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noiilli, etc., relatifs à la division géométrique du cerclo et à la résolution des équations à deux termes, qui se déduisent, en effet, des propriétés des fonctions e', coso: et sin^ développées par divers moyens en séries indéfinies, dont le principal et plus remarquable caractère consiste à demeurer convergentes pour toutes les valeurs de la variable, et constamment équivalentes à la fonction d'où ces séries émanent. La doctrine de M. Français, qui conduit (65) aux prétendues identités

«, = H-«, a^ =z—a, \/a^.a^ =a rs=±asl-\, i

dont la dernière serait le signe de corrélation des lignes dirigées, cette doctrine ne constitue qu'un rapprochement fort ingénieux, mais non rigoureusement justifié. C'est ce que je prouve de point en point, en observant que les définitions, les équations symboliques qoi concernent les lignes dirigées, pèchent toutes contre la règle de l'homogénéité; les raisonnements, les conséquences ou soi-disant corollaires, sous des apparences logiques et séduisantes, reposant sur de véritables pétitions de principes et des hypothèses contradictoires, sont, sinon radicalement fausses au point de vue géométrique ou algébrique, du moins illusoires (*). A l'égard de l'équation symbolique

rt.. = «. I.

? ' = flcosa -f- «sma y/ — I,

à laquelle M. Français arrive dans son Mémoire pour exprimer la valeur variable des lignes polaires ou dirigées, je montre à la fin de la Note précitée de i8i6, qu'elle revient à supposer que toutes les ordonnées y—, «sina, perpendiculaires à un axe fixe quelconque dans un plan, soient à priori affectées du signe d'imaginarité / — i, tandis que les abscisses correspondantes x — acosa resteraient réelles; de sorte que l'équation ci-dessus appartiendrait, non à une circonférence de cercle, comme l'auteur le suppose ou sous-entend, mais bien à une spirale logarithmique

(*) Je n'en voudrais pour preuve, si le temps et l'espace me le permettaient, que les démonstrations symboliques relatives aux projecUons des droites polygonales sur un axe fixe, dont l'idée et les théorèmes, tout élémentaires, sont dus au géomètre Simon Lhuillier (de Genève), et ont servi de point de départ à M. Argand et postérieurement, comme on l'a rappelé dans une note de la p. 244) ^ ^- Cauchy, qui, par un singulier entraînement, s'en est aussi servi sous le nom de somme géométrique, proposé par quelques adeptes nationaux ovi étrangers qui s'en sont disputé la découverte et l'application à divers rapprochements et conséquences dans le genre analytico-symbolique, mais, chose remarquable, toujours dans l'hypothèse des projections exclusivement orthogonales, ce qui limite l'interprétation, en cela non moins arbitraire, du signe d'imaginarité y — i .

imaginaire. Or, il serait arrivé à des conséquences tout autres relativement à la courbe ou à la valeur du signe i de corrélation des angles polaires, s'il eût substitué à priori la considération de l'hyperbole équilatère à celle du cercle, etc.

II. J'ai répété à différentes occasions que la continuité constituait un axiome, un fait primordial indiscutable, sur lequel reposaient, au moins implicitement, la plupart des vérités géométriques. C'est ce que je me propose d'examiner ici d'une manière un peu plus approfondie, d'après deux très-anciennes Notes ou rédactions, principalement écrites en vue de répondre à des objections stériles et trop souvent pédantesques, sinon d'élucider parfaitement les notion! inlinitésimales sur lesquelles s'appuyaient mes Leçons de Mécanique de i8.2j à i83.) à Metz, et de i838 à 1848 à la Faculté des Sciences de Paris; notions qu'il me serait impossible de publier avec les développements divers que comportent ces mêmes écrits, et faute desquels beaucoup de passages trop écourtés du texte ci -dessous, pourront semliler obscurs ou de véritables répétitions par rapport au contenu des précédents Articles.

Quel que soit le degré de rapprochement des substitutions numériques opérées dans une formule ou équation algébrique, on peut en opérer de plus rapprochées encore, et, comme le dit Pascal dans un passage de ses Pensées, écrit sans doute en vue de certaines doctrines infinitésimales de son époque, quelque petite que soit une grandeur géométrique., on peut la concevoir divisée ,ou subdivisible à l'infini. La même chose ne saurait se dire dans l'ordre physique : quoique la continuité, la divisibilité indéfinie des corps matériels ait été admise par quelques philosophes anciens et modernes, ce n'en est pas moins une abstraction démentie par les faits, et qu'il faut se garder d'introduire en Mécanique avec certains géomètres, bien que nos physiciens et nos chimistes soient parvenus à diviser tous les corps jusqu'à tomber dans le monde ethéré^ ou d'atomes qui, révélés à certains de nos instruments et de nos sens, sembleraient échapper à d'autres et à l'action de la gravité. D'après le P. Boscovich, ces atomes, sorte de points matériels sans dimensions appréciables, quoique centres ou sièges de diverses forces., constitueraient les causes mystérieuses d'action ou de mouvement avec lesquels il prétendait recomposer tous les corps existants et en expliquer les propriétés physiques diverses [Theoria philosophiœ natumlis ., 1763, Dissertatio de lumine). Mais, il ne faut pas l'oublier, ces forces tout a fait inconnues, ces points matériels isolés, ces atomes indivisibles groupés dans un ordre relativement invariable, ce milieu ou fluide éthéré éminemment élastique, continu ou discontinu, ne sont, en dehors de certaines manifestations de mouvements et de forces bien constatés, que de pures conceptions de l'esprit, de pures hypothèses plus ou moins conformes à la nature des choses, et propres seulement à fournir à posteriori, avec ou sans calcul algé-

