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des études, de théorèmes ou de problèmes, où parfois on se sert de considérations inutilement transcendantes pour arriver à ce qui, en soi, est simple et élémentaire; mais c'est un point sur lequel j'ai suffisamment insisté ailleurs.

Quoi qu'il en puisse être de l'opinion de Lacroix, il n'en est pas moins fâcheux que les géomètres algébristes les plus distingués de notre époque, dédaigneux d'approfondir et de dissiper par eux-mêmes les doutes qui retardent encore les progrès de la science, en abandonnent la tâche délicate aux esprits qu'ils nomment secondaires ; à peu près comme s'il s'agissait du mouvement perpétuel, de la trisection de l'angle ou de la quadrature du cercle, lesquels, en fin de compte, consistent en de simples préjugés ou malentendus émanant d'individus imparfaitement instruits, et qui, apercevant dans la nature et même en Géométrie des phénomènes de mouvement et d'existence physique incontestables, ne saisissent pas bien la différence qui existe entre la réalité indiscutable de ces phénomènes, dont ils ont la vive intuition, et les résultats du calcul et des théories des mathématiciens dont les rectrictions, les dénégations tiennent à une autre manière d'envisager les choses au point de vue des principes ou de l'appréciation numérique des grandeurs.

Pour eux, par exemple, l'existence comme longueur absolue de la diagonale du carré, de la circonférence du cercle, de la tierce partie d'un arc ou d'un angle, etc., est absolument hors de doute, et toute idée d'approximation finie ou même indéfinie leur répugne foncièrement ; ce qui est aussi le fait, même des mathématiciens, à rencontre des incommensurables y/â, e~ 2,71828. . ., qui n'existent pas comme nombres absolus ou discrets, mais simplement comme limites et symboles d'intuition, dont on peut approcher à volonté et numériquement, de manière à satisfaire à tous les besoins des sciences et des arts.

En réalité, Lacroix, esprit éminemment juste et éclairé, aurait dû, moins que tout autre peut-être, blâmer les efforts qui restent à faire pour élucider certains points de doctrine, résoudre certaines difficultés qui obscurcissent encore le domaine de la philosophie dans quelques branches des mathématiques, dont elles limitent par là même le sens et l'étendue, en s'opposant à l'édification, au progrès ultérieur des sciences en général. Tel est notamment ce qui tient, non pas à la métaphysique vague, ténébreuse et alambiquée des rhéteurs de profession, qui traitent de l'infini en dehors de la Géométrie, mais bien à l'interprétation et à l'usage des infiniment grands, des infiniment petits relatifs ou subordonnés, dont, tout le monde le sent, la hiérarchie, absolument analogue quoique inverse à celle des différentielles de divers ordres, demanderait à être exposée d'une manière spéciale et approfondie, mais qu'il ne faut pas confondre avec les limites absolues de toute grandeur, représentées par les symboles G et 00 . En un mot, je ne crains nullement d'insister, il n'y a rien d'absurde à se préoccuper de la manière dont, en Analyse algébrique, on

peut sans efforts pénibles, sans ces détours, ces procédés multiples et incohérents aujourd'hui en usage, franchir les mêmes intervalles qui, en Géométrie, correspondent à la coïncidence de certains points, au parallélisme et à la perpendicularité de certaines lignes droites ou courbes, etc. ; ce qui, exigeant qu'on s'appuie franchement, explicitement sur le principe de continuité et la loi des signes de position, nécessite une longue étude et des exercices préalables relatifs à leur application à des questions variées. En effet, les difficultés relatives à l'interprétation des formules et des équations algébriques sont tout à fait du même ordre que celles qu'on rencontre dans la discussion des lieux géométriques, dont, contre la propre opinion de Lagrange, on a tort de les isoler, sinon par le fait, du moins en apparence et ostensiblement. Ainsi, de toutes les manières, on est conduit aux mêmes conclusions relativement aux rapports et à la correspondance intime qui existent entre les vérités, les déductions de l'Analyse algébrique et les faits, les conséquences de la Géométrie.

Indépendamment des exemples relatifs à la prétendue discontinuité des courbes exponentielles et logarithmiques, qui viennent de nous occuper, et de toutes les courbes fonctionnelles qui en dérivent, on en a cité beaucoup d'autres qui n'ont pas la même raison d'être, et proviennent toutes de la manière imparfaite dont on discute les équations des courbes algébriques ou transcendantes. Ainsi, entre autres, on cite" comme exemple de discontinuité la courbe représentée par l'équation transcendante très-simple,

jr ■= X arc

(tang = ^).

qui aurait à l'origine un point de rebroussement anguleux; mais ce point se change en un point double ordinaire à deux branches continues, quand on suit attentivement le mouvement du point générateur et des signes dans les sens opposés, progressif et rétrograde, de l'arc que détermine la tangente, ici mal à propos censée donnée à priori.

Toutes ces équations et une infinité d'autres de courbes à prétendus points d'arrêt, sont non moins faciles à interpréter, et il serait bien inutile de s'y arrêter. Mais il y aurait au contraire un bien grand intérêt à discuter celles de beaucoup d'autres courbes mécaniques encore inconnues, et qu'on peut concevoir engendrées d'une manière continue par l'enveloppement, le développement, le roulement ou le déroulement de figures elles-mêmes continues dans un plan ou dans l'espace; ce qui conduit à des résultats bizarres, inattendus et difficilement atteints ou expliqués par l'Analyse algébrique.

On consultera utilement à ce sujet un intéressant Mémoire de feu Coriolis, inséré à la p. 5 du t. F"" du Journal Mathématique de M. Liouville, et où se trouve aussi indiqué le moyen de décrire sur un cylindre ou d'autres appareils, et par des procédés purement mécaniques, les courbes que représentent en général les équations différentielles

%=jrm ou .r|-p(x), |=/(-..r),

où les fonctions indiquées par les lettres /" et p sont essentiellement continues par hypothèse.

