SEPTIÈME ET DERNIER CAHIER

CORRESPONDANCE ET POLÉMIQUE RELATIVES AUX PRIN- CIPES FONDAMENTAUX DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES; SOUVENIRS ET FRAGMENTS DIVERS {*).

Barbarus bic ego sum quia non intelllgor illis. ( OviD., Trislium, lib. V, elegla X. )

ÉCHANGE DE LETTRES ENTRE l'aUTEUR ET MM. TERQUEM , SERVOIS ET BRIANCHON, SUR LES PRINCIPES DE LA PROJECTION CENTRALE, LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ, ETC.

\. — Poncelet, capitaine du génie à Metz, à M. O. Terquem, ancien professeur de mathématiques et bibliothécaire au Musée d'artillerie à Paris. (Metz, le a3 novembre 1818.)

« Monsieur, il y a fort longtemps que je me suis proposé d'avoir l'honneur de vous écrire ; la bonté avec laquelle vous avez bien voulu accueillir mes recherches géométriques et m'encourager à les poursuivre,

(i) Je réunis dans ce dernier Cahier, sinon le texte, du moins un extrait abrégé ou analytique des feuilles manuscrites qui n'ont pu entrer dans le cadre resserré des divers chapitres de ce deuxième volume, à cause de leur étendue, de leurs dates ou des disparates qu'elles y auraient amenés, et dont néanmoins la plupart ont été rapidement mentionnées dans les notes courantes qui l'accompagnent, ainsi que dans le précédent volume. J'ai tenu toutefois, et pour cause comme on le verra, à publier in extenso le texte de quelques Articles de correspondance avec des savants bien connus, ainsi que le Rapport fait à l'Académie des Sciences sur le Mémoire inséré dans le V* Cahier, tout en regrettant que l'espace et le temps m'aient manqué pour publier de même textuellement une partie de mes anciennes et préalables études sur les Porismes d'Euclide, l'ouvrage de Pappus ainsi qu'un grand nombre d'autres anciens ouvrages, très-peu ou mal connus à l'époque de 1822, et dont les citations multipliées, mais trop écourtées je le constate, qui accompagnent, au point de vue historique d'une consciencieuse équité, le texte du Traité des Propriétés projectiles , ont néanmoins suffi pour mettre sur la voie d'autres géomètres plus habiles ou moins empêches que moi.

l'offre obligeante même que vous avez daigné me faire d'entrer à ce sujet en correspondance avec moi et de m'aider de vos lumières et de vos conseils, m'ont fait espérer que vous accueilleriez avec une égale indulgence les communications nouvelles que je pourrais avoir à vous adresser à diverses occasions. C'est dans cette persuasion que je prends la liberté de vous transmettre directement une exposition, ou plutôt un sommaire abrégé, de la partie de mon travail qui concerne la métaphysique de la Géométrie; travail entrepris, en quelque sorte, d'après vos conseils et sous vos auspices, puisque, en daignant entrer dans les idées que j'eus l'honneur de vous communiquer lors de votre voyage à Metz (1817), vous voulûtes bien y attacher assez d'importance pour m'engager à les approfondir et à les faire paraître.

» Les recherches dont il s'agit devaient précéder la publication de mes recherches sur les sections coniques, etc.; mais, ainsi que j'ai déjà eu l'honneur de le mander à M. Servois, après avoir beaucoup écrit sur ce sujet, j'avais fini par l'abandonner entièrement, en en retenant toutefois ce qui était indispensable pour l'intelligence de la partie des applications.

» Comme j'ai déjà donné à notre savant conservateur du Musée d'artillerie quelques détails sur cette nouvelle rédaction de mon travail, je crois inutile de m'y arrêter de nouveau ; en conséquence, je ne vous entretiendrai que de l'objet de mes premières recherches, sur lesquelles je pourrai bien revenir un jour, si l'on juge qu'elles en valent la peine, et qu'elles puissent intéresser les progrès de la Géométrie.