brique, l'explication mathématique de certains faits ou phénomènes physiques, mais dont quelques hommes de génie, tels que Archimède, Copernic, Kepler, Galilée, Torricelli, Pascal, Huygens, Newton, Daniel Bernoulli, Clairault, Borda, Coulomb, Malus, Fourier, Fresnel, Ampère, etc., tout à la fois géomètres et physiciens, ont eu seuls le privilège de découvrir les véritables lois.

Le passage des figures polygonales aux courbes dont il a déjà été parlé ailleurs, suppose que, en vertu de la continuité, les éléments droits ou courbes coïncident en s'évanouissant à la limite, et ce n'est que par des subterfuges sophistiques qu'on échappe à cette notion, qu'il faut admettre comme un axiome primitif qu'on ne saurait prouver logiquement; car nous ne savëns que d'une manière intuitive, il faut bien le redire, mais non par définition convenue et indiscutable, ce que c'est qu'un arc, un secteur^ une tangente, de ligne courbe, dont en effet la longueur, Vaire et Vinclinaison ne peuvent se concevoir à priori que par leur comparaison avec les dimensions, les mesures correspondantes relatives à la sécante ou à la sous-iendante de l'arc; c'est-à-dire, en général, à la ligne droite, au triangle et aux angles, eux-mêmes impossibles à définir autrement que par le tracé et l'intuition géométriques.

D'ailleurs, l'esprit ne conçoit pas nettement et à priori comment une grandeur nulle ou évanouissante, nommée infiniment petite, puisse conserver des propriétés, une existence distincte et individuelle au moment même où elle s'anéantit, ni comment une somme d'arcs ou de secteurs, s'ils étaient rigoureusement nuls à la limite, puisse néanmoins conserver ou obtenir une valeur finie et susceptible de mesure exacte. Mais on doit considérer, d'une part, qu'un tout continu est rigoureusement égal à la somme des parties dans lesquelles on le suppose subdivisé, qu'il soit d'ailleurs rectiligne, curviligne, plan ou solide ; d'une autre, qu'il ne s'agit en réalité que des rapports numériques de l'arc, du secteur curviligne, etc., de mesure inconnue, avec la corde ou le secteur triangulaire correspondant, etc., censés donnés ou déterminables à priori; rapports qui, à première vue et intuitivement, convergent vers l'unité abstraite, soit individuellement, soit dans les sommes respectivement équivalentes à l'arc et au secteur entier, etc. De là aussi la justification à priori des notions relatives à la courbe polygone ou limite, que les démonstrations à la manière des Anciens ne sauraient rendre plus logiques ni plus rigoureuses dans leurs conséquences, puisque celles-ci reposent elles-mêmes, au moins implicitement, sur la notion de la continuité ou de l'infini adroitement dissimulée, à moins qu'on n'admette à priori et franchement certains lemmes bien connus : par exemple, que toute ligne enveloppante est plus longue (jue la ligne enveloppée.... Ces lemmes, s'ils étaient admis comme axiomes et sans réticence, réduiraient considérablement les difficultés et l'étendue de l'enseignement élémentaire, d'autant plus que des auteurs modernes ont vainement et abusivement cherché à les démontrer par des raison-

nements sophistiques bien plus propres à fausser l'esprit des élèves qu'à l'éclairer et à le convaincre.

En général, dans le passage de la ligne droite aux courbes, on suppose, quoi qu'on fasse, que les éléments de ces courbes et ce qui en dépend se succèdent sans intervalle fini, non-seulement en ce sens que leurs grandeurs effectives parviennent à la limite de petitesse, mais aussi que leurs directions finissent par se confondre avec celles des cordes correspondantes; c'est là un genre d'hypothèse tacite ou déguisée, à laquelle nul géomètre n'a pu jusqu'ici se soustraire, pas même Fermât, Descartes, Huygens, Newton, sévères et rigoureux à la manière des Anciens, mais que d'autres moins scrupuleux, Cnvalieri, Roberval, Leibnitz osèrent les premiers adopter ouvertement en se servant des noms, souvent mal interprétés, û' indivisibles, û' incréments, 6! infiniment petits, de différentielles, etc., dont l'usage est aujourd'hui encore repoussé par les esprits difficiles, qui en confondent mal à propos la synonymie avec les hypothèses et les doctrines diverses dont elles ont tiré leur origine au xvii* siècle.