58o VIP ET DERNIER CAHIER. - CORRESPONDANCE ,

On pourrait encore citer comme exemples de discontinuité au moins apparente, les portions de lignes qu'on obtient dans certains cas par la projection, sur un plan ou un axe fixe, d'une courbe rentrante et continue dans l'espace ou sur un plan; car il en résulte des points d'arrêt extérieurs, et c'est ce qui a lieu en particulier pour la projection de l'ellipse ou du cercle sur une droite fixe; projection dans laquelle le mouvement orbitaire continu du point générateur sur la courbe, se change en un mouvement oscillatoire (de vaet-vient) analogue à celui du pendule ordinaire où le mouvement s'éteint et reprend aux points d'arrêt mêmes, en sens contraires, toujours par degrés insensibles, c'est-à-dire continus. Or, on arrive à des résultats plus ou moins analogues dans des circonstances où le mouvement s'opère sur d'autres courbes que le cercle et l'ellipse, par exemple sur l'hyperbole, et il faut se garder de confondre ce genre de points d'arrêt, qui tiennent à des questions de cinématique, dépendantes d'une manière tout au moins implicite du temps, avec ceux que l'on prétend exister dans certaines courbes algébriques, représentées par des équations telles que ^ = yx, j = y/i — .r', . . . , plutôt arithmétiques que géométriques, et qui n'ont pu naître que dans des esprits calculateurs prévenus contre toute admission du principe de continuité, même dans l'Analyse des coordonnées linéaires de Descartes, que l'on paraît méconnaître ou oublier en cela, car elle ne saurait offrir de telles contradictions et absurdités.

D'autre part, nous avons, à diverses reprises, montré par des exemples simples et élémentaires, notamment celui qui concerne le milieu des cordes du cercle, issues d'un point donné, que, à l'inverse, la génération des lignes, et partant ces lignes elles-mêmes, pouvaient paraître discontinues au point de vue du tracé géométrique, quoiqu'il en soit autrement dans le fond et lorsqu'on s'élève à des conceptions, à des définitions plus générales. Toute la question est évidemment que la portion ou réunion des courbes considérées soient individuellement continues, et susceptibles d'être indéfiniment prolongées par des systèmes de constructions ou d'équations analytiques, elles-mêmes soumises à la loi des signes de position et de continuité; ce qui conduit naturellement à admettre que l'intersection mutuelle de telles lignes et des surfaces qui en dérivent soient, à leur tour, continues dans le sens le plus général, qui ne comporte aucune restriction à l'égard des grandeurs positives ou négatives, imaginaires, nulles ou infinies.

Dans les Cahiers III et IV qui concernent spécialement la loi des signes de position et le principe de continuité, pressé par le temps et les devoirs du service, je n'ai pas suffisamment insisté sur quelques déductions essentielles de ce principe, entre autres sur la facilité avec laquelle il peut servir à démontrer des vérités, des principes même dont la découverte a exigé les travaux les plus approfondis des géomètres algébristes. Ainsi, de ce que toute courbe continue possède en général, en chacun des points de son cours indéfini, une droite tangente, une circonférence de cercle et des coniques osculatrices d'un ordre supérieur au deuxième, on en conclut immédiatement et rigoureusement, si l'on considère d'une part le système des transversales ou sécantes extérieures à la courbe et parallèles à sa tangente au point examiné, d'une autre la conique supplémentaire de l'une quelconque des osculatrices construites en ce point sous les mêmes diamètres conjugués : i° que les intersections imaginaires des transversales parallèles dont il s'agit sont précisément de la nature des intersections pareilles du système simple de la sécante idéale du

cercle; 2" que ces intersections sont représenlahles par les mêmes symboles algébriques, eX fictivement par les intersections réelles de l'hyperbole supplémentaire correspondante qui ne construisent ou ne déterminent nullement ( III^ Cahier, p. 196, 202, 224, 240 et suiv.) les expressions imaginaires p-^q\j — \, p —qsj — I, comme on a prétendu me le faire dire; 3° enfin, que, si l'on considère le système entier des intersections de l'une quelconque des transversales parallèles avec la courbe proposée, il est permis de conclure que celles de ces intersections qui, après s'être réunies par couple, cessent d'être possibles géométriquement, sont comme les racines imaginaires mêmes des « équations algébriques ou transcendantes, constamment conjuguées entre elles, ou accouplées deux par deux, quelle que soit la nature continue de la courbe et de l'équation qui la représente.

De là d'ailleurs, en s'élevant à la considération des rencontres mutuelles des lignes ou des surfaces continues, on arrive, sans trop de difficultés, à la définition des plans et surfaces de section idéale commune au système des lignes et surfaces considérées, à peu près comme on l'a montré dans le V* Cahier, à l'égard de deux coniques quelconques situées en un même plan.

Si, à ces considérations générales, et à celles qui terminent le IV* Cahier de ce volume, relativement au nombre des intersections réelles, imaginaires, etc., d'une courbe ou surface continue d'ordre quelconque par une transversale arbitraire, on joint cette autre considération générale non moins rigoureuse et importante, que le nombre dont il vient d'être parlé étant convenablement déterminé, même pour cette position unique (ou une série de positions polaires de la transversale), suffit pour fournir une limite supérieure du degré de la courbe ou surface examinée; si l'on ajoute, enfin, les diverses autres conséquences qui découlent inévitablement de l'adoption du principe de continuité, et qui se trouvent exposées dans les diverses parties de cet ouvrage servant comme de préambule au Traité des Propriétés projectives des figures, on ne peut se refuser à reconnaître qu'il n'est nullement nécessaire, comme l'ont fait Newton, Côtes, Maclaurin et leurs successeurs, de recourir au système de Géométrie analytique imaginé par Descartes et à la théorie des équations, pour découvrir et démontrer les propriétés des courbes géométriques, même pour construire les coniques osculatrices en un point donné d'une telle courbe, pourvu toutefois que les intersections imaginaires des transversales rectilignes soient définies, remplacées par des circonférences de cercles, des coniques ou toutes autres couYbes géométriques qui les contiennent, comme on en a des exemples dans les II* et V^ Cahiers de ce volume.

Sur le tracé des lignes courbes et ses applications diverses aux questions d'analyse et de Géométrie.

