ainsi, par exemple, il en résulte que :

Les polaires d'un point donné sur le plan d'une suite de sections coniques qui passent par quatre autres points aussi donnés sur ce plan, vont toutes concourir en un point unique distinct du premier, et qui jouit avec lui de la même propriété réciproque.

Pareillement encore :

Les polaires dun point donné sur le plan cVune suite de sections coniques tangentes à quatre droites aussi données, enveloppent une dernière section conique touchant à la fois les trois diagonales du quadrilatère complet formé par ces quatie droites.

Et ainsi du reste.

Il résulte encore des considérations qui précèdent, une solution trèssimple des deux problèmes de Géométrie proposés à la p. Sya du t. XI des Annales et conçus en ces termes :

1° Etant donnés^ sur un plan, trois droites indéfinies et deux points y correspondant respectivement à deux d"" entre elles, sur rpielle courbe doit être situé un troisième point pour que ces trois points puissent être considérés respectivement comme les pôles des trois droites, par rapport à une même section conique ?

a" Étant donnés, sur un plan, trois points et deux droites indéfinies, cori espondant respectivement à deux d'entre eux, à quelle courbe une troisième droite doit-elle toujours être tangente pour que les trois droites puissent être considérées respectivement comme les polaires des trois points, par rapport h une même section conicpie ?

Considérons, en effet, deux points donnés et les deux droites qui doivent en être les polaires respectives par rapport à une même section conique; enjoignant ces deux points par une droite indéfinie, elle ira rencontrer leurs polaires en deux nouveaux points tels, que la dislance comprise entre chacun d'eux et celui des deux premiers qui lui correspond devra être divisée è la fois harmoniquement par toutes les sections coniques que l'on considère. Or, quand deux points inconnus P, Q doivent diviser, à la fois, en segments proportionnels, deux distances données XY, AA', rangées sur une même droite, ces deux points sont, d'après ce qu'on a dit plus haut, entièrement déterminés de situation à l'égard des quatre autres, et, de plus, ils sont toujours uniques; donc, toutes les sections coniques proposées passent à la fois par les points P et Q. D'un autre côté, ces deux points fixes étant respectivement les pôles des deux droites données, la droite qui les renferme aura ellemême pour pôle le point d'intersection des deux premières; c'est-à-dire que les sections coniques proposées, en passant par les points P, Q déjà

trouvés, ci-dossus, auront en outre, en ces points, mêmes tangentes, allant concourir à linterseclion des deux droites données. Ainsi, les questions proposées reviennent aux suivantes :

1° Quel est le lieu des pôles cVune droite donnée, par rapport à une suite de sections coniques touchant toutes aux mêmes points les deux côtés dun an^le également donné?

a° Quelle est t enveloppe des polaires d'un point donné, par rapjmrt h une suite de sections coniques touchant toutes aux mêmes jmints les deux côtés cFun angle également donné?

Ces questions ont évidemment leur réponse dans ce qui précède, ou, plus généralement, dans la théorie des pôles; et il en résulte que, pour la première, le lieu demandé est une ligne droite qui passe par le sommet de l'angle donné et par le quatrième harmonique des deux points de contact et du point où la droite donnée rencontre celle qui renferme ces points de contact.

Pour la seconde question, l'enveloppe des polaires du point donné est elle même évidemment \m point placé sur la droite indéfinie qui renferme les deux points de contact des sections coniques, et dont la position sur cette droite est telle, qu'il divise la distance comprise entre ces points en deux segments proportionnels à ceux qu'y détermine la droite qui contient le sommet de l'angle donné et le point des polaires duquel on recherche l'enveloppe.

Note additionnelle au précédent article (mars i864}.