» Tout le monde convient, en général, de la supériorité de l'Analyse algébrique sur la Géométrie, nommée si improprement synthèse; mais personne, si je ne me trompe, n"a recherché en quoi, précisément, consiste celte supériorité. A la vérité, de grands géomètres ont dit que la puissance de l'Analyse tient à la faculté qu'elle a de faire usage des êtres de raison^ de réduire le raisonnement à un pur mécanisme qui soulage la mémoire et l'attention; mais ces explications générales, quoique trèsexactes, sont loin de satisfaire, d'une manière complète, l'esprit et le jugement. On veut savoir quelle est véritablement cette puissance, à quel principe elle doit son origine et sa certitude; car, si elle tient à la faculté qu'a l'Analyse algébrique de se servir des êtres de raison (Carnot) , on peut demander encore d'où lui vient cette faculté, et si on ne la lui accorde pas d'une manière gratuite. Enfin, on se demande pourquoi la Géométrie ordinaire est si restreinte dans ses conceptions, et s'il ne serait pas possible, jusqu'à un certain point, de la faire jouir des mêmes avantages que l'Analyse algébrique. Tel était l'objet des recherches et des réflexions que j'avais essayé de mettre par écrit l'année dernière, mais dont je ne me propose d'offrir ici qu'une esquisse très-sommaire , et par suite très-imparfaite.

» Depuis longtemps j'avais cru entrevoir que la puissance de lAnalvse

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tenait à l'admission tacite et presque involontaire d'un principe trèsétendu , dont on récusait l'emploi général en Géométrie synthétique, principe qui est précisément celui de la continuité des lois mathématiques (le la grandeur figurée, dont j'ai déjà eu l'honneur de vous entretenir. Il s'agissait d'établir la chose d'une manière irrécusable, à cause de son importance, et voici comment j'ai cru pouvoir y parvenir.

» Je commence par examiner la marche de la Géométrie ordinaire dans la solution des problèmes ou dans la démonstration des théorèmes, et j'en conclus celte différence essentielle entre la Géométrie et l'Analyse, que les conceptions de l'une se bornent à l'état particulier du système ou de la figure que l'on envisage, tandis que celles de l'autre s'étendent, comme on sait, immédiatement à tous les élats possibles de ce système. Je prouve par cet examen et par des exemples, que la Géométrie ordinaire ne possède en elle-même aucun moyen de généraliser; qu'elle doit nécessairement en emprunter le principe à toute autre doctrine; que déjà, à la vérité, elle paraît douée, çà et là, d'une certaine extension dans les écrits modernes, mais que celte extension lui vient précisément de l'habitude assez généralement acquise depuis Monge, d'y appliquer le calcul algébrique, habitude qui a fait admettre comme un axiome incontestable dans certains cas, les conséquences générales qui découlent de ces principes. Cela est si vrai, que les Cavalieri , les Roberval, les Descartes, les Desargues, les Pascal, etc., qui firent usage les premiers, en Géométrie pure, de la notion métaphysique de l'infini, furent précédés de longtemps par la découverte du calcul algébrique.

» Cette discussion me porte naturellement à faire voir que la doctrine de la corrélation des figures, doctrine qui étend si considérablement le domaine de la Géométrie synthétique, n'est elle-même fondée que sur l'admission tacite du principe d'extension qu'on vient de définir et d'examiner. Je termine ce sujet en faisant observer que le principe de continuité n'a pas été reçu en Géométrie dans toute la généralité qui lui est propre, mais seulement dans certaines circonstances favorables où il ne pouvait contrarier les idées ordinairement admises, puisque, sans cela, on se serait nécessairement jeté dans les considérations métaphysiques des imaginaires, qui ont toujours été repoussées jusqu'ici du sanctuaire étroit de la Géométrie : sur quoi j'observe que , si l'on veut être rigoureux et logique comme le furent les Anciens, il faut entièrement bannir de la Géométrie le principe, l'axiome dont il s'agit, ou l'admettre dans toute sa généralité, sans s'inquiéter des conséquences singulières et paradoxales qui peuvent en résulter dans les applications, de même qu'on l'a fait en Analyse algébrique, où ces difficullés subsistent et n'ont pourtant point arrêté sa marche ni ses progrès. Pourquoi, en effet, en cette occasion comme dans tant d'autres, n'userait-on pas de ce principe de d'Alembert devenu presque vulgaire à force d'être répété : Allez en avant et la foi vous viendra.

» Passant ensuite à l'exaraen de la marche même suivie par l'Analyse algébrique dans la résolution des questions, je fais voir que, quoique le principe de continuité s'y présente d'une manière naturelle et presque à l'insu du calculateur, il n'en est pas moins entièrement gratuit, comme en Géométrie synthétique, puisqu'il revient en définitive à admettre que les opérations élémentaires de l'Algèbre s'étendent immédiatement à tous les états, même imaginaires, des lettres que ces opérations concernent. Or on sait combien cette extension volontaire est jusqu'ici peu démontrée, et qu'elle n'a de certitude que celle que lui a imprimée l'expérience de deux siècles de découvertes et de travaux mathématiques.