Les Anciens et, par là comme toujours j'entends parler des Grecs qui grâce à leurs instincts délicats et leur sens exquis ont perfectionné à un si haut degré les lettres, les sciences et les arts, les Anciens n'ont nullement dédaigné, comme on le sait, de mettre en usage le tracé des courbes par des procédés graphiques et mécaniques qui impliquent la continuité, pour résoudre, même mécaniquement, beaucoup de questions appartenant à un ordre transcendant ou simplement su[»érieur au second degré. Les»

modernes, en les imitant, ont imprimé aux arts et à l'industrie une impulsion qui, espérons-le, ne se ralentira jamais. Malheureusement, depuis quelques années, les mathématiciens, comme je l'ai dit dans le premier volume de cet ouvrage, tendent, sous l'influence de fâcheux exemples, à se diviser en deux classes fort distinctes, étrangères et pour ainsi dire hostiles l'une à l'autre, les algébristes calculateurs et les géomètres applicateurs ; classes que la primitive École Normale et l'École Polytechnique étaient destinées à rapprocher, à unir entre elles, sous les auspices de nos plus illustres maîtres, Monge, Lagrange, Laplace, etc. Pour peu que cette déplorable scission se propage et s'accroisse en France, tandis qu'elle s'efface ailleurs dans l'enseignement public, on verra, sans aucun doute, y décroître en même temps les sciences, les arts et l'industrie qui reposent à la fois sur la Géométrie et le Calcul.

Une séparation complète ne serait nullement à craindre, et il serait inutile de s'enquérir de ce qui se passe à l'étranger, si dans nos Écoles on avait mieux retenu les immortelles leçons des grands géomètres que je viens de citer et qui ont tous, Lagrange notamment {*), recommandé l'emploi de procédés graphiques d'interpolation et de substitution, au moyen des courbes d'erreurs, de tâtonnements ou de fausses positions; procédés qui, tous évidemment, dérivent de la loi, du principe de continuité, admis ici, non plus tacitement ainsi qu'il arrive dans l'Analyse algébrique, mais ouvertement et franchement comme base de solution et même de démonstration en beaucoup de cas où toute autre marche serait, sinon impossible, du moins trop longue ou trop pénible à cause des raisonnements ou des calculs qu'elle exigerait.

A la vérité, la Géométrie descriptive et les arts graphiques en général se servent d'instruments et de procédés d'une exactitude purement relative ; mais on doit considérer que, en appropriant la grandeur de l'échelle du dessin et la précision des instruments au but à remplir, ce dont la Géométrie, la Physique et l'Astronomie môme nous offrent aujourd'hui de si admirables exemples, on peut atteindre à des résultats qui ne le cèdent en rien, pour ainsi dire, aux Tables numériques et aux méthodes d'approximation, en elles-mêmes indéfinies, du calcul arithmétique; méthodes, comme on sait, d'un usage souvent laborieux, et d'une exactitude également limitée en dehors de quelques cas exceptionnels, qui sont à la fois le triomphe de la Géométrie et de l'Analyse algébrique.

A l'égard de l'utilité dont peuvent être le tracé géométrique des courbes et le sentiment instinctif de la continuité pour la démonstration et la dé-

(*) VU» et Vllie Cahiers du Journal de l'École Polytechnique, 4* et 5« leçons à l'École Normale, p. 243 à 278, leçons dont on aurait tort 4e dédaigner l'enseignement, sous le prétexte spécieux qu'il s'adressait à un auditoire révolutionnaire et peu éclairé, car il comptait des professeurs du plus haut mérite, tels que Lacroix, etc.

couverte de certaines vérités physiques, je pourrais ici rappeler la célèbre et sublime découverte du mouvement elliptique des planètes par Kepler^ qui, après tant de siècles écoulés, eut l'heureuse, la profonde et persistante pensée, que le cours de ces astres devait être soumis à des lois géométriques, éternelles comme Dieu et l'univers, et qui, disciple fervent de Copernic et de Tycho-Brahé, ne craignit pas de poursuivre pendant plus de trente années la pénible tâche de tracer de point en point, au moyen des Tables d'observation de ce dernier astronome, son maître et initiateur, le cours entier de plusieurs orbites planétaires, notamment de celle de Mars, si favorable à cause de sa grande excentricité.

Je pourrais encore citer d'autres belles découvertes, d'une moindre importance sans doute, mais qui tendent toutes à prouver l'immense avantage inhérent au tracé géométrique des courbes; soit que ces courbes aient été relevées par une construction directe au moyen de points isolés, soit qu'elles aient été obtenues par le tracé d'un style dépendant d'un de ces appareils à indications continues, dont Watt et Eytelv^ein ont offert les premiers exemples, et qui se sont si généralement répandus à partir de l'époque de 1827, où commença aussi à se répandre l'idée de se servir du tracé continu des courbes pour la vérification et la démonstration des vérités premières de la Mécanique physique et industrielle, idée qui n'a cessé de se propager, de se généraliser de plus en plus dans ses applications diverses aux siences et aux arts.

Il n'existe à notre époque (i8G3), si je ne me trompe, aucun appareil traceur fondé sur un principe analogue par enveloppement des tangentes, et l'on en comprend aisément le motif; mais existât-il un pareil outil, il resterait toujours à déterminer, par des procédés graphiques simples et rapides, le point de contact quand la tangente est donnée, tout comme, pour le traceur à style ou à pointe, il est souvent indispensable de construire la tangente en un point également donné à priori. Ces problèmes exactement inverses présentent une égale difficulté graphique, et se ramènent l'un à l'autre d'après la théorie des polaires réciproques, dont pour la première fois les éléments ont été exposés dans un Mémoire de 181 7, réimprimé à la p. 483 du précédent Cahier.

Or, ce qu'il y a de particulièrement digne de remarque dans ce genre de problèmes, c'est que les difficultés dont il vient d'être parlé tiennent précisément à la double indétermination de tout élément infinitésimal de la courbe, soit en position, soit en direction; incertitude qui n'existe qu'en partie seulement quand on sait que le point de contact doit être sur une droite donnée, ou que la tangente doit passer par un point également donné sur le plan de la courbe supposée d'un degré quelconque m. Car, d'après le principe de réciprocité polaire que je viens de rappeler, ces questions sont précisément aussi inverses l'une de l'autre, puisque si, dans la première, le nombre des intersections est simplement ///, celui des tangentes dans la seconde est /« (w? — i) ; les points de

contact, en même nombre, étant déterminés (IP Cahier, p. i53) par les intersections de la courbe donnée du degré m avec une ligne du degré m — I seulement. D'ailleurs, ces circonstances montrent par quels liens intimes les problèmes ci-dessus des tangentes, d'une apparence si élémentaire, se rattachent à la théorie des polaires réciproques et des lignes de contact simples ou successives qui m'avaient occupé dès 1816 (p. 149 et suiv.), sous d'autres noms que ceux adoptés postérieurement (1828) par mon excellent et regrettable ami feu Bobillier.