L'article précédent a été écrit à la hikte, au milieu des assujettissements d'un service militaire où je m'occupais beaucoup plus de projets de fortifications, de ponts-levis, ponts écluses, etc., que de théories abstraites ou mathématiques. D'après mes intentions, manifestées dans une lettre d'envoi à M. Gergonne dont je supprime ici un long et inutile extrait, cet article, en quelque sorte confidentiel, n'aurait pas dû être imprimé dans l'état d'ébauche où il se trouvait; il était simplement destiné à mettre le Rédacteur des Annales en mesure de rectifier quelques erreurs commises, par moi et par lui, dans les Articles des p. 109 et 379 du t. XI du Recueil, relatifs aux lieux du centre des sections coniques assujetties à quatre conditions distinctes; car je le laissais maître de disposer de mes nouvelles remarques sur la solution de cet intéressant problème, de la manière la plus profitable aux intérêts de son Journal. Mais il trouva beaucoup plus simple de les insérer textuellement', en les faisant suivre d'ua article de rectification de ses propres calculs, où se trouve vérifiée à posteriori, par des procédés désormais faciles, la possibilité de décomposer l'équation du 4^ degré, obtenue sous la forme

[(aj - bxy — (a'j — b'xyy = 4 [(*x -+- «>• — «*) - (b'x -f- a' y — a'b')] X L(rtV — bxY {b' X -i- a' y — a' b') — {a'j — A' .r )' ( A.r -j- a) — ab)].

à la p. SgS du t. XI des Annales, en deux facteurs du 2* degré, équation qui, selon les affirmations de cet endroit, ne pouvait être ni à une simple section conique ni au système de deux sections coniques. Evidemment j'avais blessé, sans le vouloir, la susceptibilité jalouse de M. Gergonne; mais il se gardait bien de le laisser voir dans ses lettres tout amicales et qui, au rebours des miennes dont je n'ai aucune copie, mériteraient d'être imprimées en entier pour leur remarquable correction, les réflexions philosophiques, les questions ou les encouragements divers qu'elles contenaient : je me contenterai ici de transcrire textuellement quelques passages de ces lettres.

Lettre datée de Montpellier, le 2"j février 1821. — « J'ai commencé, Mon- » sieur, à m'occuper de votre problème sur le lien des centres des sections co- » niques assujetties à quatre conditions.... Voici déjà à quoi je suis parvenu :

» Théorème. Le lieu des centres de toutes les sections coniques circonscrites I) à un même quadrilatère est une autre section conique.

» Elle a son centre an milieu commun des droites qui joignent les milieux soit » des deux diagonales, soit de deux cotés opposés du quadrilatère, etc., etc. »

Lettre du 10 décembre 1821. — En m'accusant réception de l'Art. V ci- dessus, n extrait des Annales, M. Gergonne ajoute : « Vous avez très-judicieusement » relevé une étourderie que j'avais commise et dont je ne saurais m'excuser » que sur la célérité que le peu de temps dont je puis disposer m'oblige à » mettre dans tout ce que j'entreprends. Ne trouvez-vous pas, au reste, assez » singulier que, tandis que tous les cas de votre problème donnent des lignes » du premier, ou tout au plus du second ordre, un seul d'entre eux vienne » l'aire exception et donne une courbe du quatrième degré? Cela est presque » impertinent. »

L.ettre du 11 décembre 1821. — « Je suis affligé des contrariétés que vous » éprouvez pour l'impression de votre ouvrage...; les détails que vous me don- » nez dans votre lettre ne peuvent qu'exciter ma curiosité et mon désir. Vous » avez pu juger, Monsieur, par divers endroits de mon Recueil, que je suis » comme vous, tout à fait dévoué à l'ancienne doctrine des quantités négatives » et à toutes les conséquences qu'on en peut déduire relativement à la théorie » des imaginaires, et je conçois très-bien que vous puissiez fonder sur cette » base une doctrine de la continuité en géométrie. Lors donc que j'ai mani- » festé quelques scrupules sur l'usage de cette loi dans les recherches géomé- » triques, c'était seulement dans l'hypothèse où l'on aurait voulu l'introduire » d'emblée dans la science, sans lui préparer à l'avance des fondements bien » assurés. »