On aurait tort de croire que cette puissance extensive de l'Algèbre lui appartienne d'une manière exclusive, et qu'elle ne puisse dériver d'aucune autre forme de raisonnement; car, pour y parvenir par le discours ordinaire, il suffit de donner aux quantités que l'on considère des dénominations vagues et abstraites, qui fassent perdre de vue 1 ordre particulier de leur grandeur ; c'est-à-dire qu'à la place du raisonnement explicite ordinaire, qu'on appelle souvent synthèse^ il suffit d'admettre le raisonnement implicite sur des grandeurs indéterminées. Il est visible, en effet, que les résultats ne conservant plus aucune trace de la grandeur absolue et particulière des quantités, on sera entraîné à en étendre la signification à tous les états ou valeurs possibles de ces quantités ; et c'est ce qui arrive nécessairement, même en Géométrie rationnelle, à l'égard des lignes inconnues d'un problème. Aussi les anciens ne se fiaient-ils pas plus à leivr Analyse géométrique que les algébristes des premiers siècles ne se fiaient eux-mêmes aux résultats du calcul algébrique, les uns et les autres se croyant obligés de refaire la démonstration de ces résultats dans un ordre inverse et purement synthétique.

» L'axiome jusqu'ici examiné n'est au fond, quand on le considère sous un certain point de vue, que le principe de permanence ou continuité indéfinie des lois mathématiques des grandeurs variables par succession insensible, continuité qui pour certains états d'un même système ne subsiste souvent que d'une manière purement abstraite et idéale. Cette loi de continuité, sur laquelle repose implicitement l'Algèbre pure, est de nouveau invoquée, ouvertement ou non , dans les principes des diverses théories particulières qui la composent , telles entre autres que la théorie des équations et celle du calcul infinitésimal, etc., et c'est ce qui laisse encore de nos jours quelques scrupules dans l'esprit de certains géomètres. On la suppose de même dans les applications de l'Algèbre à la Géométrie, à la Mécanique, etc.; car lorsqu'elle a lieu dans les relations particulières à ces sciences, cela ne peut résulter que des conventions ou de la nature propre des choses, et non du fait même des opérations et de l'algorithme 'de l'Algèbre pure, dont les lois symboliques ou numériques sont abstraites et indépendantes de la forme et des affections réelles de la grandeur.

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» Le principe de la continuité, considéré sous le rapport de la Géométrie, consiste, comme on a pu le voir par ce qui précède, en ce que, si l'on conçoit qu'une fgure donnée vienne h changer de situation par un mouvement progressif et continu des parties dont elle se compose , sans cependant violer la liaison et la dépendance primitivement établies entre elles ^ les relations ou propriétés métriques qui concernaient la figure dans la situation première demeurent applicables , dans leur forme générale, à toutes les figures dérivées^ sans autre changement que celui des dénominations simples plus et moins qui peuvent s'intervertir entre elles dans ces relations. Quant aux relations purement graphiques ou descriptives qui concernent la figure primitive, elles demeurent applicables à toutes les figures dérivées -sans autres modifications c^ue celles survenues dans la situation respective des lignes.

» Je m'arrête quelque temps à examiner le sens dans lequel on doit entendre ce principe et les notions métaphysiques qui découlent de son admission en Géométrie, notions généralement reçues dans l'Analyse des coordonnées. Je donne ainsi successivement la définition des expressions figurées qui s'y emploient et la signification attribuée aux expressions négatives et imaginaires offerte par le calcul.

» C'est en partant de l'observation facile qu'en Géométrie les êtres de raison ne peuvent provenir que de la volonté qu'on a d'étendre la loi de continuité aux cas mêmes où la conjonction des lignes est impossible physiquement, que je parviens à établir les caractères propres et distinctifs qui leur appartiennent respectivement. Je déduis du même examen diverses notions métaphysiques qui me paraissent importantes et nouvelles; telle est entre autres la suivante : Tous les points à l'infini de l'espace doivent être regardés, sous le point de vue de la continuité, comme distribués sur un plan a P infini, indéterminé de situation.

» Après avoir ainsi examiné, en lui-même et dans ses conséquences, le principe de continuité en Géométrie, je reviens aux réflexions générales sur l'application de l'Algèbre à cette science particulière.