Dans l'écrit tout d'abord mentionné et qui portait pour titre : Notions de Géométrie infinitésimale, j'avais essayé de commenter et d'éclairer les principales de ces doctrines, notamment celle des infiniment petits, d'après Newton, Maclaurin, d'Alembert, Leibnitz même, en m'appuyant explicitement sur l'axiome de la continuité et le résultat de la comparaison de deux quantités A et B, de même espèce, homogènes et susceptibles de varier simultanément jusqu'à la limite absolue (zéro) de petitesse, tandis que leur rapport A : B converge lui-même vers une limite généralement finie, distincte d'après la loi de continuité, et déterminable à laide de divers procédés qui, dans la Géométrie infinitésimale, reposent en définitive sur la comparaison de triangles rectilignes substitués aux triangles curvilignes correspondants, avec lesquels ils se confondent rigoureusement à la limite, tout en convergeant eux-mêmes à cette limite vers une forme semblable à celle d'autres triangles bien déterminés; ce qui conduit à des comparaisons ou identités de rapports, faciles et élémentaires, fondées sur la coïncidence et la similitude des figures.

De là ensuite je déduisais, toujours géométriquement et élémentairement, la justification de cette théorie des infinis de divers ordres, dont la considération, si je ne me trompe, est due à Leibnitz, mais sur laquelle il m'est impossible d'insister ici, me contentant d'observer que j'en déduisais diverses notions de Géométrie infinitésimale indispensables quand il s'agit de démontrer, avec une rigueur apparente et souvent inutile, certains lemmes de Mécanique ou de Cinématique rationnelles, qui pourraient également être admis comme autant d'axiomes. Qu'on me permette seulement une dernière remarque.

Soit d la difTérence des deux quantités variables homogènes A et B, avec la condition B <; A, de sorte qu'on ait constamment

On doit bien se garder, comme cela se fait quelquefois, de prétendre que si d est supposé infiniment petit vis-à-vis de A et B finis ou infiniment grands, on ait rigoureusement A=B et par conséquent ^ = 0, même à l'extrême limite de grandeur ou de petitesse do A et B, limite qui peut d'ailleurs ( IIF Cah.) être absolue et infranchissable sans changement des signes -t- et — , ou purement relative et franchissable en en changeant ; Y uni té vers laquelle le rapport de A à B converge dans le premier cas, ayant tous les caractères d'une limite analogue à celle que présentent les symbples «■ et y 'i . C'est ce dont la relation harmonique offre un exemple très-simple, qui se reproduit dans une infinité de circonstances de la théorie des courbes et surfaces, 011 des distances A et B convergent vers l'inlini absolu, tandis que l'intervalle d de leurs extrémités reste fini ou donné à priori. Or c'est là, dans la considération des infinis des divers ordres, l'une des plus grandes difiicultés que présente leur application ou interprétation métaphysique à la Géométrie et à l'Analyse algébrique.

Cependant on peut très-bien observer, sans recourir à des calculs transcendants ou à des hypothèses absurdes et contradictoires, que si le rapport des quantités variables A et B ci-dessus, au lieu de converger vers une quantité finie, converge vers une limite elle-même nulle ou infinie, selon le cas, on tombe inévitablement sur des valeurs infiniment petites ou infiniment grandes par rapport aux premières A et B, supposées à p*-iori de cette espèce; c'est-àdire, en d'autres termes, sur des infinis d'infinis, ce qui, en allant de proche en proche d'un ordre quelconque au suivant ou au précédent, constitue la série entière, ascendante ou descendante, des infinis de divers ordres que, par des considérations géométriques, je démontrais se rapporter à la forme générale Aj:«, X étant simplement relatif au premier ordre; ce dont je présentais divers exemples relatifs à des figures rectilignes, en zigzags, inscrits dans l'angle formé par deux lignes droites ou courbes; cet angle ayant une ouverture finie ou infiniment petite, etc.

En terminant cette analyse imparfaite d'un écrit fort étendu, je crois devoir prévenir qu'il n'était nullement destiné à voir le jour, même à propos de mes anciennes leçons de Mécanique; car j'ai toujours été d'avis qu'il est aussi dangereux que superflu de vouloir justifier à priori la notion intuitive des infiniment petits, autrement que par quelques mots d'éclaircissement simples et naturels amenés en de rares occasions ; c'est là, en efiet, une maxime aussi sage qu'ancienne : dans tout enseignement élémentaire, on ne doit jamais courir audevant des difficultés , maxime qui a pour complément dogmatique nécessaire, cette autre posée par notre illustre d'Alembert : Allez en avant, et la foi vous viendra.