Lettre du ïf\ avril i8a6. — A propos d'un prétendu théorème de feu le professeur Olivier, sur l'icosaèdre inscrit à une surface du second degré, M. Gergonne, après en avoir énoncé tout au long la réciproque polaire, ajoute courtoisement : « Et cela en vertu de mon principe de dualité, qui est aussi le » 'vôtre. Monsieur, et que pourtant beaucoup ont regardé comme une sorte de » jeu d'esprit sans voir que c'est un principe qui va au cœur même de la 1) Géométrie et qui tient essentiellement à la nature métaphysique de l'étendue. » Mais la plupart des gens croient que la Géométrie consiste uniquement à » entasser théorème sur théorème sans liaison et sans ordre, et n'ont jamais » songé à regarder les choses d'un peu haut et un peu en grand. »

Lettre du i'*' novembre 1826. — « J'ai vu dernièrement ici (Montpellier) » M. Arago qui m'a parlé, Monsieur, d'un Mémoire que vous avez adressé ré- » cemment à l'Académie, de manière à piquer vivement ma curiosité, sans » cependant la satisfaire complètement. Seriez-vous assez bon, au retour de » M. le D*" Lalleniand, de le charger de quelques développements un peu plus » instructifs pour moi. M. Arago m'a ajouté, au surplus, qu'aujourd'hui ces » sortes de spéculations étaient presque passées de mode à l'Académie, et » qu'en conséquence il était bien aise pour vous que vous ayez tourné vos » méditations vers les machines. Serait-ce par hasard que ces messieurs se sont » vus un peu débordés ? et qu'ils n'estimeraient que les choses dans lesquelles » ils ont une incontestable supériorité ? Quant à moi, je pense qu'il y a beau- » coup encore à faire dans la Géométrie pure, ou plutôt que nous commen- » çons seulement à y voir un peu clair, grâce aux larges méthodes de Monge » et des géomètres de son école. Si l'on veut que la science fasse de rapides » progrès, il faut qu'elle devienne populaire; et elle ne deviendra telle qu'au- » tant qu'on sera parvenu à la réduire à un très-petit nombre de théorèmes » généraux, d'une démonstration facile, desquels découlent comme autant de » germes féconds, toutes les vérités antérieurement connues. »

On conçoit, d'après cette dernière missive, que je m'empressai d'adresser à M. Gergonne une analyse de mon Mémoire sur la théorie des polaires réciproques, lu à l'Institut, non en 1826, comme il le donnait à entendre, mais en juin 1824. Je n'essayerai pas de dépeindre mon désappointement quand je vis paraître trois mois après (avril 1827), dans les Annales de Mathématiques, l'Article antidaté et à doubles colonnes de M. Gergonne, intitulé : Philosophie, etc., où mon nom ni aucun de mes écrits antérieurs (181 7 à 1822) n'étaient mentionnés, mais où, en revanche, ceux de MM. Sorlin et Dandelin se trouvaient scrupuleusement cités tout en employant les mots relations métriques, empruntés à mes propres écrits et opposés à ceux de relations de situation qu'on substituait à l'expression de propriétés descriptives, dont préférablement je m'étais servi auparavant. Or, fort heureusement pour moi, on rencontrait, dans ce même Article sur la dualité, des erreurs ou non-sens déjà en partie relevés à la p. 485 de ce volume des Applications.

Cependant, malgré la cruelle maladie que le chagrin d'un déni de justice aussi déloyal m'avait occasionnée, je ne perdis pas entièrement courage, et, dès 1827, je m'empressai d'adresser de très-vives protestations, soit au rédacteur même des Annales, soit au Bulletin des Sciences mathématiques qui avait précisément pour rédacteur de la partie géométrique l'inévitable M. Gergonne. Mais ce prétendu philosophe et le 6°° de Férussac ne tinrent compte de ces protestations que tardivement (1827 et 1828) et pour ainsi dire contraints, forcés par les instances réitérées de mon excellent et honorable ami, le savant et modeste colonel du génie Augoyat; ce qui donna lieu à une polémique dont il serait hors de propos d'analyser ici les diverses et scandaleuses péripéties (Annales, t. XVIII; Bulletin des Sciences mathématiques, t. IX et X).