A l'égard du tracé graphique des tangentes, dont on s'occupait beaucoup de mon temps à l'École Polytechnique, comme on peut le voir aux p. 447 et suiv. du t. I de ces AppUc.ations ^ il existe, relativement au tracé par courbes cV erreurs^ etc., divers procédés plus ou moins exacts et ingénieux, consignés dans quelques écrits mathématiques antérieurs même à l'époque de 1816 où, en m'occupant des matières du ir Cahier de ce second volume, je me proposai de déterminer, sans tâtonnements, d'une manière directe et rationnelle, pour un point donné d'une courbe décrite sur un plan, non pas seulement la tangente, mais l'osculatrice conique d'un ordre quelconque, en suivant partiellement les traces de l'illustre Maclaurin , c'est-à-dire à l'aide de méthodes exclusivement applicables aux courbes géométriques décrites sur un plan et naturellement d'un degré peu élevé. Mais ces procédés n'étant nullement susceptibles de s'étendre aux courbes transcendantes^ il est souvent nécessaire de recourir à la méthode purement géométrique de Roberval, c'est-à-dire à la considération directe de la loi graphique suivie par le point générateur.

Enfin si, comme il arrive souvent aussi, on ne connaît pas cette loi alors remplacée par une définition, des relations purement métriques, pleine de difficultés sous le rapport des tracés, il ne reste pour dernière ressource que l'emploi de \ Analyse infinitésimale^ née des premiers efforts de Fermât, de Descartes, de Roberval même, de Barrow, de Newton et de Leibnitz, dans la solution du célèbre problème des tangentes que, au point de vue des difficultés, on ne doit pas confondre avec celui des quadratures et du calcul inverse des tangentes, dont le développement analytique est dû aux BernouUi, aux Huygens, aux Euler, aux d'Alembert, aux Lagrange, etc. Cependant, j'ose le dire, malgré tant d'admirables découvertes ou d'efforts ingénieux pour généraliser et perfectionner l'instrument analytique, ces hommes célèbres à justes titres, en négligeant trop la voie géométrique tracée par Archimède d'une part, de l'autre par Pascal, Maclaurin et les géomètres des xvi'= et xvn" siècles, ont ainsi entraîné la jeune génération dans l'exclusive et fausse persuasion que, en dehors de l'algorithme algébrique et des théories sur lesquelles il repose, il n'existe aucune source de démonstrations rigoureuses (*).

(*) Comme on le verra phis loin, cette opinion n'était, au fond, n'.illement partagée par Lagrange, et l'on peut affirmer qu'elle a donné naissance à ce

. Revenant aux travaux de Maclaurin, je rappellerai que, dans ses recherches relatives aux propriétés des courbes géométriques, fondées sur la considération des deux derniers termes des équations algébriques entre abscisses et ordonnées, cet illustre successeur de Côtes et de Newton avait parfaitement compris l'insuffisance de telles méthodes pour la détermination des osculatrices aux courbes en général, et c'est pourquoi, dans son Traité des fluxions et son Algèbre posthume^ Maclaurin aborda la question par des considérations directes purement géométriques, dans lesquelles il cherche à tracer, par une série de points successifs, le cercle osculateur, le diamètre et le paramètre de la parabole osculatrice du 3* ordre en un point donné d'une courbe continue quelconque, censée décrite sur un plan, en faisant pour cela simplement intervenir les portions de la courbe qui avoisinent le point de contact, et traçant une nouvelle ligne ou dérivée qui sert à déterminer certains points ou paramètres du cercle de courbure ou de la conique osculatrice.

Comme on voit, celte méthode se rattache à celles qui consistent dans le tracé des courbes d'erreurs mentionnées précédemment : envisagée à ce point de vue^ elle faisait partie d'une Note manuscrite que, dans ma ferveur pour les procédés d'une utilité pratique, j'avais autrefois rédigée et oîi se trouvaient réunis divers procédés du même genre, étendus à des osculations d'ordres supérieurs au troisième, dont l'étude comprenait la variation de courbure dont Maclaurin s'était exclusivement occupé.

Les mêmes motifs d'utilité pratique me conduisirent, beaucoup plus tard (1825), c'est-à-dire après MM. Dupin et Hachette, à publier dans les anciennes Annales de Mathématiques^ un procédé mixle pour déterminer le cercle osculateur en un point donné d'une courbe gauche, au moyen de ses projections orthogonales sur deux plans quelconques.

D'ailleurs, on sait très-bien que le tracé graphique des courbes planes peut, non-seulement s'opérer par points successifs, mais encore par l'enveloppement de droites, d'arcs de cercle, de patrons, gabarits ou pistolets traceurs, composés eux-mêmes d'arcs de diverses courbures, se raccordant consécutivement et auxquels le dessiaateur habile substitue,

singulier et facile entraînement qui fait partout substituer le mécanisme du Calcul algébrique à l'intuition et au raisonnement géométriques. Cette tendance signalée en divers endroits de cet ouvrage, dont notre célèbre Poisson, ce robuste calculateur algébriste, se plaignait si vivement dans ses examens de l'Ecole Polytechnique, a failli amener une séparation complète entre cette mère Ecole et celles des divers services publics; aujourd'hui même elle oblige l'Université impériale à s'enquérir dans les pays circonvoisins, de l'état de l'enseignement professionnel qu'ils nous ont emprunté sans entraves; enseignement que cette Université a jusqu'ici constamment dédaigné, qu'elle méprise peutêtre encore malgré des vœux, des avertissements souvent réitérés, pour lequel par conséquent elle n'est nullement préparée, et qui tôt ou tard doit amener sa ruine ou son entière réforme sous une sage et prévoyante liberté.

presque toujours, un tracé direct en se laissant guider d'après le sentiment de la continuité, admirablement développé par de longs, de fréquents exercices, que suppléent trop rarement les instruments à style mobile, d'une perfection égale à celle du compas et quelques autres appareils délicats, propres à la génération continue des courbes; mais, ainsi que j'en ai déjà fait la remarque, aucun de ceux-ci ne s'applique aux lieux définis par les intersections successives de droites ou d'arcs mobiles, dont le mode de génération rappelle la belle découverte des développantes et des développées due à une heureuse inspiration géométrique de Huygens.