» Je fais voir combien il est essentiel de séparer l'Algèbre pure de ce qui concerne ses applications à des théories ou à des recherches particulières. Je démontre, en effet, que, quand bien même la loi de continuité serait admise et constatée d'une manière rigoureuse pour les relations abstraites de l'Algèbre, il ne s'ensuivrait nullement qu'on puisse directement en appliquer les conséquences aux conceptions propres à la Géométrie.- Car l'application de l'Algèbre elle-même aux relations qui concernent les figures suppose déjà que ces relations, quelles qu'elles soient, demeurent invariables de forme, et soient assujetties à la loi algébrique des signes pour toutes les situations que peuvent prendre les figures correspondantes. S'il en était autrement, en effet, comment pourrait-on affirmer que les résultats qui en dérivent algébriquement demeurent eux-mêmes applicables dans leur forme explicite à toutes les situations de ces figures.

Cela paraîtra surtout évident à l'égard du changement des signes de position. Or, comment pourra-t-.on avoir égard à la variation de ces signes dans les résultats, si l'on n'en a étudié à l'avance la loi pour la figure et les relations primitives d'où les figures dérivées proviennent? Ainsi la loi des signes et la loi de continuité, dans les résultats obtenus algébriquement pour ces diverses figures, ne peuvent découler virtuellement et d"une manière absolue, que des lois inhérentes aux formes ou objets figurés delà Géométrie; c'est donc par l'observation directe et attentive de ce qui se passe dans les relations premières, celles d'où toutes les autres dérivent , qu'il faudra les établir d'abord d'une manière certaine et rigoureuse.

» On doit sentir ici quelle est la cause du vague qui règne dans presque toutes les théories qu'on a données sur les signes considérés dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie : on a voulu démontrer ces théories à priori , et sans remonter aux propriétés ou faits primitifs auxquels elle doit sa naissance et son infaillibilité. Aussi les auteurs de ces théories ontils été obligés d'admettre tacitement ce qu'il s'agissait précisément de démontrer. C'est ainsi que M. Gaudin, dans son Essai sur la tliéorie des signes {*), entre en matière en posant ce principe : Ce qui existe dans le calcul doit aussi exister en Géométrie, par la seule raison que le calcul est applicable à tous les objets que cette science considère. Indépendamment du vague et de l'obscurité qui régnent dans cet énoncé, il est trèscertain que le principe est entièrement gratuit et non démontré. Cela seul suffit, ce me semble, pour faire voir que la théorie de M, Gaudin pèche par la base, et ne saurait expliquer clairement les faits qu'elle entreprend d'examiner.

» M. Carnot aurait jeté un grand jour sur ces matières, si, en s'appuyant, non tacitement, mais explicitement, sur le principe de la continuité, pour en déduire la règle véritable des signes de corrélation, il eût toujours eu soin, dans les applications particulières, de séparer ce qui tient aux notions fondamentales et géométriques de ce qui est dû proprement à l'Analyse algébrique. Il ne nous appartiendrait guère de revenir sur ce qu'a dit ce célèbre géomètre, si la théorie qu'il expose avait paru satisfaire tous les esprits, et si les conséquences qu'elle entraîne et les objections qu'elle fait naître ne tendaient à détruire, jusqu'à un certain point, la confiance que l'on doit avoir dans la certitude et dans la généralité de l'Analyse algébrique. D'ailleurs, l'objet des recherches qui nous occupent est d'introduire en Géométrie, dans toutes ses conséquences, le principe de continuité dont l'admission exige absolument qu'on ait égard à la varialion des signes; et, quoiqu'on puisse admettre, à priori, la règle indiquée par M. Carnot, relative«ient aux quantités directes et inverses, règle on

(*) Imprimé à Nantes, chez Forcsl, près la Bourse; 1816.

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elle-même très-exacte, il importe toutefois de la présenter sous un jour plus simple, plus conforme à la manière ordinaire de voir, et qui puisse faire éviter toutes les difficultés dont elle est hérissée dans les applications particulières.

» Le but que je me propose dans ce qui va suivre est donc d'examiner, sous ce point de vue spécial, et le principe de continuité et la loi des changements de signe, puis d'en tirer des conséquences exactes pour l'application de l'Algèbre à la Géométrie en général.