J'ai montré au commencement de cet article, par l'exemple de Kepler, l'importance du parti que l'on peut tirer du tracé géométrique des courbes pour la découverte des lois naturelles; j'aurais pu en multiplier indéfiniment les exemples. Or, c'est ici le cas de le rappeler, les idées de cause et d'effet continus, de permanence mathématique dans la manifestation des lois phénoménales ou naturelles ; ces idées sont toutes modernes, puisqu'elles datent de Kepler et de Galilée, mais elles n'en doivent pas moins être considérées comme résultant d'un sentiment véritablement inné ou instinctif même chez les Anciens, auxquels, si ce n'est peut-être au grand Arcliimède, il a manqué le patient génie de l'observation et de l'expérience, antérieur aux systèmes philosophiques de Racon et de Descartes, et qui constitue notre principale supériorité sur les Grecs. Car, j'en ai déjà fait ailleurs la remarque [Rapport sur l'Exposition de Londres en i85i : Machines-outils)^ leurs géomètres, leurs philosophes, leurs orateurs, leurs poètes, leurs inimitables artistes valaient, s'ils ne surpassaient, les nôtres en génie et en invention, bien que la somme de leurs connaissances acquises en tous genres ne fût pas, à beaucoup près, équivalente à celles de notre époque.

Si l'on veut encore, leur génie mathématique était moins hardi et moins développé, parce qu'ils manquaient de l'admirable instrument de l'Analyse indéterminée, due à Viète et à Descartes, et dont l'usage repose véritablement sur l'axiome ou principe de continuité. Mais ce n'est point à dire pour cela, comme je l'ai montré d'autre part (IV Cahier), que les Anciens n'eussent pu généraliser les conceptions de la pure Géométrie, et s'élever à toute la hauteur de ce principe, émané de l'emploi du raisonnement implicite, qui nous permet de considérer à priori, les courbes et les surfaces continues comme les limites de polygones ou de polyèdres infinitésimaux, et, à l'inverse, les systèmes de lignes droites et de plans illimités comme des courbes, des surfaces uniques, à branches ou nappes infinies, absolument comme cela peut se dire des équations linéaires de ces lignes ou plans dans le système des coordonnées de Descartes. En effet, séparément, comme dans leur ensemble, les lignes et les surfaces sont soumises au principe de continuité et à la loi des signes de position, et il est toujours permis, en toute rigueur, de supposer que chaque droite, chaque plan, représenté par l'une quelconque des équations, facteurs de la pro-

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. SSy

posée, se raccorde, par voie de continuité, au reste de la figure, absolument comme les branches ou asymptotes d'une hyperbole dont la puissance serait censée infiniment petite.

J'ai dit que les Anciens, notamment Archimède, cet ingénieur du dernier des rois de Syracuse, misérablement assassiné par le soldat de la Rome barbare, au cri d'indignation de la Grèce civilisée, auraient pu, sans calculs algébriques et simplement guidés par l'instinct, l'intuition géométrique et expérimentale, parvenir aux plus fécondes découvertes des temps modernes : je n'en excepterai pas même la Chimie, cette science qui paraît appartenir plus particulièrement à la théorie des nombres, et qui a eu aussi chez nous une déplorable victime de passions politiques aveugles, excitées par la haine, la jalousie occulte de toute supériorité intellectuelle ou de prospérité matérielle. Mais je dois me contenter ici de remarquer que le dédain des algébristes calculateurs pour les méthodes géométriques n'est justifié ni par le prétendu et posthume dégoût historique d'Archimède pour ses admirables inventions dans l'art de l'ingénieur, ni par l'autorité de Lagrange dans la V* Leçon, déjà citée, de son Cours à l'École Normale, leçon où ce grand géomètre analyste expose, avec une clarté et une simplicité dignes de son génie, le parti avantageux que l'on peut tirer du rapprochement de la Géométrie et de l'Algèbre, notamment du tracé effectif des courbes pour la résolution des problèmes et des équations numériques les plus compliquées, les plus difficiles (*).

Lagrange donc, qui, on doit le reconnaître sans hésitation, était plus profondément géomètre que Laplace, ne craint pas de s'abaisser en montrant pomment, par le tracé des courbes d'erreurs, de fausse position et d'interpolation, ou même par l'usage de véritables instruments mécaniques dont il indique un remarquable exemple, il devient possible de résoudre, d'une manière rapide et approximative, les problèmes et même les équa-

(*) Lagrange s'exprime ainsi au commencement de cette V*^ leçon (p. 263, du VII^ Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique) :

« Tant que l'Algèbre et la Géométrie oiît été séparées, leurs progrès ont été » lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, » elles se sont prêté des forces mutuelles et ont marche ensemble d'un pas » rapide vers la perfection. »

Laplace semble moins convaincu des avantages de ce rapprochement, qu'il recommande cependant (p. iio) pour la satisfaction agréable que procure à l'esprit la vérification à posteriori des résultats du calcul algébrique. L'inverse peut également se dire, et notre grand géomètre calculateur oublie un peu trop les droits de l'observation phénoménale, de la divination et de l'intuition géométrique à priori.

Quoi qu'il en soit, il serait désirable, aujourd'hui où, par l'absence d'autorités et de convictions scientifiques convenables, la diversité souvent stérile des notations et du langage mathématique règne dans les méthodes d'enseignement fn France, il serait désirable, dis-je, que le Gouvernement, si prodigue envers

lions les plus compliquées, qu'il faut bien se garder toutefois de transformer, de ramener à cette forme banale :

a.r"' + haf'-^ + f.r"'-' — . . . +px'^ -{-(jx + r=o,

la seule pour ainsi dire employée naguère dans nos Écoles. Cette forme d'ailleurs a, elle-même, été l'objet des méditations de Lagrange, dans un autre écrit mathématique, où il s'est comme efforcé de bannir toute trace de considérations géométriques (*); ce qu'il a aussi tenté fort malencontreusement, dans sa Théorie des fonctions analytiques et ses Leçons sur le calcul des fonctions^; dont il a été impossible, même du vivant de ce grand homme, d'adopter le texte pour l'enseignement de l'École Polytechnique, par des considérations scientifiques que j'ai déjà suffisamment indiquées.

Lagrange, en recommandant, p. 268 et 269 de ses Leçons à l'ancienne École Normale, d'opérer directement les substitutions dans les équations

la littérature et les beaux-arts, fit réimprimer, pour les répandre d'office dans les bibliothèques de nos Facultés et gymnases universitaires, le texte de ces admirables Leçons de Lagrange, de Laplace et de Mo^nge à la primitive École Normale; car ces Leçons, si mal à propos, je le répète, nommées révolutionnaires, telles qu'elles ont été réimprimées en 181 2 dans le Journal déjà cité, ne contiennent pas un mot de politique; rien qui puisse, explicitement ou implicitement même, rappeler aux professeurs et aux élèves, de tristes et trop malheureux souvenirs, mais bien l'esprit de rénovation dont était animé, en 179J, le gouvernement de la première République française, dont à des époques postérieures on a prétendu en vain dénigrer et combattre les actes véritablement restaurateurs de l'enseignement public en France. Ces actes, en effet, admirés et progressivemeht imités de toute l'Europe civilisée, avaient eu pour interprètes les plus grands génies mathématiques d'alors, et, malgré de misérables calculs ou préventions politiques, leurs sages et impérissables leçons sont regrettées par tous les esprits philosophiques amoureux du progrès des arts et des sciences dans notre pays.

(") Traité de la résolution numérique des équations. Si cette étude, d'un caractère si différent, je pourrais dire si opposé à celui des Leçons dont il vient d'être parlé, a contribué à illustrer Fourier et son disciple Sturm, géomètres algébristes tous deux dignes de ce nom, on doit reconnaître qu'elle a fort peu servi au progrès des sciences d'application, malgré la découverte d'admirables théorèmes et de précieuses, mais lentes et pénibles méthodes de calcul, qui constituent un véritable triomphe pour l'Analyse numérique ou l'arithmologie moderne. Je ne crains pas d'ailleurs de me trop aventurer en remarquant que les méthodes géométriques si simples et si élémentaires, recommandées par Lagrange, ont servi, du moins implicitement, de base principale aux plus belles théories de l'Analyse fonctionnelle et des équations; ce dont je pourrais citer, même dans ces derniers temps, quelques exemples remarquables qui iront sans cesse en se multipliant par le simple développement des idées philosophiques.

numériques de forme quelconque, soit/(.r) = o, sans leur faire subir aucune transformation algébrique, avait parfaitement compris, on n'en saurait douter, que loin de simplifier les solutions, on pourrait les compliquer outre mesure. C'est ce dont j'ai vu un exemple remarquable en 1834, même à l'Observatoire royal, dont les calculs étaient alors dirigés par l'habile M. Bouvard, qui, en recourant- à des éliminations et transformations laborieuses, avait introduit dans .l'équation finale des solutions ou racmes en quelque sorte étrangères à la question, sinon tout à fait fausses comme je l'ai montré dans le III* Cahier de ce volume.

De toutes manières, guidé par le sentiment instinctif de la continuité, on peut, selon la méthode géométrique ci-dessus indiquée, s'aider du tracé de la courbe représentée par l'équation fonctionnelle j=/(.r), pour découvrir avec ordre, rapidement, la nature et la grandeur approximative des racines; j et j: appartenant à un système de coordonnées variables quelconques, dont le choix est d'une extrême importance dans chaque cas.

En particulier, la courbe parabolique entre coordonnées ordinaires représentée par l'équation

jr = ax"* -t- bx"~' ■+- ex'»-* -h . • . -i- p-i' H- yx -I- r = o,

que Lagrange considère principalement dans ses Leçons à l'École Normale, et dont les intersections avec l'axe des abscisses correspondantes à l'ordonnée j- =-0 font connaître les racines réelles ou imaginaires de l'équation, cette courbe sinueuse ou serpentante, que l'on pourrait aussi nommer interpolante, d'après la remarque même de Lagrange, et dont le tracé manuel est si facile à cause de sa parfaite continuité, lorsqu'on en a déterminé un nombre suffisant de points par la méthode des substitutions ou autrement, cette courbe, dis-je, m'a beaucoup préoccupé autrefois, parce que, indépendamment de ses propriétés résolvantes bien connues des analystes, elle jouit d'un grand nombre d'autres propriétés purement géométriques, dont quelques-unes ont été exposées dans le 11« Cahier de ce volume, où, à l'exemple de Maclaurin et à cause de la facilité même de sa description, elle a constamment été prise pour type des courbes algébriques d'ordre supérieur, coupées par des transversales rectilignes arbitraires.

D'autre part, il est très-facile d'apercevoir que ces courbes planes d'un degré quelconque m, offrent à l'infîni, vers l'extrémité commune aux ordonnées parallèles, un point multiple de l'ordre le plus élevé, soit de l'ordre m — I. Or ce genre de courbes, pour le cas où le point multiple a une position arbitraire, a fait l'objet de mes premières recherches sur l'Analyse des transversales, dont il ne m'a été loisible de publier le premier Mémoire que fort tard, en i83o, époque où je le présentai à l'Académie des Sciences de l'Institut. Non-seulement ces courbes planes sont d'un tracé linéaire facile, non-seulement elles se rattachent, de la manière la plus intime, à la théorie si féconde des relations à deux termes, nommées involutions, généralisée comme je l'ai fait pour des groupes de n points en nombre quelconque (^voir la note de la p. 118 de ce II*'- volume des Applications); mais encore j'espérais pouvoir

déduire de l'examen de ses propriétés essentielles quelque moyen géométrique nouveau et rapide de solution des équations algébriques.