» J'admets en principe, avec M. Carnot, que toute propriété ou équation déduite algébriquement d'une ou de plusieurs relations données, demeure invariable de forme ^ et par conséquent applicable à tous les états des quantités qui y entrent, quand les premières, celles d'où elles proviennent, jouissent elles-mêmes de ce caractère dans lequel réside véritablement le principe de continuité admis en Algèbre pure. Quoique ce principe n'ait point jusqu'ici été rigoureusement démontré, je l'adopte toutefois sans discussion parce qu'il est parfaitement clair, exact en lui-même et reçu au moins implicitement par la généralité des géomètres, si on le considère indépendamment de ses applications.

» J'examine, pour les figures élémentaires et fondamentales de la Géométrie, l'influence de la position sur les signes des quantités qui entrent dans les relations correspondantes; j'en déduis cette règle si connue: que, dans les divers changements de situation que peuvent éprouver ces figures, ou les parties qui les composent, il y a permanence de signes en même temps que permanence de situation et de sens à l'égard de l'origine d'où se mesure chaque grandeur respective, et qu'il y a au contraire ^lariation de signe avec variation de sens à l'égard de cette même origine. Au moyen du principe cité, j'étends d'abord cette règle des signes aux relations métriques qui pBuvent se déduire algébriquement des premières; puis, par un raisonnement fort simple et souvent employé, je retends de nouveau à toutes les relations géométriques possibles des figures, en observant que les plus compliquées d'entre elles se décomposent toujours en quelques-unes des figures élémentaires d'abord examinées, en même temps que les relations qui leur appartiennent dérivent de la combinaison algébrique de celles de ces dernières.

» La règle des signes ainsi posée en général, j'examine comment on peut l'appliquer aux systèmes corrélatifs, dans lesquels certaines grandeurs figurées cessent de subsister d'une manière physique ou graphique. Je fais voir que cela consiste à regarder les lettres ou expressions qui les représentent comme inconnues à la fois de grandeur et de signe pour tout l'intervalle où elles restent imaginaires , en ayant égard cependant à la règle des signes pour les autres quantités du système qui sont demeurées réelles. Les relations correspondantes à ces états du système sont purement idéales dans les propriétés géométriques qu'elles expriment, mais elles n'en sont pas moins exactes et rigoureuses, en ce sens qu'elles ma-

nifestent l'état véritable du système par leur incompatibilité et par la nature des expressions qu'elles donnent pour les valeurs des quantités regardées comme inconnues. Je termine ce sujet en examinant et expliquant les difficultés faites contre la règle ordinaire des signes; telle est entre autres celle que présente la sécante d'un arc plus grand que 100°, qui se confond exactement avec la sécante correspondante d'un arc moindre que loo", et qui pourtant est, comme on le sait, affectée d'un signe contraire à celui que porte cette dernière.

» Cette objection, d'abord mise en avant par M. Carnot dans la Géométrie de position, puis reproduite à la fin de son Mémoire sur la Théorie (les transversales, comme un exemple propre à détruire l'opinion ordinairement reçue en Géométrie sur la nature des quantités négatives , a de nouveau été examinée par M. Gaudin (art. 35 et 49) de l'ouvrage déjà cité; l'auteur cherche à détruire cette objection en affirmant qu'on s'exprime d'une manière abrégée lorsqu'on dit que la sécante dhin arc plus grand que -200° est négative; mais l'explication de M. Carnot, fondée sur la théorie des quantités directes et inverses et celle même de M. Gaudin ne sont nullement satisfaisantes et ne détruisent aucunement l'objection; nous faisons voir, en effet, que la difficulté lient simplement à ce que, dans le mouvement de rotation d'une droite qui porte certaines distances variables et constantes, on confond aisément entre eux les deux sens opposés [dexter et sinister) que ces distances peuvent prendre à l'égard de leur origine commune.

» Après avoir ainsi examiné la véritable règle des signes, ou plutôt le sens véritable que l'on doit attacher à la règle ordinairement reçue en Géométrie analytique, je passe à l'application de l'Algèbre à la résolution des problèmes qu'on peut se proposer sur les figures. Je démontre rigoureusement, par des raisonnements et par des exemples, que, quand le problème a été bien mis en équation, c'est-à-dire quand le système des équations primitives n'exprime ni plus ni moins que l'énoncé verbal luimême, et en est par conséquent la traduction exacte et fidèle, que les racines algébriques obtenues satisfont toutes à la fois aux conditions du problème; les racines positives indiquant des grandeurs qui ont précisément le sens qu'on leur avait attribué primitivement, les racines négatives représentant forcément toujours des solutions qui ont un sens opposé ou inverse (pourvu qu'on donne au mot sens l'acception qui lui est propre d'après la loi posée pour les signes), enfin les racines imaginaires indiquant des solutions impossibles pour le cas actuel et qui peuvent devenir réelles en changeant, non le sens, la nature du problème énoncé, comme le veut M. Carnot , mais la grandeur absolue de quelques-unes de ses données. Je fais voir que toutes les difficultés particulières que l'on peut rencontrer viennent toujours de ce que le problème a été mal mis en équation, ou de ce que l'on a confondu le système cherché avec un autre système qui en diffère soit géométriquement, soit analytiquement.