Malheureusement, je l'avouerai en toute franchise, ces longues et déjà si anciennes recherches, limitées même aux cinq premiers degrés, ne m'ont nullement réussi, parce que je prétendais éviter le tracé effectif des courbes auxiliaires et de leurs intersections mutuelles, moyen de solution connu longtemps môme avant Descartes, et auquel je prétendais substituer l'emploi plus direct d'un système de lignes droites et de sections coniques , considéré comme une courbe unique de degré m, dont les intersections par l'axe des abscisses devaient coïncider avec celles de l'équation à résoudre. En effet, ce procédé m'a précisément conduit aux mêmes réduites ou résolvantes qu'on obtient par la méthode de Descartes, telle que l'a exposée Lagrange dans ses Leçons à l'École Normale; ce que j'aurais pu prévoir à l'avance, à cause des combinaisons et permutations symétriques qui doivent nécessairement s'opérer, soit entre les divers groupes de racines algébriques, soit entre les couples d'intersection, avec l'axe des abscisses, des lignes des deux premiers degrés, qu'on a supposées ici passer toutes par le point multiple à l'infini de la sinueuse parabolique, etc.

Mais je n'insisterai pas sur ces anciens souvenirs, où je me proposais de déterminer, par des opérations géométriques dont, à la vérité, on n'a pas toujours sous la main les instruments indispensables, les intersections de certaines courbes au moyen de lignes auxiliaires plus simples. 11 me suffît d'avoir rappelé, une fois de plus, l'accord évident en soi qui règne entre les conceptions de la Géométrie et celles de l'Algèbre proprement dite. Ici, en effet, l'ensemble des lignes auxiliaires est censé constituer une ligne unique dont l'équation, représentée par le produit de leurs équations séparées précisément du degré m de la sineuse parabolique considérée, a, en commun avec elle, ce même point multiple à l'infini d'ordre m — r, et se trouve parfaitement déterminé dans les paramètres et coefficients des facteurs auxiliaires qui y entrent. Or n'est-il pas digne de remarque que les lignes auxquelles ces facteurs correspondent puissent demeurer réelles et constructibles, quand bien même leurs intersections avec l'axe transversal des abscisses seraient : ou toutes imaginaires, chose possible pour les valeurs paires du nombre m; ou imaginaires, à cela près d'une seule répondant à une droite auxiliaire unique, pour les valeurs impaires de Ce même nombre m?

Qu'il me soit permis d'ajouter que, au lieu de faire passer le système des lignes auxiliaires dont il vient d'être parlé, par le point multiple à l'infini de la courbe parabolique, on peut tout aussi bien assujettir ces lignes à contenir, en nombre convenable, des points de la sinueuse à abscisses et ordonnées distinctes, obtenues par des substitutions numériques dans l'équation r =/(-^) de cette courbe; ce qui donne lieu à différentes propriétés ou combinaisons géométriques, dont je me suis autrefois occupé avec quelque intérêt, mais sur lesquelles il serait fort inutile d'insister ici.

Revenons aux équations /(x) = o, j—f{x), dans l'hypothèse où /(jt) a ce sens vague et indéfini qu'on lui attribue très-souvent aujourd'hui, même dans l'enseignement secondaire et au début de l'Algèbre, sous le prétexte d'étendre ou généraliser les idées, le langage et les démonstrations, d'après une recommandation mal comprise, mal interprétée de Laplace, dans ses Leçons à l'ancienne École Normale, où néanmoins, tout comme Lagrange dans les sien-

POLÉMIQUE ET FRAGMENTS DIVERS. Sgi

lies, il procède constamment du simple au composé, du particulier au général, sans jamais empiéter, à proprement parler, sur le domaine des sciences d'application. Il est évident à priori que la discussion des équations fonctionnelles dont il s'agit, même en s'aidant des tracés géométriques recommandés par Lagrange, peut offrir, dans certains cas, de très-grandes difficultés, tant sous le rapport de la longueur des calculs que sous celui de l'interprétation intelligente et vraiment utile des résultats.

En effet, un analyste de tact et d'esprit a fait remarquer avec raison, dans des leçons postérieures de beaucoup à celles de l'illustre Lagrange, qu'il n'existe qu'un petit nombre de fonctions, même à une seule variable, dont la valeur ait constamment une signification simple et exactement déterminée, par. conséquent susceptible de toutes les opérations ou transformations qu'il est d'usage de leur faire subir en Algèbre et en Arithmétique, telles que divisions, extractions de racines, développements en séries, etc., par différentes méthodes auxquelles on a recours, souvent en désespoir de cause, pour faciliter le calcul numérique de certaines fonctions implicites ou même explicites. On sait en effet, de longue date, que ces transformations, ces développements divers ne fournissent pas toujours, au point de vue algébrique ou géométrique, des résultats rigoureusement équivalents aux fonctions d'où ils émanent; c'est ce dont je crois inutile de rappeler ici la raison.

Quant à cette excessive variété de transformations et de méthodes de calcul, qui n'est point toujours un signe de richesse, tant s'en faut, cette multiplicité exubérante, dis-je, jointe à l'abus du néologisme, des changements arbitraires de définitions, de conventions et de notations symboliques, jette le trouble et le doute dans les esprits non suffisamment avertis ou exercés ; et si cette variété, cette multiplicité sont profitables à la spéculation mercantile des libraires et à l'insatiable curiosité du public, qui court après les trompeuses nouveautés, elles sont rarement un véritable progrès pour les sciences mathématiques ; sciences aujourd'hui livrées, comme la littérature et les beaux-arts, à un laisser-aller qui pourrait bien constituer une sorte de décadence à laquelle, malgré un incontestable talent algébrique, n'a pas peu contribué ce hardi disciple de Kant, promoteur de la dualité philosophique en France, et que précédèrent ou suivirent d'autres brillants prestidigitateurs, moins géomètres qu'artistes technologues en algorithinie mathématique.

En terminant ce qui concerne l'usage du tracé des courbes dans la résolu tion des problèmes de l'Analyse algébrique, je remarque que les fonctions bien déterminées mentionnées ci-dessus se réduisent, à proprement parler, à celles qui, n'ayant qu'une seule valeur numérique pour toute valeur pareille de la variable, permettent de calculer rapidement celles des diverses autres formules et fonctions où elles entrent explicitement. A ce point de vue, il paraît évident que les courbes et surfaces continues données à priori, ou définies dans toutes leurs parties essentielles, par un système de constructions d'une exactitude relative convenable, remplissent jusqu'à un certain point le même rôle, avec des facilités plus grandes pour suivre en quelque sorte au doigt et à l'œil, la trace du point générateur et des éléments linéaires qui en dépendent, sans risquer de se tromper et de tomber dans ces complications, ces discussions algébriques pénibles où trop souvent, en certains points nommés dangereux par une fausse assimilation, on confond les traces dont il s'agit avec celles d'autres branches, nappes ou modes de génération simultanément indiqués.

sinon explicitement fournis par l'équation du lieu, en vertu des lois, ici tout implicites, de permutation ou de combinaison des signes des racines et éléments géométriques susceptibles de varier avec la position même de l'ordonnée prise pour transversale de la courbe.