Toutes les racines trouvées satisfaisant en effet algébriquement aux équations de départ, et ne satisfaisant qu'à ces seules équations, elles indiquent des solutions rigoureuses du système propre à ces équations, et il ne saurait s'en trouver parmi elles aucune qui soit ou absurde ou insignifiante, et provenant purement des transformations algébriques, comme le prétend encore notre illustre géomètre.

» Je donne ici plutôt les conséquences que l'analyse de la dernière partie de mon travail, parce que dans une matière aussi épineuse et où les difficultés tiennent à des notions vicieuses généralement reçues, et souvent aussi à des amphibologies de mots et d'expressions, on ne saurait se faire comprendre , d'une manière parfaite, que par des raisonnements souvent répétés et appuyés de la discussion exacte d'un grand nombre d'exemples difficiles,

» Au reste. Monsieur, l'objet véritable de cette lettre, ainsi que j'ai eu déjà l'honneur de vous l'annoncer lors de votre visite à Metz, était moins de vous offrir une analyse raisonnée de mon travail qu'une esquisse rapide, propre à vous faire connaître seulement le but exact que je m'étais proposé d'atteindre dans mes recherches, afin que vous puissiez juger à l'avance, non du mérite, mais du degré d'intérêt qu'elles pourraient offrir aux géomètres qui aiment comme vous à s'occuper de la partie métaphysique des sciences.

» C'est sous ce rapport seulement que j'ose recommander cette longue lettre à votre attention et à votre indulgence , ainsi qu'à celles de nos respectables amis MM. Servois et Brianchon. Si vous daignez me transmettre, d'une façon ou d'une autre, votre avis et le leur sur la nature de l'accueil qu'on pourrait faire aux idées principales qu'elle renferme, vous fixerez l'incertitude et le doute qui m'empêchent jusqu'à ce jour de rien faire paraître; car, il faut bien que je le dise, voulant baser toutes mes recherches sur l'admission du principe de continuité en Géométrie et de toutes les conséquences métaphysiques qu il entraîne, j'appréhende, en leur donnant le jour, de contrarier les idées ordinairement reçues, et de ne point obtenir l'assentiment des hommes éclairés que je veux précisément prendre pour juges. L'exemple de Wronski m'effraye et m'intimide à plus d'un titre, sans cependant me faire croire que mon travail ait rien de commun avec les rêveries de la philosophie d'oM/r6'-/{/i/« (*). Il y a, il est

(i) M. Servois, mon ancien maître et honorable ami, dont plusieurs fois déjà j'ai eu l'occasion de citer les écrits géométriques dans ces applications, et dont le nom se trouve souvent rappelé dans le Traité des Propriétés projectiles des figures, est l'auteur de divers Mémoires (1800 à 1810) sur les principes du calcul des variations, du calcul dilTérenticl, des fonctions distribiitives et commiitatives, etc., approuvés par l'Institut en 1812, dont les idées et les théories sont en partie reproduites dans des écrits imprimés à Nîmes en i8i4 et les Annales de Mathématiques. Dans ces divers articles, pleins d'une érudition

vrai, beaucoup d'autres difficultés qui m'arrêtent encore dans la rédaction de mon travail, ce sont le défaut de santé, le manque de temps et mon incapacité naturelle pour écrire; mais elles ne sont qu'accessoires à la première, et avec de la persévérance on en vient tant bien que mal à bout. Lors de votre voyage à Metz, en 1817, vous me donnâtes l'idée. Monsieur, de présenter mes recherches à l'Institut; Brianchon m'a réitéré depuis le même conseil. Je désirerais savoir si la lecture de cette lettre vous aura laissés l'un et l'autre dans les mêmes sentiments; je souhaiterais beaucoup aussi que M. Servois daignât joindre son avis particulier aux vôtres, je lui en garderais une profonde reconnaissance. »