Cet isolement naturel du point type ou descripteur d'un lieu, soit d'une courbe simple et continue, par rapport à ceux qui appartiennent à d'autres régions de cette courbe plane ou gauche, est même l'un des caractères les plus frappants des résultats obtenus par les procédés de la Géométrie descriptive ou de l'observation directe des mouvements relatifs, toujours rapportés à quelque repère supposé fixe; simplicité qui ne saurait se présenter que dans des circonstances extrêmement rares de l'Analyse fonctionnelle ou algébrique.

Notes complémentaires relatives au symbole cVimaginarité \ — i et à la continuité en général.

Je réunis ici, sous un môme titre, les résumés analytiques de deux écrits fort anciens, déjà rappelés à diverses occasions, et dont le premier concerne plus particulièrement la Géométrie de situation.

I. Les signes — i et y/— i , considérés isolément et abstraction faite de leurs attributs implicites ou explicites, ont une origine purement algébrique, conventionnelle et analogique ; ils ne s'auraient dériver à priori d'aucune considération purement géométrique. Cela résulte des Notes du IIP Cahier de ce volume, oiî je prouve que les relations à deux termes de la Géométrie rationnelle ne comportant explicitement aucun signe de position, il est impossible d'admettre les interprétations graphiques proposées, à diverses époques, pour ces signes, notamment: que le symbole v/ — I est le signe algorithmique de perpendicularité ; en un mot, comme je l'ai dit, ces interprétations ne doivent être considérées que comme le résultat d'analogies trompeuses, quoique séduisantes, relatives à l'expression analytique des cordes ou doubles ordonnées imaginaires des coniques. Or je crois avoir évité toute confusion ou difficulté de cette espèce, en substituant (p. i4i et 367) à ces considérations analytiques celles des cordes ou doubles ordonnées sans signe algébrique, par conséquent toujours réelles et de mêmes directions que les précédentes, ùdin^X^s. coniques supplémentaires conjuguées à la section conique proposée ; à peu près comme, dans l'équation analytique Ay — B'.r^= — A^B' de l'hyperbole, B est nommé le demi petit axe de la courbe, sans qu'on prétende aucunement construire les grandeurs imaginaires d'une manière géométrique ou absolue, comme cela a été proposé dans le t. IV (i8i3 et 1814) des anciennes Annales de Mathématiques (p. 61, i33 et 222), par MM. Français et Argand, dont les théories, du moins celles de ce dernier savant, déjà connues de Legendre, ont été l'objet d'observations approbatives de la part de M. Gergonne, négatives de celle de M. Servois (p. 228), et finalement suivies d'une revendication de priorité par Lacroix, en faveur de M. Buée, qui le premier, en 1806, dans les Mémoires de la Société Royale

fie Londres, aurait prétendu que \/— i est un signe de perpendicularité géométrique et effective (*).

Je ne parlerai ici que du contenu d'une Note manuscrite que, en 1816, j'ai soumise à M. Français lui-même, mon ancien et honorable professeur à l'École d'application de Metz, qui, instruit de mes éludes sur la loi des signes et les imaginaires au point de vue géométrique, m'avait franchement encouragé à adresser le contenu de cette Note au rédacteur des Annales de Montpellier; ce que je me gardai bien de faire à cause des critiques, d'ailleurs réservées et respectueuses, qu'elle renfermait sur la doctrine en question, critiques qui s'accordaient au fond avec celles de M, Servois et dont l'étendue, la contexture et le caractère de rétrospectivité me dispensent de les rapporter ici. Je me contenterai donc de rappeler que dans cette longue Note commençant par ces mots :

« Dans toute recherche mathématique, on est incontestablement en » droit de poser des définitions nouvelles, quelque étranges qu'elles puis- » sent d'ailleurs paraître, quelque contraires qu'elles soient aux notions » généralement admises. Mais alors on a pris de toute nécessité l'engage- » ment de raisonner juste sans sortir des définitions premières, et sans se » permettre des pétitions de principes qui, admises comme vraies en » général, sont opposées à ces mêmes définitions. »

Dans cette Note, dis-je, j'insistais principalement sur l'argumentation de M. Français, qui, imaginant dans un même plan et autour d'un point fixe ou pôle, des droites ou longueurs a, b, r,..., diversement dirigées et formant avec un axe fixe passant par ce pôle, des angles respectifs a. S, 7,..., prenait, pour représenter ces distances en grandeur et en direction, les expressions symboliques «^, b^, c .., et admettait à priori que les angles a, p, 7,..., croissaient exactement en proportion ou progression arithmétique, quand les longueurs a, b,c... suivaient elles-mêmes la loi des proportions ou progressions géométriques; ce qui implique toute la théorie algébrique des fonctions exponentielles et angulaires^ déjà bien connue par les anciens travaux de Viète, de Côtes, de Moivre, d'Euler, de Ber-

(*) Jusque dans ces derniers temps, la même thèse a été diversement soutenue et débattue par un grand nombre d'autres savants français ou étrangers, parmi lesquels j'ai déjà eu occasion de citer MM. Vallès et Cauchy dans des renvois au bas des p. 197 et 1^^. A l'égard de ces derniers savants, je me suis abstenu de m'ériger en juge, non-seulement parce que la question, en soi fort délicate, eiit exigé des développements impossibles dans d'aussi courtes notes, mais encore et surtout parce que les doctrines de M. Vallès sur les imaginaires, présentées dès iS/jo à l'Académie des Sciences, sont devenues de sa part, dans la séance du 26 juillet 1847, l'objet d'une réclamation envers MM. Cauchy et Poinsot, publiée peu après dans une Revue mensuelle intitulée : la Phalange, et dont la contexture algorithmique, en dehors de mes études de pure Géométrie, ne me permettrait nullement de me constituer l'arbitre.